高中数学集合与常用逻辑用语知识题库

高中数学集合与常用逻辑用语基础知识题库

单选题

1、若全集U=R,集合4=[0,1,2,3,4,5,6},B={x|x<3},则图中阴影部分表示的集合为()

A.{3,4,5,6}B.{0,1,2}C.{0,l,2,3}D.{4,5,6}

答案:A

分析：根据图中阴影部分表示(JB)nA求解即可.

由题知：图中阴影部分表示(CuB)nA,

CuB={x\x>3},则(QB)CM={3,4,5,6}.

故选：A

2、若命题Fxo£[-1,2],-欧+2》a”是假命题，则实数a的范围是()

A.a>2B.a>2C.a>—2D.a4-2

答案：A

解析：根据命题的否定为真命题可求.

u

若命题3x0G[—1,2],—诏+2》a”是假命题，

则命题6[一1,2],-/+2<a”是真命题，

当X=0时，(-X2+2)max=2,所以a>2.

故选：A.

3、已知命题p：3xFN,ex<0(e为自然对数的底数)，则命题p的否定是()

A.VxGN,ex<OB.VxSN,ex>0

C.3xeN,ex>OD.VxGN,ez>0

答案：D

分析：根据命题的否定的定义判断.

特称命题的否定是全称命题.

命题P的否定是：VxEN,e*》0.

故选：D.

4、已知集合满足{1,2}=4={1,2,3},则集合4可以是()

A.{3}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2}

答案：D

分析：由题可得集合4可以是{1,2},{1,2,3).

•.[1,2}c/c{1,2,3},

••・集合4可以是{1,2},{1,2,3}.

故选：D.

5、已知xGR,则“％丰0”是“x+归|>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

答案：B

分析：由x+|%|>0可解得x>0,即可判断.

由x+|x|>0可解得x>0,

・••“X*0”是、>0”的必要不充分条件，

故“X丰0”是“x+|x|>0"的必要不充分条件.

故选：B.

6、设a,b是实数，集合4={x||x-a|<l,xeR},B={x\\x-b\>3,xe/?},且4UB,则|a-b|的取值范

围为()

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+oo)D.[4,+oo)

答案：D

分析：解绝对值不等式得到集合4当再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.

集合4={x||x-a|<l,xeR}={x|a—1<%<a+1},

B={x||x-b\>3,xeR]={x\x<b—3或x>6+3]

又力UB,所以a+l<b-3或a-12b+3

即a—b<—4或a—b>4,即|a—b|24

所以|a-b|的取值范围为[4,+8)

故选：D

7、已知集合4=[-1,0,1,2},B=\x|0<x<3},则ACB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

答案：D

分析：根据交集的定义写出4n刀即可.

集合4=[-1,0,1,2},B={x|0<x<3},

则4C5={1,2},

故选：D

8、设a,beR,A={l,a],B=若4aB,则a-b=()

A.—1B.—2C.2D.0

答案：D

分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b,即可求a-b.

由4UB知：4=B,即{算匚;，得{二二；，

•\a—b=0.

故选：D.

9、设集合4=B={1,2},C=[x\x=ab,a&A,b&B],则集合C中元素的个数为()

A.5B.6C.7D.8

答案：B

分析：分别在集合4B中取a,6,由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.

当a=—1,b=1时，ab=-1；当a=—1,b=2时，ab=—2；

当a=0,b=1或2时，ab=0；当a=1,b=1时，ab=1；

当a=1,b=2或a=2,b=1时，ab=2；当a=2,b=2时，ab=4；

■-C={-2,-1,0,1,2,4},故C中元素的个数为6个.

故选：B.

10、已知aeR,则“a>6”是ua2>36”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

分析：由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

由题意，着a>6,则a?>36,故充分性成立；

若a?>36,则a>6或a<-6,推不出a>6,故必要性不成立；

所以“a>6”是72>36”的充分不必要条件.

故选：A.

11、设全集U=口,2,3,4,5},集合M满足={1,3},则（）

A.2eMB.3GMC.4任MD.5gM

答案：A

分析：先写出集合M,然后逐项验证即可

由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

12、设集合A=[2,a2-a+2,1-a],若4GA,则a的值为（）.

