高一数学新教材同步教学讲义 函数模型的应用（解析版）

函数模型的应用

【知识点梳理】

知识点一、几种常见的函数模型

1、一次函数模型：y=kx+b（k,〃为常数，k≠0'）

2、二次函数模型：y=ax1+bx+c（4,b,c为常数，a≠0）

3、指数函数模型：y=ba'+c（o,A,C为常数，b≠0,α>0且4κl）

4、对数函数模型：y="zk>gι,x+"（"z,","为常数，m≠O,a>0ELa≠↑）

5、幕函数模型：y=ax"+b（",Z?为常数，a≠0）

,八u∏pw,■皿[ax+b,x<m

6、分段函数模t型：y=<

[cx+a,x≥m

知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤

1、解应用题的基本思想

2、解答函数应用题的基本步骤

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然

后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实

际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题（文字语言）=数学问题（数量关系与函数模型）=建模（数学语言）=求模（求解数学

问题）=反馈（还原成实际问题的解答）.

知识点三、解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往

往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领

悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解

体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号''表达出来，建立函

数关系.

其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问

题一样，有“泛读"与''精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地

相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数

量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即

可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍

不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.

【题型归纳目录】

题型一：一次函数与二次函数模型的应用

题型二：分段函数模型的应用

题型三：指数或对数函数模型的应用

题型四：拟合函数模型的应用问题

题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型

【典型例题】

题型一：一次函数与二次函数模型的应用

例L（2022・江苏•宿迁中学高一期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制

经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业，这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵

循.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A,B两种产品，根据市场调查与市场预测，A

产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；8产品的利润与投资的算术平方根成正比，

且当投资4万元时，利润为4万元.

（1）分别求出A,8两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到A,B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才

能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

【解析】（1）设投资为X万元，

则A产品的利润yλ=kx,8产品的利润yβ=ty∕x,

由题意得，T=2k,4="r，解得A=g,1=2,

所以A产品的利润以=g*（x2。），B产品的利润为=24（x≥θ）.

（2）设企业利润为W,分配给8产品的投资为X万元，则分配给4产品的投资为°。一X）万元，

所以卬=⑦+%=；（Io-X）+2«=-g（«-2）+7（θ≤x≤lθ）,

故当石=2,即XE时，企业利润W取得最大值7,

所以这10万元资金中有6万元投资给A产品，4万元投资给5产品，可使企业获得最大利润，且最大利润

为7万元.

例2.（2022.贵州贵阳.高一阶段练习）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调

查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为X（单位：元），销售总收入），

（单位：万元）

（1）提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）

（2）如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

【解析】（1）由题意可得

y=（8-^^^?0.2卜=-2X2+13X,（X≈≥2.5）

当x===3∙3（元）时，ynwι=萼=211（万元）.

4o

即定价为每本3.3元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为21.1万元.

（2）由题意可得

-2X2+13X>20=>2X2-13x+20<O

^>2.5≤x<4

所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.

例3.（2022・湖北•孝感鲁迅高级中学有限公司高一阶段练习）某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下

面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，

并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入R（X）（万元）满足：

—O4γ~+42τC）VXV5XG^N

R（X）=,假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，

r

Il,x>5rxeN

请完成下列问题.

⑴写出利润函数），=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；

（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最大，最大利润为多少?

【解析】（1）由题意可得：G（X）=X+2.8,

~[-0.4Λ∙2÷4.2X,0<ɪ<5,XeN

R（X）=V,

ll,x>5rxeN

-OAx2+3.2X-2.8,0<x<5reN

.∙.∕(x)=R(x)-G(x)=<r

8.2-xrr>5vreN

（2）当x>5时，/（X）单调递减,

.∙.∕(x)<∕(5)=3.2(万元)，

当0≤x≤5时，函数/(x)=-0.4(x-4r+3.6,

当x=4时，/(x)有最大值为3.6(万元)，

综上：当工厂生产4百台产品时，可使赢利最大为3.6万元.

变式1.(2022•宁夏六盘山高级中学高一阶段练习)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量X件(XeN*)

与货价P元/件之间的关系为P=160-2X,生产X件所需成本为C=500+30x元.

(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？

(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.

