2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何位置关系的证明

2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何位置关系的证明

考点梳理考情回顾高考预测空间中的平行关系2023新高考Ⅰ卷第18题2022新高考Ⅱ卷第20题重点考查空间中的平行

与垂直的判定与性质，

以解答题的形式呈现.空间中的垂直关系2023新高考Ⅱ卷第20题2021新高考Ⅰ卷第20题2021新高考Ⅱ卷第19题

（2022·新高考Ⅱ卷改编）如图，

PO

是三棱锥

P

－

ABC

的高，

PA

＝

PB

，

AB

⊥

AC

，

E

为

PB

的中点，连接

OE

.

求证：

OE

∥平面

PAC

.

证明：连接

BO

并延长，交

AC

于点

M

，连接

AO

，

MP

.

因为

PO

是三棱

锥

P

－

ABC

的高，所以

PO

⊥平面

ABC

.

因为

AO

⊂平面

ABC

，

BO

⊂平

面

ABC

，所以

PO

⊥

AO

，

PO

⊥

BO

.

所以∠

POA

＝∠

POB

＝90°.又因

为

PA

＝

PB

，

PO

＝

PO

，所以Rt△

POA

≌Rt△

POB

.

所以

AO

＝

BO

.

所

以∠

OAB

＝∠

OBA

.

因为

AB

⊥

AC

，所以∠

BAC

＝90°.所以∠

OAB

＋

∠

OAM

＝90°，∠

OMA

＋∠

OBA

＝90°.所以∠

OAM

＝∠

OMA

.

所以

OA

＝

OM

.

所以

OM

＝

OB

.

所以

O

是

BM

的中点.又因为

E

为

PB

的中

点，所以

OE

∥

PM

.

因为

OE

⊄平面

PAC

，

PM

⊂平面

PAC

，所以

OE

∥

平面

PAC

.

1.空间中平行关系、垂直关系的转化2.借助平面的法向量和直线的方向向量判断空间中的位置关系设

a

，

b

分别为直线

l

1，

l

2的方向向量，向量

u

，

v

分别为平面α，β的法

向量，有：

a

∥

b

，即

a

＝λ

b

（λ为常数）⇔

l

1∥

l

2；

a

⊥

b

，即

a

·

b

＝0⇔

l

1⊥

l

2；

a

⊥

u

，

l

1⊄α，即

a

·

u

＝0，

l

1⊄α⇔

l

1∥α；

a

∥

u

，即

a

＝λ

u

（λ为常数）⇔

l

1⊥α；

u

∥

v

，即

u

＝λ

v

（λ为常数）⇔α∥β；

u

⊥

v

，即

u

·

v

＝0⇔α⊥β.

热点

位置关系的证明[典例设计]例1如图，四边形

AA

1

C

1

C

为矩形，四边形

CC

1

B

1

B

为菱形，且平面

CC

1

B

1

B

⊥平面

AA

1

C

1

C

，

D

，

E

分别为边

A

1

B

1，

C

1

C

的中点.求证：（1）

BC

1⊥平面

AB

1

C

；（2）

DE

∥平面

AB

1

C

.

[思维导图]证明：（1）

因为四边形

AA

1

C

1

C

为矩形，所以

AC

⊥

C

1

C

.

因为平面

CC

1

B

1

B

⊥平面

AA

1

C

1

C

，平面

CC

1

B

1

B

∩平面

AA

1

C

1

C

＝

CC

1，

AC

⊂平面

AA

1

C

1

C

，所以

AC

⊥平面

CC

1

B

1

B

.

因为

BC

1⊂平面

CC

1

B

1

B

，

所以

AC

⊥

BC

1.因为四边形

CC

1

B

1

B

为菱形，所以

B

1

C

⊥

BC

1.因为

AC

∩

B

1

C

＝

C

，

AC

⊂平面

AB

1

C

，

B

1

C

⊂平面

AB

1

C

，所以

BC

1⊥平面

AB

1

C

.

总结提炼

（1）

证明线面平行的常用方法：线面平行的定义，线面平行的判定定

理，面面平行的性质定理.（2）

证明线面垂直的常用方法：线面垂直的判定定理，面面垂直的性

质定理.（3）

关注三种平行、垂直关系的转化，核心是线面平行、垂直，基础

是线线平行、垂直.[对点训练]1.如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

为平行四边形，

AD

＝2，

AB

＝1，∠

BAD

＝60°，平面

PCD

⊥平面

ABCD

，

M

为

PC

上一点.（1）

若

PA

∥平面

MBD

，求证：

M

是

PC

的中点；

（2）

求证：平面

MBD

⊥平面

PCD

.

证明：（2）

在△

ABD

中，因为

AD

＝2，

AB

＝1，∠

BAD

＝60°，所以

BD

2＝

AB

2＋

AD

2－2

AB

·

AD

·cos∠

BAD

＝3.

所以

AB

2＋

BD

2＝

AD

2.所以

AB

⊥

BD

.

因为四边形

ABCD

是

平行四边形，所以

AB

∥

CD

.

所以

BD

⊥

CD

.

因为平面

PCD

⊥平面

ABCD

，

BD

⊂平面

ABCD

，平面

PCD

∩平面

ABCD

＝

CD

，所以

BD

⊥平面

PCD

.

因为

BD

⊂平面

MBD

，所以

平面

MBD

⊥平面

PCD

.

