北师大版八年级数学下册举一反三 专题5.3 分式方程-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题5.3分式方程-重难点题型【北师大版】【知识点1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：=1\*GB3①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答【题型1解分式方程（基本法）】【例1】(2023春•碑林区校级月考）解方程：（1）32（2）xx−1【变式1-1】(2023•潍坊）若x＜2，且1x−2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝【变式1-2】(2023•宜都市一模）解方程：3x【变式1-3】(2023•北碚区校级开学）解分式方程：（1）3x−5（2）12x【题型2解分式方程（新定义问题）】【例2】(2023春•宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2−ab，例如2#3=1【变式2-1】(2023•怀化）定义a⊗b＝2a+1b，则方程3⊗x＝4A．x=15 B．x=25 C．x=【变式2-2】(2023春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=2a−b，a＞bbb−a，a＜b，如果5※【变式2-3】(2023秋•信都区校级月考）运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad【知识点2分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：11×2=11−解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)=1（2）说明你猜想的正确性．（3）计算：11×2+12×3（4）解关于n的分式方程11×2【变式3-1】(2023春•京口区校级月考）观察下列算式：16=12×3=（1）由此可推断：142=1（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1m(m+1)=（3）仿照以上方法解方程：1(x−1)(x−2)【变式3-2】(2023秋•五华区期末）观察下列式：11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加的：11×2+1（1）猜想并填空：1n(n+1)=1n−1n+1；11×2+1（2）化简：1n(n+1)（3）探索并作答：①计算：12×4②解分式方程：1x−2【变式3-3】(2023秋•天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）猜想并写出：1n(n+1)=1（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）若11×3+13×5+【知识点3换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型4换元法解分式方程】【例4】(2023春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±2．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1=2，x2=−我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（x−1x）2﹣2（x−1、【变式4-1】(2023春•松江区期末）用换元法解方程2xx2−1−x2−1x【变式4-2】(2023春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1问题：（1）若在方程x−14x−xx−1=0（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2【变式4-3】(2023春•玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1解之得m=8n=4，即1x=8，运用以上知识解决下列问题：（1）求值：(1+111（2）方程组6x+y+3x−y=5（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．（4）解方程组3×2（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2【知识点4增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型5增根的讨论】【例5】(2023秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1（1）若方程有增根，求k的值．（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．【变式5-1】(2023•岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x−5x−2+mA．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1【变式5-2】(2023春•桐城市期末）已知关于x的分式方程m−2xx−2（1）若该方程有增根，则增根是．（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是．【变式5-3】(2023春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，【知识点5根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围【题型6根据分式方程解的情况求值】【例6】(2023•市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|−a|x|−2=12有解，则【变式6-1】(2023秋•北碚区校级期中）关于x的不等式组3x−46+1＜x+23x−2a2≥A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12【变式6-2】(2023秋•雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x的方程2mx−1x+2=1的解为负数，求（2）若关于x的分式方程3−2xx−3+2−nx【变式6-3】(2023秋•岱岳区校级月考）如果关于x的方程x+1x+2−x专题5.3分式方程-重难点题型【北师大版】【知识点1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：=1\*GB3①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答【题型1解分式方程（基本法）】【例1】(2023春•碑林区校级月考）解方程：（1）32（2）xx−1分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，去括号得：9x﹣3﹣2＝5，移项合并得：9x＝10，解得：x=10检验：把x=109代入得：2（3∴x=10（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-1】(2023•潍坊）若x＜2，且1x−2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝分析：先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：1x−2+|x﹣2|+∵x＜2，∴方程为1x−2+2﹣x+即1x−2方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．【变式1-2】(2023•宜都市一模）解方程：3x分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，移项合并得：8x＝8，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】(2023•北碚区校级开学）解分式方程：（1）3x−5（2）12x分析：（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），得3﹣x+5＝2x﹣1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的解；（2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2），得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），解得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．【题型2解分式方程（新定义问题）】【例2】(2023春•宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2−ab，例如2#3=132−3×2分析：根据新定义列出方程，解出这个方程即可．【解答】解：根据题意得，x#2=1即22﹣2x﹣1＝0，解得x=3经检验，x=3故答案为：32【变式2-1】(2023•怀化）定义a⊗b＝2a+1b，则方程3⊗x＝4A．x=15 B．x=25 C．x=分析：利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+14⊗2＝2×4+1∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+1x=解得：x=2经检验，x=2故选：B．【变式2-2】(2023春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=2a−b，a＞bbb−a，a＜b，如果5※分析：根据定义运算，分5＞x或5＜x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：①当5＞x时，25−x去分母，可得：2＝2（5﹣x），解得：x＝4，检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，∴x＝4是原方程的解；②当5＜x时，xx−5去分母，得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，∴x＝10是原方程的解；综上，x的值为4或10，故答案为：4或10．【变式2-3】(2023秋•信都区校级月考）运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad分析：利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：2x−1去分母得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，当x＝4时，x﹣1＝3≠0，∴x＝4是分式方程的解，故x的值为4．