初中数学120大招-112 等积变换法

等积变换法【规律总结】在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。【典例分析】例1、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则SA.1

B.2

C.3

D.4【答案】B【解析】【分析】

本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．

S △ADF-S △BEF=S △ABD-S △ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为EC=2BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．

【解答】

解：∵点D是AC的中点，

∴AD=12AC，

∵S△ABC=12，

∴S△ABD=12例2、阅读理解

基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD=理由：∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=∴S∴三角形中线等分三角形的面积基本应用：

(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.则S△ACD与S△ABC的数量关系为：(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长△ABC的边CA到点E，使AE=AC，连接DE.则S△ECD与S△ABC的数量关系为：______；(写出你的理由(3)在图2的基础上延长AB到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图3).则S△EFD与S△ABC的数量关系为：(4)拓展应用：如图4，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为______c【答案】(1)S△ABC=S△ACD；

(2)S△CDE【解析】【分析】

本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．

(1)由△ABC与△ACD中BC=CD，由三角形中线等分三角形的面积即可结果;

(2)连接AD，由CD=BC，由三角形中线等分三角形的面积，同理可得△AED与△ADC面积相等，而△CDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果;

(3)连接AD，EB，FC，根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6倍的△ABC面积，即可得出结果;

(4)拓展应用：点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得S△BCE=12S△ABC，由点F是线段CE的中点，根据三角形中线等分三角形的面积，求得S△BEF=S∴S故答案为S△ABC(2)连接AD，如图1所示：

∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S同理S△ADE∴S故答案为S△CDE(3)连接AD，EB，FC，如图2所示：

由(2)得：S△CDE同理可得：S△AEF=2S∴S故答案为S△EFD(4)拓展应用：∵点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABE=∴S∵点F分别是线段CE的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S∴S故答案为4.5．例3、如图，每个小正方形的边长为1个单位．

(1)描出可利用的一个格点，仅用直尺画出△ABC的AB边上的高CD；(2)计算△ABC的面积为______________；(3)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A(4)图中AC与A1C1(5)在AC的右侧找出图中能使S△ABC=S△ABQ的所有格点Q．(分别用Q1、【答案】解：(1)高线CD如图所示；

(2)8；

(3)如图，△A1B1C1为所作；

(4)平行且相等；【解析】【分析】

本题考查了作图-平移变换，高线的作法，网格中三角形的面积计算方法，涉及了割补法计算面积，属于中档题．

(1)根据作高线的方法，作出高即可；

(2)根据割补法，算出△ABC的面积即可；

(3)根据图形平移的性质，画出△A1B1C1即可；

(4)根据平移的性质，可得出AC与A1C1的关系；

(5)首先根据△ABC的面积，根据同底等高进而得出Q点的个数．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)△ABC的面积=5×7-12×2×6-12×1×3-12×5×7-2×1

=35-6-1.5-17.5-2

=35-27

=8；

【好题演练】一、选择题如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC=CD=5，AD=6，BD=52，则△ABC的面积是(

)A.18

B.36

C.72

D.125【答案】A【解析】【分析】

本题考查的是勾股定理，三角形的面积，面积法有关知识，先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．【解答】

解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，

∵AC=CD=5，AD=6，CF⊥AD，

∴AF=3，∠AFC=90°，

∴CF=AC2-AF2=4，

∵CD·AE2=AD·CF2，

∴5AE2=6×42，

解得．AE=245

如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(

)A.4.8

B.5

C.6

D.7.2【答案】A【解析】略

如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO交⊙O于点E，过点B作弦，若PA=2PE=4，则BC的长为(

)A.125

B.185

C.245【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点.根据切线的性质和勾股定理先求得圆的半径，再利用面积相等和平行线的性质求得OD的长，最后利用勾股定理和垂径定理即可得到答案

【解答】

解：如图，连接OB，过点B作BF⊥PO交PO于F，过点O作OD⊥BC交BC于点D，

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PA=2PE=4，

∴PB=PA=4，OB⊥PB，PE=2，

设圆的半径为r，则2+r2=42+r2，

解得，r=3，

∵S△POB=12PO·BF=12PB·OB

∴12×2+3×BF=12×4×3，

解得，如图，在▵ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S▵ABC = 4 cm2，则图中▵BEF的面积是(

A.2 cm2

B.1 cm2

C.【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．

如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．

【解答】

解：如图，点F是CE的中点，

∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；

∴S△BEF=12S△BEC，

D、E分别是BC、AD的中点，同理得，

S△EBC=12S△ABC，

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，点C在y轴正半轴上，且OC=AB.将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连接AC，BD.当点P在x轴上时，若△PCD与△ACP的面积相等，则点P的坐标为(    )．A.(2,0)或(-6,0) B.(2,0)

