2021-2022学年北京东城区初三第一学期数学期末试题及答案

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2021-2022学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答

案

一、选择题（每题2分，共16分）

1.一元二次方程2/+x—5=°的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,1,5B.2,1,—5C.2,0,—5D.2,0,

5

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，

以及常数项即可.

【详解】解：•.•一元二次方程2x2+x-5=0,

•••二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5,

故选：B.

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0

（a#0）.

2.下列四个图形中，为中心对称图形的是（）

碘&mi

【答案】B

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

【详解】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重

合，所以是中心对称图形；

选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心.

3.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（）

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A.N=x-+3B,少=刀2-3c,尸(9+32口.

y=(X-3)2

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是＞+3

故选：A

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键.

4.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)1).(-

2,—3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求得.

【详解】解：点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是(一2,一3)

故选D

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握''关于原点对称的两个点，横坐

标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键.

5.用配方法解方程x2+4x=l,变形后结果正确的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2/=2C.(X-2)2=5D.(X-2)2

=2

【答案】A

【解析】

【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案.

【详解】解:x2+4x=l

+4x+4=1+4

即(X+2)2=5

故选A

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键.

6.中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，寓”的位置在“.....”(图中虚

线)的下方，“焉”移动一次能够到达的所有位置已用标记，则“焉”随机移动一

次，到达的位置在“，.…”上方的概率是()

2

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A.8B.6c.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】用“一-"（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案.

【详解】解：观察“焉”移动一次能够到达的所有位置，即用标记的有8处，

位于“一-”（图中虚线）的上方的有2处，

2_]_

所以“焉”随机移动一次，到达的位置在“一一”上方的概率是§4,

故选：C.

【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事

件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=〃.

7.如图，PA,PB是。0的切线，A,B是切点，点C为00上一点，若NACB=70°,则NP

的度数为（）

A.70°B.50°C.20°D.40°

【答案】D

【解析】

【分析】首先连接0A,0B,由PA,PB为。。的切线，根据切线的性质，即可得

Z0AP=Z0BP=90o,又由圆周角定理，可求得/A0B的度数，继而可求得答案.

【详解】解：连接0A,0B,

3

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VPA,PB为。。的切线，

.，•Z0AP=Z0BP=90°,

VZACB=70°,

AZA0B=2ZP=140°,

；./P=360°-Z0AP-Z0BP-ZA0B=40°.

故选：D.

【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的

应用.

8.如图，线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点

B,以点A为圆心，线段AP长为半径作圆.设点P的运动时间为t,点P,B之间的距离为

y,OA的面积为S,则y与t,S与t满足的函数关系分别是（）

\AJpB

A正比例函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，正比例函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系D.正比例函数关系，二次函数关系

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分别列出y与t,S与t的函数关系，进而进行判断即可.

【详解】解：根据题意得40=,，PB=AB-AP=5-t,

即尸5T（0Q5）,是一次函数；

OA的面积为S=^XZP2=R2,即S=.2（OVY5）,是二次函数

故选C

【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达

式是解题的关键.

二、填空题（每题2分，共16分）

9.抛物线歹=一3（》—1）2+2的顶点坐标是.

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【答案】（1,2）

【解析】

【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案.

【详解】••♦y二-3（"-1）2+2是抛物线的顶点式，

顶点坐标为（1,2）.

故答案为：（1,2）

【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法.解题的关键是熟知

顶点式的特点.

10.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一个根为1,则m的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1,将x=l代入可以得到m的值，本题

得以解决.

【详解】解：I•关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1,

l_2+m=0,

解得m=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件.

11.写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,2）的抛物线的解析式

【答案】卜=*+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据题意，写出一个°>°，c=2的解析式即可

【详解】解：根据题意，">°，c=2

故y=f+2符合题意

故答案为：V=/+2（答案不唯一）

【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质

是解题的关键.

12.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不

同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜

色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与

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“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为

摸出黑球”的频率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2-••••••••••

__________1111111111A.

O50100I5O2OO250300350400450500摸球的总次数

【答案】02

【解析】

【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑

球”的概率.

【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2,

故答案为：0.2.

