高考数学（新高考版）一轮复习教师用书 第二章 第四讲 指数与指数函数

第四讲指数与指数函数

”多选题］下列说法正确的为()

A.'Va"=(Va)n=a(n£N)

B.函数y=32，与y=2"n都不是指数函数

C.若am<an(a>O,S.。片1),则m<n

D.指数函数的图象恒过定点(0,1)

2.［2020贵阳市高三测试］设。=0.6。3力=0.3。6£=0.3。3,则a,b,c的大小关系为()

A.b<a<cQ.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.［2019北京高考］设函数〃x)=e，+oe\a为常数).若〃x)为奇函数，则a=港f(x)是R

上的增函数，则a的取值范围是.

4.［2015山东高考］已知函数/3)=。'+6(。>0,"1)的定义域和值域都是［1,0］,则a+b=.

5.［2015福建高考］若函数〃x)=2WW(aGR)满足〃l+x)=f(lx),且〃x)在［m,+8)上单调递增,

则实数m的最小值等于.

考法1指数幕的运算

O21LLL

(1)(31)-3+(0.002)'210x(V52)屮(夜一遅)。；

Ja3b2y/a^

(2)\!-Ti(o>0,b>0)；

(a4b2)4。3応

33

(3)若博+广，=3,求答言的值.

'x4+x仁2

解析〉⑴原式=(1)4x(3；)-5+(-1-)4-+1=(^)4+500i10x(V5+2)+1=^+1075

o5UUVb-Zov

10V520+1=—.

9

121

⑵原式=至立響=*京+露i+i《=abi.

ab2a3^3

11

⑶由鬼+卢=3,两边平方，得x+xi=7,

：.x2+x2=47..・・X2+X22=45.

113113

由(茬+£5)3=33,得妙4-3x24-3x-2+x-2=27.

3333

.*.X2+X-2=18,.*.X2+X_23=15.

,茲+%Z3_1

考法2指数函数的图象及应用

示例员

(2)若曲线|y|=2*+l与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是.

⑴由y=kx+a的图象宼k,a的取值范同玲后二的图象|______________

(2)|函数y=2，+l福阑J作关于x轴对称的图形冃/|=2*+1即为上述曲线口腕察与y=b相交情况图求b的取值范国

解析>(1)由函数y=kx+a的图象可得k<O,O<a<l.因为函数的图象与x轴交点的横坐标大于1,所

以k>1,所以l<k<0.函数片a'+k的图象可以看成把片炉的图象向右平移k个单位长度得

到的,且函数片a*是减函数，故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项，选

产一2'-1

⑵曲线|y|=2"+l与直线y=b的图象如图243所示，由图象可得:如果曲线|y|=2*+l与直线

片b没有公共点，则b应满足的条件是be[1,1].

5拓展变式乜.⑴若将示例2⑵中"曲线|y|=2，+l与直线y=b没有公共点"改为"曲线片|2、1|

与直线y=b有两个公共点"，则b的取值范围为.

⑵若将示例2⑵改为:函数片|2、1|在(8月上单调递减，则k的取值范围是.

(3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|a'l|(a>0且awl)的图象有两个公共点，则a的取

值范围是.

考法3指数函数的性质及应用

命题角度1比较大小

421

[2016全国卷HI]已知0=23力=4§,C=253,则

A.fa<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

412111

解析〉因为a=2i=165力=4W=16m,c=255,且黑函数片心在R上单调递增，指数函数y=16，在R上

单调递增，所以b<a<c.

答案〉A

S拓展变式之,已知£7,66(0,1)“1,+8),当乂>0时,1<火。*,则

A.0<b<a<1B.0<a<b<1

C.l<b<a0.1<a<b

命题角度2指数函数性质的综合问题

示例如⑴［2017北京高考］已知函数〃x)=3，(乎，则〃x))

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

(2)若不等式1+2*+4乂。>0在xe(8』时恒成立,则实数a的取值范围为.

解析〉⑴因为〃x)=3*(3,且定义域为R,所以/(x)=3*(§*=©)*3"=［3X针］=/(x),

即函数/(x)是奇函数.