【知识点2分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：11×2=11−解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)=1（2）说明你猜想的正确性．（3）计算：11×2+12×3（4）解关于n的分式方程11×2分析：（1）由题意可得1n(n+1)（2）利用通分即可证明等式成立；（3）原式＝1−1（4）方程可以化简为1−1【解答】解：（1）1n(n+1)故答案为：1n（2）1=n+1=1∴1n(n+1)（3）1＝1−＝1−=2018（4）1＝1−＝1−=n+7＝1−2∴1n+1方程两边同时乘（n+1）（n+9），得n+9＝2（n+1），去括号，得n+9＝2n+2，解得n＝7，经检验，n＝7是方程的解，∴原方程的解为n＝7．【变式3-1】(2023春•京口区校级月考）观察下列算式：16=12×3=（1）由此可推断：142=1（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1m(m+1)=（3）仿照以上方法解方程：1(x−1)(x−2)分析：（1）观察已知等式得到所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）根据题意得：142（2）根据题意得：1m(m+1)（3）方程整理得：1x−2即1x−2去分母得：x＝2x﹣4，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故答案为：（1）16−【变式3-2】(2023秋•五华区期末）观察下列式：11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加的：11×2+1（1）猜想并填空：1n(n+1)=1n−1n+1；11×2+1（2）化简：1n(n+1)（3）探索并作答：①计算：12×4②解分式方程：1x−2分析：（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；②方程利用拆项法变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）1n(n+1)11×2+12×3+12+16+故答案为：1n−1n+1；（2）原式=1（3）①原式=12×（12−14②方程整理得：1x−2+1解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．【变式3-3】(2023秋•天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）猜想并写出：1n(n+1)=1（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）若11×3+13×5+分析：（1）根据已知等式猜想得到所求即可；（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．【解答】解：（1）猜想得：1n(n+1)（2）①原式＝1−＝1−=2016②原式＝1−＝1−=n（3）根据题意得：11×3整理得：12（1−13即1−1移项合并得：12n+1=1解得：n＝17，经检验n＝17是分式方程的解，则n的值为17．【知识点3换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型4换元法解分式方程】【例4】(2023春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±2．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1=2，x2=−我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（x−1x）2﹣2（x−1分析：根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设x−1x=【解答】解：（x−1x）2﹣2（x−1设x−1x=则a2﹣2a﹣8＝0，解得a＝﹣2或a＝4，当a＝﹣2时，x−1x=−2，解得x=13当a＝4时，x−1x=4，解得x=−13∴原分式方程的解是x1=13，x2【变式4-1】(2023春•松江区期末）用换元法解方程2xx2−1−x2−1x+7＝0时，可设y=x分析：根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．【解答】解：设y=xx2∴原方程可变行为：2y−1去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，故答案为：2y2+7y﹣1＝0．【变式4-2】(2023春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1问题：（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2分析：（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0【解答】解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为（3）原方程化为：x−1x+2设y=x−1x+2，则原方程化为：方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程y−1当y＝1时，x−1x+2当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：经检验：x=−1∴原分式方程的解为x=−1【变式4-3】(2023春•玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1解之得m=8n=4，即1x=8，运用以上知识解决下列问题：（1）求值：(1+111+1（2）方程组6x+y+3x−y=5（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝（x+2）4．（4）解方程组3×2（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2分析：（1）设111（2）设1x+y=a，1x−y=b（3）设x2+4x+3＝m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；（4）将原方程组变形为12×2x−3×3y=1112×2x+2×3y=86，设2x＝m（5）将关于x、y的方程组a1x2−2a1x+b1y=c1−【解答】解：（1）设111原式＝（1+a）（a+119）﹣（1+a+119）a＝a+119+a2+119a故答案为：119（2）设1x+y6a+3b=59a−2b=1解得：a=1∴x+y=3x−y=1解得：x=2y=1经检验，x=2y=1故答案为：x=2y=1（3）设x2+4x+3＝m，原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2+4x+3+1）2＝[（x+2）2]2＝（x+2）4．故答案为：（x+2）4．（4）原方程组变形为：12×2设2x＝m，3y＝n，则12m−3n=1112m+2n=86解得：m=16n=27∴2x∴x=4y=3（5）将关于x、y的方程组a1a1∵关于x、y的方程组a1x+b∴x2即：(x−1)解这个方程组得：x1=4y∴原方程组的解为：x1=4y【知识点4增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型5增根的讨论】【例5】(2023秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1（1）若方程有增根，求k的值．（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值．（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可；【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，将x＝1代入整式方程得：k＝6，将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，则k的值为6或﹣8．（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，去括号合并得：7x﹣1＝k，即x=k+1根据题意得：k+17＜0，且k+17解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．【变式5-1】(2023•岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x−5x−2+mA．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1分析：分式方程去分母转化为整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，x＝3+m∵方程有增根，∴3+m＝2，m＝﹣1，故选：D．【变式5-2】(2023春•桐城市期末）已知关于x的分式方程m−2xx−2（1）若该方程有增根，则增根是2．（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是m＞53，且k分析：（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵这个方程有增根，∴x﹣2＝0，∴x＝2．故答案为：2；（2）分式方程去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，去括号合并得：7x﹣2＝3m，即x=3m+2根据题意得：3m+27＞1，且解得：m＞53，且故答案为：m＞53，且【变式5-3】(2023春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3（1）若该分式方程有增根，则增根为x1＝3，x2＝﹣3．（2）在（1）的条件下，求出m的值，分析：（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）2x−3方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）∵原方程有增根，∴x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；（2）当x＝3时，m＝﹣4，当x＝﹣3时，m＝6．故m的值为﹣4或6．【知识点5根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围【题型6根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】【例6】(2023•市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|−a|x|−2=12有解，则a的取值范围是a分析：解分式方程用a表示|x|，根据关于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式组求解集．【解答】解：|2x|−a|x|−22|2x|﹣2a＝|x|﹣2，4|x|﹣|x|＝2a﹣2，3