【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不

能估计概率.

13.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征

路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数

增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为.

【答案］I。。+x)~=12.1

【解析】

【分析】根据题意可得4月份的参观人数为l°(x+D人，则5月份的人数为+

根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可.

【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为1°(1+幻2=12」

故答案为：1°Q+4=12」

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关

键.

14.如图，将AABC绕点A顺时针旋转得到AADE,若NDAE=110°,NB=40°,则NC的度

数为________.

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【解析】

【分析】先根据旋转的性质求得NO5,再运用三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：；将AABC绕点A顺时针旋转得到AADE,ZDAE=110°

：.ABAC=^DAE=\\Q°

Z5=40°

ZC=180°-Z5-ABAC=180o-40°-110°=30°.

故答案是：30°.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质

是解答本题的关键.

15.斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜(hudn)其外，

旁有鹿(tiao)焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心

圆”.如图所示，

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“虎旁”为两寸五分(即两

同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为尺.

【答案】O

【解析】

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【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得ND=90°,CD=DE,从而得到CE是直径,

ZECD=45°,然后利用勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，

•.•四边形CDEF为正方形，

.\ZD=90°,CD=DE,

，CE是直径，ZECD=45°,

根据题意得：AB=2.5,CE=2.5-0.25x2=2,

•••CE2=CD2+DE2=2CD2f

CD=41,

即此斛底面的正方形的边长为后尺.

故答案为：五

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股

定理是解题的关键.

16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是边DC,CB上的动点，且始终满足DE

=CF,AE,DF交于点P,则NAPD的度数为；连接CP,线段CP长的最小值为

【答案】①.90°②.V5-1

【解析】

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【分析】利用“边角边”证明4ADE和4DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得NDAE

=NCDF,然后求出NAPD=90°,从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD

的中点和C的连线交弧于点P,此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC,即可求得

CP的长.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，

AD=CD,ZADE=ZBCD=90°,

AD=CD

<NADE=ABCD=90°

£)£=CF

在AADE和ADCF中，1，

/.△ADE^ADCF(SAS)

；./DAE=/CDF,

VZCDF+ZADF=ZADC=90°,

；./ADF+/DAE=90°,

AZAPD=90°,

由于点P在运动中保持NAPD=90°,

点P的路径是一段以AD为直径的弧，

取AD的中点Q,连接QC,此时CP的长度最小,

贝ijDQ=2AD=2X2=l,

在RtACQD中，根据勾股定理得，CQ="A+QD-=VF+F=亚,

所以，CP=C0-QP=^-l.

故答案为：9°；

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定,

能综合运用性质进行推理是解此题的关键.

三、解答题(共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7

分)

17.解方程：Jt2-2x-8=0.

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【答案】芭"一2'/=4.

【解析】

【分析】利用配方法变形为(X—1)2-9=°,再根据平方差公式变形为(x+2)(x-4)=°

即可求解.

【详解】••,/一2》一8=°,

.•.(X—-9=0

(x-1+3)(x-l-3)=0

/.(x+2)(x-4)=0

则x+2=0或x-4=0,

解得西=一2,W=4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的

几种方法.

18.如图，AB为。0的弦，0C_LAB于点M,交。0于点C.若。0的半径为10,0M：MC=

3：2,求AB的长.

【解析】

【分析】连接0A,根据。。的半径为10,0M：MC=3：2可求出0M的长，由勾股定理求出

AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可.

【详解】解：如图,连接OA.

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VOM：MC=3：2,OC=10,

33

—OC=—xio

0M=55=6.

VOC±AB,

.\Z0MA=90o,AB=2AM.

在RtZXAOM中，A0=10,0M=6,

2222

.AM=^O-OM=y/10-6=8.

AAB=2AM=16.

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键.

19.下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知:©0.

求作：。。的内接等腰直角三角形ABC.

作法：如图,

①作直径AB；

②分别以点A,B为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧交于M点:

③作直线M0交。0于点C,D；

④连接AC,BC.

所以AABC就是所求的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB,

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，M0是AB的垂直平分线.

.".AC=.

；AB是直径,

AZACB=（）（填写推理依据）.

