高中数学必修一《优化方案》答案-第一章

1。1集合

1.Io1集合的含义与表示

/犊敖林嫉要U

1.元素与集合

(1)元素与集合的定义：

一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

(2)集合中元素的性质：

①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的.

②互异性：即给定集合的元素是互不相同的.

③无序性.

(3)集合相等:

只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的.

(4)元素与集合的关系：

a是集合A的元素，记作a^A,a不是集合A的元素，记作

2.集合的表示方法

除了用自然语言表示集合外.还可以用列举法和描述法表示集合.

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法.

(2)描述法：用集合所含元素的驷特征表示集合的方法.

3.常用数集及其记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N,ZQR

［小问来人思危］

I.著名数学家能否构成一个集合？

提示:不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合.

2.一个集合能表示成｛s,吗?

提示:不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算

作这个集合的一个元素.

3.集合｛-5,-8｝和｛(-5,-8))是同一集合吗？

提示:不是同一集合.集合｛-5,—8)中元素有2个，为数.而集合｛(—5,-8)｝中

有一个元素为坐标(一5,一8).

集合的基本概念

［例1］下列每组对象能否构成一个集合:

(1)某校2013年在校的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)帅哥;

(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；

(5)小的近似值的全体.

［自主解答］“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合.(2)任给一个实

数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即"0WxW20”与“X〉20或x〈0”，

两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明

确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中

无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(6)“小的近似值”不

明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如"2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合.

判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象,

都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

1.下列能构成集合的是()

A.中央电视台著名节目主持人

B.2013年沈阳全运会比赛的所有项目

C.2010年上海世博园中所有漂亮的展馆

D.世界上的高楼

答案：B

集合中元素性质的应用

［例2］已知集合A={a+2,(a+l)2,a2+3a+3］,若1CA,求实数a的值.

［自主解答］若。+2=1,则。=-1,所以A={1,0,1),与集合中元素的互异性矛盾,

应舍去；

若(«+1)2=1,则。=0或a=-2,

当a=0时，A=［2,1,3},满足题意.

当〃=-2时，A={0,l,l},

与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

若屏+34+3=1,则a=—I或a=-2(均舍去).

综上可知，a=0.

例2中1CA改为4GA,则结果如何？

解:若a+2=4,则a=2。

；.A={4,9,13}满足题意.

若(a+1)2=4,则a=1或a=-3.

当a=l时，A={3,4,7},满足题意.

当”=-3时次=｛-1,3,4,｝满足题意.

若a2+3a+3=4,

则a=错误!，代入后都满足题意，故a的值为a=I,a=2,或a=-3或a=错误!.

k这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否。初学者解题时易

忽略元素的互异性，学习中要高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.

2。一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集

合就是同一个集合.

2.含有两个实数的集合A可以表示为｛a~3,2a-］｝,求实数a的取值范围.

解："."A=｛fl—3,2a-1）,

...由集合中元素的互异性可得a-3W2a-L

，nW—2.

：.a的取值范围为aW—2.

集合的表示方法

［例3］用适当的方法表示下列集合：

（I）方程组错误!的解集；

（2）不等式2x—3〉5的解集.

［自主解答］⑴集合用描述法表示为｛（x,y）|错误！｝.解方程组，得错误!故集合用列

举法表示为｛（4,-1）｝.

⑵由2%—3〉5可得x>4,所以不等式2%—3>5的解集为｛xIx〉4,xGR｝.

1.一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描

述法的适用范围.

2.方程（或方程组）的解的个数较少，因此方程（或方程组）的解集一般用列举法表示；

不等式（或不等式组）的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或

写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.

3.有下面六种表示方法

①｛x=-1,y=2｝②错误！

③｛-1,2｝@（-1,2）⑤｛（一1,2）｝⑥｛x,yIx=-l,或y=2｝.

其中，能正确表示方程组错误！的解集的是（把所有正确答案的序号填在空格

上）.

解析:

序号判断原因分析

①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一

①否

个点.

②能②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同.

③否③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素.

否④没有用花括号“{}”括起来，不表示集合.

⑤能⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等.

⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号（）,条件中

⑥否

“或”也要改为“且或

答案：②⑤

审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试

解题高手易错题

试能否走出迷宫！

已知集合A中含有三个元素』，0,x,若Rea,求实数x的值.

［错解］V^GA,故3=0或如=1或

若j？uO,则x=0;

若则X=l；

若，则x=1或x=0o

综上所述:所求x的值为0或I.

［错因］本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代

入检验，得出了错误结果；二是解好=》时漏掉了》=-1这个答案，也导致了错误的结果.

［正解］；A3GA,

二V是集合A中的元素.

又•..集合A中含有3个元素,...需分情况讨论：

①若如=0,则x=0,此时集合A中有两个元素0,不符合集合中元素的互异性，舍去；

②若炉=1,则x=l,此时集合A中有两个元素1,不符合集合中元素的互异性，舍去；

③若，则x=0、x=—\或x=l,当x=0、x=1时不符合集合中元素的互异性，都舍

去.当x=-1时，此时集合A中有三个元素1,0,—1,符合集合中元素的互异性；

综上可知,x=-1。

1.有下列各组对象：

①接近于0的数的全体；

②比较小的正整数的全体；

③平面上到点。的距离等于1的点的全体；

④正三角形的全体.

其中能构成集合的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准.②不能构成集合，“比较

小"也是不明确的，多小算小没明确标准.③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集

合的元素有明确的标准可依.

答案：A

2.下面几个命题中正确命题的个数是（）

①集合N*中最小的数是1；

②若一mN*,则aGN*；

③若“6N*力6N*,则a+b最小值是2；

④炉+4=叙的解集是{2,2}.

A.0B.1

C.2D.3

解析:N*是正整数集，最小的正整数是1,故①正确；当a=0时，一滤N*,且依N*,故②错；

若“6N*,则。的最小值是1,又bGN*,。的最小值也是1,当a和。都取最小值时，取最

小值2,故③正确;由集合元素的互异性知④是错误的.故①③正确.

答案：C

3.已知集合加={3,加+1},且4WM,则实数m等于（）

A.4B.3

C.2D.1

解析:：.m=3.

答案：B

4.已知①小GR②错误！EQ③0={0}④（MN

⑤KCQ⑥-3CZ。正确的个数为.

解析:①②⑥是正确的；③④⑤是错误的.

答案：3

5.用适当的符号填空：已知A={xIx=3k+2次ez},2={4r=6/"—l,〃?ez},则

有:174:-5______A;17B。

解析：令3%+2=17得,A=5GZ.

所以17£Ao

令3A+2=—5得次=一错误!庄Z.

所以一5EA.

令6"一1=17得，/n=3GZ,

所以17S/?.

答案：G,e,e

6.用适当的方法表示下列集合：

(1)一年中有31天的月份的全体；

(2)大于一3.5小于12。8的整数的全体；

(3)梯形的全体构成的集合；

(4)所有非负偶数的集合；

(5)所有能被3整除的数的集合；

(6)方程(x-1)(Jt-2)=0的解集；

(7)不等式2«—1>5的解集.

解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2){-3,-2,-1,0,1,2,345,6,7,8,9,10,11,12}.

(3){xlx是梯形}或{梯形}.

(4){0,2,4,6,8,•••}.

(5){x|x=3〃，"WZ}.

(6){1,2}.

(7){x\lx-1)5).

一、选择题

1.下列给出的对象中，能组成集合的是()

A.一切很大的数B.高中数学的所有难题

C.美丽的小女孩D.方程N—1=0的实数根

解析：选项A,B,C中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A,

B,C中的对象都不能组成集合.

答案:D

2.下列命题不正确的有()

①很小的实数可以构成集合；

②集合{〉射=/—1}与集合{(x,y)|y=x2—1}是同一个集合；

③1,错误！，错误!，错误!，0.5这些数组成的集合有5个元素；

④集合{(x,y)|刈<0,x,yeR)是指第二和第四象限内的点集.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③错误！=

错误！，错误！=0。5,有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点.