【解析】(1)当x=30时，〃和领以2?,C㈱Φ4<3O?,

所以该厂当日的获利是30()714∞=16(X)(元)；

(2)设该厂日获利为九则由题意得

>,=(160-2x)x-(500+30X)=-2x1+130x-500,

由y21300,得-2√+I30X-50021300,

所以/_65X+900M0,即(x—20)(x-45)M0,

解得204x<45,

所以当日产量在20到45件之间(含20件和45件)时，日获利不少于1300元.

变式2.(2022•重庆•西南大学附中高一阶段练习)2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科

学法案》.对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案''负面影响，但它不是决定性的，因为它

将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入。万元(4>0),

现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员X名(XeN

且100≤x≤275),调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%,技术人员的年人均投入调整为“(〃Lll)万

元.

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人

数最少为多少人？

(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个

条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请

问是否存在这样的实数用，满足以上两个条件，若存在，求出加的范围；若不存在，说明理由.

【解析】(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为口+(4x)%]“万元，

则(400-x)[1+(4x)%]α>400«,(«>0),整理得0.04√-15x≤0.

解得OVXM375,

因为XeN且100≤x4275,所以IooMX4275,故125≤400-x≤300,

所以要使这(400-x)名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员

的人数最少为125人.

(400-x)[l+(4X)%1Λ≥Λ^m-----∖a

(2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,得I25>

上式两边同除以利得(——4001V1+X—A≥A72Zx--,整理得加≤4竺00"+Y9+15；

∖XJ∖25J25X25

由条件②由技术人员年人均投入不减少，得“("2-∣∣)na,解得m≥∣∣+l;

假设存在这样的实数机，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，

即∣∣+l≤m≤也+点+15(100≤x≤275)恒成立,

..,.400

因为——+

X

当且仅当4"020=白X，即X=Ioo时等号成立，所以机≤23,

X25

9χ

又因为IooVX≤275,当尤=275时，石+1取得最大值23,所以m≥23,

所以23≤w≤23,即加=23,

即存在这样的m满足条件，其范围为帆G{23}.

【方法技巧与总结】

1、一次函数模型的应用

利用一次函数求最值，常转化为求解不等式如+b≥o(或≤o)∙解答时，注意系数”的正负，也可

以结合函数图象或其单调性来求最值.

2、二次函数模型的应用

构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法

求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意

自变量的取值范围.

题型二：分段函数模型的应用

例4.(2022•江苏省灌云高级中学高一期末)我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，

并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产X(千台)电

ax2+100x+1000,0<x<40,

脑需要另投成本7(x)万元，且T(X)="，IOOoO力“，八另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每

60Ix+--------745(U240,

X

年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.

(1)求该企业获得年利润W(X)(万元)关于年产量X(千台)的函数关系式；

(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.

【解析Xl)IoOOo台=10千台,则7(1°)T00"+2000,根据题意得：0∙6xl0000-IOoa-2000-1350=165°,

解得a=l°.

当0<x<40时，W(x)=0.6X1000Λ-1350-10%2-100X-1000=-1Ox2+500%-2350,

当x≥40时,

W(x)=O.6×IO(X)x-135O-6Olx-^^+745O=-x-^^+61OO,

XX

-1Ox2+5OOx-2350,OaV40

综上所述Wa）=IOOOO“、八一八

-X----------+61OOi340

X

(2)当0<xv40时，W(X)=-IoR2+500x-2350=—10(戈一25产+3900

当X=25时，W(X)取得最大值W(X)max=3900；

当x≥4()时,

IOOOO

W(X)=-X-+6100=900,

X

当且仅当X=IoO时，W（X）a=5900

因为5900>3900,

故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.

例5.（2022.甘肃.高台县第一中学高一期中）某公司为使产品能在市场有更大的份额占比，制定了一个激

励销售人员的奖励方案，当销售利润不超过10万元时按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过10万

元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为A万元，则超出部分按21og?A进行奖励.记

奖金为》（单位：万元），销售利润为X（单位：万元）.

（1）写出奖金y关于销售利润X的关系式；

（2）如果某业务员要得到7.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

【解析】（1）由题意知当°MχMio时,y=o」5x,

当x>10时，γ=1.5+21og2（x-10）,

所以Ijl.5+21og2（x7θ）,x>10:

⑵由题意Q1°,则L5+21og2（x-10）=7.5,

所以log?（x-10）=3,解得χ=18,

所以该业务员的销售利润为18万元时，才可获得7.5万元奖金.

