2023-2024学年江苏省南京高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京高二上册期末数学模拟试题

一、单选题（共8题）

L设相为实数,已知直线4：2》+3丁-2=0,4：祗+（2加7R+l=0,若〃/£则wj

的值为O

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】利用两直线的方程及平行关系，列式计算作答.

【详解】直线4：2x+3y-2=0,l2-.mx+（2m-1）^+1=0,且〃/乙，则有

生=2HL解得%=2,

23-2

所以机的值为2.

故选：B

2.设S,,为等差数列｛α,,｝（wwN*）的前"项和，若Sg=27,则4+%,=（）

A.9B.6C.3D.0

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式及等差数列性质计算作答.

［详解］等差数列｛%｝（〃eN*）的前〃项和为Sn,则Sq=9（%广）=27,解得％+%=6,

所以4+4=q+%=6.

故选：B

3.过点（3,2）且与椭圆3χ2+8/=24有相同焦点的双曲线方程为O

【正确答案】D

r2V294

【分析】设双曲线的方程为二-一J=I,再代点解方程二-----=1即得解.

a25-a2a25-a-7

22

【详解】解：由3/+8/=24得上+乙=I,

83

所以椭圆的焦点为(石,o),(-7?,0).

22

设双曲线的方程为二-一UF=1，

a25-a2

因为双曲线过点(3,2),

所以双曲线的方程为工-乙=1.

32

故选：D

4.如图，己知函数兀V)的图像在点尸(2J(2))处的切线为/,则/(2)+/'⑵=()

【正确答案】D

【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算/(2)+∕'(2).

【详解】由图像可得，切线过点(0,4)和(4,0),切线斜率为左=士，=一1,/(2)=-1,

切线方程为(+]=1,则切点坐标为(2,2),有/(2)=2,

所以/(2)+∕'(2)=2-I=L

故选：D.

5.直线y=2x+m与曲线9=，4—/恰有两个交点,则实数〃?取值范围是O

A.[-4,4]B.[4,2√5)C.(-2√5,4]D.[-2,4]

【正确答案】B

【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】曲线y="∑P^表示圆f+y2=4在X轴的上半部分,

当直线歹=2x+∕w与圆χ2+「=4相切时2,解得=+2∖∣5，

当点(-2,0)在直线y=2X+∕H上时，m=4,可得4≤m<2j5,

所以实数〃?取值范围为［4,26).

故选：B.

6,中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造

,

颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中,Aι+lBιlAiAi,

2

44=4+∣4+/i=ι,2,3,4),且数列(i=1,2,3,4)是第二项为I的等差数歹U.若以

4为坐标原点，以耳瓦，瓦%分别为X,y轴正方向建立平面直角坐标系，则直线44的

斜率为()

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

【正确答案】A

2A1,2

【分析】根据数列1,2,3,4)是第二项为W的等差数列可得送令

A2B2=5t,则根据题干可得：44=&4+1=5∕(i=1,2,3,4),再根据等差数列的性质即

可求解.

4B,2

【详解】由题意可知：二噎=£，令4与=5/，AiB2=2t,因为

4耳=4a(i=1,2,3,4),

所以4我=4+出+1=夕。=1,2,3,4),

4Bɔ

因为数列⅛iMi=1,2,3,4)是第二项为W的等差数列,

力65

AB,2,2—5d

设公差为d,则-T1U=W-d=一^，因为∕4=5f,所以4g=2∕-5力，

AxDxJJ

同理4员=2£+5力,

4B∣+A3B2+4B32/二54±2/±2/+54=里=9=04

则直线44的斜率4

A1B1÷A2B1÷A3B33x5/15/15

故选.A

X—eʌ+2,X≤O

7.设。为实数，若函数/(x)=41,有且仅有一个零点，则。的取值范围是

—X-4x+α,x〉O

13

()

16

B.—∞,——CD.

3∙(PH

【正确答案】C

【分析】利用导数分析函数/(X)的单调性，利用零点存在定理可知函数/(X)在(-8,0］上

只有一个零点，则函数/(x)在(0,+e)上无零点，并利用导数分析函数/(x)在(0,+8)上

的单调性，可得出关于实数。的不等式，解之即可.

