浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校九年级

（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（3分）-3?=（）

A.-3B.-9C.3D.9

2.（3分）如图，直线。〃6,则直线。（)

ZTb：

BD

A.线段AB的长度B.线段C£＞的长度

C.线段ABD.线段CD

3.（3分）下列各式的变形中，正确的是（)

A.X-T-(/+x)=A+1D1-1-X

从-X-

XXX

C.7-4x+3=(x-2)2+1D.(-x-y)(-x+y)=/-y2

4.（3分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数.现将卡片背

面朝上，从中任意抽出一张（）

A-99c.AD.5

99

5.（3分）已知半径为6的扇形的圆心角为60°,则该扇形的面积为（）

A.4B.6C.4irD.6ir

6.（3分）己知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点（APVBP）,则线段4P的长为

（）

C.3-V5D.V5-1

A"号

7.（3分）如图在△ABC中，边A8,AC的垂直平分线交于点尸，CP,若乙4=50°（）

A

C.90°D.50°

8.（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（xi,yi）,Q（X2,”），一定能使"&<o

x2-xl

的是()

A.y=-2-(x>Q)B.y=(x-2)2+5(x20)

X

C.尸(x-3)2-4(x<0)D.y=3x+7

9.(3分)如图，已知AB是。。的直径，弦C£>与A8交于点E,ZAEC=y,

贝I()

A.a+p-y=90°B.p+y-a=90°C.a+y-p=90°D.a+P+y—180°

10.(3分)己知二次函数y=(x-ZM+2)(x+m-4)+n,其中机，则()

A.m>\,〃V0时，二次函数的最小值大于0

B.m=\,〃>0时，二次函数的最小值大于0

C.m<\,">0时，二次函数的最小值小于0

D.m=1,"<0时，，二次函数的最小值小于0

二、填空题（每小题4分，共24分）

II.（4分）工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件

进行检测，检测出次品1件.

12.（4分）已知二次函数y=-（x+a）2,当-4时，y随x的增大而增大；当X2-4

时，当x=0时，y的值是.

13.（4分）如图，点A为。。上一点，于点1,则BC为.

14.（4分）如图，四边形ABC。是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB，则NABC的

度数等于.

15.（4分）已知二次函数），=〃（x-xi）（x-_x2）与x轴的交点是（1,0）和（3,0）,关于

x的方程a（x-xi）（x-X2）—m（其中m>0）的两个解分别是-1和5,关于x的方程

“（x-xi）（x-：V2）=〃（其中0V〃<，w）也有两个整数解,这两个整数解分别是.

16.（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，AC,BD交于点E,若A£>=2,则AC

17.已知线段“、〃满足亡=2，且"+23=28.

（1）求。、人的值；

（2）若线段x是线段。、6的比例中项，求x的值.

18.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球.

（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球.求两次摸出的球恰好都

是红球的概率（要求画树状图或列表）；

（2）现再将〃个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为3

4

19.已知抛物线y=7-2x-3的图象如图所示.

（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

（2）根据图象回答：当x取何值时，y>0?当x取何值时，y<0?

20.如图，AB是(DO的直径，弦C£)，AB于点E,BD,

(1)求证：NADC=NABD.

(2)作。口LA。于点F,若。。的半径为5,OE=3

21.如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24%设A2长为x,"2.

(1)求S关于x的函数表达式：

(2)若AB的长不能低于2m，且ABVBC,求此时窗户总面积S的最大值和最小值.

A'-----书----------'D

22.已知二次函数yi,yri=x1+hx+a(a,匕是实数，aWO).

(1)若0W0,且函数yi和函数"的对称轴关于y轴对称，求a的值.

(2)若函数"的图象过点(6,9a),求函数yi的图象与x轴的交点个数.

(3)设函数yi,"的图象两个交点的纵坐标分别为机，n.求证：〃的值与“无关.

23.如图，在。。中，AB是直径，ACB=3AP.过点C作CCAB,垂足是E,交AP的延

长线于点尸，连结C4,PC,PD.

(1)证明：ZFPC=ZAPD；

(2)若/B4C=a,NFPC=B，求B与a满足的关系式;

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校九年级

(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意)

1.(3分)-32=()

A.-3B.-9C.3D.9

【分析】根据有理数的乘方运算进行计算，注意负号.

【解答】解：-32=-2,

故选：B.

【点评】本题考查了有理数的乘方，比较简单，它表示3的平方的相反数.

2.(3分)如图，直线则直线a()

A.线段AB的长度B.线段CO的长度

C.线段ABD.线段CZ)

【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案.

【解答】解：由直线“〃6,CD±b

线段CO的长度是直线a,b之间距离，

故选：B.

【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键.

