第六章概率复习提升练习 年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

本章复习提升易混易错练易错点1对条件概率理解不清致误1.(2023河南郑州中牟二高月考)有3台机床加工同一型号的零件,第1,2,3台加工的次品率分别为6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台机床加工的零件数的比为5∶6∶9,现任取一个零件,记事件Ai=“零件为第i台机床加工”(i=1,2,3),事件B=“零件为次品”,则下列结论错误的是()A.P(A1)=14B.P(B|A2)=C.P(B)=0.048D.P(A1|B)=52.一个口袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同),不放回抽取,每次任取一球,取两次,求:(1)第二次才取到黄球的概率;(2)其中之一是黄球时,另一个也是黄球的概率.易错点2离散型随机变量取值不当或对应的概率求错致误3.(2022河南南阳卧龙月考)在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题,甲、乙两队进行抢答,比赛规定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每道抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是.

4.(2024湖北腾云联盟联考)甲,乙两学校进行体育比赛,比赛共设两个项目,每个项目胜方得5分,负方得0分,平局各得2分.两个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,甲学校在两个项目中平局的概率分别为0.1,0.2.各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率;(2)用X表示甲学校两场比赛的总得分,求X的分布列及数学期望EX.易错点3不能正确区分超几何分布与二项分布致误5.(多选题)(2022浙江杭州四中期中)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中a1为1,A的其余各数位上ak(k=2,3,4,5)为0的概率是13,为1的概率是23,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时(A.X服从二项分布B.P(X=1)=8C.X的期望EX=83D.X的方差DX=6.(2022山西怀仁第一中学期中)一批产品共10件,其中3件是不合格品,用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验:方法一:先随机抽取1件,放回后再随机抽取1件;方法二:一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为ξ1,方法二抽取的不合格产品数为ξ2.(1)求ξ1,ξ2的分布列;(2)比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小,并说明理由.易错点4对正态曲线的性质理解不全面致误7.(2023河北新乐第一中学月考)甲、乙两地举行数学联考,统计发现:甲地学生的数学成绩X~N(μ1,σ12)(σ1>0),乙地学生的数学成绩Y~N(μ2,σ22)(σ2>0).甲、乙两地学生的数学成绩的正态分布密度曲线如图所示,参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.A.甲地学生的数学平均成绩比乙地的高B.甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的小C.P(90≤X<94)>P(82≤X<90)D.若σ2=8,则P(92≤Y<124)=0.848.(2023河北省级联测)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)=19,则P(1<X<2)=(A.16B.14C.139.(2024广东江门大联考)某公司建有1000个销售群,在某产品的销售旺季,所有群销售件数X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=376,σ2=12100,公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”,销售件数在[266,596)内的群称为“B级群”,销售件数小于266的群称为“C级群”.(1)若P(X<a)≥P(X>2a-1),求a的取值范围;(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元,每个“B级群”奖励500元,每个“C级群”奖励200元,那么公司大约需要准备多少元奖金?(群的个数按四舍五入取整数)附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.思想方法练一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用1.(2024广东东莞实验中学月考)已知随机变量X的分布列如下表.当a在(-1,1)内增大时,方差DX的变化为()X-1a1P111A.增大B.减小C.先增大再减小D.先减小再增大2.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=15,EX=1,则D(5X-1)=.二、分类讨论思想在概率中的应用3.(2024河南郑州中牟二高月考)为了发展农村经济,某乡镇政府根据当地的地理优势计划从A,B,C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A,B,C三种经济作物的概率分别为310,25,310,若从当地村民中随机选取4人进行交流,则其中至少有2人愿意种植A作物,且至少有A.81625B.C.27125D.4.(2023北京名校一轮试题)假如一段楼梯有11级台阶,现规定每步只能跨1级或2级台阶,设某人走完这段楼梯时所跨单级台阶的步数为ξ,则ξ的分布列是.

5.(2022广西期末)甲、乙两个人进行射击训练,甲射击一次中靶概率是12,乙射击一次中靶概率是1(1)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?(2)两人各射击两次,中靶至少三次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?三、数形结合思想在正态分布中的应用6.(2022河南省实验中学月考)某次某市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的分布均可视为正态分布,如图所示,则下列说法中正确的是()A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙三科总体的平均数不相同7.(2024广东花都调研测试)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(X≤a)=0.32,则P(a<X≤4-a)=.