例6.（2022•山东省实验中学高一阶段练习）济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出

行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔r（单位：分钟）满足2≤r≤20,经市场调研测

算，列车载客量与发车时间间隔f相关，当10≤f≤20时列车为满载状态，载客量为500人，当2≤f<l（）时，

载客量会减少，减少的人数与（1。-。的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列

车载客量为PQ）.

（1）求PQ）的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为Q（r）=8P（/）；26、6-60（元），问当发车时间间隔为多少时•，该线路每分钟

的净收益最大，并求出最大值.

[解析](1)由题设，当2≤f<10时，令pQ)=500T(10τ)∖

又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人,

2

Λjp(2)=500-⅛(10-2)=372,解得&=2.

300+40f-2∕2,2<r<10

：.P(t)=

500,10<r<20

故，=5时，P⑸=500-2x(10-5)2=450,

所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.

260-16r-竿,2<∕<10

QQ)=

1344

-——60,10</<20

(2)由(1)知:

：2<r<10时，Q(t)≤260-2,16:•学=132当且仅当f=4等号成立,

Λ2≤r<10±β(0max=Q(4)=132,

而10≤Y20上，。⑺单调递减，则。Q)nm=Q(Io)=74.4,

综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

变式3.(2022.山东.淄博职业学院高一阶段练习)某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，

当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.

(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？

(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？

【解析】(1)设用电量为X度，对应电费为>元，

由题意得：当x≤100时，y=0.4%;

当x>100时，y=l∞×0.4+(x-l∞)×0.8=0.8x-40,

[0.4XX4100

即y=↑,

[0.8x-40,x>100

当x=120时，y=0.8×120-40=56,

所以该月电费为56元；

(2)因为x≤100时，y=0.4x≤°.4χl0°=4°<6°,

所以该户用电量超过了100度，

令0.8x-40=60,解得:X=I25,

故其用电量为125度.

变式4.(2022•福建省宁德第一中学高一阶段练习)为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王

大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品

需投入年固定成本2万元，每生产X万件，需另投入波动成本W(X)万元，已知在年产量不足4万件时，

1C64

W(X)=3χ2+4χ,在年产量不小于4万件时，W(X)=7x+；-27,每件产品售价6元，通过市场分析，

小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润P(X)(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-波动

成本.)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

P(X)=6Λ-2-(-X2+4x)=—X2+Ix-I

【解析】⑴当0<x<4时，33,

6464

当x≥4时，P(X)=6x-2-(7x+—-27)=25-x——，

——X2+2X-2,0<X<4

3

故年利润P(X)关于X的函数关系式为尸(χ)=<

64

25-x--Λ>4

--√÷2x-2,0<x<4

25-%-----rr>4

(2)由(1)知,

当0<x<4时，P(X)=-#+2x-2=T(X-3)2+1,

故P(X)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,

所以P(x)mα=尸⑶=1,

当x44时，P(X)=25-

当且仅当x=匕,即X=8时•，等号成立，

X

故当年产量为8万件时，所获利润最大，最大利润为9万元.

变式5.(2022.浙江•高一阶段练习)丽水市某工厂生产甲产品的年固定成本为200万元，若甲产品的年产

量为X万件，则需另投入成本[x)(万元).已知甲产品年产量不超过100万件时，r(x)=；/+14x；甲产

1Λβββ

品年产量大于100万件时，/(x)=51x+-=-l450.因设备限制，甲产品年产量不超过200万件.现已

X—60

知甲产品的售价为50元/件，且年内生产的甲产品能全部销售完.设该厂生产甲产品的年利润为乙(万元).

(1)写出L关于X的函数解析式Mx);

(2)当年产量X为多少时，该厂生产甲产品所获的利润L最大？

∆(^)=50x-∣ɪX2+14X∣-200=-^X2+36X-200

【解析】⑴当O<x≤lθθ时，UJ4,

当10()<x≤2(X)时，UX)=50x-(5IX+^^-145θ]-2θO=-X-1^+1250,

—x~÷36X—200,0<X≤100

4

故L(X)=V

-x-lθθθθ+1250,100<Λ≤200

X-60

L(X)=-∙l(x-72)2+1096

⑵①当0<x≤100时，I，4

当X=72时,L(x)max=Λ(72)=1096.

②当100<x≤200时，

41190-2J(X-60)∙^^=990.

