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文档简介
TheBasicsofFEAProcedure有限元分析程序的根本知识2.1IntroductionThischapterdiscussesthespringelement,especiallyforthepurposeofintroducingvariousconceptsinvolvedinuseoftheFEAtechnique.本章讨论了弹簧元件,特别是用于引入使用的有限元分析技术的各种概念的目的Aspringelementisnotveryusefulintheanalysisofrealengineeringstructures;however,itrepresentsastructureinanidealformforanFEAanalysis.Springelementdoesn’trequirediscretization(divisionintosmallerelements)andfollowsthebasicequationF=ku.在分析实际工程结构时弹簧元件不是很有用的;然而,它代表了一个有限元分析结构在一个理想的形式分析。弹簧元件不需要离散化(分裂成更小的元素)只遵循的根本方程F=kuWewilluseitsolelyforthepurposeofdevelopinganunderstandingofFEAconceptsandprocedure.我们将使用它的目的仅仅是为了对开发有限元分析的概念和过程的理解。2.2Overview概述FiniteElementAnalysis(FEA),alsoknownasfiniteelementmethod(FEM)isbasedontheconceptthatastructurecanbesimulatedbythemechanicalbehaviorofaspringinwhichtheappliedforceisproportionaltothedisplacementofthespringandtherelationshipF=kuissatisfied.有限元分析(FEA),也称为有限元法(FEM),是基于一个结构可以由一个弹簧的力学行为模拟的应用力弹簧的位移成正比,F=ku切合的关系。InFEA,structuresaremodeledbyaCADprogramandrepresentedbynodesandelements.Themechanicalbehaviorofeachoftheseelementsissimilartoamechanicalspring,obeyingtheequation,F=ku.Generally,astructureisdividedintoseveralhundredelements,generatingaverylargenumberofequationsthatcanonlybesolvedwiththehelpofacomputer.在有限元分析中,结构是由CAD建模程序通过节点和元素建立。每一个元素的力学行为类似于机械弹簧,遵守方程,F=ku。一般来说,一个结构分为几百元素,生成大量的方程,只能在电脑的帮助下得到解决。Theterm‘finiteelement’stemsfromtheprocedureinwhichastructureisdividedintosmallbutfinitesizeelements(asopposedtoaninfinitesize,generallyusedinmathematicalintegration).“有限元”一词源于一个结构分为小而有限大小元素的过程(而不是无限大小,通常用于数学集成)Theendpointsorcornerpointsoftheelementarecallednodes.元素的端点或角点称为节点。Eachelementpossessesitsowngeometricandelasticproperties.每个元素拥有自己的几何和弹性。Spring,Truss,andBeamselements,calledlineelements,areusuallydividedintosmallsectionswithnodesateachend.Thecross-sectionshapedoesn’taffectthebehaviorofalineelement;onlythecross-sectionalconstantsarerelevantandusedincalculations.Thus,asquareoracircularcross-sectionofatrussmemberwillyieldexactlythesameresultsaslongasthecross-sectionalareaisthesame.Planeandsolidelementsrequiremorethantwonodesandcanhaveover8nodesfora3dimensionalelement.弹簧,桁架和梁元素,称为线元素,通常分为小节,每端有节点。截面形状并不影响线元素的特性;只有横截面常数是相关的并用于计算。因此,一个正方形或圆形截面桁架成员将产生完全相同的结果,只要横截面积是一样的。平面和立体元素需要超过两个节点,可以有超过8节点的三维元素。Alineelementhasanexacttheoreticalsolution,e.g.,trussandbeamelementsaregovernedbytheirrespectivetheoriesofdeflectionandtheequationsofdeflectioncanbefoundinanengineeringtextorhandbook.However,engineeringstructuresthathavestressconcentrationpointse.g.,structureswithholesandotherdiscontinuitiesdonothaveatheoreticalsolution,andtheexactstressdistributioncanonlybefoundbyanexperimentalmethod.However,thefiniteelementmethodcanprovideanacceptablesolutionmoreefficiently.