答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.B由题意得,P(A1)=55+6+9P(B|A1)=6%,P(B|A2)=5%,P(B|A3)=4%,故A正确,B错误;P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=14×6%+310×5%+P(A1|B)=P(A1B)故选B.易错警示P(B|A)与P(A|B)是不同的.另外,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.2.解析(1)设C表示“第二次才取到黄球”,则P(C)=410(2)设D表示“其中之一是黄球”,E表示“两个都是黄球”,F表示“其中之一是黄球时,另一个也是黄球”.则P(F)=P(E|D)=P(3.答案-1,0,1,2,3解析X=-1表示甲队抢到1道题且答错,乙队抢到2道题且均答错.X=0表示甲队没有抢到题,乙队抢到3道题且至少答错其中的2道题,或甲队抢到2道题且答对1道题,答错1道题,乙队抢到1道题且答错.X=1表示甲队抢到1道题且答对,乙队抢到2道题且至少答错其中的1道题,或甲队抢到3道题且答对其中的2道题,乙队没有抢到题.X=2表示甲队抢到2道题且均答对.X=3表示甲队抢到3道题且均答对.易错警示本题在随机变量X取值时易漏掉X=-1的情况,致错原因往往是从生活经验出发,以为甲队要获胜肯定至少回答正确一次,没有从问题的背景深入分析.要避免这种错误,可以将事件发生的各种可能一一列出,再针对出现的各种结果分析随机变量取值的可能性,以做到不重不漏.4.解析(1)甲学校获胜分三种情况:胜胜,胜平,平胜,则甲学校获胜的概率P=0.4×0.6+0.4×0.2+0.1×0.6=0.38.(2)X的可能取值为0,2,4,5,7,10,则P(X=0)=(1-0.4-0.1)×(1-0.6-0.2)=0.1,P(X=2)=0.1×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.2=0.12,P(X=4)=0.1×0.2=0.02,P(X=5)=0.4×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.6=0.38,P(X=7)=0.4×0.2+0.1×0.6=0.14,P(X=10)=0.4×0.6=0.24,所以X的分布列为X0245710P0.10.120.020.380.140.24所以EX=0×0.1+2×0.12+4×0.02+5×0.38+7×0.14+10×0.24=5.6.易错警示在求解此类问题时,要注意随机变量取值的准确性以及计算的正确性.本题中的易错之处是试验结果的所有可能情况列举错误.5.ABC由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能是0或1,且每个数位上出现的数字互不影响,故A的后4位数的所有结果有5类:①后4位都是0,此时X=0,P(X=0)=13②后4位只出现1个1,此时X=1,P(X=1)=C4③后4位出现2个1,此时X=2,P(X=2)=C4④后4位出现3个1,此时X=3,P(X=3)=C4⑤后4位都是1,此时X=4,P(X=4)=23故X~B4,23,故P(X=1)=881,故B正确∵X~B4,DX=4×23×13=89故选ABC.6.解析(1)由题意得ξ1的可能取值为0,1,2,且ξ1~B2,P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C2P(ξ1=2)=C2因此ξ1的分布列为ξ1012P49219ξ2的可能取值为0,1,2,且ξ2服从参数为10,3,2的超几何分布,P(ξ2=0)=C3P(ξ2=2)=C3因此ξ2的分布列为ξ2012P771(2)由(1)得Eξ1=2×310因此Eξ1=Eξ2,所以两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值相等.解后反思使用二项分布、超几何分布模型解决问题不能靠“套公式”,而要真正理解这两个分布模型,理解两个分布模型各自的适用条件,超几何分布是不放回抽样,二项分布是放回抽样.7.D对于A,由题图可知甲地学生的数学成绩的平均分为90分,乙地学生的数学成绩的平均分为100分,故甲地学生的数学平均成绩比乙地的低,故A错误;对于B,由题图可看出乙地学生的数学成绩更集中,故甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的大,故B错误;对于C,μ1=90,根据正态曲线的对称性,可知P(90≤X<94)=P(86≤X<90)<P(82≤X<90),故C错误;对于D,μ2=100,σ2=8,P(92≤Y<124)=P(μ2-σ2≤X<μ2+3σ2)=P(μ2-σ2≤X<μ2)+P(μ2≤X<μ2+3σ2)≈0.68272+0.8.A因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以由正态曲线的对称性可知,P(X<1)=P(X>3),又P(X<1)·P(X>3)=19所以P(X<1)=P(X>3)=13故P(1<X<2)=1-故选A.9.解析(1)由正态曲线的对称性可知,当2a-1≥376,即a≥3772时,要使P(X<a)≥P(X>2a-1),则有376-a≤2a-1-376,解得a≥当2a-1<376,即a<3772时,要使P(X<a)≥P(X>2a-1),则有a-376≥376-(2a-1),解得a≥251(舍去综上,a的取值范围为[251,+∞).(2)由已知得μ=376,σ=110,所以P(X≥596)=P(X≥μ+2σ)=12-12P(266≤X<596)=P(μ-σ≤X<μ+2σ)=12P(μ-σ≤X<μ+σ)+1≈12×0.6827+1所以“A级群”有1000×0.02275≈23(个),“B级群”有1000×0.8186≈819(个),“C级群”有1000-23-819=158(个),所以公司大约需要准备奖金23×1000+819×500+158×200=464100(元).思想方法练1.D根据题意,得EX=-1×16所以DX=-1构造方差关于a的二次函数,通过研究函数的性质来确定方差的变化规律,体现了函数与方程思想的应用.所以当a∈-1,12时,DX单调递减;当a∈12,12.答案10解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,因为随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=15所以1建立关于p,q的方程组,通过求解方程组进而得出结果.所以DX=15所以D(5X-1)=52DX=25×253.D选取的4人中,至少有2人愿意种植A作物,且至少有1人愿意种植B作物的情况共有3种:①有2人愿意种植A作物,愿意种植B,C作物的各有1人;②有2人愿意种植A作物,有2人愿意种植B作物;③有3人愿意种植A作物,有1人愿意种植B作物.根据题意分三种情况进行讨论.故所求概率P=C42×34.答案ξ1357911P1357151解析根据题意,ξ的可能取值为1,3,5,7,9,11,按照所跨的单级台阶的步数分类,这类不含跨双级台阶的步数2,4,6,8,10,易出错或遗漏.ξ=1时,需走5个两级台阶,共六步走完,所以共有C61=6同理,ξ=3时,有C73=35种;ξ=5时,有C85=56种;ξ=7时,有C97=36种;ξ=9时,有C109=10所以走完这段楼梯共有6+35+56