2024九年级数学下册第7章锐角函数综合素质评价【含答案】_第1页
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文档简介

第7章综合素质评价一、选择题(每题3分,共24分)1.sin30°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)2.【母题:教材P102例3】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AB=5,则sinA的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,4)3.【2023·益阳一中月考】已知α为锐角,且sinα=eq\f(\r(3),2),则α的度数为()A.30°B.60°C.45°D.75°4.【2023·苏州中学月考】化简eq\r((sin28°-cos28°)2)等于()A.sin28°-cos28°B.0C.cos28°-sin28°D.以上都不对5.【2023·长春】学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示,已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32m(即AC=32m),则彩旗绳AB的长度为()A.32sin25°mB.32cos25°mC.eq\f(32,sin25°)mD.eq\f(32,cos25°)m6.【2022·贵港】如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=16m,则这棵树CD的高度是()A.8(3-eq\r(3))mB.8(3+eq\r(3))mC.6(3-eq\r(3))mD.6(3+eq\r(3))m7.【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图,E是菱形ABCD的边BC上的点,连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折,点B恰好落在CD的中点F处,则tan∠ABE的值是()A.4B.5C.eq\r(13)D.eq\r(15)8.【2023·扬州仪征一模】如图,△ABC中,∠B=90°,tanA=eq\f(1,2),点D是AB的中点,点E在线段AC上运动(不与点A,C重合),若eq\f(AD,AB)=eq\f(DE,BC),则eq\f(AE,AC)的值为()A.eq\f(1,2)或eq\f(3,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)或eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)或eq\f(5,8)二、填空题(每题3分,共30分)9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则cosA的值是________.10.如图,点A(3,t)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=eq\f(3,2),则t的值是________.11.【2022·柳州】如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sinα=eq\f(3,5),堤坝高BC=30m,则迎水坡坡面AB的长度为________m.12.【2023·永州四中月考】如图,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB延长线上的D′处,那么tan∠BAD′=________.13.【2023·常州实验中学一模】如图,在矩形ABCD中,E为AD上的点,AE=AB,BE=DE,则tan∠BDE=________.14.【母题:教材P112习题T4】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=eq\f(3,4),则线段AB的长为________.15.如图,由小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,点D不在格点上,以AB为直径的圆经过点C和点D,则∠BDC的正切值是________.16.【2023·广西】如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材约________m(结果取整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)17.【2023·枣庄】如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶,当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO:OB=2:1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为________米.(结果保留根号)18.如图,将Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD,O为斜边AB的中点,连接DO并延长DO使DO=OE,连接AE,已知AC=9,BC=3,则cos∠CAE=________.三、解答题(19~22题每题6分,23题8分,24题10分,25~26题每题12分,共66分)19.【母题:教材P106习题T1】计算:(1)2cos30°-tan60°+sin45°cos45°;(2)eq\r(3)-(π-3)0-10sin30°+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-2).20.【母题:教材P119复习题T5】在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)已知c=2,∠A=60°,求∠B,a,b;(2)已知a=eq\r(2),∠A=45°,求∠B,b,c.21.【2023·邵阳五中月考】如图,△ABC中,∠A=30°,AC=2eq\r(3),tanB=eq\f(\r(3),2),求AB的长.22.【2023·无锡锡山高级中学月考】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是CD边上的一点,点P在BC边上,且满足∠PEC=∠DAP.(1)请用不带刻度的直尺和圆规,在所给的图中作出符合条件的点P;(不要求写作法,但保留作图痕迹)(2)若CE=1,试确定tan∠EPC的值.23.【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A→B→C→A,B点在A点的南偏东25°方向3eq\r(2)km处,C点在A点的北偏东80°方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数;(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).24.【2023·扬州】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=eq\f(1,2)∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sinB=eq\f(3,5),⊙O的半径为3,求AC的长.25.多边形面积的求解有多种方法,通过不同方法的应用,可以求解某些边和角.【基础掌握】(1)在▱ABCD中,∠A=60°,AB=8,AD=6.求▱ABCD的面积;【灵活运用】(2)在△ABC中,AB=20,AC=15,sinB=eq\f(3,5),求△ABC的面积.【迁移提升】(3)如图,△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上,请直接写出sinB的值.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-eq\f(4,3)x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+bx+c经过B,C两点,与x轴负半轴交于点A,连接AC,且cos∠CAB=eq\f(\r(17),17).(1)求抛物线表达式;(2)点P是抛物线上的一点.当点P在第一象限时,过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点D作DE⊥y轴于点E,连接EP,当△PDE和△BOC相似时,求点P的坐标.