答案：D

3.已知集合4={12,3,4,5},8={(x,X-yGA},则8中所含元素的个

数为()

A.3B.6

C.8D.10

解析:列举得集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),

(5,3),(5,4)},共含有10个元素.

答案：D

4.定义集合运算：A*8={z\z=xy,x^A,y^B}.设4={1,2},B=(0,2),则集合A*B

的所有元素之和为()

A.0B.2

C.3D.6

解析：依题意，4*8={0,2,4},其所有元素之和为6。

答案：D

二、填空题

5.集合A={(2,—2),(2,2))中含有个元素.

解析:•••(2,—2),(2,2)是两个点，.•.有2个元素.

答案：2

6.已知集合A={(x,y)仅=2x+l},B={(x,y)|y=x+3},且”6民则”为.

解析：且

是方程组错误！的解.

解方程组，得错误！，

：.a为(2,5).

答案：(2,5)

7.用描述法表示方程x〈一》一3的解集为.

解析：x—3,

，x＜一错误!。

二解集为{x|x＜一错误！}.

答案：{xlx＜一错误！}

8.{(x,y)I(x+2)2+Iy—3|=0,x,yGR}=。

解析:由(x+2)2+|＞-3|=0,又(x+2)220,仅一3|20,所以(x+2)2=0,Iy~3\

=0,所以x=-2,y=3,所以{(x,y)\(x+2)2+Iy—3I=0,x,yGR)={(-2,3)}.

答案:{(-2,3)}

三、解答题

9.已知集合A含有两个元素a—3和2a—1,

(1)若一32A,试求实数〃的值.

(2)若试求实数a的值.

解：(1)因为一3GA,

所以-3=°—3或一3=2”一1。

若一3="一3,则a=0。

此时集合A含有两个元素一3,-1,符合题意.

若一3=2a—1,

则a=—\o

此时集合A含有两个元素一4,一3,符合题意，

综上所述，满足题意的实数a的值为0或一1。

(2)因为

所以a=a-3或a=2a—\o

当a=a—3时，有0=-3,不成立.

当a=2a—1时，有a=1,此时A中有两个元素一2,1,符合题意.综上知a=l。

10.已知集合4={xI匕2—8x+16=0}只有一个元素，试求实数大的值，并用列举法表

示集合A.

解：当k=0时，原方程变为一8x+16=0,

所以x=2,此时集合A={2};

当々W0时，要使一元二次方程丘2-&C+16=0有两个相等实根，需/=64—644=0,即%

=lo

此时方程的解为汨=及=4,集合A={4}.

1.1.2集合间的基本关系

/犊教材•确要直，

1.子集的概念

文字语言符号语言图形语言

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个

AUB（或B2A）

集合有包含关系,则称集合A是集合8的子集

2。集合相等与真子集的概念

定义符号表示图形表示

集合相等如果AGB,且8UA,就说集合A与8相等A=B

如果集合AUB,但存在元素且"A,A3（或

真子集

则称集合A是8的真子集BA）

3。空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.

(2)用符号表示为：2

(3)规定：空集是任何集合的子集.

4.子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集,即AQA。

(2)对于集合A,B,C,如果AU8,且BUC,那么AUC.

［小冏薇大思箱］

1.若AB,则AUB且4W8,对吗？

提示：对.：AB,首先AQB,其中B中至少有一个元素不属于A,即AWB.

2.任何集合都有真子集吗？

提示：不是，空集。就没有真子集.

3.{0}和。表示同一集合吗？它们之间有什么关系？

提示：{0}和。不是同一个集合.{0}表示含有一个元素0的集合是不含任何元素的集

合，且。{0}.

有限集合子集确定问题

［例1］写出集合4={1,2,3}的所有子集和真子集.

［自主解答］由。个元素构成的子集:。；

由1个元素构成的子集：{1},{2},{3};

由2个元素构成的子集：{1,2},{1,3},{2,3};

由3个元素构成的子集：{1,2,3}.

由此得集合A的所有子集为。，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3).

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.

1.求解有限集合的子集问题,关键有三点：

(1)确定所求集合；

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身。

2。一般地，若集合A中有〃个元素，则其子集有2"个，真子集有2"—1个，非空真子集有

2"-2个。

1.已知集合M满足{2,3}{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.