线元件具有精确的理论解,例如桁架和梁元件由它们各自的偏转理论控制,并且偏转方程可以在工程文本或手册中找到。然而,具有应力集中点的工程结构,例如具有孔和其他不连续的结构不具有理论解,并且精确的应力分布只能通过实验方法找到。然而,有限元方法可以更有效地提供可接受的解决方案。Problemsofthistypecallforuseofelementsotherthanthelineelementsmentionedearlier,andtherealpowerofthefiniteelementismanifested.这种类型的问题要求使用前面提到的行元素以外的元素。有限元法能真正的来表达证明。InordertodevelopanunderstandingoftheFEAprocedure,wewillfirstdealwiththespringelement.为了能深刻理解有限元分析过程,我们将首先处理弹簧元件。Inthischapter,springstructureswillbeusedasbuildingblocksfordevelopinganunderstandingofthefiniteelementanalysisprocedure.在这一章,弹簧结构将被用作构建块来使用有利于有限元分析过程的理解。Bothspringandtrusselementsgiveaneasiermodelingoverviewofthefiniteelementanalysisprocedure,duetothefactthateachspringandtrusselement,regardlessoflength,isanideallysizedelementanddoesnotneedanyfurtherdivision.弹簧和桁架元件给出一个简单的建模概述了有限元分析过程,由于每个弹簧和桁架元件,不计长度,是一种理想的元素不需要任何进一步的细化。2.3UnderstandingComputerandFEAsoftwareinteraction-UsingtheSpringElementasanexample2.3理解计算机和有限元分析软件交互,使用弹性元件作为一个例子Inthefollowingexample,atwo-elementstructureisanalyzedbyfiniteelementmethod.在接下来的例子中,对一个双元素结构有限元方法进行了分析。Theanalysisprocedurepresentedherewillbeexactlythesameasthatusedforacomplexstructuralproblem,except,inthefollowingexample,allcalculationswillbecarriedoutbyhandsothateachstepoftheanalysiscanbeclearlyunderstood.Allderivationsandequationsarewritteninaform,whichcanbehandledbyacomputer,sinceallfiniteelementanalysesaredoneonacomputer.ThefiniteelementequationsarederivedusingDirectEquilibriummethod.本文提供的分析过程将一模一样,用于复杂的结构性问题,除了在以下例如中,所有的计算将手算进行,这样可以清楚地理解每一步的分析。所有方程的推导都是由计算机处理的形式编写的,因为所有的有限元分析都是在计算机上完成的。有限元方程导出可直接使用平衡方法。Twospringsareconnectedinserieswithspringconstantk1,andk2(lb./in)andaforceF(lb.)isapplied.Findthedeflectionatnodes2,and3.两个串联链接的弹簧其弹簧常数为k1和k2(磅/)以及一个力F(磅)。求在节点的挠度。Solution:Forfiniteelementanalysisofthisstructure,thefollowingstepsarenecessary:Step1:Derivetheelementequationforeachspringelement.Step2:Assembletheelementequationsintoacommonequation,knowsastheglobalorMasterequation.Step3:Solvetheglobalequationfordeflectionatnodes1through3解:这种结构的有限元分析,以下步骤是必要的:步骤1:为每个弹簧元件方程推导出元素。步骤2:组装元素到一个共同的方程,知道整体的或者主方程。步骤3:求出在节点1到3全局挠曲方程Detaileddescriptionofthesestepsfollows.详细描述这些步骤。Step1:Derivetheelementequationforeachspringelement.步骤1:为每个弹簧元件方程推导。First,ageneralequationisderivedforanelementethatcanbeusedforanyspringelementandexpressedintermsofitsownforces,springconstant,andnodedeflections,asillustratedinfigure2.2.