A.—1,2B.-3C.—1,—3,2D.—3,2

答案：D

分析：由集合中元素确定性得到：。=-1,。=2或。=一3,通过检验，排除掉a=-l.

由集合中元素的确定性知a?-a+2=4或1—a=4.

当a?—a+2=4时，a=-1或a=2；当1一a=4时，a=—3.

当a=-l时，4={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=—l舍去；

当a=2时，4={2,4,-1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；

当a=-3时，4={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=-3满足要求.

综上，a=2或a=—3.

故选：D.

13、下列命题是假命题的有()

A.若xGA,那么xe4nBB.若xe4nB,那么xeA

C.若xe4nB,那么xe4uBD.若xe4,那么xe4uB

答案:A

分析：由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解

对于A,若X64,那么x可能不属于6,故A错误；

对于B,若xeanB,则x是集合4和6的公共元素，那么xea,故B正确；

对于C,若％eAnB,那么xe4uB,故C正确；

对于D,若那么XW4UB,故D正确.

故选：A.

14、“a=0”是关于x的不等式ax-b>1的解集为R的()

A.充分非必要条件B.必要作充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

答案:B

分析：取a=0,b=l时可判断充分性；当不等式ax-b21的解集为R时，分a>0,a<0,a=0讨论可判断

必要性.

若a=0,取b=l时，不等式收一。21O-121,此时不等式解集为0；

当a>0时，不等式ax-b>1的解集为{久|x>拳},

当a<。时，不等式ax-b>1的解集为{x|x<等},

当a=0,且b<一1时，不等式ax—6>1<=>——1,

所以，若关于x的不等式ax-b21的解集为R,则a=0.

综上，％=0”是关于久的不等式ax-b>1的解集为R的必要非充分条件.

故选：B

15,设全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={xli-4%+3=0},则Cu(4UB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

答案：D

分析：解方程求出集合8,再由集合的运算即可得解.

由题意，B={x\x2-4%+3=0}={1,3},所以UB={—1,1,2,3},

所以Cu（4UB）={-2,0}.

故选：D.

多选题

16,已知集合2={1,2},（2={可0刀+2=0},若PUQ=P,则实数a的值可以是（）

A.—2B.—1C.1D.0

答案：ABD

分析：由题得QUP,再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.

因为PUQ=P,所以QcP,

由ax+2=0得ax——2,

当a=0时，方程无实数解，所以Q=0,满足已知；

当ar0时，x=-1,令-；=1或2,所以a=-2或-1.

综合得a=。或a=—2或a=—1.

故选：ABD

小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0.根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以

免漏解.

17、（多选）下列命题中为真命题的是（）.

A.。>4"是“x<5”的既不充分又不必要条件

B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件

C.“关于x的方程aM+以+c=0（a。0）有实数根”的充要条件是“A=b2-4ac>0”

D.若集合4cB,则“xeT'是“xeB”的充分而不必要条件

答案：AC

分析：从“x>4”与、<5”互相不能推出，得到A正确；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；

由一元二次方程根的判别式可知，C正确;

D选项可举出反例.

AV%>4^>%<5且%V5#%>4.

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定

BX是正三角形，所以“三用形为正三角形”是“三

甭形为等腰三角形”的充分而不必要条件.

CV一元二次方程有实数根，则A20,反之亦然.

DX当集合A=8时，应为充要条件.

故选：AC

18、(多选)下列是“a<0,b<0”的必要条件的是()

A.(a+I)2+(b+3)2=OB.a+b<0

C.CL—b<OD.—>0

b

答案：BD

分析：由。<0/<0判断各个选项是否成立可得.

取a=-2,b=-4,得(a+1)2+(8+3)2=200,故A不是"a<0,b<0,9的必要条件；

由a<0,b<0,得a+b<0,故B是“a<0,b<0”的必要条件；

取a=-2,b=-4,得a—b=-2-(-4)=2>0,故C不是“a<0,b<0”的必要条件；

由a<0,b<0,得/>0,故D是“a<0,b<0”的必要条件.

故选：BD.