【详解】当χ≤0时，/(x)=x-e*+2,则/'(X)=I-e'20且/'(x)不恒为零，

所以，函数/(x)在(-8,0］上单调递增，所以，/(x)≤∕(0)=2-l=l,

又因为/(-2)=-e<<0,所以，函数/(x)在(—8,0］上只有一个零点；

因为函数/(x)只有一个零点，则函数/.(X)在(0,+e)上无零点，

则当x>0时，/(x)=→3-4x+a,则/'(X)=X2-4,

由广(x)<0可得0<x<2,由/心)>0可得x>2.

所以，函数/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以，只需/(2)=a—g>0,解得4>^∙

故选：C.

√V2

8.已知点尸为双曲线C：彳一彳=l(4>0,b>0)右支上一点，耳,弱分别为C的左，右

ab~

焦点，直线P片与C的一条渐近线垂直，垂足为“，若归川=川班则该双曲线的离心

率为（）

A.叵B.应CTD.ɪ

3333

【正确答案】C

【分析】

取的中点连接烟，由条件可证明孙J∙P6,说明IP闾=2c,利用点到直线

的距离求∣0"∣=α,AO”耳中，根据勾股定理可得/+（等）=。2,整理为

3c2-2ac-5a2=O，再求双曲线的离心率.

【详解】取P片的中点连接M4，由条件可知I班I=TPGl=JM£|,

••,0是耳耳的中点，，。"//5

又•/OH1PF1,:.MF2±PR

.∙.∖FlF2∖=∖PF2∖=2c,

根据双曲线的定义可知∖PF↑=2a+2c,

・•.I班I=等,

直线P耳的方程是：y=—（x+c）,即αx—"+αc=O,

b

原点到直线的距离|。"I=&匚=4,

√a2+〃

.•.△OS中，a2+[^^∖=C2,

整理为：3C2-2ac-5a2=O，

即3e2-2e-5=0，

解得：e=2,或e=-l（舍）

3

故选：C

本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲

线离心率的方法是1.直接法：直接求出4,c,然后利用公式e=£求解：2.公式法:

a

3.构造法：根据条件，可构造出4,c的齐次方程，通过等式

两边同时除以Y,进而得到关于e的方程.

二、多选题(共4题)

9.将y=∕(χ)和y=∕'(χ)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()

【分析】

根据函数的单调性与导函数符号之间的关系判断各选项中y=/(χ)和y=∕'(χ)的图象是

否合乎要求，同时也要注意特殊点处的导数值作为切线的斜率，由此可得出结论.

【详解】对于A选项，由函数y=∕'(x)的图象可知，/'(0)=0,但函数y=/(X)在X=O

处的切线斜率不存在，不合乎题意；

对于B选项，由函数y=∕'(χ)的图象可知，函数y=∕(χ)存在增区间，但B选项的图中，

函数V=∕(x)为减函数，不合乎题意；

对于C选项，由函数y=∕'(χ)的图象可知，函数y=/(χ)在R上为增函数，合乎题意；

对于D选项，由函数y=∕'(x)的图象可知，函数y=∕(x)有两个单调区间，但D选项的

图中，函数y=∕(x)有三个单调区间，不合乎题意.

故选：ABD.

本题考查函数与导函数图象之间的关系，在判断时要注意导函数符号与函数单调性之间的联

系，考查推理能力，属于中等题.

22

10.已知直线y=x+l与椭圆C：工+匕=1交于A,8两点，若尸是直线48上一点，O

63

为坐标原点，则下列结论正确的有O

B

A.椭圆C的离心率乃

2

B.|阳=小

C.OALOB

D.若小月是椭圆C的左右焦点，则IP周尸凰≤2五

【正确答案】ABD

【分析】根据椭圆方程即可求离心率，从而判断A；根据直线与椭圆相交弦长求解公式，利

用“联消判韦”即可求得M用长，从而判断B；根据向量的数量积结合交点坐标关系即可

判断C；利用对称性，结合三角形三边关系即可得IPQITP最大值，从而判断D.