首先,一般方程导出为一个元素,可用于任何弹簧元件和表达自己的组合,弹簧常数,和节点变位,如图2.2所示。Element‘e’canbethoughtofasanyelementinthestructurewithnodesiandj,forcesfiandfj,deflectionsuianduj,andthespringconstantke.Nodeforcesfiandfjareinternalorcesandaregeneratedbythedeflectionsuiandujatnodesiandj,respectively.元素“e”可以被认为是结构中的任何元素节点i和j,组合fi和fj,变位ui和uj,弹簧常数ke。节点fi和fj和由变位生成ui和uj节点iForalinearspringf=ku,and对于一个线性弹簧f=ku,fi=ke(uj–ui)=-ke(ui-uj)=-keui+平衡方程:fj=-fi=ke(ui-uj)=keui-k或-fi=keui-k-fj=-keui+kWritingtheseequationsinamatrixform,weget写出这些方程的矩阵形式,我们得到:Element〔元素〕1:力矩阵上的上标表示相应的元素因此f1=-k1(u1–u2)f2=k1(u1-u2)f2=-k2(u2–u3)f3=k2(u2-u3)这就完成第一步的过程。Notethatf3=F(lb.).Thiswillbesubstitutedinstep2.Theaboveequationsrepresentindividualelementsonlyandnottheentirestructure.请注意,f3=F(磅)。这将是在步骤2中代替。上面的方程表示仅单个元素,而不是整个结构。Step2:Assembletheelementequationsintoaglobalequation.步骤2:组装元素方程为全局方程。Thebasisforcombiningorassemblingtheelementequationintoaglobalequationistheequilibriumconditionateachnode.结合或组装元素的根底方程为全局方程是每个节点的平衡条件。Whentheequilibriumconditionissatisfiedbysummingallforcesateachnode,asetoflinearequationsiscreatedwhichlinkseachelementforce,springconstant,anddeflections.Ingeneral,lettheexternalforcesateachnodebeF1,F2,andF3,asshowninfigure2.3.Usingtheequilibriumequation,wecanfindtheelementequations,asfollows.满足平衡条件时,通过总结所有部队在每个节点,创立一组线性方程联系每个元素力,弹簧常数,变形量。一般来说,让每个节点的外部力量F1,F2,F3,如图2.3所示。使用平衡方程,我们可以找到方程的元素,如下所示。Thesuperscript“e”inforcefn(e)indicatesthecontributionmadebytheelementnumbere,andthesubscript“n”indicatesthenode“n”atwhichforcesaresummed.力fn〔e〕中的上标“e”表示元素号e,下标“n”表示力相加的节点“n”。Rewritingtheequations,weget,重写方程,我们得到,k1u1–k1u2=F1-k1u1+k1u2+k2u2–k2u3=F2(2.1)-k2u2+k2u3=F3Theseequationscannowbewritteninamatrixform,givingk1-这些方程可以写成矩阵形式,代入k1-Thiscompletesstep2forassemblingtheelementequationsintoaglobalequation.Atthisstage,someimportantconceptualpointsshouldbeemphasizedandwillbediscussedbelow.这将完成组装的步骤2元素方程为全局方程。在这个阶段,一些重要的概念点应该强调,将在下面讨论。2.3.1ProcedureforAssemblingElementstiffnessmatrices元素刚度矩阵的步骤〔就是把刚度变到了多维,比考虑了在多维的情况下各个维度的相关性单元刚度矩阵在有限元的概念把物体离散为多个单元分析每个单元的刚度矩阵也就是单元刚度矩阵简称单刚〕Thefirsttermonthelefthandsideintheaboveequationrepresentsthestiffnessconstantfortheentirestructureandcanbethoughtofasanequivalentstiffnessconstant,givenasasinglespringelementwithavalueKeqwillhaveanidenticalmechanicalpropertyasthestructuralstiffnessintheaboveexample.第一项左边在上面的方程代表了整个结构的刚度常数和可以被认为是一个等效刚度常数,给定为具有值为Keq的单个弹簧元件将具有与上述例如中的结构刚度相同的机械特性,结构刚度在上面的例子中。Theassembledmatrixequationrepresentsthedeflectionequationofastructurewithoutanyconstraints,andcannotbesolvedfordeflectionswithoutmodifyingittoincorporatetheboundaryconditions.Atthisstage,thestiffnessmatrixisalwayssymmetricwithcorrespondingrowsandcolumnsinterchangeable组装的矩阵方程表示没有任何约束的结构的偏转方程,并且不能解出偏转而不修改它以并入边界条件。