解:当M中含有两个元素时，M为{2,3}：

当M中含有三个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5);

当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};

当”中含有五个元素时,M为{2,3,1,4,5}.

所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,

3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5),集合M的个数为8.

集合间关系的判定

［例2］下列各式正确的是.

(1){«}£(a］；(2){1,2,3}={3,1,2)：(3)0={0};

(4){1}{xIxW5}；(5){1,3}{3,4}.

［自主解答］

题号正误原因

(1)V任何一个集合都是它本身的子集.

(2)V两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义.

(3)X元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0G{0}.

VI<5,・・・1£{才|启5}・・•・{1}&{xl后5}.又・・,{1}W{x|启5},

(4)V

{1}{x|运5}.

vie{l,3},但侔{3,4},.,.{1,3}。{3,4}.“”是"真包含于“

(5)X

的意思

［答案］(1)(2)(4)

集合间关系的判定的步骤：

首先，判断一个集合4中的任意元素是否属于另一集合B,若是，则AU8,否则

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合4,若是，则BUA,否则BA；,

最后，下结论：若BQA,则A=B；若AUB,BA,则A8;若AB,则8A；

若上述三种情况都不成立，则

［注意］有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合2,

3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}G{{1},1,2,3}与{1}£{{1},1,2,3}都正

确。

2.集合M={小2+L6=0},N={X|2X+7>0},试判断集合例和N的关系.

解:M={-3,2},'=错误!.

V-3>一错误!,2>一错误!，

：.-3^N,2^No：.MQN1,

又OWN,但04M,：.MNo

集合间关系的应用|

［例刃已知集合人={》I-3WxW4},B={xI2m-l<x<m+l},且BGA.求实数〃?的

取值范围.

［自主解答］\-BQA,

(1)当8=0时，m+lW2，〃-1,解得相22。

(2)当8W0时，有错误！

解得一1W，w(2,

综上得nt2一1.

(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.

(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，

还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实点表示，不含“=”用虚点表示.

(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会

想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.

3.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+\],且AN8,求a的值.

解："."A2B,而“2—/.a2—a+1GA.

a2-«+1=3或a2—a+1=a。

当“2—a+1=3时，a=2或a=—1。

(l)a=2时,A={1,3,2},B={1,3},这时满足条件A28;

(2)。=一1时，A={\,3,-1},B={1,3},这时也满足条件A2B。

当a2~a+\=a时，a=l,此时A={1,3,1},B={1,1},根据集合中元素的互异性,

故舍去a=\.

'.a的值为2或一1.

解题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走

易错题

高手出迷宫！

已知M={xI/-3x+2=0},7={加2-2%+“=0},若NUM,求实数a的取值范围.

［错解］VM={x|x2-3x+2=0}={1,2},

⑴当N={1}时,有错误!.•.a=L

(2)当N={2}时，有错误！不成立.

(3)当N={1,2}时，有错误！不成立.

所以，4=1。

［错因］空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽

略0,错解中没有考虑集合N为。的情况.

［正解］；M={xlx2-3x+2=0}={l,2},

又NUM,；.N=*N={1},或丁={2},或—={1,2}.

⑴当N=0时，方程/-2%+。=0的判别式/=4-4“<0,即位1.

(2)当N={1}时，有错误！

Cl=1.

（3）当"={2}时，有错误！不成立.

（4）当弓={1,2}时，有错误!不成立.

综上可知实数a的取值范围是

1.下列命题中，正确的有（）

①空集是任何集合的真子集；

②若AB,BC,则AC；

③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；

④如果不属于8的元素也不属于A,则AGB.

A.①②B.②③

C.②④D.③④

解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错;②真子集具有传递性，故②正确；③

若一个集合是空集，则没有真子集，故③错：④由韦恩（Venn）图易知④正确.

答案：C

2.设集合{xg-2}，则下列选项正确的是（）

A.{0}QMB.{0}

C.0WMD.0CM

解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误;选项D中是元素与集合之间的关系，

符号错误.