3.(3分)下列各式的变形中，正确的是()

A.X-T-(W+x)=工+1B.—

XXX

C.x2-4x+3=(x-2)2+1D.(-x-y)(-x+y)—x2-y2

【分析】根据单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式计算，判断即

可.

【解答】解：(/+x)=」—=_§_,故A选项计算错误;

2

x+xx+1

l-x=3L2L-,故8选项计算错误；

XX

x2-4x+3=/-8x+4-1=(x-4)2-1,故C选项计算错误；

(-x-y)(-x+y)=(-x)6-y2—x^-y2,故。选项计算正确；

故选：D.

【点评】本题考查的是单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式，掌

握它们的运算法则是解题的关键.

4.(3分)9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数.现将卡片背

面朝上，从中任意抽出一张()

A.AB.2C.AD.5

9999

【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率.

【解答】解：因为1到9共4个自然数.是偶数的有4个，

所以正面的数是偶数的概率为2.

6

故选：C.

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识

点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

5.(3分)已知半径为6的扇形的圆心角为60°,则该扇形的面积为()

A.4B.6C.4nD.6n

【分析】根据扇形面积公式S喘6XJl「2,将题中已知条件代入求解即可得到结论.

【解答】解：•.•半径为6的扇形的圆心角为60°,s=^xilX63=6n，

故选：D.

【点评】本题考查扇形面积公式,熟练掌握扇形面积$喘6x兀「2是解决问题的关键.

6.(3分)已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP),则线段AP的长为

()

A.B.炳_1C.3-VsD.V5-1

22

【分析】根据黄金比值计算即可.

【解答】解：•••点P是线段AB的黄金分割点，APVBP,

:.BP-娓-IXAB-垦1遍7,

64

：.AP=AB-BP=5-（A/5-I）=8-A/5）

故选：C.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键.

7.（3分）如图在△ABC中，边48,4c的垂直平分线交于点P,CP,若乙4=50°（）

A.100°B.95°C.90°D.50°

【分析】连接AP,延长BP交AC于。，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性

质证得NA8P=/34P,ZACP=ZCAP,根据三角形外角的性质即可求出NBPC.

【解答】解：连接AP,延长BP交AC于。，

NBPC=NPDC+NACP=ZBAC+ZABP+ZACP,

•.,点P是A8,AC的垂直平分线的交点，

：.PA=PB=PC,

：.ZABP=ZBAP,ZACP=ZCAP,

：.ZBPC^ZBAC+ZBAP+ZCAP^ZBAC+ZBAC=2ZBAC=2X50°=100°,

故选：A.

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌

握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

8.（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（xi,yi）,QCxi,"），一定能使丫2一一（0

x2-xl

的是（）

A.y=—(x0)B.y=(x-2)2+5(x>0)

C.y=(x-3)2-4(x<0)D.y=3x+7

【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可.

【解答】解：A、y=N_(x>0)中，k=-7<0,y随x的增大而增大，

X

即当XI>X6时，必有yi>>,2,

此时宣二L>0,故本选项不成立；

«2-x8

B、"：y=(x-2)4+5(仑0)的对称轴为直线x=6,

.•.当0VxV2时，)，随x的增大而减小，

••.当X>8时，当X1>X2时，必有

此时空血〉3,故本选项不成立；

x2-xl

C、(x-3)2-2(x<0)的对称轴为直线x=3,

...当x<2时，y随x的增大而减少，

.•.当x<0时，当xi>x6时，必有>1<*,

此时空二0,故本选项成立；

x2-x6

。、；y=3x+5中，

二〉随X的增大而增大，即当X1>X2时-，必有”>)*

此时上工旦〉5,故本选项不成立；

x2~xl

故选：C.

【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函

数的增减性是关键.

9.(3分)如图，已知AB是。。的直径，弦CO与AB交于点E,ZABD=^,/AEC=Y，

A

A.a+p-Y=90°B.p+Y-a=90°C.a+y-0=90°D.。+0+丫=180°

【分析】连接AC,根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可.

【解答】解：连接AC

TAB是。0的直径，

AZACB=ZBCD+ZACD=90°，

'：NACD=NA8O=B，

AZBCD=90°-p,

*/ZAEC=ZABC+ZBCD=yfZABC=a,

・・・Y=a+90°-p,

即Y+S-a=90°,

故选：B.

【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键.

10.(3分)已知二次函数y=(x-m+2)Cx+m-4)+n,其中加，则()

A.m>\,〃V0时，二次函数的最小值大于0

B.m=1,〃>0时，二次函数的最小值大于0

C./n<l,〃>0时，二次函数的最小值小于0

D.加=1,〃V0时，二次函数的最小值小于0

【分析】将二次函数化为顶点式，再根据二次函数性质对选项逐一判断.