在这个阶段,刚度矩阵总是对称的,相应的行和列是可互换的Theglobalequationwasderivedbyapplyingequilibriumconditionsateachnode.Inactualfiniteelementanalysis,thisprocedureisskippedandamuchsimplerprocedureisused.全局方程是通过在每个节点应用平衡条件得到的。在实际的有限元分析中,跳过该过程并且使用更简单的过程。Thesimplerprocedureisbasedonthefactthattheequilibriumconditionateachnodemustalwaysbesatisfied,andindoingso,itleadstoanorderlyplacementofindividualelementstiffnessconstantaccordingtothenodenumbersofthatelement.更简单的程序是基于每个节点处的平衡条件必须始终满足的客观事实,并在这一过程中,它会导致有序放置单独的元素刚度常数根据元素的节点的数量。Theprocedureinvolvesnumberingtherowsandcolumnsofeachelement,accordingtothenodenumbersoftheelements,andthen,placingthestiffnessconstantinitscorrespondingpositionintheglobalstiffnessmatrix.Followingisanillustrationofthisprocedure,appliedtotheexampleproblem.过程包括编号每个元素的行和列,根据元素的节点数量,然后,将刚度常数在全局刚度矩阵对应的位置。下面是这个过程的一个说明,应用的例如问题。Element1:元素1Assemblingitaccordingwiththeabove-describedprocedure,weget,由上述程序组装它得到,Notethatthefirstconstantk1inrow1andcolumn1forelement1occupiestherow1andcolumn1intheglobalmatrix.Similarly,forelement2,theconstantk2inrow2andcolumn2occupiesexactlythesameposition(row2andcolumn2)intheglobalmatrix,etc.注意,第一个常数k1在第一行和第一列元素1占据全局第一行和第一列矩阵。同样,对于元素2,第2行和列2中的常数k2占据了完全相同的位置(第二行和列2)在全局矩阵,等等。Inalargemodel,thenodenumberscanoccurrandomly,buttheassemblyprocedureremainsthesame.It’simportanttoplacetherowandcolumnelementsfromanelementintotheglobalmatrixatexactlythesamepositioncorrespondingtotherespectiverowandcolumn.在大型模型中,节点随机数字可以发生,但装配程序是相同的。重要的是要将从一个元素的行和列元素融入全局矩阵在完全相同的位置对应于相应的行和列。2.3.2Forcematrix力矩阵Atthisstage,theforcematrixisrepresentedinageneralform,withunknownforcesF1,F2,andF3在这个阶段,力矩阵的一般形式表示,F1与未知的力量,F2和F3Representingtheexternalforcesatnodes1,2,and3,ingeneralterms,andnotintermsoftheactualknownvalueoftheforces.Intheexampleproblem,F1=F2=0andF3=F.Theactualforcematrixisthen代表外部力量在节点1、2和3,在一般条款,而不是实际的值的力量。在例如问题,F1==0F2和F3=f.实际力矩阵Generally,theassembledstructuralmatrixequationiswritteninshortas{F}=[k]{u},orsimply,F=ku,withtheunderstandingthateachtermisanmxnmatrixwheremisthenumberofrowsandnisthenumberofcolumns.一般来说,组装结构矩阵方程简写为{F}=[k]{u},或简单地,F=ku,每个术语的理解是一个m×n矩阵m和n的行数的列数。Step3:Solvetheglobalequationfordeflectionsatnodes.步骤3:解决全局方程在节点变位。Therearetwostepsforobtainingthedeflectionvalues.Inthefirststep,alltheboundaryconditionsareapplied,whichwillresultinreducingthesizeoftheglobalstructuralmatrix.Inthesecondstep,anumericalmatrixsolutionschemeisusedtofinddeflectionvaluesbyusingacomputer.AmongthemostpopularnumericalschemesaretheGausseliminationandtheGauss-Sedeliterationmethod.Forfurtherreading,refertoanynumericalanalysisbookonthistopic.Inthefollowingexamplesandchapters,allthematrixsolutionswillbelimitedtoahandcalculationeventhoughtheactualmatrixinafiniteelementsolutionwillalwaysuseoneofthetwonumericalsolutionschemesmentionedabove.