平面向量及其应用复习与小结(第1课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章平面向量及其应用复习与小结

第1课时本章知识结构平面向量的实际背景向量的表示及相关概念向量的运算及其几何意义线性运算数量积(内积)运算加、减法运算数乘运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的应用几何中的应用物理中的应用正、余弦定理回顾与思考1.如何理解向量?向量的表示方法有哪一些?2.什么是零向量,单位向量,平行向量(共线向量),相等向量,相反向量?3.你能说说向量的加法、减法、数乘运算,向量的数量积运算是如何定义吗?这些向量运算的法则、运算律又各是怎样的?它们与数的运算又有何区别?6.请你说说如何理解向量的既是代数对象又是几何对象?8.平面向量基本定理是什么，它的基本性在什么地方?4.什么是投影向量?7.向量平行，垂直的条件是怎样的?5.你能用坐标表示向量的加法、减法、数乘运算,向量的数量积运算吗?向量数量积的性质有哪一些?由平面向量基本定理得出的三点共线的条件是怎样的?9.请你说说应用向量在解决平面几何问题中的所得到的常见结论，如

线段中点，

平行四边形的对角线定理，

三角形的“心”？向量的概念在数学上，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。只有大小，没有方向的量叫做数量。向量的表示1.字母表示：(1)两个大写字母：前后两字母分别表示起点和终点；(2)一个小写字母.2.几何表示：有向线段其中有向线段的方向就是向量的方向。

有向线段的长度等于向量的大小，称为向量的模(或向量的长度).特别提醒：手写时无论哪种情况，字母上面都要加“→”.3.坐标表示：返回向量的相关概念(1)零向量:(2)单位向量:长度(模)为1个单位的向量称为单位向量.长度(模)为0的向量称为零向量，记作：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(3)相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量(4)相反向量：注：所有的零向量都相等，零向量的相反向量仍是零向量。(5)平行向量和共线向量

方向相同或相反的非零向量叫平行向量（平行向量叫共线向量）

规定：零向量与任意向量平行。返回向量的加法运算1.概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.运算法则：首尾相连,首尾连.三角形法则平行四边形法则起点重合,夹出和.3.运算律：向量的减法运算1.概念：

求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

且减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,即2.运算法则：两尾相连,

首首连，指向前。被减向量三角形法则向量的数乘运算1.概念：3.运算律：(向量对数的分配律)(数对向量的分配律)(结合律)向量的数量积运算1.概念：2.运算律：返回投影向量向量数量积的性质返回向量运算的坐标表示

返回向量的几何特性和代数特性

一方面，向量具有长度和方向，可以用有向线段来表示，可以与几何上的长度，角度(含平行，垂直等）相关联，进一步解决，位置，面积，相似等问题，而且向量的线性运算，数量积运算的法则和规律都有明显的几何意义.

另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运算解决问题.向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积，

而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类似.借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几乎纯粹实数化。

因此，向量具有代数和几何是的双重属性，是联系几何和代数的桥梁.向量共线的条件

返回向量垂直的条件

平面向量基本定理

返回COAB

一个向量总能分解两个的与基底平行的向量，且分解的结果唯一。

根据这相定理，一个点和两个不共线向量就能确定一个平面，而且此平面上的任意一个点通过向量表示出来，从而使平面上的任意一个点成为运算对象，平面上的任意几何问题都可以用向量的运算来解决。返回(1)给出了确定一个平面的方法：

一个定点和两个不共线的向量.(2)简化了平面向量的运算

平面中所有向量的运算都可归结为平面的某一个基底(两个不共线向量)的运算.(3)建立方程组：返回常用结论

2.平行四边形对角线定理:

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和（或两条邻边平方和的2倍)3.三角形的“心”(1)重心：三角形三条中线的交点重心的向量表达式：重心的性质：(2)外心：三角形三边垂直平分线的交点(外接圆圆心)外心的向量表达式：外心的性质：(4)垂心：三角形三条高的交点垂心的向量表达式：4.三角形中线的向量表达(3)内心：三角形三条垂角平分线的交点(内切圆圆心)内心的向量表达式：返回例析练习√√××课堂小结

1.向量的运算有四个一般性的定理：

加法(含减法)法则，数乘向量(含共线向量定理)，向量的数量积，向量的基本定理.

2.向量的运算有两类：

一是线性运算(加、减、数乘)，二是数量积运算.线性运算的结果始终是向量，而数量积运算的结果是实数

3.向量的运算可以解决四类基本问题：

一是距离；二是夹角；三是平行；四是垂直.

4.向量的运算有两种基本形式：

一是几何形式，将向量用有向