22

【详解】解：由椭圆C:二+匕=1知，a=6,b=3,则¢2=/-/=3,所以

63

a=瓜,b=也,c=∙∖β,故离心率e=£=^==

故A正确；

6f√62

设Z(XQl)，3(々，々)，则IX2y2，所以3X2+4x-4=O，则

I63

44

F+x2=--,x1x2=--

=√∑xj[-—4x]-g)=∙^,故B正确；

故卜

则

XXXXXX

OA.OB-xx+yy=xx2+(1+1)(2+1)=2,2+(I+2)+1=2×∣|+|I+1--3

12[2l∖ɔJ∖JJ

，所以OZ与08不垂直，故C不正确；

因为片,鸟是椭圆C的左右焦点，所以一百,o),g(G,o),若P是直线/3上一点，

如图：

F，0FIX

∕'I

%-01

-------j=∙L1=­1

、X3

设z则a,解得

设F2关于直线AB对称的点为E，E(XOJ°),J°

ʃɔ+O_x0+√3ιɪ

.2-2'

，工行Hp^(-l,l+√3^);

则IP居IT尸耳I=IPEITpEI,又由三角形三边关系可得|「目_|尸片区山目-山周

22

又同I=^(l+√3)+(-l+√3)=2后，即IPElTp耳∣≤2√∑,故D正确.

故选：ABD.

11.设S,为数列{〃■}(〃€N*)的前〃项和，则下列结论正确的有O

A.若｛〃“｝为等比数列，公比为g,则S20=(l+q")S,,

B.若｛αzl｝为等比数列，s,3p,q∈N,且。皿=%劭，贝∣Js+/=P+q

C.若｛为｝为等差数列，则:j(P为常数)仍为等差数列

D.若｛α.｝为等差数列，则必存在不同的三项沏，aq,ar,使得α∕=的α,∙

【正确答案】AC

【分析】对于A：直接公式代入验证即可；对于B：当公比q=1时，可排除；对于C：公式

代入，再定义证明即可；对于D：假设成立，推出夕=「可判断.

n

[详解】对于A：当q=1时，S?,,=2叫，(1+q)Sn=(l+l)nɑ,=2nal,/.S2n=(1+，)Sn；

当gγi时，S2"==q(i+0')(iT)=(i+∕)s,,故A正确；

∖-q∖-q

对于B：当公比q=l时，显然不成立，故B错误；

对于C：因为｛%｝为等差数列，设S“=2/+8〃(48是常数)，令凶=2，则

n

b„=pAn+pB,:也-b,T=pAn+pB-pA(n-1)-pB=pA,则｛∙^l｝为等差数歹!1.

故C正确；

对于D：假设必存在不同的三项劭，Clq,Clr,使得即2=劭④

.,.Qp~=[4+(P—l)d]*^=a；+2q(P—Y)d+(p—])~d~,

2

aqar=[a1+(q—l)d][(71+｛r-V)d=+al(q+r-2)d+(⅛-l)(r-l)d,

.*.Q；+2q(P—1)(7+(P-1)?d~=Q[+%(q+r_2)d+(q—ɪ)(r1—1)(72,

根据对应系数相等，可得∙∙∙2(p-l)=q+∕"-2,且(夕一1)2二g一1)(r一1),

.(q+;2)2=(q_])(,._]),即⑨―,.)2=0,即g=「，与4/不同矛盾.故D错误.

故选：AC.

12.在平面直角坐标系XOy中，已知产为抛物线V=X的焦点，点Z(XQJ在

UULUUJl

该抛物线上且位于X轴的两侧，OAOB=2'则()

A.x1x2=6B.直线过点(2,0)

C.A450的面积最小值是20D.AZBO与VNEO面积之和的最小

值是3

【正确答案】BCD

【分析】设48：x=my+n,联立方程后得关于N的一元二次方程，由韦达定理写出

UUIUlUCC

n977

yly2=->χ∣%2=""=〃，再由0/.08=2，即可得〃2—〃=2，再结合y%<0,

求解出〃=2,从而判断AB,再根据三角形面积公式表示出AZ8。与VNFO的面积，由基

本不等式可判断CD.

X=my+n

【详解】设48：x=my+n,,消X可得V_my_“=0.

y=X

2

yly2=-n,得XlX2=1，：方•砺=2，n-n=2>则〃=2或-1

Vy}y2<0,.∖n>0,：.n=2,xix2=4,故A错；

AB：X=〃少+2过(2,0),故B对；

设定点?(2,0),S“B。=+=；•2・闻+g•2也I

2

,

=IΛ-J2∣=ʃɪ+-≥2√2,当且仅当必=±、/5时，取等号，故C对；

y↑

又S"BO+S"F。=|必一切+<亚>J=E凹I，

Z4o

l

不妨设,>0,又为，,。)，SΔABO+SΛAFO^yl-y2+∣ʃ1=∙∣>1-y2≥2yJ-^yly2=3»

9

当且仅当‘μ=一外时，取等号，故D对.