[典例设计]例2如图，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2

AB

＝2，

E

，

F

分别为棱

AA

1，

CC

1的中点，

G

为棱

DD

1上的一个动点.（1）

求证：

B

，

E

，

D

1，

F

四点共面.（2）

是否存在点

G

，使得平面

GEF

⊥平面

BEF

？若存在，求

DG

的长

度；若不存在，请说明理由.[思维导图]解：（1）

证明：如图，连接

D

1

E

，

D

1

F

，取

BB

1的中点

M

，连接

MC

1，

ME

.

因为

E

为

AA

1的中点，所以易得

EM

∥

A

1

B

1∥

C

1

D

1，且

EM

＝

A

1

B

1＝

C

1

D

1.所以四边形

EMC

1

D

1为平行四边形.所以

D

1

E

∥

MC

1.因为

F

为

CC

1的中点，所以易得

BM

∥

C

1

F

，且

BM

＝

C

1

F

.

所以四边形

BMC

1

F

为平行四边形.所以

BF

∥

MC

1.所以

BF

∥

D

1

E

.

所以

B

，

E

，

D

1，

F

四点共面.

总结提炼

（1）

证明四点共面问题，主要是通过证明线线平行实现.（2）

存在性问题的求解策略：假设存在，根据题意合理设置变量、转

化求解，并判断是否存在.[对点训练]2.如图，在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

M

，

N

分别是线段

A

1

B

，

AC

1

的中点.（1）

求证：

MN

⊥

AA

1.解：（1）

证明：如图，连接

A

1

C

.

因为在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，四边形

AA

1

C

1

C

为平行四边形，

N

是线段

AC

1的中点，所以

A

1

C

和

AC

1交于点

N

，且

N

为

A

1

C

的中点.又因为

M

为

A

1

B

的中点，所以

MN

∥

BC

.

由直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1可知，

A

1

A

⊥平面

ABC

.

又

BC

⊂平面

ABC

，所以

A

1

A

⊥

BC

.

所以

MN

⊥

AA

1.（2）

在线段

BC

1上是否存在一点

P

，使得平面

MNP

∥平面

ABC

？若存

在，指出点

P

的位置；若不存在，请说明理由.解：（2）

存在.当

P

为

BC

1的中点时，平面

MNP

∥平面

ABC

.

如图，连接

PN

，

PM

.

因为

N

为

AC

1的中点，

P

为

BC

1的中点，所以

PN

∥

AB

.

因为

PN

⊄平面

ABC

，

AB

⊂平面

ABC

，所以

PN

∥平面

ABC

.

由（1）知，

MN

∥

BC

.

又因为

BC

⊂平面

ABC

，

MN

⊄平面

ABC

，所以

MN

∥平面

ABC

.

因为

MN

∩

PN

＝

N

，

MN

⊂平面

PMN

，

PN

⊂平面

PMN

，所以平面

MNP

∥平面

ABC

.

[典例设计]例3如图，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

A

1

A

⊥平面

ABC

，

BC

⊥

AB

，

M

，

N

分别是线段

A

1

C

1，

A

1

B

的中点.（1）

求证：平面

A

1

BC

⊥平面

A

1

ABB

1；（2）

设平面

MNB

1与平面

BCC

1

B

1的交线为

l

，求证：

MN

∥

l

.[思维导图]

A

1

A

⊥平面

ABC

→

A

1

A

⊥

BC

→

BC

⊥平面

A

1

ABB

1→连接

BC

1→

MN

∥

BC

1→

MN

∥平面

BCC

1

B

1→

MN

∥

l

平面

A

1

BC

⊥平面

A

1

ABB

1（2）

连接

BC

1.因为

M

，

N

分别是线段

A

1

C

1，

A

1

B

的中点，所以

MN

∥

BC

1.因为

BC

1⊂平面

BCC

1

B

1，

MN

⊄平面

BCC

1

B

1，所以

MN

∥平面

BCC

1

B

1.因为平面

MNB

1∩平面

BCC

1

B

1＝

l

，

MN

⊂平面

MNB

1，所以

MN

∥

l

.解：（1）

证明：因为

A

1

A

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

A

1

A

⊥

BC

.

因为

BC

⊥

AB

，

AB

∩

A

1

A

＝

A

，

AB

⊂平面

A

1

ABB

1，

A

1

A

⊂平面

A

1

ABB

1，所以

BC

⊥平面

A

1

ABB

1.因为

BC

⊂平面

A

1

BC

，所以平面

A

1

BC

⊥平面

A

1

ABB

1.总结提炼

（1）

垂直关系中的核心是线面垂直，注意线面垂直的定义、判定定

理、性质定理的交替使用.（2）

对无棱的两个平面的交线位置的确定，需要充分利用线面平行与

垂直的性质和判定.[对点训练]3.如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

BC

＝3，

AC

＝6，

D

，

E

分别是

AC

，

AB

上的点，且

DE

∥

BC

，将△

ADE

沿

DE

折起到△

A

1

DE

的位

置，使

A

1

D

⊥

CD

.

（1）

求证：

BC

⊥平面

A

1

DC

；证明：（1）

在△

ABC

中，因为∠

C

＝90°，所以

BC

⊥

AC

.

因为

DE

∥

BC

，所以

AD

⊥

DE

.

所以

A

1

D

⊥

DE

.

因为

A

1

D

⊥

CD

，

CD

∩

DE

＝

D

，

CD

⊂平面

BCDE

，

DE

⊂平面

BCDE

，所以

A

1

D

⊥平面

BCDE

.

因

为

BC

⊂平面

BCDE

，所以

A

1

D

⊥

BC

.

因为

BC

⊥

CD

，

CD

∩

A

1

D

＝

D

，

CD

⊂平面

A

1

DC

，

A

1

D

⊂平面