山东省临沂市沂水区2023-2024学年数学九年级上册期末综合测试试题含解析

山东省临沂市沂水区2023-2024学年数学九上期末综合测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（）

A.120o,60oB.95o,105oC.30°,60oD.90°,90°

-3（%—2）≤4-x

3.不等式组∖l+2x的整数解有（）

------->%-1

I3

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）

A.主视图B.左视图

C.俯视图D.主视图和俯视图

5.若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”或，如756,326,那么从2,3,4这三个

数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为（）

111

A.-B.-C.-

653

6.点P（-2,4）关于坐标原点对称的点的坐标为（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.(2,-4)

7.若关于X的一元二次方程Y_3x+a=O的一个根是L则。的值为（）

A.-2B.1C.2D.O

8.如图，反比例函数），=人（左Wo）第一象限内的图象经过ΔA8C的顶点A，C,AB=AC,且，轴，点A，

X

C,的横坐标分别为1,3,若NB4C=120。，则攵的值为（）

10.若X=5是方程χ2-3x+∕w=0的一个根，则m的值是（）

A.-5B.5C.10D.-10

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A,B两点，点P的坐标为（4,2）,点A的坐标为（2,0）,则点B的坐标为

12.如图三角形ABC的两条高线BD,CE相交于点F,已知NABC等于60度，AB=a,CF=EF,则三角形ABC的

面积为（用含。的代数式表示）.

13.在本赛季CB4比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：17、15、21、28、12、19,则这组数据的方差为.

14.如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1）,则Sin（α+β）=_.

15.如图，平面直角坐标系中，已知。(0,0),A(-3,4),B(3,4),将AOAB与正方形A8C。组成的图形绕点

。顺时针旋转，每次旋转90。，测第70次旋转结束时，点。的坐标为.

3-777

16.已知反比例函数y=——,当x>0时，,随X的增大而增大，贝!)"的取值范围为.

X

17.一元二次方程χ2=x的解为.

18.连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：.

三、解答题(共66分)

19.(10分)已知关于X的方程/+以+〃一2=0。

(1)若该方程的一个根是-3,求。的值及该方程的另一个根；

2

(2)求证：不论。取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

20.(6分)如图1,NBAC的余切值为2,AB=2√5，点D是线段AB上的一动点(点D不与点A、B重合)，以点

D为顶点的正方形OEEG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG,并延长BG,交射

线EC于点P.

(1)点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量(填序号)；

①AE；②FP；③BP；(S)NBDG；@ZGACt@ZBPAi

(2)设正方形的边长为X,线段AP的长为y,求y与X之间的函数关系式，并写出定义域；

(3)如果ΔPFG与AAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

21.(6分)用适当的方法解下列方程:

(l)4x2-l=0;(2)3x2+χ-5=0;

k

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴上，点A在反比例函数y=*（x>0）的图象上,

X

63

点B在反比例函数/2=7（x>0）的图象上，AB交X轴与点E,S^OCBE=-S^ODAE.

（1）求k的值；

（2）若AC>=2,点P为y轴上一动点，当B4+PB的值最小时，求点P的坐标.

23.（8分）如图，菱形ABC。的边AB在X轴上，点A的坐标为（1,。），点。（4,4）在反比例函数y=&（尤>0）的

X

2

图象上，直线y=§x+人经过点C,与，轴交于点E,连接AC,AE.

（1）求。的值；（2）求AACE的面积.

24.（8分）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均

等.

（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；

（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

25.（10分）已知：在AABC中，点。、点E分别在边A5、AC上，S.DE//BC,BE平分NA3C.

(1)求证：BD=DEi

(2)若A5=10,Ao=4,求BC的长.

26.(10分)解方程：

(1)X2+2X-3=0；

(2)X(x+l)=2(x+l).

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.

【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故此选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故此选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故此选项正确；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形.故此选项错误.

故选C.

【点睛】

考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形

2、D

【分析】根据两个直角互补的定义即可判断.

【详解】解：互补的两个角可以都是直角，

.∙.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90。，90°,

故选：D.

考点：本题考查的是两角互补的定义

点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是18()。，则这两个角互补.

3、B

【分析】先解出不等式组的解集，然后再把所有符合条件的整数解列举出来即可.

