2023-2024学年湖南省岳阳市高一年级上册入学考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳市高一上学期入学考试数学质量检测

模拟试题

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

I.下列运算正确的是（）

A.(2A/3-V5)(2A/3+V5)=1B.V125-V45=275

20

D.811160+2^=—

2

2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则N1的度数为（）

3.已知。-=V7,则an—=()

aa

A.±73B.±3C.±VTTD.±11

4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大

于2的偶数都可写成两个奇素数之和•这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我

国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，

其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”•我们知道素数又叫

质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数•请问同学们,

如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？

()

A.6B.10C.12D.16

5.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

B.△C./X

可回收物其他垃圾有害垃圾厨余垃圾

6.A/IBC中，若//：NB：ZC=12：3,G为。6c的重心，则△G48面积：AGBC面积:

△G4C面积=()

A.1：2：垂IB.1：百：2C.2：1：y/3D.1：1：1

7.如图，在平行四边形48CD中，AD=2,48=4,乙4=30。，以点A为圆心，的长为半

径画弧交N8于点E,连接CE,则阴影部分的面积是（）

A.2」B.3/C.3。」D.2百二

3333

8.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为20%,又在新盐水中加入与

前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为33；%,那么原来盐水的浓度为（）

A.23%B.25%C.30%D.32%

9.一条抛物线＞=。/+/+＜：的顶点为（4,-11）,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则0、

b、。中为正数的（）

A.只有。B.只有bC.只有cD.只有。和6

11.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14

根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第〃个图形需要2022根小木

棒，贝！1〃的值为（）

第1个图形第2个图形

A.252B.253

12.如图所示，已知三角形/BE为直角三角形，43£=90。*<:为圆。切线，C为切点，CA=CD,

则“3C和ACDE面积之比为（）

A.1:3B.1:2C.V2:2D.（四-1）:1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知实系数一元二次方程x'+mx-优=0的两根分别为4%，且卜-即=2,则实数加的值

为.

14.对于实数。，b,定义符号min{a,b},其意义为：当时，min{a,b}=b；当时，

min{a,6}=。例如：min{-2,l}=-2,若关于x的函数y=min{3x-l,-尤+2},则该函数的最大值

为.

15.火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用

了16秒，求这列火车的长度为.

16.如图，AA8C是边长为6的等边三角形，点E为高3。上的动点.连接将CE绕点C顺时

针旋转60。得到CE连接/凡EF,DF,贝UACD下周长的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：

(l)(7i-l)°-V9+2cos45°+(1

(2)解方程：|3x-2|=x+2.

18.某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：4绘

画；A唱歌；C.演讲；D十字锈•学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程•学

校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图•

请结合统计图中的信息，解决下列问题:

课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图

(1)这次学校抽查的学生人数是

(2)将条形统计图补充完整;

(3)求扇形统计图中，B课程部分的圆心角的度数;

(4)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人?

19.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变

化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始

分散•学生注意力指标数了随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集

中).当04x410时，图象是抛物线的一部分，当10WxW20和204XW40时，图象是线段.

(1)当0V尤V10时，求注意力指标数了与时间X的函数关系式；

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的

指标数都不低于36.

20.阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所

示)，它揭示了(。+"("为非负数)展开式的各项系数的规律.

1

I=

I1(a+b)a+b

22J

121(a+b)=a4-2ab+b

(a+bF=a'+3a'b+3ab，+b'

13314<22{4

14641(a+b)4=a+4ab+6ab+4<ib+b

根据上述规律，完成下列问题:

⑴直接写出(。+4=

(2)(。+1)8的展开式中a项的系数是.

(3)利用上述规律求1代的值，写出过程.

21.如图，28c内接于。。，AD为。。的直径，AD与ZC相交于点H,ZC的延长线与过点B

的直线相交于点E,且ZA=NEBC.

(1)求证：8E是。。的切线;

（2）已知CG//EB,且CG与2。，切分别相交于点尸，G,若86・助=48,FG=母,DF=2BF,

求///的值.

