集合与运算-2021年高考数学（理）一轮复习易错题

集合与运算

易错点1:代表元素意义不清而出错

用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{X|x的属性}”表示的是具有

某种属性的X的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

易错点2：混淆数集和点集的表示

使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+l}；

②{(x,y)|y=x2+l},这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+l有关，但由于代表元

素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。①代表的数集，②代表的是点集。

易错点3：混淆子集和真子集而错

集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集

合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。

易错点4：求参数问题

(1)根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互

异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。

(2)在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等

号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。要注意两点：1、参数值

代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。

(3)空集是一个特殊而又重要的结论，它不含任何元素，记为0。在解隐含有空集参

与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。特别是在求参数问题时，会进行分类

讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。

易错题01代表元素意义不清而出错

例1.已知集合A={—Z,—lOLZLB"xlyWnG+l)},则AB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【警示】在考试中，很多考生本题容易错选B,因为把集合B当成函数y=ln(x+l)的值域

而出错.

【解析】A={-2,-1,0,1,2},B={x\x>-\],A\B={0,l,2}.

【答案】选D

【叮嘱】用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是

具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

变式练习

1.(2016年天津)已知集合4={l,2,3,4},3={y|y=3x-2,xeA},则4B=

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【解析】选D.由题意3={1,4,7,10},所以析B={1,4}.

2.(2014山东)设集合A={#—1|<2},3={巾=2*,工6[0,2]},则4口5=

A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)

【解析】选C.|x—l|<2n—l<x<3,AA=(-l,3)-B=[l,4].AnB=[1,3).

易错题02混淆数集和点集的表示

例2.(2020•全国3卷)已知集合4={(可1|龙口€小,丫28,B={(x,y)\x+y=8},则AB

中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

【警示】本题容易把点集错看成数集，或者不理解点集的几何意义而出错.

【解析】由题意，A8中的元素满足1°,且,

[x+y=8

由x+y=8N2x,得xW4,所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故A-3中元素的个数为4.故选：C.

【答案】C

【叮嘱】使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+l}；

②{(x,y)|y=x2+l},这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+l有关，但由于代表元

素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。①代表的数集，②代表的是点集。

变式练习

1.已知集合A={(x,y)|x2+V=1},B={(x,y)|y=x},则中元素的个数为

A.3B.2C.1D.0

【解析】集合A、B为点集,易知圆V+y2=i与直线丁=%有两个交点，

所以A3中元素的个数为2.选B.

2.已知集合A={(x,y)|x2+y243,xeZ,yeZ],则A中元素的个数为()

A.9B.8C.5D.4

【解析】通解由炉+JW3知，—CWxWBYwyw6

又XEZ,yeZ,所以xw{-1,0,1},ye{-1,0,1},

所以A中元素的个数为C；C；=9,故选A.

优解根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，

易知在圆/+丁=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

易错题07在解含参数集合问题时忽视空集

例3.(必修IP44A组T4改编)已知集合A={x|f=l},B={^ax=l],若BUA,则实数。的取

值集合为()

A.{-1,0,1}B.{-1,1)C.{-1,0}D.{0,1}

【警示】本题考生容易忽略“空集是任何集合的子集”，而错选B；当。=0时，3=0,符合

题意；

【解析】因为A={1,—1},当。=0时，B=0,符合题意；当今0时，B={—}CA,则上

aa

=1或！=一1,解得＜7=-1或。或1

a

【答案】选A

【叮嘱】由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A=5就有可能

忽视了A=0,导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数

在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在

解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

支式练习

1.(2020•全国1卷)设集合A={x|x2-4WO},8={X|2尤+尤0},MAHB={X|-2<X<1},贝！Ja=

()

ATB.-2C.2D.4

【解析】求解二次不等式炉―4K0可得：A={x|-2<x<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：B=

由于AcB={x|—2WxWl},故：—三=1，解得：a=—2.故选：B.

2.已知集合A={x|—23W5},8={无质+1/2s-1},若8UA,则实数机的取值范围是().

A.[2,3]B.(2,3)C.(-00,3]D.(-oo,3)

m-\-1>-2,

【错解】由3U4,2m-l<5,解得23壮3.

、根+l<2m—1,

【正解】A={x|—2勺工5},B=[x\m+l<x<2m—1},3.BQA.

①若3=0,则加+1>2M一1,解得根<2,此时有BG4；

②若B柳,则m+l<2m—1,即m>2,

m>2,

由BQA,得彳m+l>-2,解得2<m<3.

2m~1<5,

由①②得加S3.，实数机的取值范围是{}.选C.

易错题04混淆子集和真子集而错

例.已知集合小{-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MN,则尸的真子集共有()

A.2个B.3个C.4个D.8个

【警示】本题考生易错在于没有认真审题，没注意到问的是真子集，而不是子集.在考试中，

总会出现一些考生，由于太过自信或者进入考试状态较慢，尤其是中上水平的考生在一些基

础考题中出现跳跃式审题而导致错误.

【解析】P={1,3},尸的真子集是{1},{3},p共3个；注意：中是任何非空集合的

真子集。

【答案】选B,

【叮嘱】子集包包括真子集，从定义上说，子集是：一个集合中的元素是另一个子集当中全部

或者部分元素，就是子集.真子集：一个集合当中的元素是另一个元素的一部分,（意思是子集

可以和原来的集合相等，而真子集就不能等于原来的集合）

变式练习

1.（2011新课标）已知集合知={0,1,2,3,4},N={1,3,5）,P=McN,则P的

子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【解析】p=M\N={1,3},故尸的子集有4个.

【答案】选B

2.（2013山东）已知集合A、5均为全集。={123,4}的子集，且电（A3）={4},

3={1,2},则A%B=

A.{3}B.{4}C.{3,4}D.0

【解析】由题意3={1,2,3},且5={1,2},所以A中必有3,没有4,

G§={3,4},故A”={3}.

【答案】选A

多错题通关

1.已知集合A={—1,0,1,2},B={X|X2<1},则AB=(

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】...5={%卜1«为<1},则AB={-1,0,1）.

2.已知全集0=1i,集合A={H-2<X<4},B={X|X>2},则4（e3）=（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（-2,2）D.（-2,2]

【答案】C

[解析]^B={x|x<2},.'.Ai（^B）=（-2,2）.

3.己知集合A={1,2,3,4,5},5={（%,y）eA,yeA,x—yeA},则3中所含元素的个数

为（）

A.3B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】

列举法得出集合3={（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（4,3）,（5,3）,（5,4）},共含

10个元素.

4.已知全集。={1,2,3,4,5},集合4={X€2|忖—3|<2},则集合协等于

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{1,5}D.{5}

【答案】C

【解析】

由4={.2|,—3|<2}={2,3,4},全集。={1,2,3,4,5},所以C&={1,5}.

5.设集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={xeR|l,,x<3},则（AC）B=

A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】因为AC={1,2},所以（AC）B={1,2,3,4）.

6.设集合/={x|/=x},N={x|lgx<0},则（）

A.[0,1]B.（0,1]C.[0,1）D.（-oo,l]

【答案】A

【解析】M={x|%2=x}={0,l},N={x|lgxW0}={x[0<xWl},所以

MN={x|O#x1]=[O,1]-

7.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合5={1,3,4,6,7},则集合

Ac许3=（）

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D,{2,3,5,6,8}

【答案】A

【解析】e6={2,5,8},所以4^^e5={2,5}.

8.已知集合A={尤|尤2一3%+2=0,xw7?},3={x|0<x<5,尤eN},则满足条件

的集合。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，得

A={x|%?-3x+2=0,尤eR.}={尤|