【详解】解：解—3(x—2)≤4-X得χ≥l,

解一-—>xT得x<4,

3

二不等式组的解集为：l≤x<4,

整数解有1、2、3共3个，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的的解法，先分别求出各不等式的解集，注意化系数为1时，如果两边同时除以一个负

数，不等号的方向要改变；再求各个不等式解集的公共部分，必要时，可用数轴来求公共解集.

4、B

【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结

合图形即可作出判断.

解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图.

故选B.

5、C

【分析】首先将所有由2,3,4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可.

【详解】解：由2,3,4这三个数字组成的无重复数字为234,243,324,342,432,423六个，而“V”数有2个，即

324,423,

21

故从2,3,4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为一=上,

63

故选：C.

【点睛】

本题考查的是用列举法求概率的知识.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

6、D

【解析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案.

【详解】点P(-2,4)关于坐标原点对称的点的坐标为(2,-4),

故选D.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数.

7、C

【分析】根据方程的解的定义，把x=l代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可.

【详解】解：根据题意得：l-3+a=0

解得：a=l.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.

8、C

【分析】先表示出CD,AD的长，然后在RtAACD中利用NACD的正切列方程求解即可.

【详解】过点A作4)，BC,

Y点A、点C的横坐标分别为1,3,

且A,C均在反比例函数y=A第一象限内的图象上，

X

.∙.A(1,Z),C∣3,∣∣,

∖ɔ/

k

ΛCD=2,AD=k--,

3

o

VAB=AC9ZSAC=120,ADlBC9

；.ZACD=30o,NADC=90。，

∆n

VtanZACD=，

DC

ʌDC=>5AD,即2=也2-彳，"=√L

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题

的关键.

9、B

【解析】试题解析：已知点M(2,-3),

则点M关于原点对称的点的坐标是(-2,3),

故选B.

10、D

【分析】先把x=5代入方程3χ+m=()得到关于m的方程，然后解此方程即可.

【详解】解：把x=5代入方程χ2-3χ+〃?=0得至!]25-3x5+m=0,

解得m=-l.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、(6,0)

【详解】解：过点P作PM，AB于M,则M的坐标是(4,0)

ΛMB=MA=4-2=2,

【分析】连接AF延长AF交BC于G.设EF=CF=X,连接AF延长AF交BC于G.设EF=CF=x,因为BD、CE是

高，所以AG1,BC,由NABC=60°,ZAGB=90o,推出NBAG=30°,在Rt∆AEF中，由EF=x,NEAF=30°,

可得AE=√Ix在RtABCE中，由EC=2x,ZCBE=60o可得BE=苧x.由AE+BE=AB可得α+半x=α,代入

SAABC=g∙AB∙CE即可解决问题.

【详解】解：连接A尸延长AF交BC于G,设。产=EE=》,

BD、CE是高,

.∙.AG±BC,

NAfiC=60。，ZAGB=90。，

:.ZBAG=30°,

在RJAEr中，

EF=x,ZE4F=30o,

.,.AE=∖∣3x，

在&VBCE中,

EC=2x,NCgE=60°,

:.BE=-x,

3

,∕∑,2√3

..73xH-----X=Q9

3

,√3„„2√3

..x=——a，CE=-----a，

55

.CIdnEl2打√3

..SΔABC=—∙AB∙CE=-∙a-----a=——a2.

2255

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解题的关键.

13、25-.

9

【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解.

12

【详解】解：平均数=-(17+15+21+28+12+19)=18-

63

所以方差是S2=

I929222

-[(17-18-)2+(15-18-)2+(21-18-)2+(28-18-)2+(12-18-)2+(19-18-)2]

=25-

9

故答案为：25^.

【点睛】

本题考查方差：一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为元，则方差

S2='[(%—元)2+(马—可2+…+(X”—可[,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

14、出

7

【分析】连接〃C,构造直角三角形A3C,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质，得出N3CD=α=30°,NABC=90°,

从而。+尸=NAeB,分别求出AABC的边长，

【详解】如图,连接BC,

A

∙.∙上图是由10个小正三角形构造成的网格图，

.∙.任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形，

ΛZBCD=α=30o,NABC=90°,

Λa+β=ZACB,

∙.∙每个小正三角形的边长均为1,

.∖AB=2,

在RtZkOBC中，

.=空山6。。=6,

BD1

ΛBC=√3,

二在RtZ∖A5C中，

^C=y∣AB2+BC2=√4+3=√7>

AʃɔGr∖h

∙e∙sin(a+β)=SinZACB=-----=—==--------,

AC√77

故答案为:宜I.