22.在平面直角坐标系中，抛物线y=--2x-3与X轴相交于点A,3（点A在点3的左侧），与N

图1图2

⑴求点8,点C的坐标；

⑵如图1,点£（冽,0）在线段上（点E不与点3重合），点尸在了轴负半轴上，OE=O尸，连接的,

BF,EF,设△ZCb的面积为百，所的面积为邑，S=St+S2,当S取最大值时，求加的值;

（3）如图2,抛物线的顶点为。，连接C。，3C,点P在第一象限的抛物线上，与BC相交于点

Q,是否存在点尸，使NPQC=NACD,若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

1.B

【分析】根据已知条件，结合二次根式的运算法则，以及三角函数的特殊角的取值,即可求解.

【详解】对于A,(2^/3-V5)(273+V5)=(2A/3)2-(V?)2=7,A错误;

对于B,V125-V45=575-375=275,B正确；

对于C,国+[-；疗]=-4,C错误；

对于D,sin260°+2V3=-+2V3,D错误.

4

故选：B

2.C

【分析】根据平行线的性质，结合三角板的特征进行求解即可.

【详解】如图所示：

因为AB//DE,

所以/斤48=/阳£=30。

所以4=45。-30。=15。，

故选：C.

3.C

【分析】根据完全平方公式求解即可.

【详解】因为—)~=。~+2H--=(a)2+4=7+4=11,

aaa

所以。H—=土，

a

故选：C

4.A

【分析】根据题意，分析可得有4个符合题意的素数，由列举法可得答案.

【详解】根据题意，在不大于8的自然数中，素数有2、3、5、7,共4个,

则取出2个数都是素数的取法有（2,3）,（2,5）,（2,7）,（3,5）,（3,7）,（5,7）共6种,

故选：A.

5.C

【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义，结合选项即可得解.

【详解】由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，

其他选项均不符合.

故选：C

6.D

【分析】由重心的性质判断.

【详解】如图所示，延长三条线分别交三角形三边于。，及尸三点，由重心的概念知其为各边的中

点，

则A4CF的面积尸的面积，AAGF的面积=ABGF的面积，

所以SaACG=S、BCG>同理可证明S&GAB=S.GBC-

所以△G4B面积：AGBC面积：ZiG/C面积=1：1：1.

【分析】过点。作求出。尸，再结合扇形面积公式，即可求解.

【详解】解：过点。作。尸如图所示：

N/=30°,则。尸=！AD=LX2=1,AE=AD=2,CD=AB=4

22

则梯形4ECQ的面积E=1x（2+4）xl=3,扇形4/足的面积S?=迎叱=工

2v723603

所以阴影部分面积为s=S「邑=3-1

故选：B.

8.B

【分析】根据溶液x浓度=溶质，可得到两个方程，解方程组即可.

【详解】解：设原盐水溶液为。克，其中含纯盐加克，后加入“一杯水''为尤克,

(Q+X)X20%=m

依题意得：

(Q+%+x)x33—%=m+x

解得a=4m,

IT]yyi

故原盐水的浓度为生xl00%=mxl00%=25%,

a4m

故选：B.

9.A

【分析】根据有两根和顶点坐标的符号确定。，b的符号，再根据韦达定理确定c的符号.

【详解】解：因为与x轴有两个交点所以办2+法+0=0时，A＞0,BPb2-4ac＞0,

设两根为％1，%2，

因为顶点为（4,-11）,所以，

=-11<0

又因为与X轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以玉%2=g＜0，因为〃＞0,所以c＜0.

故选：A

10.B

【分析】利用反比例函数与一次函数的性质，对上分类讨论，判断符合的选项.

【详解】当上＞1时，k-l＞0,反比例函数y=B在（0,+句上应有了＞0,且单调递减,

X

而一次函数＞=左（、+1）（左w°，左W1）的斜率大于1，故此时，A、B、C、D都不可能.

当0V左＜1时，左-1＜0,反比例函数〉=勺。在（0,+。）上应有V＜o,且单调递增，

而一次函数〉=左（工+1）（左的斜率左满足0＜左＜1,故只有B成立.

当左＜0时，k-\＜-\,反比例函数＞=人~」■在（0,+8）上应有歹＜0,且单调递增，

x

而一次函数v"（x+l）仅7°，左N1）的斜率左满足左＜-1，故此时，A、B、C、D都不可能,

故选：B.