19,若集合MUN,则下列结论正确的是

A.MCN=MB.MUN=N

C.Mc(MC\N)(MUN)UN

答案：ABCD

分析：根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

由于MUN,即M是N的子集，故MCN=M,MUN=N,从而MU(MCN),(MUN)=N.

故选ABCD.

小提示：本小题主要考查子集的概念，考查集合并集、交集的概念和运算，属于基础题.

20、“不等式/一*+m>0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是()

A.TH>；B.0<m<1C.m>2D.m>1

答案：CD

解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.

因为“不等式M—%+巾>0在R上恒成立"，所以等价于二次方程的产一%+6=0判别式J=l-4m<0,即

m>-1.

4

所以A选项是充要条件，A不正确；

B选项中，加>工不可推导出0<m<l,B不正确；

C选项中，HI>2可推导m>：,且m>：不可推导m>2,故m>2是m>］的充分不必要条件，故C正确；

D选项中，m>1可推导m>［,且m>］不可推导m>1,故nt>l是m>］的充分不必要条件，故D正确.

故选：CD.

小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；

(2)p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；

(3)p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；

(4)p是q的既不充分乂不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含.

21、图中阴影部分用集合符号可以表示为()

A.4n(BuC)

B.Au(BnC)

C.AnCu(BnC)

D.(An8)u(4nC)

答案：AD

分析：由图可知，阴影部分是集合方与集合。的并集，再由集合4求交集，或是集4与万的交集并上集合4与

。的交集，从而可得答案

解：由图可知，阴影部分是集合6与集合。的并集，再由集合4求交集，或是集4与6的交集并上集合4与C

的交集，

所以阴影部分用集合符号可以表示为Ac(BuC)或(2n8)u(4nC),

故选：AD

22、下列四个选项中正确的是()

A.{0}c(a,b)B.{(a,b)}={a,b}

C.{a,b]c{b,a}D.0U{0}

答案：CD

分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到

集合的元素的属性不同，可以否定B.

对于A选项，集合{0}的元素是0,集合{a,b}的元素是a,&故没有包含关系，A选项错误；

对于B选项，集合{(a,b)}的元素是点，集合{a,b}的元素是a,b,故两个集合不相等，B选项错误；

对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；

对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.

故选：CD.

23、下列关系式错误的是()

A.0G{0}B.{2}c{1,2}C.&UQD.0eZ

答案：AC

分析：由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

A选项由于符号€用于元素与集合间，。是任何集合的子集，所以应为0={0},A错误；

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号U用于集合与集合间，C错误;

D选项z是整数集，所以oez正确.

故选：AC.

24、已知集合M={2,4},集合McN{1,2,3,4,5},则集合N可以是()

A.[2,4}B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.[1,2,34,5}

答案：ABC

分析：根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.

因为集合M={2,4},

对于A：N={2,4}满足“cN{1,2,3,4,5},所以选项A符合题意；

对于B：%={2,3,4}满足〃=/7{1,234,5},所以选项B符合题意；

对于C：N={1,2,3,4}满足McN{1,2,3,4,5},所以选项C符合题意；

对于D:N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集，故选项D不符合题意，

故选：ABC.

25、若“Vx6M,|x|>为真命题，Fx&M,x>3”为假命题，则集合M可以是()

A.18,—5)B.(-3,—1C.6，+8)D.0,3

答案：AB

解析：根据假命题的否定为真命题可知Vx6M,%<3,又|x|>x,求出命题成立的条件，求交集即可

知M满足的条件.

3xGM,x>3为假命题，

VxGM,xS3为真命题，

可得M£(-00,3],

乂VxeM,|x|>x为真命题，

可得Mc(-00,0),

所以Mc(一叫0),

故选：AB

小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.

双空题

26、从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：

(1)“ax2+bx+c=0(a彳0)有实根”是“ac<0”的_________.

(2)“AAB0AAiBC”是“AABgANBC”的_________.

答案：必要条件充分条件

分析：(1)根据判别式以及必要条件的定义可得答案；

(2)根据三角形全等和相似的定义以及充分条件的定义可得答案.