...△ABC是等腰直角三角形.

【答案】（1）见解析；（2）BC,90°,直径所对的圆周角是直角

【解析】

【分析】（D过点0任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM,直线MO交。。于

点C,D；连结AC、BC即可;

（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC,根据圆周角定理得出NACB=90°即

可.

【详解】（1）①作直径AB；

-AB

②分别以点A,B为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧交于M点；

③作直线MO交于点C,D；

④连接AC,BC.

所以4ABC就是所求的等腰直角三角形.

\D

（2）证明：连接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB,

；.MO是AB的垂直平分线.

.\AC=BC.

；AB是直径,

...NACB=90°（直径所对的圆周角是直角）.

/.△ABC是等腰直角三角形.

故答案为：BC,90°,直径所对的圆周角是直角.

【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性

质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题

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关键.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c的部分图象经过点A(0,一

3),B(l,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)结合函数图象，直接写出y<0时，x的取值范围.

【解析】

Jc=-3

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出1"+2+。=°解方

程组即可：

(2)先求抛物线与x轴的交点，转化求方程/+2%-3=°的解，再根据函数yvo,函

数图像位于x轴下方，在两根之间即可.

【详解】解：(1)抛物线丁="r+2”+。经过点人(0,-3),B(l,0)代入坐标得：

c=-3

a+2+c=0

c=-3

<

解得M=1,

所求抛物线的解析式是V=X2+2X-3.

(2)当y=0时，x2+2x-3=0,

因式分解得：(”+3)(x-1)=0,

•••x+3=0,x—1=0，

.石=-3,x=\

••2，

当yVO时，函数图像在x轴下方,

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，y<0时，x的取值范围为

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，

方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程

组是解题关键.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，^OAB的顶点坐标分别为0(0,0),A(5,0),B

(4,-3),将aOAB绕点0顺时针旋转90°得到△0A'B',点A旋转后的对应点为A'.

(1)画出旋转后的图形AOA'B',并写出点A'的坐标；

【答案】(1)见解析，⑷的坐标为(°，-5)；(2)丽一5”

【解析】

【分析】(1)将点A、B分别绕点0顺时针旋转90°得到其对应点，再与点0首尾顺次连

接即可；

(2)根据弧长公式求解即可.

【详解】解：(1)如图,△OA'B'即为所求.

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点/'的坐标为（°，-5）

（2）由题意可求0B=5

.90万x55

I-=----=—n

BB'1802

【点睛】本题主要考查作图一旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式.

22.2021年6月170,神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程.某学校举

办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A,B,C,D四名志愿者中，通过抽签的方式确

定两人.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把

四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余

的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中”是事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；

（2）用画树状图或列表的方法求出A,B两名志愿者同时被选中的概率.

2

【答案】（1）随机；（2）见解析6

【解析】

【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可：

（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公

式求解即可.

【详解】（1）根据随机事件的概念，A志愿者被选中是随机事件上，

故答案为：随机.

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由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种，并且每一个结果出现的可能性相

同.其中A,B两名志愿者同时被选中的有2种.

2_=1_

.♦.P（A,B两名志愿者同时被选中）=126

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.已知关于x的一元二次方程/一伏+4）》+4左=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2,求左的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）%<2.

【解析】

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-4）2e0,由此可证出方程总

有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出xi=4,X2=k,根据方程有一根小于2,即

可得出k的取值范围.

2

【详解】⑴Vx-（k+4）x+4k=0）

...△=[-/+4）]2-4x4%=r-8无+16=e-4>20,

.•.方程总有两个实数根.

（?）♦♦x?—（k+4）x+4k-0

（）（）

•.•x-4x-k=0，

解得：玉=4,吃=%，

•••该方程有一个根小于2,

后<2.

【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二

次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△》（）时，方程有两个实数根是解题关键.

24.为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形小花

园ABCD,小花园一边靠墙，另三边用总长40nl的栅栏围住，如下图所示.若设矩形小花园

AB边的长为Xm,面积为ym2.