11.B

【分析】拼第1个图形需要6xl+2x0=6根小木棒，拼第2个图形需要6x2+2x1=14根小木棒，

拼第3个图形需要6x3+2x2=22根小木棒，从而拼第"个图形需要6〃+2x(〃-1)=2022根小木棒,

由此能求出〃.

【详解】解：拼第1个图形需要6xl+2x0=6根小木棒，

拼第2个图形需要6x2+2x1=14根小木棒，

拼第3个图形需要6、3+2、2=22根小木棒，

则拼第"个图形需要6«+2x(w-l)=2022根小木棒，解得”=253.

故选：B.

12.B

【分析】连接OC,过点8作，NE于M利用几何关系证明出^ABM^DEC,得到**=喋,

3△DCE乜。

即可求解.

【详解】如图，连接OC,过点5作于M

VBC是。。的切线0C为半径,I.OC1BC，即/DCE=90°=ZOCD+/BCD.

,:DE是。。的直径,:./DCE=90°,ZDCA=180-90°=90°=/BCD+NBCA,/.ZOCD=ZBCA.

•JOC=OD,ZOCD=NODC,/.ZODC=NBCA.

•・・/ABE=90°,...//+/£=90°=ZE+NODC,ZA=/ODC,/.N4=/BCA,BA=BC.

BMAC,：.AM=MC=-AC.

2

・.・ZA=ZCDE,ZAMB=ZDCE=90°^ABM^^DEC

ACBM

.AM=.S^ABC_l-1

"DC~2~EC"lCD_ECEC2'

2

故选：B.

13.±272-2

【分析】利用韦达定理求出玉+/广出，再根据恸-Xz|=+芍)2-4占马即可得解.

【详解】由题意可得八=加2+4加＞0,解得加＞0或冽＜一4,

X]+%2=_加,X1X2-~m，

则上1_X21=j('l+12)2_4再入2=J「2+m=2,解得加=±2也—2.

故答案为.±2及-2

14.，

4

【分析】根据符号min{a,b}的意义，结合函数图像求解即可.

【详解】在平面直角坐标系中画出了=3x-l和了=-x+2的图像，根据符号min{a,b}的意义可知,

截取交点及其下方的图像，得到函数片min{3x-1,-x+2}的图像:

冲

'_3

[y=3x-1X~4

联立方程广。，解得:.

\y=-x+25

尸a

所以函数最大值为*

吟

15.94米

【分析】根据速度、时间、路程之间的关系进行求解即可.

【详解】解：火车以原来的速度通过162米长的铁桥，要用16x2=32秒,

火车原来的速度为(162-82)+(32-22)=80+10=8米/秒，

火车的长度为8x22-82=176-82=94米.

故94米.

16.3+3百##3百+3

【分析】由已知条件可得尸(SAS),则得/C4b=/C3£=30。，作点C关于"的对

称点C',连接。C',设CC'交互于点。，则当，尸,C'三点共线时，FC+ED取得最小值，再结

合已知条件可求出ACOW周长的最小值

【详解】•••点E为高8。上的动点.

・•・将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF,且28C是边长为6的等边三角形,

CE=CF,ZECF=ZBCA=60°,BC=AC,:.ZBCE=ZACF,

：.xCBE=AG4F(SAS),.\NCAF=NCBE=30°,

点厂在射线上'上运动，

如图，作点C关于心的对称点C',连接DC,

设CC'交"'于点O,贝1]乙40。=90。，

在Rt“OC中，ZG4O=30°，贝i]CO='/C=3,

2

则当D,F,C三点共线时，FC+FD取得最小值，

即尸C+FD=F'C'+FN>=CZ>,

CC=AC=6,ZACO=ZCCD,CO=CD,

;^ACO=AC'CD(SAS),;.ZCDC=ZAOC=90°,

在AC'DC中，C'D=\lcc'2-CD2=V62-32=373，

.•.△CDF周长的最小值为CD+FC+FD=CD+C'D=3+36

故答案为.3+3百

17.(1)3+72

⑵0或2

【分析】(1)根据零次幕的性质、算术平方根的意义、特殊角的余弦值、负整数幕的运算性质进

行求解即可；

(2)根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】(1)(7i-l)0-V9+2cos45°+(1)-1

=l-3+2x—+5

2

=3+V2;

2

(2)当—时，

3

3x-2=x+2,解得x=2,故x=2,

当X<g时，

2—3x=x+2,解得x=0,故x=0,

综上所述，原方程的解为0或2.