答案一、1.A2.C【点拨】由题意可知,∠C=90°,因为AB=5,BC=4,所以sinA=eq\f(BC,AB)=eq\f(4,5).3.B4.C5.D【点拨】如图,由题意得,AC=32m,∠BAC=25°,BC⊥AC.在Rt△ABC中,∵cos∠BAC=eq\f(AC,AB),∴AB=eq\f(AC,cos∠BAC)=eq\f(32,cos25°)m,故选D.6.A【点拨】设CD=xm,在Rt△ADC中,∠A=45°,∴CD=AD=xm.∴BD=(16-x)m.在Rt△BCD中,∠B=60°,∴tanB=eq\f(CD,BD),即eq\f(x,16-x)=eq\r(3),解得x=8(3-eq\r(3)).故选A.7.D【点拨】过点A作AN⊥DF于点N,如图.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD=AD,∠ABE=∠D.设AD=4.∵F是CD的中点,∴DF=FC=2.根据翻折的性质可知AB=AF,∴△AFD是等腰三角形.∵AN⊥DF,∴DN=NF=1.∴在Rt△AND中,AN=eq\r(AD2-DN2)=eq\r(42-12)=eq\r(15).∴tanD=eq\f(AN,ND)=eq\f(\r(15),1)=eq\r(15).∴tan∠ABE=eq\r(15).故选D.8.A【点拨】∵D为AB的中点,eq\f(AD,AB)=eq\f(DE,BC)=eq\f(1,2),∴DE=eq\f(1,2)BC.如图,取AC的中点E1,连接DE1,则DE1是△ABC的中位线,此时DE1∥BC,DE1=eq\f(1,2)BC,∴eq\f(AE1,AC)=eq\f(1,2).如图,在AC上取一点E2,使得DE1=DE2,则△DE1E2是等腰三角形,过点D作DM⊥AC,则ME1=ME2,∠MDE1+∠ME1D=90°.∵∠B=90°,DE1∥BC,∴∠ADE1=90°.∴∠A+∠AE1D=90°.∴∠A=∠MDE1.∵tanA=eq\f(1,2),∴tan∠MDE1=eq\f(1,2).设ME1=ME2=x,则DM=2x,∴DE1=DE2=eq\r(5)x,E1E2=2x.∵DE1=eq\f(1,2)BC,∴BC=2eq\r(5)x.∵tanA=eq\f(1,2),∴AB=4eq\r(5)x.∴AC=10x.∵eq\f(AE1,AC)=eq\f(1,2),∴AE1=5x.∴AE2=AE1-E1E2=5x-2x=3x.∴eq\f(AE2,AC)=eq\f(3x,10x)=eq\f(3,10).综上,eq\f(AE,AC)的值为eq\f(1,2)或eq\f(3,10).故选A.二、9.eq\f(5,13)10.eq\f(9,2)【点拨】如图,过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3.∴tanα=eq\f(AB,OB)=eq\f(t,3)=eq\f(3,2).∴t=eq\f(9,2).11.50【点拨】根据题意得∠ACB=90°,sinα=eq\f(3,5),∴eq\f(BC,AB)=eq\f(3,5).∵BC=30m,∴eq\f(30,AB)=eq\f(3,5),解得AB=50m,即迎水坡坡面AB的长度为50m.12.eq\r(2)13.eq\r(2)-1【点拨】设AB=1,∵在矩形ABCD中,E为AD上的点,AE=AB,BE=DE,∴ED=BE=eq\r(AE2+AB2)=eq\r(2).∴AD=AE+ED=1+eq\r(2).∴tan∠BDE=eq\f(AB,AD)=eq\f(1,1+\r(2))=eq\r(2)-1.故答案为eq\r(2)-1.14.5【点拨】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=OD.∴∠AOB=90°.∵BD=8,∴OB=4.∵tan∠ABD=eq\f(3,4)=eq\f(AO,OB),∴AO=3.在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=eq\r(AO2+OB2)=eq\r(32+42)=5.15.eq\f(2,3)【点拨】∵AB为圆的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BDC=∠BAC,∴tan∠BDC=tan∠BAC.