（1）求N与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

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2

【答案】(1)(1)y=-2^+40x,(7.5<x<20),⑵当x为l°m时，小花园的面

积最大，最大面积是200m2

【解析】

【分析】(1)首先根据矩形的性质，由花园的AB边长为xm,可得BC=(40-2x)(n,然后根

据矩形面积即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长25m,即可求得自变量的x的范

围；

(2)用配方法求最大值解答问题.

【详解】解：(1)•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,

*/AB=xm,

ABC=(40-2x)m,

・,•花园的面积为：y=ABeBC=x*(40-2x)=-2x2+40x,

V40-2x^25,x+x<40,

/.x^7.5,x<20,

・・・7.5Wx<20,

；・y与x之间的函数关系式为:y=-2x2+40x(7.5Wx<20)；

(2)•.・歹二一2(工一10)~+200,(7.5<x<20)

当X=10时，Xnax=200

答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2.

【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列

出函数解析式.

25.如图，AC是。0的弦，过点0作OPJ_0C交AC于点P,在0P的延长线上取点B,使得

BA=BP.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若00的半径为4,PC=2正，求线段AB的长.

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【答案】（1）见解析；⑵”=3.

【解析】

【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得/BPA=NBAP、ZOAC=ZOCA.再运用等量代

换说明/OAB=90°,即可证明结论；

（2）先由勾股定理可得0P=2,设AB=x,则0B=x+2.在RtZ\AOB中运用勾股定理列方程

解答即可.

【详解】解：（1）证明：；BA=BP,

AZBPA=ZBAP.

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA.

VOP±OC,

NC0P=90°.

.•.Z0PC+Z0CP=90o.

VZAPB=ZOPC,

/.ZBAP+Z0AC=90°.即N0AB=90°,

/.OA±AB.

VOA为半径，

；.AB为。0的切线；

（2）在RtZ\OPC中，0C=4,PC=2J^,

.•.OP=JPC2-"2=2.

设AB=x,则OB=x+2.

在RtZkAOB中，/+42=（》+2）2,

x—3,即AB=3.

【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性

质、定理成为解答本题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，点（1,m）和（2,n）在抛物线、=一/+云上.

（1）若m=0,求该抛物线的对称轴；

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（2）若mn<0,设抛物线的对称轴为直线x=f,

①直接写出’的取值范围；

3

②已知点（-1,y】），（2,y2）,（3,y3）在该抛物线上.比较力，丫2,丫3的大小，并说

明理由.

11,

X=__</<1

【答案】⑴2；⑵①2:②必<凹<%,见解析

【解析】

【分析】（1）把点（1,m）,m=0,代入抛物线、=-/+云，利用待定系数法求解解析

式，再利用公式求解抛物线的对称轴方程；

b1,

,x----T~j—r=­b-1

（2）①先判断加，〃异号，求解抛物线y=的对称轴为：2（-1）29

抛物线与x轴的交点坐标为：根据点（1,m）和（2,n）在抛物线

2

y=-x+bx±t则加可得1<6<2,从而可得答案；②设点（一1,yi）关于抛

物线的对称轴’的对称点为（/'%），再判断2<工。<3.结合抛物线开口向下，当

x>'时，y随x的增大而减小，从而可得答案.

【详解】解：⑴•••点（1,m）在抛物线^=一*2+云上，m=0,

•••-1+6=0•

•••b=\•

_2

所以抛物线为：〉二-厂+员

11

X=-----------=——

该抛物线的对称轴为2x（-1）2

（2）①<°，则〃〃异号，

b_1,

2x---T-j—r—b―/,

而抛物线y=—-+云的对称轴为：2（-i）2

令N=0,jjjij-x2+bx=0,

解得：玉=0,》2=瓦

所以抛物线与X轴的交点坐标为：（°，°）

•・•点（1,m）和（2,n）在抛物线y=-x2+队上，

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\m>0,M<0,

\1<6<2,

11,,1,

v\-v—bv1,—</<1.

22即2

②%<必<%.理由如下:

由题意可知，抛物线过原点.

设抛物线与x轴另一交点的横坐标为X’.

•抛物线经过点（1,m）,（2,n）,mn<0

.,.l<x<2.