8

故选：BCD.

解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关

系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

三，填空题(共4题)

13.设抛物线/=2PX(P>0)的焦点R,若抛物线上一点M(2,%)到点E的距离为6,则

Vo=—.

【正确答案】±4&

【分析】根据抛物线定义得p=8,由点M(2,%)在抛物线上，代方程即可解决.

【详解】由题知，抛物线V=2pχ(p>0)的焦点尸，抛物线上一点M(2,%)到点尸的距

离为6,

所以IMEl=2+5=6,得p=8,

所以抛物线为必=i6x,

所以J√=I6∙2=32,解得为=±4√Σ,

故土4√Σ

14.函数/("=——,则/'仔］=

【正确答案】y

TT

【分析】先根据导数除法法则求出导函数，然后将2代入求值，即可求出所求.

4

,,,COSX(SinX+cosX)-SinMCOSX-SinX)1

［详解］/'(X)=77√=^Γ.√^，

(SlnX+cosX)(sinx+cosx)

.∙./(I)=2，故答案为g.

本题考查基本函数的导数公式和两项商的导数公式，公式要记准记牢，训练运算能力，属基

础题.

15.设加为实数，已知函数/(x)=e=eτ+2sinx,则不等式/(2〃?)>/(阳—2)的解集

为______

【正确答案】(-2,+0))

【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数/O)的单调性，再利用单调性解不等式作答.

【详解】函数/(x)=e'-eτ+2sinx的定义域为R,求导得：∕,(x)=et+e^v+2cosx,

而8+—a27小b=2,当且仅当X=O时取等号，2cosx>-2,当且仅当

X=(2左一1)兀,左eZ时取等号，

因此/'(x)>0,即函数/(χ)在R上单调递增，则

/(2τn)>/(〃z-2)=2m>m-2<^>m>-2,

所以不等式/(2m)>,/(/«-2)的解集为(-2,+∞).

故(-2,+∞)

16.已知数列{α,,}(〃eN*)满足：an>0,其前〃项和S,,=文号二ɪ,数列

｛5｝(〃€1^满足”,=(一1广'」包，其前〃项和7；,设a为实数，若7；<4对任意

anan+∖

(〃eN)恒成立，则7的取值范围是.

【正确答案】(工,+8)

【分析】根据给定条件，求出数列｛《,｝的通项公式，进而求出”并裂项，再按“分奇偶求

出7；即可推理作答.

【详解】V〃eN*，%>0,且4S,=α,j+24—3,则当〃≥2时，4Si=+2%τ-3,

两式相减得4%="：_吮+2%_241，即(%—%τ)(4,,+%τ)=2(%+α,τ),

因止匕an-a“T=2,而4α∣=4S∣=a；+2%—3,即a：—2q—3=O,又q>O,解得％=3,

于是数列｛%｝是首项为3,公差为2的等差数列，即有。“=%+2(〃-1)=2〃+1,

b,=(-l)n+,—————=(-l)n+'∙-(—F,

l"(2〃+1)(2〃+3)42/?+12«+3

T_1"11\/11、/11、/11\/ɪ1、/1ɪ

T2n=1[(丁+Z)一《+∙)+匕+n^^⅛+力+…+匕---i-h7----；)_(41÷τ----ɔ)v.

43557799114?-14z+14?+14?+3

111、TT71Λ1、I,11、1/1、

434及+32w12〃2〃4'34〃+344〃+14〃+3434H+Γ

,

显然数列名,,｝是单调递增的，∀∕j∈N1与“<\，数列｛%,,τ｝是单调递减的，∀w∈N*，

2

因为∀“WN*,不等式(<4恒成立，则∀∕7WN*,不等式心“<丸且心〃一1<4恒成立，

122

因此丸≥—且丸〉—,即有力>—,

121515

2

所以4的取值范围是(ɪp+8).

故([,+S)

易错点睛：裂项法求和，注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被

消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

四、解答题(共6题)

17.已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切、切点为4(2,4).