有两个步骤可得到的挠度值。在第一步中,所有的应用边界条件,这将导致减少整体结构性矩阵的大小。在第二步中,数值矩阵的解决是使用电脑查找挠度值。最受欢送的是高斯消去法和数值方案Gauss-Sedel算法。为进一步阅读,指的是任何数值分析有关此主题的书。下面的例子和章节,所有的矩阵计算解决方案将是有限的手虽然实际矩阵在有限元的解决方案总是使用上面提到的两个数值解方案之一。2.3.3Boundaryconditions边界条件Intheexampleproblem,node1isfixedandthereforeu1=0.Withoutgoingintoamathematicalproof,itcanbestatedthatthisconditioniseffectedbydeletingrow1andcolumn1ofthestructuralmatrix,therebyreducingthesizeofthematrixfrom3x3to2x2.在问题的例子中,节点1是固定的,因此u1=0。在不进入数学证明的情况下,可以说,该条件通过删除结构矩阵的行1和列1来实现,从而将矩阵的大小从3×3减小到2×2。Ingeneral,anyboundaryconditionissatisfiedbydeletingtherowsandcolumnscorrespondingtothenodethathaszerodeflection.Ingeneral,anodehassixdegreesoffreedom(DOF),whichincludethreetranslationsandthreerotationsinx,yandzdirections.一般来说,通过删除对应于具有零偏转的节点的行和列,满足任何边界条件。节点具有六个自由度〔DOF〕,其包括在x,y和z方向上的三个平移和三个旋转。Intheexampleproblem,thereisonlyonedegreeoffreedomateachnode.Thenodedeflectsonlyalongtheaxisofthespring.在例如问题中,在每个节点处只有一个自由度,即节点仅沿着弹簧的轴线偏转。Inthissection,thefiniteelementanalysisprocedureforaspringstructurehasbeenstablished.Thefollowingnumericalexamplewillutilizethederivationandconceptsdevelopedabove.在本节中,已经建立了用于弹簧结构的有限元分析程序。下面的数字例如将利用上面得到的推导和概念。Example2.2例2.2Inthegivenspringstructure,k1=20lb./in.,k2=25lb./in.,k3=30lb./in.,F=5lb.Determinedeflectionatallthenodes.在给定的弹簧结构,k1=20磅/。k2=25磅/。,k3=30磅/。F=5磅。在所有节点确定挠度。Solution〔解〕Wewouldapplythethreestepsdiscussedearlier.我们将使用前面讨论的三个步骤。Step1:DerivetheElementEquations步骤1:方程推导出元素。Asderivedearlier,thestiffnessmatrixequationsforanelementeis,如前所述,元素e的刚度矩阵方程是Therefore,stiffnessmatrixofelements1,2,and3are,因此,元素1,2和3的刚度矩阵为Step2:Assembleelementequationsintoaglobalequation步骤2:将子方程组装为全局方程Assemblingthetermsaccordingtotheirrowandcolumnposition,weget根据他们的行和列的位置装配条件,我们得到Or,bysimplifying或者,通过简化Theglobalstructuralequationis,全局结构方程为,Step3:Solvefordeflections第三步:求解变形量First,applyingtheboundaryconditionsu1=0,thefirstrowandfirstcolumnwilldropout.Next,F1=F2=F3=0,andF4=5lb.Thefinalformoftheequationbecomes,首先,应用边界条件u1=0,第一行和第一列将被化简。接下来,F1=F2=F3=0,F4=5磅。方程的最终形式为,Thisisthefinalstructuralmatrixwithalltheboundaryconditionsbeingapplied.Sincethesizeofthefinalmatricesissmall,deflectionscanbecalculatedbyhand.Itshouldbenotedthatinarealstructurethesizeofastiffnessmatrixisratherlargeandcanonlybesolvedwiththehelpofacomputer.Solvingtheabovematrixequationbyhandweget,这是应用所有边界条件的最终结构矩阵。