答案:A

3.已知集合4=*Ix是平行四边形},8={小是矩形},C={xIx是正方形},D=（x\x

是菱形}，则（）

A.AQBB.CNB

C.DQCD.AQD

解析:选项A错，应当是8aA.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.选

项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.选项D错，应当是。UA.

答案：B

4.己知。{xIx2—x+n=0},则实数a的取值范围是.

解析：{xIx2—x+a=0}.

{xIx+a=O}#0.

即N—x+“=0有实根.

；./=（—I）2—4a20,得aW错误!.

答案:“W错误！

5.若{a,0,1}—{c,错误!，—1},则“=,b=,c—.

解析：；错误!WO,.*.c=O,'.a=—\,错误！=l.，a=—1,6=1。

答案:T10

6.已知集合4={-1,3,2m-1）,集合B={3,m2},若求实数机的值.

解：：.m2=~\,或而=2〃?-1,当加=-1时，显然无实数根；当〃户=2胆一1

时，机=1....实数机=1.

一、选择题

I.已知集合时={xGZI-3GW1},则它的真子集的个数为（）

A.12B.14

C.15D.16

解析：-3GW1}={-2,共有4个元素，，它的真子集共有

24-1=15个.

答案:C

2.定义集合A*2={xlxGA,且制B},若4={1,2,3,4,5},B={2,4,5}，则

的子集个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：由题意知A*8={1,3},

：.A*B的子集个数为22=4个.

答案：D

3.已知集合"={川一错误!<x<错误!，xdZ},则下列集合中为集合〃子集的是（）

A.P={-3,0/}

B.。={-1,0,1,2}

C./?={y|—n<y<—I,yCZ}

D.S={xIIxlW"x《N}

解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系.集合用={-2,-1,0,1},集

合/?={-3,—2},S={0,1},不难发现集合户中的元素一3庄M,集合。中的元素2阵M,集

合R中的元素一34M,而5={0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以SUM,且S

答案：D

4.已知集合AQ{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（）

A.6B.5

C.4D.3

解析：集合{0,1,2}的子集为：。，{0},⑴，{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2）,

其中含有偶数的集合有6个.

答案：A

二、填空题

5.已知集合A={x|a-lWxWa+2},B={xI3G<5},则能使A^B成立的实数a

的取值范围是.

解析：：人二民.•.错误！

，3«4.

答案：3Wa<4

6.设a,6CR,集合{0,错误！，b}={1,a+b,a},则6—。=.

解析：由题意可知。#0,则“+6=0,a=—h,所以错误！=—1,则a=-1力=1,故b

—a=2.

答案：2

7.下列关系中正确的是.

①。G{0};②。{0};③{0,1)£{(0,1)}；

④{(a,b)}={(/?,a)}.

解析：{0},...①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一

个元素的点集，③错误；{(a,%)}与{⑵a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②。

答案：②

8.已知集合尸={1,2},那么满足QQP的集合的个数是.

解析：：尸={1,2},QQP,

二集合。可以是。或{1}或{2}或{1,2}.

答案：4

三、解答题

9.由“2,。，广三个元素构成的集合与由“2a,2,b2),三个元素构成的集合是同一个集

合，求a,b的值.

解：根据集合相等，有

错误!或错误！

解得错误!或错误!或错误！

再根据集合元素的互异性，得错误!或错误！

10.设集合A={xpc2—5x+6=0},B={xIx2—(2a+l)x+a2+a=0},若BUA,求

。的值.

解：法一：A={xIx2-5x+6=0}={2,3},由BUA得，B=。,或B={2},或B

={3),或8={2,3},由于/=(2a+l)2-4a2-4a=l>0,

.♦.BW。，且B含有两个不同元素.

：.B={2,3},需2a+l=5和-+4=6同时成立，

♦・。=2。

综上所述：4=2.

法二：A={xI，-5x+6=0}={2,3},

B={x\x2—(2a+l)x+a2+fl=O}={xI(,x-a)-

(x—a—1)=0}={a,a+1},

•."a+1,

当BQA时，只有a=2且a+1=3.

a=2.