【解答】解：y=(x-〃2+2)(x+m-4)+〃=[(%-2)-(/n-3)JI(x-1)+(n?-7)]+n

=(x-1)2-("L4)2+n

当天=1时，二次函数有最小值为：y=-(m-6)2+n,

，当〃?>1,〃V7时，故A不符合题意，

当根=1,〃>0时，故8不符合题意，

当皿3,〃〉0时、有可能大于0,

当机=7,〃V0时，故。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质，将二次函数化为顶点式从而确定二次函数最值的

取值范围是解题关键.

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.(4分)工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件

进行检测，检测出次品1件10.

【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数.

【解答】解：io。。x(件)，

iUUU100

故答案为：10.

【点评】考查样本估计总体，解题的关键是求出样本中次品所占的百分比.

12.(4分)已知二次函数y=-(x+a)2,当xW-4时，y随x的增大而增大；当X2-4

时，当x=0时，y的值是-16.

【分析】根据二次函数的增减性，结合图象与性质即可得到二次函数图象的对称轴为x

=-4,从而确定。值，得到二次函数解析式为y=-(x+4)2,将》=0代入即可得到结

论.

【解答】解：；二次函数y=-(x+a)2,当xW-4时，y随x的增大而增大，y随x的

增大而减小，

-〃=-4,HP〃=4,

二次函数解析式为y=-(x+4)6,

当x=0时，y--(0+5)2—-16,

故答案为：-16.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是

解决问题的关键.

13.(4分)如图，点A为OO上一点，18c于点。，00=1,则为—蓊

【分析】如图所示，连接OC,利用圆周角定理和垂径定理得NBOO=60°,乙800=90°,

BC=2BD,再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出B£＞的长即可得到答案.

【解答】解：如图所示，连接。C,

a4c=60°,

.•./BOC=2/BAC=120°,

\'OD±BC,

AZB0D=yZB0C=60o,ZBDO=90°,BC=2Bb

：.ZOBD=30°,

：.OB=2OD=6,

•••BDWOB2-OD2=我，

•••BC=2BD=2V3.

故答案为：273.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理和含30度角的直角三角形的

性质，正确作出辅助线是解题的关键.

14.（4分）如图，四边形ABC。是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB.则NA8C的

度数等于55°.

【分析】连接AC,根据圆内接四边形的性质求出ND4B,根据圆周角定理求出NACB、

ZCAB,计算即可.

【解答】解：连接AC,

V四边形ABCD是半圆的内接四边形，

：.ZDAB=\80°-ZC=70°,

,•*DC=CB，

/.ZCAB=^ZDAB=35°,

2

是直径，

AZACB=90°,

ZABC=90°-/C48=55°,

故答案为：55°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.

15.（4分）已知二次函数（x-xi）（x-X2）与x轴的交点是（1,0）和（3,0）,关于

x的方程a（x-Xi）（x-X2）=m（其中m>0）的两个解分别是-1和5,关于x的方程

a（x-xi）（x-X2）—n（其中0V鹿〈加）也有两个整数解，这两个整数解分别是0和

4.

【分析】先根据题意确定二次函数与x轴和直线），=相的交点，画出大致图象，然后根据

二次函数与》=〃的交点位置，判断。（X-X1）（X-X2）=〃两个根的大小范围即可求解.

【解答】解：由题意可知二次函数（x-xi）（X-X2）与X轴的交点分别为（7,0）

和（3,

与的交点分别为（-4,加）和（5,

设与的交点分别为（p,«）和（q,

・二直线y=n在x轴和直线y=m之间，

如图所示：

),

由图可知，-7<p<l

又；p,q都为整数，

=0»q=3,

故答案为：。和4.

【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，关键是画出图象，利用数形结合的

方法求解.

16.(4分)如图，点C为半圆的中点，A8是直径，AC,BD交于点E,若AO=2,则4c

=，遥_，CD=^[2_.

【分析】首先利用勾股定理求出AB=2JI3,进而求出AC=BC=2遥，通过证明△AEDs

△BEC推出OE=1,CE=V5.再证△CEDS/XBE4即可求解.

【解答】解：是直径，.•.NAZ)B=NACB=90°,

在中，AZ)=2,

AB=VAD2+BD6=722+32=25/10，

；点C为半圆的中点，

AAC=BC>

：.AC=BC,

AB6=BC2+AC2=3AC2=(2V10)8-

解得AC=BC=2幅

VZAD£=ZBCE=90°,ZAED=ZBEC,

.,.△AEDSABEC,

•.CEB=EB=C=rVrh，

DEAEAD

•••CE=V5DE-BE=V5AE）

•••BD-DE=V3（AC-CE）.即6-DES（7遥-CE），

••-6-DE=V8（2V5-V5DE），

解得。E=l,CE=V5.