∵在Rt△ACB中,tan∠BAC=eq\f(BC,AC)=eq\f(2,3),∴tan∠BDC=eq\f(2,3).16.21【点拨】∵CA=CB,CD⊥AB,∴AD=BD=eq\f(1,2)AB.在Rt△ACD中,∠CAD=37°,CD=3m,∴AC=eq\f(CD,sin37°)≈eq\f(3,0.6)=5(m),AD=eq\f(CD,tan37°)≈eq\f(3,0.75)=4(m),∴CA=CB≈5m,AB=2AD≈8(m),∴AC+CB+AB+CD≈5+5+8+3=21(m).∴共需钢材约21m.17.(3+eq\r(2))【点拨】如图,过点O作OC⊥BT,垂足为C.由题意得BC∥OM,∴∠AOM=∠OBC=45°.∵AB=6米,AO:OB=2:1,∴AO=4米,OB=2米,在Rt△OBC中,BC=OB·cos45°=2×eq\f(\r(2),2)=eq\r(2)(米).∵OM=3米,∴此时点B到水平地面EF的距离为BC+OM=(3+eq\r(2))米.18.eq\f(3,5)【点拨】如图,连接BE交AC于点F,在四边形ADBE中,∵O为AB的中点,DO=OE,∴四边形ADBE是平行四边形.又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD,∴∠ADB=∠C=90°.∴四边形ADBE是矩形.∴∠AEF=90°,AE=BD.又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD,∴AE=BD=BC=3.∵∠AEF=∠C=90°,∠AFE=∠BFC,AE=BC,∴△AEF≌△BCF(AAS),∴AF=BF.设AF=BF=x,则CF=9-x,在Rt△FBC中,FB2=CF2+BC2,∴x2=(9-x)2+32,解得x=5.∴AF=5.∴cos∠CAE=eq\f(AE,AF)=eq\f(3,5).故答案为eq\f(3,5).三、19.【解】(1)原式=2×eq\f(\r(3),2)-eq\r(3)+eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)=eq\r(3)-eq\r(3)+eq\f(1,2)=eq\f(1,2).(2)原式=eq\r(3)-1-10×eq\f(1,2)+4=eq\r(3)-1-5+4=eq\r(3)-2.20.【解】(1)∠B=90°-∠A=30°.∵sinB=eq\f(b,c),∴b=c·sinB=2·sin30°=1.∵cosB=eq\f(a,c),∴a=c·cosB=2·cos30°=eq\r(3).(2)∠B=90°-∠A=45°.∵tanA=eq\f(a,b),∴b=eq\f(a,tanA)=eq\f(\r(2),tan45°)=eq\r(2).∵sinA=eq\f(a,c),∴c=eq\f(a,sinA)=eq\f(\r(2),sin45°)=eq\f(\r(2),\f(\r(2),2))=2.21.【解】过C点作CD⊥AB于D,如图.在Rt△ACD中,∵sinA=eq\f(CD,AC),cosA=eq\f(AD,AC),∴sin30°=eq\f(CD,2\r(3)),cos30°=eq\f(AD,2\r(3)).∴CD=eq\f(1,2)×2eq\r(3)=eq\r(3),AD=eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)=3.在Rt△BCD中,∵tanB=eq\f(CD,BD),∴BD=eq\f(CD,tanB)=eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))=2.∴AB=AD+BD=3+2=5.22.【解】(1)如图,连接AE,作AE的垂直平分线,以AE为直径画圆,交BC于点P′和P″,则∠AP′E=∠AP″E=90°.∵∠P′EC+∠P′ED=180°,∠P′AD+∠P′ED=360°-90°-90°=180°,∴∠P′EC=∠DAP′.同理可得∠P″EC=∠DAP″.则点P′和P″即为所求.(2)∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAP=∠APB.∵∠PEC=∠DAP,∴∠APB=∠PEC.∵∠B=∠C=90°,∴△ABP∽△PCE.∴eq\f(BP,CE)=eq\f(AB,PC).设PC=x,∵BC=5,∴BP=5-x.∴eq\f(5-x,1)=eq\f(4,x),解得x1=1,x2=4,∴PC的长为1或4.