L(X)=I19O-(x-60)÷≡

当且仅当x-60=3缥,即x=160时等号成立,

X-60

因为1096>990,所以L(X)max=1096.

答：当年产量为72万件时，该厂所获利润最大，最大利润为1096

变式6.(2022.湖南师大附中高一阶段练习)党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶

贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行舜

猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售.经市场调研，若要提高

销售量，则掰猴桃的售价需要相应的降低，已知狒猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒擀猴桃的

56-2x,0<x≤10

销售收入/(x)(单位：万元)与售价量X(单位：万盒)之间满足关系式/(x)=]76I3281440^ɪθ.

.XX2'

(1)写出利润F(X)(单位：万元)关于销售量X(单位：万盒)的关系式；(利润=销售收入一成本)

(2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？

【解析】⑴当°<x41°时，'(x)=x∕(x)-24X=56X—2/—24x=—2∕+32X,

(3281440A1440

当x>10时，F(x)=x∕(x)-24x=xl17.6+—一一I-24x=-6.4x------+328,

-2x1+32x,0<x≤10

故尸(X)=I1440.

7-6.4X-------+328,x>10

、X

(2)当0<x≤10时，尸(X)=-2Y+32x=-2(x-8f+128

故当x=8时，F(X)取得最大值，且最大值为128,

当x>10时，

1440(1440、1440

F(X)=-6.4X———+328=-16.4X+l+328≤-2.6.4x.——+328=136,

1440

、“山仅当64r=T.即.E5，倒小上去)时，等号成".：!K/")以得最大俏.IL最大但为136.

X

由于136›128，

所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元.

【方法技巧与总结】

1、分段函数的“段''一定要分得合理，不重不漏.

2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

题型三：指数或对数函数模型的应用

例7.（2022•山东♦德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，

在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水

质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为16π√,到了四

月底测得水葫芦覆盖面积为54π?,水葫芦覆盖面积）（单位：H?）,与时间X（单位：月）的关系有两个

函数模型y=A4*（A>0且。>1）与y=mx2+n{m〉0）可供选择.

（1）分别求出两个函数模型的解析式

（2）今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为80π√,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水

2

葫芦覆盖面积达到640m的最小月份.（参考数据：Ig2≈0.30,lg3≈0.48）

【解析】⑴依题意函数过点（1/6）和（4,54）,

若选择模型y=kax,

如=163,32

则而=54'解得"万，F

故函数模型为专3

y=(x>0).

若选择模型y=rnx2+n,

"2+〃=163«202

则⑹〃〃解得时话一

+=54'^15^

故函数模型为y=j∣x2+ηy(x>0).

当x=5时，号用

=81

（2）若选择模型V=履",

若选择模型y=如2+〃，BPγ=X2,⅛x=5∏`tj=-×52+—=76.8,

1ɔID

因为|81-80∣<∣76.8-80∣,所以y=丝(|)更合适,

令,CJ≥640,则［ɪ）≥60,两边取对数可得对2怆60,

、lg60_lg2+lg3+l

≈-«9.89

则1ɜIg3-∣g20.18

62

所以水葫芦覆盖面积达到640n√的最小月份是10月份.

例8.（2022.福建.莆田第五中学高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某

公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进

行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得

毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入千万元）与投入的资金*（千万元）的函数关系为y=履"（x>0）,

其图象如图所示.

（1）试分别求出生产48两种芯片的毛收入V（千万元）与投入的资金X（千万元）的函数关系式；

（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产AB两种芯片，求分别对A,B两种芯片投入多少资金时，该公司

可以获得最大净利润，并求出最大净利润.（净利润=A芯片的毛收入+B芯片的毛收入一研发耗费资金）

【解析】（1）生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，.∙.可设y=w（">°,χ>°）,

每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，.∙.“7=0.25=L,

•••生产A芯片的毛收入N（千万元）与投入的资金X（千万元）的函数关系式为：y=；X（X>0）；

（,1[k=∖

由图象可知：,7,,解得：1,

K∙4=2a=—

II2

•••生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金X（千万元）的函数关系式为：y=4（x>0）.

（2）设对B芯片投入的资金为X千万元，则对A芯片投入的资金为（40一X）千万元，

设净利润为W千万元，则W=«+；（40-X）-2（0<X<40）,

令f=6∈（θ,2√iU）,则W=-；/+r+8,

则当f=2,即x=4时，叱仔=-1+2+8=9,

・••当对A芯片投入3.6亿元，对8芯片投入0.4亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为9千

万元.

