最优控制上机作业

最优控制上机作业二级倒立摆稳定控制仿真实验倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个根底学科：力学、数学和电学有机地结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。近代机械控制系统中，如直升机、火箭发射、人造卫星运行〔变轨等〕及机器人举重、做体操和行走机器人步行控制等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题。1.作业题目二级倒立摆系统由以下局部组成：有效长度为90cm的光滑导轨，可以在导轨上来回移动小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆规格相同，有效长度为525cm。小车的驱动由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车相对参考点〔即导轨的中心位置〕的相对位移x由电位器和测量传动带得到，一级摆杆与竖直方向的夹角由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角由电位器通过测量两个摆的角度差而间接得到。直流伺服电机产生驱动力F使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而到达二级倒立摆系统的平衡。2.二级倒立摆数学模型的建立为了进行线性控制器的设计，首先需要对被控系统进行建模。二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1〕每一级摆杆都是刚体。2〕在实验过程中同步带长度保持不变。3〕驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。4〕实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。图1：二级倒立摆系统如上图1所示的二级倒立摆系统，根据牛顿力学理论建模：对于由小车和上下摆组成的整个系统，在水平方向上有：〔1〕对于下摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式：〔2〕对于上摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式：〔3〕以上三个等式构成了二级倒立摆系统动力学方程，经整理可得：〔4〕式中，上式中各参量的意义及参数值如下表表1所示：表1：二级倒立摆系统的结构参数表参数参数值意义M01.3280小车及驱动系统的等效质量〔kg〕M10.22下摆质量〔kg〕M20.187上摆质量〔kg〕J10.004963下摆转动惯量〔kg*m2〕J20.004824上摆转动惯量〔kg*m2〕l10.304下摆质心至轴心的距离〔m〕l20.226上摆质心至轴心的距离〔m〕L10.49下摆轴心至上摆轴心的距离〔m〕F022.915小车系统的摩擦系数〔N*m*s〕F10.00705下摆摩擦阻力系数〔N*m*s〕F20.00264上摆摩擦阻力系数〔N*m*s〕G011.887力与控制电压之比〔N/V〕3.二级倒立摆数学模型的线性化在平衡点和附近对上述方程线性化，即假设，，得：〔5〕式中，定义状态变量，那么利用等式〔4〕和〔5〕我们就可以构造出原系统和线性化后的系统的状态方程式中，，，，。由于原非线性系统存在较为复杂的正余弦函数求逆，这里仅给出后面求最优控制率所需要的线性化后的系统的具体的A,B,C矩阵的值，〔6〕，4.最优控制率的设计在进行线性化之后，对线性化后的系统进行最优控制率的设计。本次作业中分别使用了线性二次型状态控制器〔LQR〕和线性二次型输出控制器〔LQY〕来对二级倒立摆系统进行稳定性控制。1〕线性二次型状态控制器〔LQR〕设状态反应调节器的输入形式为，通过使性能指标函数达最小，从而求得最优的状态反应增益阵。此处状态控制器设计的最优性能指标为：，〔7〕根据无限时间状态调节器的相关定理可知：由于此处线性化后的系统A,B,C阵均为常数阵，故存在一个P阵满足Riccati方程：,〔8〕求解出对应的P阵后，，进而可得到状态反应的输入。2〕线性二次型输出控制器〔LQY〕设输出反应调节器的输入形式为，通过使性能指标函数达最小，从而求得最优的状态反应增益阵。此处输出控制器设计的最优性能指标为：，〔9〕利用，将上式〔9〕转换为：，〔10〕令,我们就可以得到类似于等式〔7〕的性能指标，与线性二次型状态控制器类似的，根据无限时间最优性能指标的相关定理：由于此处线性化后的系统A,B,C阵均为常数阵，故存在一个P阵满足Riccati方程：,〔11〕求解出对应的P阵后，，进而可得到状态反应的输入。5.基于matlab的仿真实现本次实验采用的是matlab中simulink工具创立mdl文件进行仿真的。仿真系统为连续系统。通过构造几个由m文件构造的模块搭建的系统模型。如下列图图2所示：图2：simulink构建的系统模型在上图中按照原系统情形将系统分为3个局部：A、B*u、C分别使用matlab函数调入非线性方程。在这里反应控制率u的设计包含在B*u局部中。先调用matlab最优控制lqr函数求解出对应的增益矩阵，再代入B*u局部，最后完成控制。系统的初始位置设置在：。1〕线性二次型状态控制器控制率设计〔LQR〕在matlab仿真过程中调用lqr函数：K=lqr(A,B,Q,R)〔其中的A,B阵为等式〔6〕中的矩阵，亦即线性化后的线性系统的状态方程矩阵〕，即可得状态反应增益阵〔此处在仿真过程中，取，〕：对应的线性二次型状态控制器控制效果图如下所示：图3：小车位置图4：下摆角度图5：上摆角度图6：控制输出2〕线性二次型输出控制器控制率设计〔LQY〕在matlab仿真过程中调用lqr函数：K=lqr(A,B,Q,R)〔其中的A,B阵为等式〔6〕中的矩阵，亦即线性化后的线性系统的状态方程矩阵〕，即可得输出反应增益阵〔此处在仿真过程中，取，，〕：对应的线性二次型输出控制器控制效果图如下所示：图7：小车位置图8：下摆角度图9：上摆角度图10：控制输出3〕两种控制器对系统调节效果的比拟分析〔1〕小车位置的比拟〔2〕下摆角度的比拟〔3〕上摆角度的比拟〔4〕控制输出的比拟从上述〔1〕-〔4〕的比拟来看，LQY控制器普遍的最大峰值较LQR控制器的要大，其原因主要在于LQY控制器在最优性能指标设计时，只考虑了位置和两个角度的性能，并没有对这三个的导数即水平速度和两个角速度进行性能要求。从惩罚函数矩阵Q阵来看，LQY控制器设计时增大了对位置和两个角度的惩罚力度，减小了对输入量的要求，从而从〔4〕中可以较为明显的看出来，这也是其调节速度较LQR稍快的原因。LQR曲线角LQY的更为平缓一点，这也是由于惩罚函数矩阵Q阵的惩罚力度和对象的不同造成的，原因与上述的刚好相反。鉴于此，LQR拥有较好的稳态特性而LQY的那么较之差一点。LQY动态特性优良尤其是调节时间和鲁棒性较LQR好一点。6.考前须知和感想本次大作业题目内容为二级倒立摆稳定性控制，参见胡寿松版本的《最优控制理论与系统》一书的第350页的例子。但仿真过程中发现，对非线性系统仿真是屡屡出现发散情况，而在对线性化后的系统仿真时却是收敛的。最后经检查发现书中的数学模型有错。 错误地点为M阵和N阵，内容分别为M阵中的参数错误和N阵整体错误，经检查和修改〔参看西北工业大学刘琛硕士的学位论文《二级倒立摆系统的稳定控制研究》〕，最终于本次报告上给出了正确的数学模型方程，见等式〔2〕-〔5〕所表述。 在确立了正确的数学模型方程后，采用matlab中simulink对系统进行了仿真，仿真时是事先运行LQR.m文件，得到最优控制率矩阵，然后添加到了B*u模块中，程序可以直接运行。作业感想：本次作业前期由于模型不正确，仿真屡次都出现发散情况。最后在回忆数学模型时发现在N阵旁书中多添加了一个状态矩阵〔位置和两个角度〕。但在实际的物理含义中，按我们所理解，动力学方程中是不可能含有直接是角度