又片3、在R上是增函数片()在R上是减函数，所以f(x)=y()在R上是增函数.故选A.

⑵从已知不等式中分离出实数q得a>［(»+(»］.

因为片(力看會均为减函数，

所以片［(；),+(扔为增函数.

42

所以当碎1时，［(*©氷!

所以实数a的取值范围为(；,+8).

目拓展变式？3/2019湖南五市十校联考］若〃x)=e'ae'为奇函数,则满足〃x1)弓e?的

x的取值范围是()

A.(2,+8)B.(1,+8)C.(2,+8)D.(3,+8)

命题角度3与指数函数有关的复合函数问题

示例

⑴若a=1,则〃x)的单调递增区间为，单调递减区间为：

⑵若/(x)有最大值3,则a的值为；

⑶若/(x)的值域是(0,+8),则。的值为.

解析〉⑴当a=1时,f(x)=©严心+3,

令u=x24x+3=(X+2)2+7,

则该函数在(8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.而片(乎在R上单调递减，

所以函数/(刈在(8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

即函数/(x)的单调递增区间是(2,+8),单调递减区间是(8,2).

⑵令h(x)-ax24x+3,则/(x)=(9叫

因为/(x)有最大值3,所以h(x)有最小值1,

(a>0,

因此必有工=解得。=1,即当/(x)有最大值3时,a的值为1.

(3)令g(x)=ax24x+3,由/(x)的值域是(0,+8)知,g(x)=ax24x+3的值域为R,则必有a=0.

s拓展变式44.［改编题］已知函数〃刈=2向ml(m为常数).若〃X)在［2,+8)上单调递增，则m的

取值范围是.

易错忽略对底数a的分类讨论而出错

示例6已知函数y=a2x+2ax1(。>0,且axl),当x>0时，则函数的值域为.

错因分析隔忽略对底数a的分类讨论而出错.⑴当a>l时，如果x沟那么⑵当0<a<l时,

如果松0,那么0<ax<l.

解析》y=a"+2ax1,令t=ax,

则y=g(t)=t2+2tl=(t+l)22.

当a>l时,；x20,电1,当o>l时,yN2.

当0<a<l时,：x>O,.,.O<t<l.

Vg(0)=l,g⑴=2,.•.当0<a<1时,l<y<2.

综上所述，当a>l时,函数的值域是［2,+河；

当0<a<l时，函数的值域是(1,2］,

1.BD根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知AC错误,BD正确，故选BD.

2.C指数函数y=0.3，在R上单调递减，所以。3。6<0.3。汽即b<c.基函数尸户在。+8)上单调

递增，所以0.3。3<0.6叱即c<a.综上可知力<c<a故选C.

3.1(8,0］:/(x)为奇函数，.・・/(x)=/(x),即ex+aex=exaex,/.(l+a)e

x+(l+a)ex=0,a=1.

•；/(x)单调递增，，/1(x)=exaex=^>0,/.。20,，。工。,故Q的取值范围是(00,0］.

4.1①当0<a<l时，函数/(刈在［1,0］上单调递减，

由题意可得勿界)即疗+?=?解得卜=也此时a+b=

1/(0)=-1,la。+b=-1,(b=-2,2

②当a>l时，函数〃刈在［1,0］上单调递增，

由题意可得£仅)二0：'即｛：：：；二o：'显然无解、

所以a+b=|.

5.1因为/(l+x)=/(lx),所以函数〃x)的图象关于直线x=l对称，所以a=l,所以函数〃x)=2l*

11的图象如图D241所示，因为函数〃x)在［m,+8)上单调递增，所以所以实数m的最

小值为1.

图D241

1.⑴(0,1)曲线y=|2*1|与直线y=b的图象如图D242所示，由图象可得，如果曲线y=|2*

1|与直线片b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1).

图D242

(2)(oo.o］因为函数片|2、1|的单调递减区间为(8Q］,所以的0,即k的取值范围为

(8,0］.

⑶(0$y=\ax1|的图象是由y=a,先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻

折过来得到的.

当a>l时,两图象只有一个交点，不合题意，如图D243(1)；当0<a<l时，要使两个图象有两

个公共点，则0<2a<l,得到0<a4,如图D