:/DCA=NDBA,NCED=NBEA,

:.△CEDsXBEA”

•DECD

••瓦而

故答案为：275，872.

【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是

通过两次相似求出相关线段的长度.

三、解答题（共7小题，66分）

17.已知线段a、h满足包=2，且a+2匕=28.

（1）求人6的值;

（2）若线段x是线段。、6的比例中项，求x的值.

【分析】（1）根据包=2可得。=2"再代入。+26=28计算即可得;

b

（2）根据比例中项的定义求解即可得.

【解答】解：（1）vA=n,：.a=2h,：.7h+2h=2S,

b

解得b=7,

贝ija=2X7=14.

（2）I•线段x是线段a、b的比例中项2=而,即』i4X7,

解得x=7遍或x=-7&<7（不符合题意，

贝的值为7、巧.

【点评】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键.

18.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球.

(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球.求两次摸出的球恰好都

是红球的概率(要求画树状图或列表)；

(2)现再将〃个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为国

4

【分析】(1)先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都

是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；

(2)根据概率公式得到空1=旦，然后利用比例性质求解即可.

n+44

【解答】解：(1)画树状图为：

开始

/K/N/1\/1\

白红红黄红红黄白红黄白红

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2利

所以两次摸出的球恰好都是红球的概率=2=2；

126

(2)根据题意得空支=3,

n+44

解得"=5,

经检验：〃=8是原分式方程的解，

故n=8.

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求

出〃，再从中选出符合事件A或B的结果数目〃?，然后根据概率公式求解.注意摸出1

个球，记下颜色后不放回.

19.已知抛物线y=7-2x-3的图象如图所示.

(1)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

(2)根据图象回答：当x取何值时，y>0?当x取何值时，yVO?

【分析】（1）分别令y=0和x=0,求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标；

（2）结合函数图象，利用数形结合思想确定x的取值范围.

【解答】解：（1）令x=0,贝打=-3,

.•.抛物线与y轴的交点为（8,-3）；

令y=0,则/-左-3=7,

解得：XI=-1,X4=3,

.•.抛物线与x轴的交点为（-1,5）和（3；

（2）由图象以及抛物线与x轴的交点坐标可知，

当x>3或-8时，y>0：

当-l<x<8时，y<0.

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点以及学生的视图能力，关键是根据函数的性

质确定x的取值范围.

20.如图，42是。0的直径，弦CDLA8于点E,BD,

（1）求证：NADC=NABD.

（2）作OFLAO于点F,若。。的半径为5,OE=3

【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；

（2）利用勾股定理求出QE,AD,再利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】（1）证明：是直径，

AZADB=90°,

'：AB±CD,

:.NDEB=90°,

AZADC+ZCDB=90°,NCDB+NABD=90°,

NADC=ZABD-.

解法二：•..AB_LC。，AB是直径，

AAC=AD.

ZADC=ZABD.

在RtZ\AOE中，AD=A/AE2+DE2=152+44遍，

；sinNA=®_=逛_,

OAAD

•••Q—F_7>

54V5

OF=41-

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

21.如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24%设AB长为x/.

（1）求S关于x的函数表达式；

（2）若AB的长不能低于2团，且ABVBC,求此时窗户总面积S的最大值和最小值.

C

D

【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；

（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数

解析式和二次函数的性质即可解答.

【解答】详解：(1)根据题意，得S=x・失竺~|X2+12X-

即S与x的函数表达式是S=-|X2+12X.

(2)根据题意，得54x<星产.

解得：5Wx<4.8.S=-yx2+12x=—|-(x-4)?+241

V4<&

，S有最大值，

：2Wx<4.8,抛物线的对称轴为直线x=4.

...当x=4时，S有最大值，

当x=4时，S有最小值s=-1>(3-4)2+24=18，

答：窗户总面积S的最大值24〃/1,最小值是18〃尸.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题

的关键.

22.已知二次函数)“=4/+笈+1,y2=x1+bx+a(a,b是实数，a40).

(1)若人WO,且函数yi和函数”的对称轴关于y轴对称，求a的值.

(2)若函数)，2的图象过点(b,9a),求函数yi的图象与x轴的交点个数.

(3)设函数yi,"的图象两个交点的纵坐标分别为m,n.求证：的值与a无关.

【分析】(1)分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解

答.

(2)由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答.

(3)求得交点的横坐标，分别代入)1=依2+区+1,求得,〃、n,即可得出〃=24

【解答】解：(1)根据题意知：-a+(一巨

2a2

因为6W4,

所以a=-1；

(2)将点(b,9。)代入”=W+/?x+a,Wb2+b*b+a=6a.

整理,