专题2.14 等或不等解存在转化值域可实现（解析版）-高中数学压轴题讲义(解答题)

【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集

利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式，也可仿效此法．【典例指引】例1．已知函数．（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；【思路引导】（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．例2．已知函数的最大值为，的图象关于轴对称．(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路引导】(Ⅰ)由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。(Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，即方程在区间上是否存在两个不相等实根，令，，则,设,则，，故在上递增，学&科网故，所以，故在区间上单调递增，故方程在区间上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。例3．已知函数为常数（1）当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围．当时，，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．学&科网点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会．【新题展示】1．【2019山东枣庄上学期期末】已知（I）求函数的极值；（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．【思路引导】（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.【解析】（I）,当，，在上是增函数，所以，函数没有极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.当，，此时在R上递增，因为，所以在递减；在递增，，当x=0取等号，所以满足题意；当时，所以在递减，上递增；令此时当上，递增；当上，递减；当且紧当取等号，所以（1）当，，且因为（利用：当时，），所以由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）于是，当递增；当递减；当递增；于是且当由零点存在性定理：必然存在一个使得此时，存在两个零点，可见不满足题意；（3）当时，则此时在R上递增，且，所以此时有唯一一个零点所以满足题意综上，a的取值范围为2．【2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）将代入，结合导函数，判定单调区间，即可。（2）用x表示a，构造函数，求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算a的范围，即可。【解析】（2）存在不动点，方程有实数根.即有解.令令，.当时，，递减；当时，，递增；当时，有不动点，范围3．【2019山东济南上学期期末】已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【解析】（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述：.4．【2019江西南昌二中上学期期末】已知函数在处取到极值2.（1）求的解析式；（2）若a<e，函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.【思路引导】(1)先对函数求导，再由函数在处取到极值2，可列出方程组，解方程组即可得出解析式;(2)由(1)可得函数的定义域为R，且函数为奇函数，进而求出的值域，从而可求出的最小值，因此可将函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得的问题转化为在上成立的问题，用导数的方法研究函数的单调性和最值即可求出结果.【解析】(2)由(1)知的定义域为R，且，所以函数为奇函数，，时，，，当且仅当时，取等号；故函数的值域为，从而，依题意有，函数的定义域为，，①当时，，函数在区间上单调的证，其最小值为,符合题意；5．【2019江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR)．（1）当a＝b＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a＝0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．【思路引导】（1）当a＝b＝1时，求得函数的导数，即可求解函数的单调区间；（2）法一：求得，令，得或，由函数f（x）有两个不同的零点，求得的方程，即可求解；法二：由得，，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的零点。（3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使有解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。【解析】（1）当a＝b＝1时，，令，解得或所以f（x）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，当时，得a＝0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以.（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满足，解得.①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得.②【同步训练】1．设函数，，已知曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．【思路引导】（1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；（2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1．又，所以存在，使．因为，所以当时，，当时，，学&科网所以当时，单调递增，所以时，方程在内存在唯一的根．点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．2．已知函数．（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围．则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即．①时，，∵，∴，，，则，不符合条件；②时，，由，可知，学&科网则在单调递增，，整理得．综上所述，．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．3．已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围．【思路引导】（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间．（2）若不等式在上有解，那么在上，．但在上的单调性不确定，故需分三种情况讨论．（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于．①当，即时，由（1）可知在上单调递增，在上的最小值为，由，可得，②当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上的最小值为，由，可得；学&科网③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去．综上所述，实数的取值范围为．点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论．又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在上有解”可以转化为“在上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在上，有”．4．已知函数．（1）若在上递增，求的取值范围；（2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据：）【思路引导】（1）由题意可得在，上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得，。分，和两种情况可求得或．（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增∴，又，，∴，当，即时，显然成立；学&科网当，即时，可得或，点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法（1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。5．已知函数．若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果，∴；当时，在上递减，在上递增令，则在递减，，无解，即无解；学&科网综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为：或．所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．6．已知函数

(为实常数)．(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在上的单调性;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围．【思路引导】(1)求出切线的斜率，，即可得出切线方程；(2)[1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论．⑶当时,在上单调增,的最小值为当时,在上单调减,在上单调增,的最小值为．因为学&科网．当时,在上单调减,的最小值为,学&科网，综上,7．已知，其中．（1）求函数的极大值点；（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．【思路引导】（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围．8．已知函数（）（1）若，求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为，成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．试题解析：（2）存在，使得成立，等价于，（）成立设则令，解得：（舍），；①当，在递减∴令，解得：学&科网②当时，在递减，在递增∴与矛盾综上，9．已知函数，．（1）求函数的单