7

【点睛】

本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义.

15、(3,-10)

【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6,进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转

结束时，相当于AOAS与正方形ASC。组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90。,即可得出此时D点坐标.

【详解】解：∙∙N(-3,4),3(3,4),

ΛAB=3+3=6,

Y四边形A5CD为正方形，

ΛAD=AB=G9

：.D(-3,10),

V70=4×17+2,

.∙.每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于AOAB与正方形ABe。组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋

转90。，此时D点与(-3,10)关于原点对称，

,此时点。的坐标为(3,-10).

故答案为：(3,-10).

【点睛】

本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键.

16、m>l

【分析】根据反比例函数y=土2,如果当χ>0时，y随自变量X的增大而增大，可以得到l-m<o,从而可以解答

X

本题.

【详解】解：•••反比例函数y=U,当χ>0时，y随X的增大而增大，

X

Λl-m<0,

解得，m>l,

故答案为：m>l.

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

17、xι=O,X2=l.

【解析】试题分析：首先把X移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案.

解：X2=X,

移项得：X2-χ=0,

Λx(x-1)=O,

x=0或X-1=0,

Λxι=O,X2=l.

故答案为Xl=O,X2=l.

考点：解一元二次方程•因式分解法.

18、1：1

DEEFDF1

【分析】证出DE、EF、DF是AABC的中位线，由三角形中位线定理得出一=——=——=—

BCABAC2

,证出ADEFsZkCBA,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

【详解】解：如图所示：

A

ε∆∆c

ɔPc

∙.∙D∖E、F分另！IAB、AC、BC的中点，

ΛDE>EF、DF是AABC的中位线，

111

ΛDE=-BC,EF=-AB,DF=-AC,

222

•DE_EF_DF__1

"5C-AB^AC^2

Λ∆DEF<^∆CBA,

.,.△DEF的面积：ACBA的面积=(L)2=_L.

24

故答案为1：1.

考点：三角形中位线定理.

三、解答题(共66分)

19、(1)a=,、x=l；(2)见解析

2

3

【分析】(1)将X=-7代入方程，求得a的值，再将a的值代入即可;

(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答.

393

【详解】(D将X=—代入方程，得：一一二α+α-2=(),

242

解得：a=—,

2

将。代入原方程，整理可得：2X2+X-3=0,

2

3

解得：X=I或X=一二，

2

二该方程的另一个根L

(2):F=/-4xlx(α-2)=/-4a+8=(a-2『+4>0,

.∙.不论“取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

【点睛】

此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式运算法则.

2x75

20、(1)(2)γ=-(LΛ<2)(3)一或一.

2-X554

【分析】(1)作_LAC于M,交DG于N,如图，利用三角函数的定义得到4"=2,设BM=t,贝!∣AM=2r,

BM

利用勾股定理得(24+产=(2百尸，解得/=2,即BM=2,AM=4,设正方形的边长为X,贝!∣M=2x,AE=3x,

GF1

由于tan∕G4F=—=-,则可判断NGAE为定值；再利用Z)G//AP得到NBDG=NBAC,则可判断NBDG为

AF3

定值；在RtΔBΛ〃中，利用勾股定理和三角函数可判断必在变化，NBPM在变化，P尸在变化；

(2)易得四边形。£MN为矩形，则NM=Z)E=X,证明Δ50GsABAP,利用相似比可得到y与X的关系式；

(3)由于NAEG=NP尸G=90°,APFG与AAFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PE=,讨论：当点P

在点F点右侧时，则AP='x,所以一匚='x,当点P在点F点左侧时，则AP=2χ,所以‘一=2%，然

32-x332-x3

后分别解方程即可得到正方形的边长.