由于最终矩阵的尺寸小,可以手算偏转。应当注意,在实际结构中,刚度矩阵的大小相当大,并且只能借助于计算机来求解。用手算求解上述矩阵方程,Example2.3Inthespringstructureshownk1=10lb./in.,k2=15lb./in.,k3=20lb./in.,P=5lb.Determinethedeflectionatnodes2and3.例2.3所示的弹簧结构中k1=10磅/英寸。k2=15磅/英寸。,k3=20磅/英寸。P=5磅。确定挠度在节点2和3。Solution:Againapplythethreestepsoutlinedpreviously.Step1:FindtheElementStiffnessEquations解决方案:再次应用前面所述的三个步骤。第一步:找到元素刚度方程Step2:FindtheGlobalstiffnessmatrix步骤二:获得整体刚度矩阵Nowtheglobalstructuralequationcanbewrittenas现在全局结构方程可以写成Step3:SolveforDeflections步骤3:解决变形量Theknownboundaryconditionsare:u1=u4=0,F3=P=3lb.Thus,rowsandcolumns1and4willdropout,resultinginthefollowingmatrixequation,的边界条件是:u1=u4=0,F3=P=3lb。因此,行1和列4将化简,得到以下矩阵方程,Solving,wegetu2=0.0692&u3=0.1154求解,我们得到u2=0.0692&u3=0.1154Example2.4〔例2.4〕Inthespringstructureshown,k1=10N/mm,k2=15N/mm,k3=20N/mm,k4=25N/mm,k5=30N/mm,k6=35N/mm.F2=100N.Findthedeflectionsinallsprings.在所示的弹簧结构中,k1=10N/mm,k2=15N/mm,k3=20N/mm,k4=25N/mm,k5=30N/mm,k6=35N/mm。F2=100N.求所有弹簧的挠度。Solution〔解〕Hereagain,wefollowthethree-stepapproachdescribedearlier,withoutspecifically
mentioningateachstep.在这里,我们遵循前面描述的三步方法,没有特别提及每一步。Theglobalstiffnessmatrixis,整体刚度矩阵为:Andsimplifying,weget〔简化后得到〕Andthestructuralequationis,(结构方程为)Now,applytheboundaryconditions,u1=u4=0,F2=100N.Thisiscarriedoutbydeletingtherows1and4,columns1and4,andreplacingF2by100N.Thefinalmatrixequationis,现在,应用边界条件u1=u4=0,F2=100N.这通过删除行1和4,列1和4,以及令100N替换F2来执行。最终的矩阵方程是Whichgives〔给出〕Deflections〔变形量〕Spring〔弹簧〕1:u4–u1=0Spring2:u2–u1=1.54590Spring3:u3–u2=-0.6763Spring4:u3–u2=-0.6763Spring5:u4–u2=-1.5459Spring6:u4–u3=-0.86962.3.4BoundaryConditionswithKnownValues具有值的边界条件Uptonowwehaveconsideredproblemsthathaveknownappliedforces,andnoknownvaluesofdeflection.到目前为止,我们已经考虑了施加的力的问题,并且没有的变形量。Nowwewillconsidertheprocedureforapplyingtheboundaryconditionswhere,deflectionsonsomenodesareknown.现在我们将考虑应用边界条件的过程,其中某些节点上的变形量。Solutionsoftheseproblemsarefoundbygoingthroughsomeadditionalsteps.Asdiscussedearlier,afterobtainingthestructuralglobalmatrixequation,deflectionsarefoundbysolvingtheequationbyapplyinganumericalschemeinacomputersolution.通过一些附加步骤找到这些问题的解决方案。如前所述,在获得结构全局矩阵方程之后,通过在计算机解中应用数值方案求解方程来找到变形量。However,whenthereareknownnodalvaluesandunknownnodalforces,themethodisnotdirectlyapplicable.然而,当存在的节点值和未知节点力时,该方法不能直接应用。Inthissituation,thestructuralequationisfirstmodifiedbyincorporatingallboundaryconditionsandthenthefinalmatrixequationissolvedbyacomputerusinganumericalmethod,asmentionedearlier.在这种情况下,首先通过结合所有边界条件来修改结构方程,然后如前所述通过计算机使用数字方法求解最终的矩阵方程。Thefollowingproceduretracesthenecessarystepsforsolvingproblemsthatinvolveknownnodalvalues.