18.(1)40A

(2)图见解析

(3)126°

(4)100人

【分析】由条形统计图和扇形统计图的概念与频率公式求解.

【详解】(1)12+30%=40(人),

这次学校抽查的学生人数是40人；

(2)样本中选择C课程的人数为：40-12-14-4=10(人)，

补全条形统计图如下：

课程选择情况条形统计图

(3)360°x—=126°,

40

即B课程部分的圆心角的度数为126。；

4

(4)lOOOx—=100(A),

40

即该校1000名学生中报。的大约有100人.

1?4

19.(l)y=~~x2++20,OVxVIO；

⑵可以.

【分析】(1)设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出注意力指标数y与时间x的函数关系

式.

(2)根据(1)中的函数解析式，求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36的x值，

即可得到结论.

【详解】(1)当OVxVIO时，设抛物线的函数关系式为卜=62+法+°,而其图象经过点(0,20),

(5,39),(10,48),

c=20

.…194

因止匕r25a+5b+c=39,解得。=——,b=——,c=20；

100a+106+c=48

174

所以注意力指标数y与时间X的函数关系式为y=-『2+gx+20,04x410.

(2)观察图象知，当10〈尤＜20时，＞=48,

当204x440时,设＞=履+"显然函数图象过点(20,48),(40,20),

f20左+6=4877

即有40左+6=20，解得笈=一二力=76,则当204x440时，y=--x+76,

I?4

当0V尤V10时，令了=36,得36=+彳》+20,解得x=4,

74

当20VxW40时，令了=36,得36=—1尤+76,解得x=281,

44

显然有28--4=24-＞24,

77

所以老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.

5322345

20.(1)«+5/Z,+10ab+1Oab+5ab+b

(2)8

(3)答案见解析

【分析】(1)由杨辉三角规律求解，

(2)由二项式定理求解，

(3)转化为(10+1)5展开后求解.

【详解】(1)由杨辉三角图可得(。+35=/+5/6+10/62+10/63+5加+/

(2)由杨辉三角的性质可得他+球的展开式二项式系数可知展开式中。项的系数为C；=8；

(3)115=(10+1)5=1O5-1O+5X1O411+1OX1O3-12+1OX1O2-13+5X1OI-14+1OO-15

=100000+50000+10000+1000+50+1=161051

21.(1)证明见解析

⑵成

3

【分析】(1)欲证明8E是。。的切线，只需证明NE3D=90。.

(2)由AZSCSACBG,得gC=0且，根据条件即可求出8C,再由尸CS^BCD,得

BGBC

BC°=BF-BD,根据条件即可求出3月，CF,CG,GB,再通过计算发现CG=/G,进而可以

证明CH=CB,求出/C即可得出答案.

【详解】(1)连接C。，如图所示：

Q是直径，

ZBCD=90°,即/D+/C5D=90°,

•••ZD=ZA,ZEBC=ZA,

:.ZEBC+ZCBD=90°,

BE1BD,

:.BE是OO的切线.

(2)-.-CG//EB,

NEBC=ZBCG,

ZBCG=ZA,

V/ABC=NCBG,

“ABCsKBG,

BCAB目.，

••———~~~BPBC=BG•BA,

B(JBC

又BG-BA=48,

:.BC=A6，

•：CG//EB,

:,CF1BD,

丛BFCs/\BCD,

/.BC2=BF•BD,

DF=2BF,

:.BF=4,

在RtABFC中，CF=ylBC2-FB2=4收，

:.CG=CF+FG=5C，

在RtAftFG中，BG=^BF2+FG2=372>

BG，BA=48,

:.BA=8B即/G=50，

:.CG=AG,

ZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

NCHF=NCBF,

CH=CB=473，

・"ABCsKBG,

ACBCBCCG20G

即/C=

~CG5GBG3

AH=AC-CH^—

3

关键点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质.

22.(1)(3,0),(0,-3)

(2)1

(3)存在，(4,5)

【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B,C的坐标;

(2)由点A,B,C的坐标可得出CM,OB,OC的长度，由点£的坐标及OE=。尸，可得出OF,

BE,CF的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出S关于加的函数关系式，再利用二