(1)当ac<0时，A=b2-4ac>0,此时ax2+bx+c=0(a彳0)有实根；

当ax2+bx+c=0(a力0)有实根时，A=b2-4ac>0,推不出ac<0,比如b=2,a=c=1时，满足4=

b2-4ac>0,但是ac>0,所以“ax2+bx+c=0(a力0)有实根”是“ac<0”的必要不充分条件；

(2)三角形全等能推出三角形相似，但是三角形相似推不出三角形全等，所以“△/b匡△4EC”是

"AABgANBC”的充分不必要条件.

所以答案是：必要条件；充分条件.

小提示：本题考查了必要条件和充分条件的判断，属于基础题.

27、若方程组的解集为{(21)}，则。=___________，b=___________.

1%十Dy-Z

答案：|##0.50

分析：依题意可得解得即可.

解：因为方程组乃；?：：的解集为{(2,1)},

所以有"1=2,解得卜=1

(2+b=2Ifo=o

所以答案是：|；0

28、A={y\y=x2+a,xeR},1eA,则a的取值范围___________；A={(x,y)|y=x2+a,xER],(1,2)GA,

则£1=____.

答案：(-oo,l]1

分析：由1G4得/+a=1即可求a范围，由(1,2)G4得2=I2+a可求a值.

①由1G4得/+a=l=>a=l-%2<1；

②由(1,2)G4得2=l2+a=>a=l

所以答案是:(-00,1]；1

29、若集合4={(x,y)|3x+2y=1},5={(x,y)|x—y=2],C={(x,y)|2x—2y=3}.则ACB=

_________,BCC=_________.

答案：{(1,T)}0

解析：求出集合4、6中的直线的交点即可写出anB,集合区。中直线无交点则Bnc=0.

集合4A。分别表示直线3x+2y=1、x-y=2、2x-2y=3上的点所组成的集合，

联立解得二1，所以4nB={(L-1)},

联立。:一1=2无解所以Bnc=0.

(2%—Zy=377

所以答案是：{(1,-1)}；0

小提示：本题考杳集合交集运算的概念、集合的表示方法，属于基础题.

30、已知命题p:Vx€R,号工>0,则它的否定是______,命题P的否定是_______命题(填''真''或

“假”)

答案：3xe/?,x2-2x-3<0真

分析：先将命题P等价为vxeR,x2-2x-3>0,再根据全称命题的否定为特称命题可得出否定，即可判断真假.

2

命题p:VxGR,二_:-3>0=Vx6R,%—2%—3>0.

根据全称命题的否定为特称命题，所以命题p的否定：a%e/?,%2-2x-3<0.

当x=0时，/—2x—3<0成立，所以命题P的否定是真命题.

所以答案是：3x6/?,x2-2x-3<0；真

31、(1)若3e{m-l,3m,7n2—i},则实数血=______;(2)若2C{x|x-a>0},则实数a的取值范围是

答案：4或±2(a\a>2)

解析：(1)若3e{m—1,3犯皿2一1},则加一1=3,3m=3或加2一1=3,分别求出m并代回集合中验证是否

满足集合的互异性；(2)由2£{到尢-a>0}知2满足不等式“-aW0,2代入不等式即可求得a的范围.

(1)由m-1=3,得m=4,此时3m=12,m2-1=15,符合题意.

由3nl=3,得m=1,此时zn—1=m2—1=0,故舍去.

由巾2—1=3,得=±2,

当m=2时，m—1=1,3m=6,符合题意；

当m=—2时，m—1=—3,3m=—6,符合题意，

综上所述，机=4或±2.

(2)因为2任卜氏—a>0},所以2不满足不等式x-a>0,

即2满足不等式无一aW0,所以2-a40,即a》2.

所以实数a的取值范围是{a|a>2}.

所以答案是:4或±2；(a\a>2}

小提示：本题考查根据元素与集合的关系求参数，属于基础题.

32、已知集合M={1,2,3,4},4=",集合4中所有元素的乘积称为集合4的“累积值”，且规定：当集合4只有一

个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0,设集合A的累积值为S.

(1)若S=3,则这样的集合4共有_________个；

(2)若S为偶数，则这样的集合2共有_________个.

答案：213

分析：对重新定义问题，要读悔题意，用列举法来解，先看出集合4是集合”的子集，则可能的情况有24种，再分

情况讨论.