1.1.3集合的基本运算

第一课时并集与交集

［裱激冰娘要直)

1.集合的并集与交集的定义

并集交集

自然由所有属于集合A或属于集合B的元素山属于集合4且属于集合B的所有元素

语言组成的集合组成的集合

符号

AnB={x|xeA且XWB}

语言

图形

语言

2.并集与交集的运算性质

并集的运算性质交集的运算性质

AUB=BUAAQB=BQA

AUA=AAQA=A

AU0=AAri0=0

台AU8=£

AUB^AA^B^B4G恒8,AG恒4

/小问爱人思耀/

1.若A={1,2,3},B={3,4,5},那么AUB={1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示AUB

和ACIB?

提示:AU8={1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性;AU8={1,2,3,4,5},

AAB={3}.

2.你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？

提示:并集中的“或”与生活中“或”是不一样的.生活用语中的“或”是“或此”“或

彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包

括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”.

3.若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？

提示:当两集合A与8没有公共元素时，不能说集合A与8没有关系，而是ACB=0.

集合交并的简单运算

［例1］已知集合人={疝x-l)(x+2)=0},B={xI(x+2)(x-3)=0},则集合

AUB是()

A.{-1,2,3}B.{-1,-2,3)

C.{1,-2,3}D.{1,-2,-3}

［自主解答］A={x［(x-l)(x+2)=0}={1,-2};B={xI(x+2)(x-3)=0}

={-2,3},

.•.AUB={l,-2}U{-2,3}={-2,1,3}.

［答案］C

解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可

以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示

的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.

1.已知集合4={x\~\<x^3},B={x|x<0,或X2错误！},求AAB,4U8。

解：,.，A={xI—1VxW3},B={xIxWO,或x/错误！},

把集合A与B表示在数轴上，如图.

...ACl8={x|-l<xW3}n{xIxWO或错误!}

={R-1<xW0或错误!WxW3};

AUB={x|-lVxW3}LJ{x|xWO或xN错误！}=R。

已知集合交集、并集求参数

［例2］己知集合4={l,3,x},8={1万},AUB={1,3,x},求满足条件的实数x的值.

［自主解答］VAUB={1,3,幻4={1,3,x},B={l,/},

.,.AUB=A,即BUA,

.*.x2=3或x2=x.

①当炉=3时，得》=士错误!.

若》=错误!，则A={1,3,错误！},8={1,3},符合题意；

若》=一错误！，则4={1,3,一错误！},B={1,3},符合题意.

②当r=x时，则x=0或x=l.

若x=0,则4={1,3,0},B={l,0},符合题意；

若》=1,则4={1,3,1},B—{1,1},不成立，舍去：

综上可知，或x=0。

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到AC1B=A,AUB=8等这类问题，

解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A

等,解答时应灵活处理。

(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性.

2.已知集合人={4,6},B={2,m］,AU8={2,4,6},则根的值为

解析：{4,6},B={2,m},

而AUB={2,4,6},

或m—6o

答案：4或6

解题

妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！

高手

集合A={x*—ox+a2-］9=0},8={xIx2—5x+6=0},C—{x|x2+2x—8=0}.

(1)若ACB=4UB,求”的值；

(2)若0An&AnC=0,求a的值.

［巧思］(1)AC8=AUBOA=8；(2)。ACBOACB#。.

［妙解］由已知，得3={2,3},C={2,-4}.

(l)：An8=AUB,..*二台.于是2,3是一元二次方程/一分+/-19=0的两个根，由

根与系数之间的关系知:错误！解之得a=5.

(2)由4nB。04ABW0,又AAC=0,得3EA,24A,一4注4。

由3GA得32—3。+出-19=0,

解得a=5或a——2.

当a=5时，A={xIN-5x+6=0}={2,3},与2M矛盾；

当〃=-2时，A={xk2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.

-2<>

1.已知集合〃={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是()

A.NJMB.MUN=M

C.MCN=ND.MCN={2}

解析：因为一2的W,可排除A;MUN={-2,1,2,3,4},可排除B:MCN={2}.