—</<l

Z.2

设点（一1,yi）关于抛物线的对称轴的对称点为（“。'凹）.

•.•点（-1,yj）在抛物线上，

...点（X。,％）也在抛物线上.

由工0-£=/一（一1）得X。=2f+l.

11

一<I

2,

.\l<2t<2.

A2<2t+l<3.

.2<x0<3

由题意可知，抛物线开口向下.

・•・当时，y随x的增大而减小.

33

—z、/<—</<3

:点（2,y2）,（X。*）,（3,y3）在抛物线上，且2,

二乃<必<为

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物

线的对称性与增减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关

键.

27.如图，在等边三角形ABC中，点P为AABC内一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点

A顺时针旋转60°得到NP',连接PP，BP

（I）用等式表示与CP的数量关系，并证明；

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（2）当NBPC=120°时，

①直接写出/尸石尸的度数为；

②若M为BC的中点，连接PM,请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.

【答案】（1）80’=。，理由见解析；（2）①60°；②PM=2，见解析

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB=AC,NBAC=60°,再由由旋转可知：

AP-AP',NP4P'=60°从而得到NB4P'=NC4P,可证得A/BP尸，即可求

解；

（2）①由NBPC=120°,可得NPBC+/PCB=60°.根据等边三角形的性质，可得NBAC

=60°,从而得到/ABC+NACB=120°,进而得到/ABP+NACP=60°.再由

“BP3"CP,可得NABP'=ZACP,即可求解；

②延长PM到N,使得NM=PM,连接BN.可先证得△PCMgANBM.从而得到CP=BN,ZPCM

=/NBM.进而得到8N=8P'.根据①可得NP8P=60。，可证得APNB知PPB,从

而得到PN=PP.再由AP/P'为等边三角形，可得P'P=AP.从而得到PN=/尸

,即可求解.

【详解】解：（1）BP=CP.理由如下：

在等边三角形ABC中，AB=AC,NBAC=60°,

由旋转可知：4P=”'，=60。

Z.PAP'-NBAP=ABAC-NBAP

即NBAP=NCAP

在△Z5P和aACP中

'AB=AC

<NBAP'=ZCAP

AP'=AP

•・•18P包⑷CPSAS•

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•••BP=CP・

(2)®VZBPC=120°,

.,.ZPBC+ZPCB=60°.

•.,在等边三角形ABC中，ZBAC=60",

；./ABC+/ACB=120°,

AZABP+ZACP=60°.

•；"BP%ACP.

・•・NABP'=NACP，

.,.ZABP+ZABPZ=60°.

即/P8P=60°.

-AP

②PM=2.理由如下：

如图，延长PM到N,使得NM=PM,连接BN.

为BC的中点,

BM=CM.

^△PCM和△NBM中

PM=NM

<NPMC=ZNMB

CM=BM

.,.△PCM^ANBM(SAS).

ACP=BN,/PCM=/NBM.

•••BN=BP'・

VZBPC=120°,

.e.ZPBC+ZPCB=60°.

.\ZPBC+ZNBM=60°.

即NNBP=60°.

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VZABC+ZACB=120°,

，NABP+NACP=60°.

.•.NABP+NABP'=60°.

即NP8P=60°.

:/P'BP=2NBP.

在APNE和APPS中

BN=BP'

</NBP=4P'BP

BP=BP

：.△PNBAPP'B（SAS）.

:.PN=PP'.

.；AP=AP；ZPAP'=60°

：.APAP'为等边三角形，

P'P=AP.

••P•N=AP，

-AP

；.PM=2.

【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋

转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的

性质是解题的关键.

28.在平面直角坐标系X。中，。。的半径为1,对于直线1和线段AB,给出如下定义：

若将线段AB关于直线1对称，可以得到。。的弦A'B'（A',B'分别为A,B的对应点），则

称线段AB是。0的关于直线1对称的“关联线段”.例如：在图1中，线段是。0的关

于直线1对称的“关联线段”.

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①在线段4线4层，453中，。。的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是.

②若线段4线432,4名中，存在。o的关于直线y=-x+m对称的“关联线段”，则用

y--—x+b(h>0

(2)已知直线3交x轴于点C,