(I)求圆C的方程；

(2)已知斜率为-1的直线/与圆C相交于不同的两点〃、N,若直线/被圆截得的弦MN

的长为14,求直线/的方程.

【正确答案】(I)(X-7)2+(y+l)2=50

(2)x+y-6+V∑=0或x+y-6-&=0

【分析】(1)根据垂直得到直线方程，设圆心为(α,-α+6),半径为，•，将两点带入圆方程

解得答案.

(2)设直线方程为V=r+b,计算圆心到直线的距离为d=l,根据点到直线的距离公式

得到答案.

【小问1详解】

直线χ-y+2=0斜率为1,故左£=一1,故直线/C方程为歹=一(X-2)+4=-x+6,

设圆心为(a,—α+6),半径为r,贝IJ(X—4)2+(y+α-6)2=/，

(-a)2+(a-6)2=r2[a=7

将原点和/(2,4)带入原方程得到《'I'',,解得《广，

(2-α)2+(4+α-6)2=r2[r=5√2

故原方程为.(x-7)2+(y+l)2=50

【小问2详解】

设直线方程为y=-χ+b,即x+y-b=0,

弦长为14,故圆心到直线的距离为d=√r2-72=√50-49=1，

∖7-l-h∖r.

即d=-22=L解得b=6±J∑,

√12+12

故直线方程为x+y-6+√Σ=0和x+y-6-√Σ=0.

18.已知数列｛«„｝(neN*)的各项均不为0,且满足

(1)求｛《,｝通项公式

(2)令4='+〃(〃GN*),求数列也｝的前〃项和为Z,.

4”

【正确答案】(1)a=——

"l-4n

If1Y«(»-l)

4m+F-

【分析】(I)根据递推公式，当〃=1时，直接求％,当“≥2时，用前〃项积除以前〃-1

项积的方法化简，可求｛%｝通项公式;

(2)bn=∖+n-∖,然后利用分组求和的方法即可求解.

【小问1详解】

当〃=1时，1+，=出，解得αl4

^3

当n≥2时由得

4

当〃=1时a=—满足,

l3

4”

所以4“

1一4"

【小问2详解】

1l-4π111

由(可知，--所以"“=一+〃=*+〃-1

1)-77π~ɪ1

an4"4an4

所以7L=["+可+((+1)+(.+2)+…—1

<111I)JCr/八1

=[不+不+不+…+不J+[1+2+3+…+("T)]

ι(1+n-1)(»-1)ifι-±L≤^12

23(4"J2

21

19.设。为实数，已知函数〃x)=§x3-](α+l)χ2+9

⑴讨论/(x)的单调性

(2)若过点(0,10)有且只有两条直线与曲线y=33-jα+ι)χ2+αχ+［相切，求。的值.

【正确答案】(1)答案见解析

(2)a=5

【分析】(1)求得/'(x)=2f-(α+l)χ,对实数。的取值进行分类讨论，分析导数的符

号变化，即可得出函数/(x)的增区间和减区间：

(2)设切点为“；(4+1)/+袱+1),利用导数写出切线方程，将点(0,10)的坐标

代入切线方程，可得出/(。=0,结合(2)中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于

。的等式，解之即可.

【小问1详解】

因为/(》)=：--；(。+1)/+9,则/"(x)=2χ2一(α+i)χ,

=,

由/'(x)=。可得Xl=0，X2~y^

①当手■=()时，即当α=-l时，对任意的XeR,/'(x"0且/'(x)不恒为零,

此时，函数/(x)的增区间为(-∞,+8),无减区间；

②当等<O时，即当a<—1时，由r(x)<O可得等<X<O,由/心)>0可得X<等

或x>0,

此时，函数/(x)的减区间为(gɪ,θ),增区间为［一℃,号ɪ)、(0,+∞)；

③当等>0时，即当a>—IH寸，由，(x)<0可得0<x<等，由/C(x)>O可得x<0或

+1

>

2

此时，函数/(x)的减区间为(θ,等)，增区间为(—8,0)、(等,+8

综上所述，当α=-l时，函数/(x)的增区间为(一叫+8),无减区间；

当a<—1时，函数/(x)的减区间为(等,θ),增区间为1—8,等)、(0,+∞);

当α>-l时，函数/(x)的减区间为(θ,gɪ),增区间为(一力,0)、∣±+oc)