以下过程描述了解决涉及节点值的问题的必要步骤2.3.5ProcedureforincorporatingtheknownNodalValuesintheFinalStructuralEquation/用于将节点值并入最终结构方程Therearetwomethodsthatarefrequentlyusedforapplyingboundaryconditionstoastructuralmatrixequation.Inonemethod,thematricesarepartitionedintotwopartswithknownandunknownterms.Inthesecondmethod,theknownnodalvaluesareapplieddirectlyinthestructuralmatrix.Bothmethodscanbeusedwithequaleffectiveness.Thefirstmethodwillnotbediscussedhere.Detailsofthesecondmethodfollow.有两种方法经常用于将边界条件应用于结构矩阵方程。在一种方法中,矩阵被分成具有和未知项的两个局部。在第二种方法中,的节点值直接应用在结构矩阵中。这两种方法可以同等效力地使用。第一种方法将不在这里讨论。第二种方法的细节如下。Considerthefollowinglinearequations,考虑下面的线性方程,k11u1+k12u2+k13u3+k14u4=F1(2.2)k21u1+k22u2+k23u3+k24u4=F2(2.3)k31u1+k32u2+k33u3+k44u4=F3(2.3)k41u1+k42u2+k33u3+k44u4=F4(2.4)Theselinearalgebraicequationscanbewritteninmatrixformasfollows.这些线性代数方程可以写成如下的矩阵形式。Lettheknownnodalvalueatnode2beu2=U2(aconstant),thenbythelinearspringequation令节点2处的节点值为u2=U2〔常数〕,然后通过线性弹簧方程F2=K22×U2Therefore,equation(2.2–2.5))abovecanbereducedtok22u2=k22U2=F2andthematrixwiththisboundaryconditioncanbewrittenas因此,上述方程〔〕〕可以简化为k22u2=k22U2=F2,具有这种边界条件的矩阵可以写为Now,equations2.2,2.4,2.5alsocontaintheu2termandthereforetheseequationsmustalsobemodified.Wecanmodifyequation1bytransferringthetermk12u2totherighthandsideandreplacingu2byU2.现在,方程式2.2,2.4,2.5也包含u2项,因此这些方程式也必须修改。我们可以通过将项k12u2转移到右手侧并将u2替换为U2来修改方程1Themodifiedequationcanbewrittenas修改后的方程可写为K11u1+0+k13u3+k14u4=F1–k12U2Similarly,equations3and4canbewrittenas类似地,等式3和4可以写为K31u1+0+k33u3+k34u4=F3–k32U2K41u1+0+k43u3+k44u4=F4–k42U2Thefinalmatrixequationis最终的矩阵方程是Thedottedlineindicateschangesmadeintheenclosedterms.Thefinalmatrixremainssymmetricandhasthesamesize.虚线表示在所包含的项中进行的改变。最终的矩阵保持对称并且具有相同的大小。Theboundaryconditionsforforcescannowbeincorporatedandanumericalsolutionschemecanbeusedtosolvethisequation.现在可以结合力的边界条件,并且可以使用数值解方案来求解该方程。Thisprocedureissummarizedinthefollowingsimple,step-by-stepapproach.这个过程总结在以下简单、逐步的方法中。Giventheknownboundaryconditionsatnode2:ui=u2=U2,followthesestepstoincorporatetheknownnodalvalues.Notethat,here,i=2andj=1,2,3,4.给定节点2处的边界条件:ui=u2=U2,遵循这些步骤以合并节点值。注意,这里,i=2和j=1,2,3,4。Step1:Setalltermsinrow2tozero,exceptthetermincolumn2(kij=0,kii=k22≠0)步骤1:除了第2列中的项〔kij=0,kij=k22≠0〕,将第2行中的所有项设置为零,Step2:ReplaceF2withthetermk22U2(Fi=kiiui)步骤2:将F2替换为项k22U2〔Fi=kiiui〕Step3:Subtractthevalueki2U2fromalltheforces,exceptF2(subtractkjifromtheexistingvaluesoffj),wherei=1,3,and4步骤3:从除了F2之外的所有力中减去值ki2U2〔从fj的现有值中减去kji〕,其中i=1,3和4Step4:Setalltheelementsincolumn2tozero,except,row2(allkji=0,kii#0)步骤4:将第2列中的所有元素设置为零,除了第2行〔所有kji=0,kii#0〕Theaboveprocedurenowwillbeappliedinthefollowingexampleproblem.