高二数学圆锥曲线同步练习题

高二（理科）数学（圆锥曲线）同步练习题一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1，eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1，y2－eq\f(x2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1，x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－y2＝1，eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝12．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20B．12C．10D．63．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．84．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝15．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)6、双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝367、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－eq\f(1,4)B．－4C．4D.eq\f(1,4)8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝19．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)10、已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．1611、方程所表示的曲线是（） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（） A．渐近线方程为的双曲线的标准方程肯定是 B．抛物线的准线方程是 C．等轴双曲线的离心率是 D．椭圆的焦点坐标是二、填空题13．椭圆的焦点在y轴上，其上随意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝________.15．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq\r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．三、解答题17、已知椭圆eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程．18、已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．19、已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满意∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．20、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）假如椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？21、已知定点，动点（异于原点）在轴上运动，连接PF，过点作交轴于点，并延长到点，且，.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，若且，求直线的斜率的取值范围．高二数学圆锥曲线基础练习题（含答案）一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1，eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1，y2－eq\f(x2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1，x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－y2＝1，eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.2．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20B．12C．10D．6解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|BF1|＋|BF2|＝2a，,|AF1|＋|AF2|＝2a，))∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.3．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2，∴m＝8.4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.故选C.5、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，焦点为(0，±4eq\r(3))，离心率为eq\f(\r(3),2)，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(2,\r(3))，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－eq\f(1,4)B．－4C．4D.eq\f(1,4)解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－eq\f(1,m)＝b2＝4，∴m＝－eq\f(1,4)，故选A.8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析：选A.2a＋2b＝eq\r(2)·2c，即a＋b＝eq\r(2)c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1.9．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：选D.依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，∴3e2－2e－5＝0，∴e＝eq\f(5,3)或e＝－1(舍)．10．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16解析：选B.准线方程为x＝－p，∴8＋p＝10，p＝2.∴焦点到准线的距离为2p＝4.11、方程所表示的曲线是（A） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（C）A．渐近线方程为的双曲线的标准方程肯定是B．抛物线的准线方程是 C．等轴双曲线的离心率是 D．椭圆的焦点坐标是二、填空题13．椭圆的焦点在y轴上，其上随意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a＝8，∴a＝4，∵2c＝2eq\r(15)，∴c＝eq\r(15)，∴b2＝1.即椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝________.解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq\f(10,8)＝eq\f(5,4).15．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))解得3<k<5且k≠4.16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq\r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4eq\r(3)且AB⊥x轴得yeq\o\al(2,A)＝(2eq\r(3))2＝12，∴xA＝eq\f(y\o\al(2,A),4)＝3，∴所求距离为3－1＝2.三、解答题17．已知椭圆eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1，得eq\f(8x2,81)＋eq\f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1(a2>5)，把M点坐标代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.18．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝0，而eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c,3)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝eq\r(－4＋52＋32)＋eq\r(－4－52＋32)＝eq\r(10)＋eq\r(90)＝4eq\r(10).∴a＝2eq\r(10)，∴b2＝a2－c2＝(2eq\r(10))2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1.19．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满意∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos120°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝12，∴＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin120°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).20已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）假如椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？解（1）以O为原点，OA所