C.(-6,0) D.(-2,0)或(-6,0)【答案】A【解析】【分析】

本题考查了坐标与图形变化-平移，

三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．

由三角形的面积得出CD•OC=AP•OC.即可得AP=CD=4，则可得出答案．

【解答】

解：(1)∵点A，B的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，∴OA=2，OB=2，∴AB=4，∵OC=AB，∴OC=4，∵将线段AB平移至线段CD，∴CD=4，∴D(4,4).由平移性质可知：CD=AB=4，∵S△PCD=12∴CD⋅即AP=CD=4，∴点P的坐标为(2,0)或(-6,0)．

故选A．

如图，四边形ABGH、四边形BCFG、四边形CDEF都是正方形，过点B作BM⊥HC于点M，过点C作CN⊥HD于点N，则CNBM=(    )A.12 B.22 C. 53【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查的是勾股定理及三角形的面积，设AB=a，求出AC、HD的长，再求出△HBC和△HCD的面积，再求出CN：BM的值即可．

【解答】

解：设AB=a，

则HC=a2+2a2=5a，HD==a2+3a2=10a，

又∵S△HBC二、填空题如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若S△APD=15cm2，S△BQC=25【答案】40【解析】【分析】

本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底高的三角形．

连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可推出S△ADF=S△DEF，所以S△APD=S△EPF=15cm

∵△ADF与△DEF同底等高，∴S即S△ADF即S△APD∴阴影部分的面积为S△EPF故答案为40．

如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2【答案】30c【解析】如图，连结EF．

∵△ADF与△DEF同底等高，

∴S△ADF=S△DEF，即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S

如图，圆心角为90°的扇形CAB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若阴影部分的面积为5π-5，则AC=_____．

【答案】2【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：

由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2=5π-5，

∵BC为直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

故CD=DB=DA，

∴D点为BC中点，由对称性可知CD与弦CD围成的面积与S3相等．

设AC=BC=x，

则S扇ACB-S3-S4=S1+S2，

其中S扇ACB=如图所示，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形的面积是_________．【答案】50【解析】【分析】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据三角形全等求出AF、AG、GC、CH的长，本题比较简单，但是计算时要细心．根据AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD等条件可以证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，即可求出AF、AG、GC、CH的长，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出图中实线所围成的图形面积．

【解答】

解：∵EF⊥FG，BG⊥AC，

∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠ABG=90°，

∵AE⊥AB，

∴∠EAB=90°，∠EAF+∠BAG=90°，

∴∠EAF=∠ABG，

又AE=AB，

∴△AEF≌△BAG(AAS)，

∴AF=BG=3，AG=EF=6，

同理可证△BCG≌△CDH，

∴GC=DH=4，CH=BG=3，

∴FH=FA+AG+GC+CH=16，

∴图中实线所围成的图形面积=S直角梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△CDH如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则AOAE

的值为________．

【答案】7【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．作BH⊥OA于H，利用矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=5，AO=OB=52，接着利用面积法计算出BH=125，于是利用勾股定理可计算出OH=710，然后证明△OBH∽△OEA，最后利用相似比可求出OAAE的值．

【解答】

解：作BH⊥OA于H，如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=32+42=5，

∴AO=OB=52，

∵12BH⋅AC=12AB⋅BC，

∴BH=3×45=125，

在Rt△OBH中，如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．

【答案】24【解析】【分析】

此题考查了垂线的概念与性质，掌握好等积变换法是解题的关键．

根据等积变换法得出AP的距离．

【解答】

解：∵点A到BC的最小值是自A点向BC作垂线，

又∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，

∴S三角形ABC=12AB×AC=12AP×BC，

6×8=10AP，三、解答题如图，所有小正方形的边长都为1，A,B,C三点都在格点上．

(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G;

(2)比较BC与BG的大小：BC_______BG(填“>”“<”或“=”)，理由是_________;

(3)线段BG的长度是点B到直线________的距离

(4)三角形ABC的面积=________，已知AC=5，求BG的长=_______．【答案】解：(1)如图所示，BG即为所求；

(2)>；垂线段最短

；

(3)AC；

(4)6.5，2.6．【解析】【分析】

本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质及割补法求三角形的面积等知识点．

(1)根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得；

(2)根据垂线段的性质求解可得；

(3)根据点到直线的定义即可解答；

(4)先利用割补法求△ABC得面积，再利用12×AC×BG=S△ABC求解可得．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)BC>BG，理由是点到直线的所有线段中，垂线段最短，

