浙江省温州市莒溪村中学高二数学文测试题含解析

浙江省温州市莒溪村中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：A

解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．

2.复数等于A.

B.

C.

D.

参考答案：A3.若，为虚数单位,且,则复数在复平面内所对应的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：A4.已知函数若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)参考答案：B5.已知集合，则集合＝（）A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：两集合的并集为两集合的所有元素构成的集合，所以考点：集合的并集6.已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（）A． B． C．π D．参考答案：C【考点】定积分．【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1，则f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2．∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}，N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为π．故选：C．7.已知函数

，那么

的值为

A．

9

B．

C．

D．

参考答案：B8.不等式的解集为，则实数的值为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C9.下列命题错误的是（

）A．对于命题，使得，则为：，均有B．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”C．若为假命题，则均为假命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略10.两条异面直线所成角为，则

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x>0，y>0，+=2，则的最小值为

.参考答案：312.定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：①函数g（x）=﹣2是函数f（x）=的一个承托函数；②函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；③若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由f（x）=知，x＞0时，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），不满足f（x）≥g（x）=﹣2对一切实数x都成立，可判断①；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），易证t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，可判断②；③，令h（x）=ex﹣ax，通过对a=0，a≠0的讨论，利用h′（x）=ex﹣a，易求x=lna时，函数取得最小值a﹣alna，依题意即可求得a的取值范围，可判断③；④，举例说明，f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，则f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，可判断④．【解答】解：①，∵x＞0时，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），∴不能使得f（x）≥g（x）=﹣2对一切实数x都成立，故①错误；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），则t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，故函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数，②正确；③，令h（x）=ex﹣ax，则h′（x）=ex﹣a，由题意，a=0时，结论成立；a≠0时，令h′（x）=ex﹣a=0，则x=lna，∴函数h（x）在（﹣∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数，∴x=lna时，函数取得最小值a﹣alna；∵g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，∴a﹣alna≥0，∴lna≤1，∴0＜a≤e，综上，0≤a≤e，故③正确；④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，则f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x﹣1是f（x）=2x的一个承托函数，④错误；综上所述，所有正确命题的序号是②③．故答案为：②③．13.若曲线在点处的切线平行于轴,则____________.参考答案：略14.函数在区间[0,1]的单调增区间为__________．参考答案：，（开闭都可以）.【分析】由复合函数的单调性可得：，解得函数的单调增区间为（），对的取值分类，求得即可得解。【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时，=当时，当取其它整数时，所以函数在区间的单调增区间为，【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。15.设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系为．参考答案：a＞c＞b【考点】不等关系与不等式．【分析】利用分析法比较b与c的大小，再同理比较a与b，a与c的大小即可．【解答】解：b=﹣＜c=﹣?+＜+?＜?9+2＜9+2?14＜18，成立，故b＜c；又a﹣c=2﹣=﹣＞0，∴a＞c；综上知，a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．16.设是椭圆上的一点,则的最大值是

.参考答案：17.已知a，b都是正实数，则的最小值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+）．（1）计算a2，a3，a4，并猜测出{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．参考答案：【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）由an+1=，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出an的表达式．（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．【解答】解：（1）a1=2，an+1=，当n=1时，a2==，当n=2时，a3==0，当n=4时，a4==﹣，∴猜想an=，（n∈N+）．（2）①当n=1时，a1==2，等式成立，②假设n=k时，猜想成立，即ak=，那么当n=k+1时，ak+1===，等式成立，由①②可知，an=，（n∈N+）．19.（8分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的每辆车每月每辆需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少？参考答案：解：（1）当月租金为3600时，未出租的车有：（辆），所以租出的车有88辆；（2）设月租金定为，则月收益为

.略20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再由离心率公式和a，b，c的关系可得a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到所求值；（3）直线BM与直线DE平行．分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）由题意可得2c=2，即c=，又e==，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），AE的方程为y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），即有BM的斜率为k==1；（3）直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，kBM=1．又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵kBM﹣1====0，∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）求函数在[0，2]上的最大值和最小值.参考答案：（1）

…3分所以，x时递增，递减。

6分

（2）x时递增，递减，

…9分所以，f（x）最大值=f（x）最小值=。

……12分

22.已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．（1）若a=8，切点T（，﹣1），求直线AP的方程；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出直线PT的方程，联立直线l和PT，得P（2，2），由此能求出直线AP的方程．（2）设P（x，y），由PA=2PT，得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=．问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=有公共点，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T（，﹣1），∴kOT=﹣，kPT=﹣=，∴直线PT的方程为y+1=（x﹣），即，联立直线l和PT，，解得x=2，y=2