例9.（2022.全国•高一课时练习）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验

表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，

在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始,经过X分钟后的温度为,则满足y=M+25（&∈R,0<α<l,

x≥0）.

（1）求实数k的值；

（2）经过测试知α=0.9227,求在25°C室温下，刚泡好的85°C的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮

用口感（结果精确到1分钟）.（参考数据：Ig7≈0.8451,lgl2≈1.0792,Ig0.9227≈-0.0349）

【解析】（1）依题意，当X=O时，'=85,所以85=ha°+25,解得2=60,

所以实数上的值是60.

（2）由（1）知,当α=0∙9227时,y=60x0.9227*+25,

7

当y=60时,60X0.9227'+25=60,即0.9227'=透

两边取对数，得HgO.9227=lg7-lgl2,

,Ig7-lgl20.8451-1.0792U

所以X=上---5一≈--------------≈7

Ig0.9227-0.0349

所以刚泡好的85℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感.

变式7.（2022.全国•高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑

气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进

入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：v=oln%,被

mk

称为齐奥尔科夫斯基公式，其中。为喷流相对火箭的速度，人和恤分别是火箭的初始质量和发动机熄火

（推进剂用完）时的质量，叫被称为火箭的质量比.

（1）某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求

该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；

（2）根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该

火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.

（参考数据:In2≈0.69）

【解析】⑴由题意，0=2,%>=160,S=40,

,V=<υln-=2×lnɪ^ɪ=21n4=41n2≈2.8,

mk40

.∙.该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒.

也≤10v=<υln^≤21nlθ

（2）∖∙mκ,2,.∙.mk.

Ve7∙9>27∙9>27=128,7.9=Ine7-9>In128>In100=21n10.

即%ax=21nl0<7.9.

•∙.该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒.

变式8.（2022.云南玉溪.高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的

新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金）（单位：万元）随年产值X（单位：万元）的增

加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%.

（1）若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型），=/（"=1女+依+5（々为常数）

是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；

(2)设4>0,若函数模型g(x)="中符合奖励原则，试求。的取值范围.参考数据：lg2aθ.3.

【解析】⑴对于函数模型yτgχ+"+5(Z为常数)，

当X=Ioo时，产9,代入模型解得A=',

所以/(x)=lgx+《X+5,

奖励原则为：①/3在区间［50.500］上递增；②7M∕(x)V0.15x恒成立，

当x∈［50,500］时，模型是增函数，符合奖励原则①；

当X=50时，/(50)=lg50+6=8-lg2≈7.7≥7ζ

0.15x=0.15×50=7.5<∕(50),所以，模型不符合奖励原则②，

故该函数模型不符合奖励原则.

(2)对于函数模型g(x)="Y,可得g(x)=15-卫华，

x+8x+8

因为4>0,故函数g(x)在(-8,+8)递增，则在［50,500］递增，符合奖励原则①；

由奖励原则②得g(x)e=g(50)27,即15-乌普≥7,解得α≤344:

又由奖励原则②得g(x)≤0∙∣5x,即旦一≤0.15x在150,500］恒成立,

x+8

即3X2—276X+20α≥0,20a≥-3x2+276X,

设MX)=-3∕+276X,则抛物线y=∕l(x)开口向下，对称轴为X=学=46,

O

所以当x∈［50,500］时，A(x)max=A(50)=6300,由20α≥6300得0≥315,

综上，315≤α≤344.

所以。的取值范围是［315,344］.

【方法技巧与总结】

1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为),=N∙(l+p)∙r(其中N

为原来的基础数，P为增长率，X为时间)的形式.

2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型.

题型四：拟合函数模型的应用问题

例10.(2022♦全国•高一专题练习)自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客(含港、澳、台

同胞、海外侨胞)施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大

坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份

代码X(记2017年的年份代码为x=l,2018年年份代码为X=2,依此类推)有两个函数模型

y=kax(k>0,a>1)与y=p4+q(p>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适(不需计算，简述理由即可)，并求出该模型的函数解析式；

(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.(参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73,

Ig2≈0.30,Ig3≈0.48)

【解析】(1)因为函数y=far'(k>°M>l)中，)'随X的增长而增长的速度越来越快,

而函数y=p4+q(p>0),V随X的增长而增长的速度越来越慢，

故由题意应选y=%,(%>0,a>D;

Q=I.2

ka'=200

则有《解得，500.

ka2=240K=-----

3

…吗1-

3

(2)设经过X年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍,

则率X1.2*=2X^X1.22,即1.2==2,

ΛX-2=Iog^=ɪg2

2IB=­湍",

X≈6,

故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.