【小问2详解】

解：设切点为卜,：『一；(4+1-2+m+]1,

对函数y=—](α+l)x~+ax+1求导得y'=—(α+l)x+α,

所以，切线方程为N—-e(a+1)广+αf+1=[厂—(α+1)/+a](x—/),

21

将点(0,10)的坐标代入切线方程整理可得5(a+1*2+9=0,即/(/)=0,

故关于f的方程/(7)=0有两个不等的实根，

①当“=-1时，函数在R上单调递增，则方程/(f)=0至多一个实根，不合乎题意；

②当〃<一1时，则/。)极小值=∕(0)=9>0,故当Z〉一■时，/(r)>0,

此时方程/(f)=0至多一个实根，不合乎题意；

③当a>—1时,则/(')极大值=/(0)=9>。，

则/(/)极大值=/(等)=9一5(。+1)3=°，解得。=5,合乎题意•

综上所述，α=5.

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出α=g(x),将问题等价转化为直线N=α与

函数y=g(χ)的图象的交点问题.

20.如图，曲线y=«下有一系列正三角形，设第〃个正三角形AQ,IE,Q,,(00为坐标原点)

的边长为%,

（2）记S“为数列｛α,,｝的前〃项和，探究a.与S“的关系，求｛4｝的通项公式.

24

【正确答案】（1）%=—,4=—；

33

2

⑵%=]”•

【分析】（1）根据给定条件，用用,外表示出点6,鸟的坐标，再代入曲线方程，计算作答.

（2）根据给定条件，利用4+∣与S,表示出点匕+1的坐标，代入曲线方程即可得a,,+∣与S”的

关系，再利用递推关系求出通项作答.

【小问1详解】

依题意，A以片。为正三角形，且∣QoQJ=q>O,观察图象得勺（；%,亭《）,而点片在曲

线y=y[x上，

即且q=JE，解得q=[,△。鸟①为正三角形，且1。©2卜的>0,点

2V23

巴（。1+；。2，管^。2）在曲线歹二«上，

生，整理得3蟾一2/一：二0,解得。2=；

24

所以Cli=—,CI）=一.

1323

【小问2详解】

△2月+©川是正三角形，点Q（S,,0）,∣QQ+"=α,川>0,于是点2M（S.+｝,.M,3%J

在曲线y=y[χ上，

a

则ɪn+∖=Js,,+；%'即Sn=ɪ匕|-ɪal,+i,当〃≥2时,Si=Han,

3ι3ι

λ

两式相减得：an=-^+1--aw+1-(-an~~^n)，整理得

/、、2、

(%+ι+%)(%+ι-%)=§(%+i+%)，

22田q2

则。〃=§，而。一％=§满足上式，因此ΛA=

4+1-2V"∈N*,M+1~N~>

222

即数列｛α,,｝是首项为6=§,公差的等差数列，a,,=ai+(n-∖)d=-n,

所以数列｛4｝的通项公式是4=：〃.

223

21.已知椭圆C：彳+%∙=l(α>b>0)的离心率为方，且过点(I,])

(1)求C的方程

(2)已知/,8是C的左右顶点，过右焦点尸且斜率不为0的直线交C于点"，N,直线

k.+k..

血W与直线尸4,交于点P,记Bl,PF,BN的斜率分别为左,右,左3，问二“，是否是定

尢2

值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由.

【正确答案】(1)—+^=1；

43

(2)2.

【分析】(1)根据给定的离心率及曲线过的点，求出6作答.

(2)根据已知，设出直线MN的方程，与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合直线Z"

与直线x=4交点尸的坐标，求出左2的表达式，即可计算推理作答.

【小问1详解】

椭圆C：0+｝=l(α>b>θ)的离心率为3，即'Y"=g,有4∙=(,又

1O

—7H----Z-=1,解得CT=4/2=3,

a钻

22

所以椭圆C的方程为—+^-=1.

43

【小问2详解】

由⑴知,4(—2,0),8(2,0),F(L0),设Ma,必)，％(々,为)，直线My的方程为X=啊+1,

由L2\2,C消去X并整理得，(3加2+4)/+6吵—9=0，则乂+%=—,—,

3x2+4y2=12`,刀/23〃/+4

-3，、

有叩I%=,%+%)，

直线/Miy=-¾(x+2)与直线χ=4交于点P(4,%)，则右=2¾,而《=-¾