答案：D

2.设A={xWNUWxWlO},8={xWRM+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合

为()

A.{2}B.{3}

C.{-3,2}D.{-2,3}

解析：注意到集合4中的元素为自然数，因此易知人={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直

接解集合8中的方程可知8={-3,2},因此阴影部分显然表示的是AC8={2}.

答案:A

3.设集合M={4—3Wx<7},N={xI2x+左W0},若MCN手则k的取值范围是（）

A.%W3B.%与一3

C.k）6D.kW6

解析：因为N={xI2x+AW0}={xIxW—a},

且MAN#。,所以一错误!2-30kW6。

答案：D

4.已知集合4={xIx是平行四边形},8={小是菱形},C={x|x是矩形},则AClBCC

解析：•••ACB={xIx是菱形}

...AC8nC={x巾是正方形}.

答案:{xIx是正方形}

5.已知集合用={0,1,2},N={xIx=2a,aGM},则集合MAN=.

解析:由加={0,1,2},知N={0,2,4},

MCIN={0,2}.

答案：{0,2}

6.设集合A={a2,a+\,-3},B={4-3,2a-l,a2+l}{-3},求实数

解：♦.,ACB={-3},A-3SB.

Va2+l^-3,

二①若〃一3=—3,则a=0,

此时A={0,1,-3},B={-3,-1,1},

但由于ACB={1,—3}与已知AC1B={-3}矛盾，

：.a^0.

②若2a~\=~3,则a=~\,

此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},AQB={-3},综上可知”=一1。

一、选择题

1.已知集合4={x\x^0},B={xI-l〈xW2},则AUB=()

A.{xlx>一1}B.{x|xW2}

C.{x|0〈x<2}D.{x[l<x<2}

解析：结合数轴得4U8={x|x与一1}.

答案:A

2.设集合M={xI-3<x<2],N={xUWxW3},则MCN=()

A.{x|lWx<2}B.{x|lWxW2}

C.{x[2<xW3}D.{x|2WxW3}

解析：{xI-3"<2}且'={RlWxW3},

：.MHN={x\l^x<2}.

答案：A

3.设4={x|-3WxW3},fi={y\y=-^+t].若ACB=。，则实数r的取值范围是()

A.t〈一3B.fW—3

C.r>3D.

解析:B={yIyWf),结合数轴可知f〈一3。

答案：A

4.已知集合A={x|-2WxW7},8={•"+1<x<2m-1},且BW。,若AU8=A,则()

A.-3Wn/W4B.-3<m<4

C.2<m<4D.2VmW4

解析:,.•AUB=4,；.BU4.又B",

.••错误！即2<〃W4。

答案：D

二、填空题

5.已知集合4={1,2,4},B={2,4,6},则AUB=。

解析：集合A,B都是以列举法的形式给出，易得AUB={1,2,4,6}.

答案:{1,2,4,6)

6.已知集合A={加25},集合B={x\x^m),且AC8={xI5WxW6},则实数m=

解析：用数轴表示集合A、8如图所示，

由于AC8={xI5WxW6},

则777=6.

答案：6

7.已知集合人={x仅Wl},8={x\x^a},且AUB=R,则实数。的取值范围是.

解析:如图所示，若AUB=R,则aWl.

答案：aWl

8.已知集合A={(x,y)仅=奴+3},B={(x,y)\y=3x+b),ACB={(2,5)}，则a

,b=.

解析：：ACB={(2,5)).

，5=2。+3。：.a=\.

：.5=6+b.：.b--la

答案：1一1

三、解答题

9.已知集合A={x|—lWx<3},B={x|2x—42x-2}.

(1)求AAB：

(2)若集合C={x|2x+a>0),满足8UC=C,求实数a的取值范围.

解：(1)-：B={xIx^2］,A={xI-1WXV3},

：.AQB={xI2Wx<3}.

(2)VC=UIx>一错误！},BUC=C㈡BQC,：.a>~4o

10.已知集合4=错误！，集合B={〃力3>2〃］一1},求AA8工U8.

解：解不等式组错误!得一2a<3,

则4={xI—2〈X〈3},

解不等式3〉2m—1,得，*〈2,则8=