例11.(2022.广东珠海•高一期末)果园4占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下,

果树B每亩最多可种植40棵，种植成本V(万元)与果树数量X(百棵)之间的关系如下表所示.

X14916

y14.47.811.2

(1)根据以上表格中的数据判断：V=以+人与y=c4+d哪一个更适合作为V与X的函数模型；

(2)已知该果园的年利润Z(万元)与x,y的关系为z=2y-0L,则果树数量X为多少时年利润最大？

【解析】⑴①若选择y=αr+'作为y与X的函数模型，将(1'1)'(44∙4)的坐标分别带入，得

17

a=一

l=a+b15

44=4〃+产得

b一

15

172

.*.y=—X-----

1515

此时，当x=9时,y=-≈10.07,

15

当X=I6时，y=18,

与表格中的7.8和11.2相差较大，

所以y=必+人不适合作为>与X的函数模型.

②若选择y=C五+d作为y与X的函数模型，将(U),(4,4.4)的坐标分别带入，得

17

1=c÷rf^5^

4,4=2c+^≡

止匕时，当x=9时，y=W=7∙8,

当X=I6时，y==11.2,

刚好H表格中的7.8和11.2相符合，

所以y=c√I+d更适合作为V与X的函数模型.

(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定X的取值范围为[(),12(X)],

当y=U>∕7-*∙时/=2丫-0.5=胆&-丝---X=--—(X-68A/X+48)

5555IO10^>

令«=f(0≤/≤20√3),贝IJZ=-ɪ(r-ðɛr+48)

经计算，当”34时，z=—产-68f+48)取最大值110.8(万元)，

即，X=II56时(每亩约38棵)，利润最大.

例12.(2022.全国•高一课时练习)为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿

水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的

市场价y(单位：元)与上市时间X(单位：天)的数据如下表：

上市时间X(天)2620

市场价y(元)10278120

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间X的变化关

系并说明理由：①y=0r+A(a≠0),②y=a?+bx+c(a*0),@yɪa∖oghx(α≠0,⅛>0,⅛≠1),④

γ=-+b(a≠0)；

X

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；

(3)利用你选取的函数，若存在Xe(IO,e)，使得不等式犯-斤≤0成立，求实数Z的取值范围.

X-IO

【解析】(1)由题表知,随着时间X的增大,y的值随X的增大,先减小后•增大,而所给的函数y=◎+仇”≠°),

)，=41OgZ.XgWo,b>0,b≠1)和y-[+"mχ°)在(0,+8)卜.显然都是单调函数，不满足题意，故选择

y=ax2+bx+c{a≠0)

4<ι+2⅛÷c=102,

<36。+6/?+c=78,

(2)把(2/02),(6,78)(20,120)分别代入,=办2+云+(：,,得4004+20b+c=120,

解得α=g,力=—10，c=120

'y=^x2-10x+120=∣(x-10)2+70,x∈(0,-κo).

.∙.当X=IO时,y有最小值,且为in=70.

故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元.

g(x)=⅛L/T0)+-ɪ.1f..

(3)令3',X-IO2',X-IOXe(Io,+8),

因为存在XW(IO,+∞),使得不等式g(力-%≤0成立，

则々≥g(x)min∙

又g(x)=g(xT0)+[a在(10,10+2庄)上单调递减，在(10+2后,+∞)上单调递增，

.∙.当X=Io+2后时，g(x)取得最小值，且最小值为g(10+2庄)=2岳，

k≥2庖.

变式9.(2022・湖南•株洲二中高一阶段练习)2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传

染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了

很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防

护依然不能有丝毫放松.某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录，

用X表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

X(T)123456

M万个)1050150

若该变异毒株的数量M单位：万个)与经过X(XeN*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=pF+«与

y=ka∖k>0√z>1)可供选择.

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

⑵求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.(参考数据：√5≈2.236,√6≈2.449,

lg2≈0.301,lg6≈0.778)

10

P=一

3

∫4p+q=1010

【解析】(i)若选y=P*+虱P>°),将χ=2,y=ι0