故答案为>、垂线段最短

；

(3)线段BG的长度是点B到直线AC的距离，

故答案为AC；

(4)S△ABC=4×4-12×1×4-12×1×3-12×4×3=6.5，

∵AC=5，如图，在正方形ABCD中，∠EAF = 45∘，AQ⊥EF于点Q，求证：AQ = AD．

【答案】

证明：延长CD到P，使DP=BE.连接AP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠B=∠ADC=90°，

在△ABE和△ADP中，

AB=AD,∠B=∠ADP=90°BE=DP

△ABE≌△ADP(SAS)

∴AE=A，∠BAE=∠DAP

∵∠EAF=45°

∴∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

在△AFE和△AFP中，

∵AE=AP∠EAF=∠PAFAF=AF

∴△AFE≌△AFP(SAS)，

∴EF=FP，S△AFE=【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质的知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．

利用辅助线及正方形的性质可证明△ABE≌△ADP(SAS)得到：AE=AP，∠BAE=∠DAP，又∠EAF=45°，则∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，从而证得△AFE≌△AFP(SAS)，由面积相等可得结论．

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．

(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘又∵C是BD的中点，∴CD=CB又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC=CD∵∠ACB=90∘，∴⊙O的半径为5，∵S∴CE=BC⋅AC【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．

(1)要证明CF=BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，则∠2=90°-∠ACE=∠A，∠1=∠A，则∠1=∠2；

(2)在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2(1)如图①，AD是△ABC的中线．△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？

(2)若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S△ABC.如图②，已知S△ABC=1.△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积．

小华同学利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：

连接BO，设S△BEO=x，S△BDO=y，由(1)结论可得：S△BCE=S△BAD=12S△ABC=12，S△BCO=2S△BDO=2y，S△BAO=2S△BEO=2x．

则有S△BEO+S△BCO=S△BCES△BAO+S△BDO=S△BAD即x+2y=122x+y=12

所以x+y=13.即四边形BDOE面积为13．

请仿照上面的方法，解决下列问题：

①如图③，已知【答案】解：(1)S△ABD=S△ACD．

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

又∵△ABD与△ACD高相等，

∴S△ABD=S△ACD．

(2)①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y，

S△BCF=S△ABD=13S△ABC=13，

S△BCO=3S△BDO=3y，

S△BAO=3S△BFO=3x．

则有：S△BFO+S△BCO=S△BCFS△BDO+S【解析】本题主要考查了面积与等积变换，等底等高的三角形的面积相等等知识，解题的关键是正确分析三角形各部分之间的关系．

(1)利用等底等高的三角形面积相等求解即可；

(2)①连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；

②连接BO，设S如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=4，点P是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连接BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF.过点P作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．

(1)求证：△PGB∽△EHP；

(2)求PEPB的值；

(3)求矩形BPEF的面积的最小值．【答案】(1)证明：∵∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，

∴∠PBG+∠GPB=∠GPB+∠EPH=90°，

∴∠PBG=∠EPH(同角的余角相等)，

∴△PGB∽△EHP；

解：(2)连接BE，

∵PE⊥PB，

∴∠BPE=90°，

∵∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠BPE=180°，

∴P，B，E，C四点共圆，

∴∠PBE=∠PCE，

在Rt△BPE与Rt△CDA中，

∠BPE=∠D=90°，∠PBE=∠ACD，

∴Rt△BPE∽Rt△CDA，

∴PEAD=PBDC，

即PEPB=ADDC=34；

(3)方法一：设AP的长为x．

∵BC=AD=3，AB=4，

∴Rt△ABC中，由勾股定理可得：

AC=AB2+BC2=32+42=5，

∵cos∠GAP=AGAP=ABAC=45，

∴AG=45AP=45x.

同理，sin∠GAP=GPAP=BCAC=35，则GP=35x.

在Rt△PBG中，PB2=BG2+PG2

=(4-45x)2+(35x)2=x2-325x+16，

∵PEPB=ADDC=34．

∴PE=34PB，

∴S矩形BPEF=PB⋅PE=34PB2【解析】本题考查了相似综合题，需要掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

(1)由∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，利用同角的余角相等证得∠PBG=∠EPH，即可证得结论；

(2)证得P、B、E、C四点共圆，即可得∠PBE=∠PCE，即可证得△BPE∽△CDA，通过相似三角形相似比即可得解；

(3)方法一：设AP=x，利用锐角三角函数定义表示出AG、GP、GB，进而利用勾股定理用x表示出PB2，根据矩形面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质求最值，即可解决问题．

方法二：设PB=x，则矩形BPEF的面积为S=34x2，可知当BP⊥AC时PB如图，󠄀▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，A(0,4)，B(-3,0)，点D在第一象限内．

(1)若E为x轴上的点，且SΔAOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式；

(2)若F为y(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵A(4,0)，

∴OA=4

设E(x,0)，则

S△AOE=12×OA×x=12×