若S=3,据“累积值”的定义，得4={3}或4={1,3},这样的集合4共有2个.

因为集合M的子集共有24=16个，其中“累积值''为奇数的子集为{1},{3},11,3}共3个，所以“累积值”为

偶数的集合共有13个.

所以答案是:2；13.

33、学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，

有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有

人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有_____________人?只参加游泳一项比赛的有______________

人？

答案：39

分析：结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.

解：如图所示:

设4=｛游泳｝,庐｛困径｝,伐｛球类｝,

由题意得：n(U)=28,以4)=15,TI(B)=8,n(C)=14,

n(ACB)=3,n(/lClC)=3,n(4ABnC)=0,

所以28=15+8+14-3-3-n(BnC)=0,

则TI(8nC)=3,

n(BUC)=n(B)+n(C)-n(BnC)=8+14—3=19,

所以n(Cu(BUO)=n(U)-n(BUC)=28-19=9,

所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，

所以答案是：3,9

34、集合A=(y\y=x2-1,|x|<2,x6Z｝可用列举法表示为______,集合B=｛(x,y)|y=x2-1,|x|<2,xe

Z｝可用列举法表示为______.

答案：｛-1,0,3｝｛(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)｝

分析：根据集合的描述法可得/中的代表元素为y,再结合满足条件即得，6中代表元素为(x,y)结合满足的条

件即得.

由y=--1,|幻<2,xeZ,知x可取的值为0,±1,±2,

当久=。时，y=-1,当x=±1时，y=0,当x=±2时，y=3,

所以集合4=｛-1,0,3｝；

由题知集合6表示点集，

所以B=((-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)).

所以答案是：｛-1,0,3｝,｛(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)).

35、设集合4={x|—1SX+1S6},B=(x\m-l<x<2m+l],当x€Z时，集合4的非空真子集的个数为

______________；当BU4时，实数m的取值范围是______________.

答案：2546工一2或一1式632

分析：求出集合A中元素个数，即可求出非空真子集的个数；讨论B=0和BR0,根据集合包含关系可列出关系

求解.

易得4={x|-2<x<5].

若X6Z,则4={-2,—1,0,1,2,3,4,5},即4中含有8个元素，

A的非空真子集的个数为28-2=254；

①当m—1>2m+1,即m<—2时，B=。,8U力；

②当m>—2时，B={x\m-1<x<2m+1}K0,

因此,要使BU4,则需{；—J/=需解得-lWm42.

综上所述，m的取值范围是一1<m<2或m<-2.

所以答案是：254；-1WmW2或mW-2.

解答题

36、已知全集U={1,2,4,6,8},集合A=[x6JV+GN+j,B={x\x=2a,a&A].

⑴求4UB；

(2)写出Q(ZCiB)的所有非空真子集.

答案：(1)4UB={1,2,4,8)

(2){1},{6},{8},{1,6},{1,8},{6,8}

分析：(I)根据题意求出集合AB,然后结合并集的概念即可求出结果；

(2)根据集合间的基本运算求出Q(4CB),进而根据非空真子集的概念即可求出结果.

(1)

由题意得4={1,2,4},B={2,4,8},故4UB={1,2,4.8).

(2)

由题意得4nB={2,4},Cu(4nB)={1,6,8},

故Q（4。B）的所有非空真子集为{1},{6},{8},{1,6},{1,8},{6,8}.

37、集合4={x|—1<x<2),B={x\x<a}.

(1)若anB=A,求实数a的取值范围；

(2)若ACB=0,求实数a的取值范围.

答案：(l)a>2；(2)a<-l

解析：(1)由4n8=4,可得4U8,即可列出不等关系，求出a的取值范围;

(2)由ACB=0,且BO0,可列出不等关系，求出a的取值范围.

(1)山集合4={x|-1<x<2},B-{x\x<a],

因为4nB=4，所以4UB,则a>2,

即实数a的取值范围为a>2.

(2)因为AflB=0,且BK0,所以a<-1,

故实数a的取值范围为a<-1.

38、设〃=R,A={x[-5<xW6},B={x|xW-6或