以上过程现在将应用于以下例如问题。Example〔例〕2.5Inexampleproblem2.4replacetheforceFbyanodaldeflectionof1.5mmonnode2andreworktheproblem.在例如问题2.4中,通过节点2上的1.5mm的节点偏移来替换力F,并且重做该问题。Solution〔解〕Rewritingthefinalstructuralmatrixequationinexample2.4,wehave重写例2.4中的最终结构矩阵方程,我们得到Boundaryconditionare:u1=u4=0,andu2=U2=1.5mm.Applyingthe4stepsdescribedaboveinsequence,边界条件是:u1=u4=0,u2=U2=1.5mm。顺序应用上述4个步骤,Step1:Setalltermsinrow2tozero,exceptthetermincolumn2(kij=0,kii=k22≠0)步骤1:除了第2列中的项〔kij=0,kij=k22≠0〕,将第2行中的所有项设置为零,Step2:ReplaceF2withthetermk22U2=(90)(1.5)=135,(Fi=Kiiui)步骤2:用项k22替换F2U2=〔90〕〔1.5〕=135,〔Fi=Kiiui〕Step3:Subtractthevaluek22U2fromalltheforces,exceptF2(subtractkjifromtheexistingvaluesoffj)步骤3:从除了F2之外的所有力中减去值K22U2〔从fj的现有值中减去kji〕F1→F1–(15)(1.5)=22.5Row(行)1:kj2=k12=-15F3→F3–(-45)(1.5)=67.5Row(行)1:kj2=k32=-45F4→F4–(-30)(1.5)=45Row(行)1:kj2=k42=-30Note(注释):F1=F3=F4=0.Thenewforceequationnowis,得到的新的力学方程是Step4:Setalltheelementsincolumn2tozero,except,row2(allkji=0,kii≠0)步骤4:将第2列中的所有元素设置为零,除了第2行〔所有kji=0,kii≠0〕Or,k12=k32=k42=0,andthenewequationis,或者,k12=k32=k42=0,并且新方程是,Thisisthefinalequationafterthenodalvalueu2=1.5mmisincorporatedintothestructuralequation.将节点值u2=1.5mm的最终方程并入结构方程中。Thesameprocedurecanbefollowedfortheboundaryconditionsu1=u4=0.Itcanbestatedthatforzeronodalvalues,theprocedurewillalwaysleadtoeliminationofrowsandcolumnscorrespondingtothesenodes,thatis,thefirstandfourthrowsaswellascolumnswilldropout.Thereaderisencouragedtoverifythisstatement.对于边界条件u1=u4=0可以遵循相同的过程。可以说,对于零节点值,过程将总是导致消除与这些节点相对应的行和列,即第一和第四行以及列将化简消除。鼓励读者核实此声明Thus,thefinalequationis,最后的方程是,Solvingforu2andu3,weget求解u2和u3,我们得到Springdeflectionis:弹簧的变形量:弹簧Spring1:u2–u1=1.500Spring2:u3–u1=0.8437Spring3:u3–u2=-0.6563Spring4:u3–u2=-0.6563Spring5:u4–u2=-1.500Spring6:u4–u3=-1.68752.3.6StructuresthatcanbeModeledUsingaSpringElements可以使用弹簧元素建模的结构Asmentionedearlier,almostallengineeringstructures(linearstructures)aresimilartoalinearspring,satisfyingtherelationF=ku.Therefore,anystructurethatdeflectsonlyalongitsaxialdirection(withonedegreeoffreedom)canbemodeledasaspringelement.Thefollowingexampleillustratesthisconcept.如前所述,几乎所有工程结构〔线性结构〕类似于线性弹簧,满足关系F=ku。因此,任何仅沿其轴向方向〔具有一个自由度〕偏移的结构可以被建模为弹簧元件。以下例如说明了此概念。Example(例)2.6Acircularconcretebeamstructureisloadedasshown.Findthedeflectionofpointsat8”,16”,andtheendofthebeam.E=4x106如下图装载圆形混凝土梁结构。找到在8,16和梁的端部的点的挠度。E=4×106Solution〔解〕Thebeamstructurelooksverydifferentfromaspring.梁结构看起来与弹簧区别很大。However,itsbehaviorisverysimilar.但是,它的行为非常相似。Deflectionoccursalongthex-axisonly.仅沿x轴发生变形。Theonlysignificantdifferencebetweenthebeamandaspringisthatthe
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