【详解】(1)如图，作_LAC于M,交DG于N,

在RtMBM中，VcotNBAC=aN=2,

BM

设3M=r,则AM=21,

•：AM2+BM2=AB2，

Λ(2∕)2+r2=(2√5)2,解得f=2,

:,BM=29AM=4f

设正方形的边长为X,

在RtΔADf中，e∙*cot/DAE=----=2,

DE

:∙AE=2x,

:∙AF=3x,

y-∖J-I1

在RtAGAF中，tanAGAF-=—=—,

AF3x3

.∙.NG4F为定值；

•：DG//AP,

：.ZBDG=ZBAC,

.∙.NBDG为定值；

在RtABMP中，PB=√22-PM2，

而PM在变化，

二PB在变化，NBAW在变化,

二PF在变化，

所以∕BZ)G和NGAe是始终保持不变的量;

故答案为：④⑤

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

.∙.四边形Z)EMN为矩形,

NM—DE-X,

•：DGHAP,

：.MDGSMAP,

.DGBN

''~AP~~BM,

y=-(L,x<2)

τ2-X

(3)VZAFG=ZPFG=90°»Δ∕>FG与ΔAFG相似，且面积不相等,

.GFPFX_PF

••--------,即--------,

AFGF3)xX

ΛPF=-x,

3

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF=IX+3X=W%,

33

.Ix10

・•------=---X9

2-x3

7

解得X=M,

1Q

当点P在点F点左侧时，AP=AF-PF=3x——x=-x,

33

Ix8

：.----=一X,

2-x3

解得X=J

4

B

【点睛】

本题考查了相似形综合题:熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

21、(1)x=g,χ2_1_-1-√61

l(2)

2166

【分析】（1）把方程化为:Y再利用直接开平方法求解即可得到答案;

（2）由α=3]=l,c=-5,再计算〃-4αc=61,利用公式法求解即可得到答案.

【详解】解：（1）4√-l=0,

.∙.X2

4,

1

・・X]二万,尤2

(2)3X2+X-5=O,

a—3,b—1,c——5,

A2—4ac=61>O,

-1+√61

.∙.X=--------------

6

-1+ʌ/ðl—1-N61

/.X,=--------------,X=---------------

616

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，公式法解一元二次方程是解题的关键.

22、(1)k=Y；(2)(0,-)

2

【分析】（1）设B（a,b）,由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b,进而可得S矩形0C8E=ab

3

=6,再根据S矩形OCBE=I`S矩形8AE可得S矩形OZME=4,再设A（m,n）,可得加〃=%,再根据加•（一/）=4即可求得

k的值；

(2)先根据AD=2求得点A、B的坐标，再利用轴对称找到符合题意的点P,求出直线A3'的函数关系式，进而可

求出点P的坐标.

【详解】解：(1)设8(a,b),

YB在反比例函数y=-(x>O)的图象上，

2X

6

∙*∙b——9

a

即S矩形OCBE=6'

■C3

矩形一矩形。

,SOCBE~S0AE-

・2ς-A

••2J矩形ODAE一ʊ,

S矩形0QAE=4

设ACm9〃)，

∙.∙4在反比例函数y=K(x>O)的图象上，

X

.k

•∙H=-9

m

：・mn=k,

•・q=4

•。矩形ODAE-3，

:∙zn∙(-n)=4,

：,—mn=4,

:∙mn=-4，

即左二—4；

(2)VAD=I,

:・当a=2时，b=—=3,

2

ΛB(2,3),

k-4

当m=2时，n=—=—=—2

m2

ΛA(2,-2),

作点B关于y轴的对称点夕(・2,3),连接AB',交y轴于点P,连接PB,

则PB=PB,,

∙∙∙PA+PB=PA+PB'=AB，

V两点之间，线段最短，

.∙.此时的PA+PB即可取得最小值,

设AB'为y=kιx+bι,

将B'(-2,3),A(2,-2)代入得

'3=-2kt+bi

—2—2k]+∕2∣

解得

I2

令χ=0,则y=；

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点之间线段最短以及用待定系数法求一次函数关系式，熟练掌握反比

例函数和一次函数的性质是解决本题的关键.

23、(1)Z=16,b=-2i(2)SzWEC=6.

【解析】⑴由菱形的性质可知8(6,0),C(9,4),点0(4,4)代入反比例函数y=f,求出攵；将点C(9,4)代入

2

y=-x+b,求出匕；

3

2

(2)求出直线y=]X-2与X轴和)，轴的交点，即可求ΔAEC的面积；

【详解】解：(1)由已知可得AD=5,

：菱形ABC。，

.∙.B(6,0),C(9,4),

∙.∙点0(4,4)在反比例函数y=>0)的图象上，

:•左=16,

2

将点C(9,4)代入y=]X+"

,

..b=-2i

(2)£(0,-2),

2

直线y