当PC=1时,tan∠EPC=eq\f(CE,CP)=eq\f(1,1)=1,当PC=4时,tan∠EPC=eq\f(CE,CP)=eq\f(1,4).23.【解】(1)由题意得∠NAC=80°,∠BAS=25°,∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°.∵∠ABC=45°,∴∠BCA=180°-∠CAB-∠ABC=60°,∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°.(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ABD中,AB=3eq\r(2)km,∠ABC=45°,∴AD=AB·sin45°=3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=3(km),BD=AB·cos45°=3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=3(km),在Rt△ADC中,∠BCA=60°,∴CD=eq\f(AD,tan60°)=eq\f(3,\r(3))=eq\r(3)(km),∴BC=BD+CD=(3+eq\r(3))km,∴检查点B和C之间的距离为(3+eq\r(3))km.24.【解】(1)直线AB与⊙O相切.理由:如图,连接OD.∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD,∴∠BCD=eq\f(1,2)∠BOD.∵∠BCD=eq\f(1,2)∠A,∴∠BOD=∠A.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠BOD+∠B=90°,∴∠BDO=90°,∴OD⊥AB.又∵OD是⊙O的半径,∴直线AB与⊙O相切.(2)∵sinB=eq\f(OD,OB)=eq\f(3,5),OD=3,∴OB=5,∴BC=OB+OC=8.在Rt△ACB中,∵sinB=eq\f(AC,AB)=eq\f(3,5),∴设AC=3x,则AB=5x,∴BC=eq\r(AB2-AC2)=4x=8,∴x=2,∴AC=3x=6.25.【解】(1)如图①.过点B作BE⊥AD于点E,∵∠A=60°,AB=8,∴BE=AB·sinA=8×eq\f(\r(3),2)=4eq\r(3).∵AD=6,∴▱ABCD的面积=AD·BE=6×4eq\r(3)=24eq\r(3).(2)如图②,过点A作AD⊥BC于点D,则AD=AB·sinB=20×eq\f(3,5)=12.∴BD=eq\r(AB2-AD2)=eq\r(202-122)=16,CD=eq\r(AC2-AD2)=eq\r(152-122)=9.∴BC=BD+CD=16+9=25.∴△ABC的面积=eq\f(1,2)BC·AD=eq\f(1,2)×25×12=150.(3)sinB=eq\f(7\r(85),85).【点拨】设△ABC底边BC上的高为h,则h=AB·sinB,∴S△ABC=eq\f(1,2)·h·BC=eq\f(1,2)·AB·BC·sinB.由题意知,AB=eq\r(22+42)=2eq\r(5),BC=eq\r(12+42)=eq\r(17).∵S△ABC=4×4-eq\f(1,2)×2×4-eq\f(1,2)×2×3-eq\f(1,2)×1×4=7.∴sinB=eq\f(2×7,2\r(5)×\r(17))=eq\f(7\r(85),85).26.【解】(1)∵直线y=-eq\f(4,3)x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,当x=0时,y=-eq\f(4,3)×0+4=4,当y=0时,-eq\f(4,3)x+4=0,解得x=3,∴C(0,4),OC=4,B(3,0),OB=3.在Rt△AOC中,cos∠CAB=eq\f(OA,AC)=eq\f(\r(17),17),设OA=eq\r(17)k,则AC=17k.∵AC2=OA2+OC2,∴(17k)2=(eq\r(17)k)2+42,解得k1=eq\f(\r(17),17),k2=-eq\f(\r(17),17)(舍去),∴OA=eq\r(17)k=1,∴A(-1,0).∵抛物线y=ax2

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