第二章：函数与基本初等函数（模拟测试-教师版）-2024年高考数学一轮复习考点（新教材新高考）

第二章：函数与基本初等函数

(模拟测试)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题)

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.集合A={x|y=Ig(x2-4)},集合B={y|y3-2x-3卜全集U=R,则随A)8为()

A.[—2,2]B.[―2,+co)

C.{2}D.(-co,2]u[3,+oo)

【答案】B

【分析】根据真数大于零以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.

【详解】对于集合A,由f一4>0nx>2或x<—2,所以A=(-?,2)7(2,?),电,A=[—2,2],

y=VX2-2%-3=^(%-1)2-4>0,/.B={y|y>0}.故(电可？3[-2,-+^).

故选：B

2.若。>0且且。=cd,则Mog23=()

A.2B.：C.3D.-

23

【答案】A

【分析】根据题意写出d,并利用对数换底公式进行化筒计算，再计算aog?3即可.

【详解】由题意得"4=胃=甯=1%4'

log,4_21og,2

所以Mog23=log,4xlog23=

log?2噫2

故选：A.

3.函数/（力=》2但二式的大致图象是（）

2+cosx

【分析】求函数f（x）的定义域，证明函数;1（X）为偶函数，排除CD,再证明当xwjogj时，/（x）<0,排

除B,由此可得结论.

【详解】由题意可知，函数/（x）的定义域为R,定义域关于原点对称,

2-cos(-x)2-cosx

又/（一句=（一x>lgX21g"(x)，

2+cos(-x)2+cosx

所以f(x)为偶函数，排除选项c,D；

、口(八nV.八.广广…12-cosx,,2-cosx,、

当0,；；•时，0<cosx<l,所以一<--------<1,则r1i1lg------------<0,

V2732+cosx2+cosx

所以/(x)=x2]gjcosx<0,排除B

2+cosx

故选：A.

4.已知函数“X)对任意xeR都有〃x+2)=—〃x),且/(T)=-〃X),当xe(—1,1]时，/1(x)=M.则下

列结论正确的是（）

A.函数y=/(x)的图象关于点化O)(A:eZ)对称

B.函数y=〃x)的图象关于直线x=2M%eZ)对称

C.当xc[2,3]时，〃X)=(X-2)3

D.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

【答案】D

【分析】根据/(x+2)=-/(x)得到〃x+2)=〃x-2),所以的周期为4,根据〃r)=-/(x)得到

关于户-1对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据/")=-/(犬-2)求出尤€[2,3]

时函数解析式；D选项，根据y=/(x)的最小正周期，得到y=|f(x)|的最小正周期.

【详解】因为〃x+2)=-/(x),所以f(x)f(x-2),故〃x+2)=〃x—2),

所以f(x)的周期为4,

又“T)=-/(X),所以〃T)=〃X-2),故“X)关于x=-l对称,

又1,1]时，〃x)=d,故画出/(x)的图象如下:

A选项，函数y=/(x)的图象关于点(L0)不中心对称，故A错误；

B选项，函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误；

C选项，当xe[2,3]时，x-2e[0,l],则f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3,C错误;

D选项，由图象可知y=/(x)的最小正周期为4,

®(x+2)|=|-/(x)|=|/(x)|,故y=|f(x)|的最小正周期为2,D正确.

故选：D

5.水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性,

____5.iv

按水雾喷头流量q（单位:L/min）计算公式为q=犬师和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N=7

计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提

供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/minm2）.水雾喷头的布置应使

水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P

为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为14m?，保护对象的设计喷雾强度W

为20L/min-m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：后=1.87）（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.

【详解】依题意，P=0.35MPa,K=24.96,S=14m2,W=20Umin.m2,

S•卬_14x20〜280

由4=N=------

q-KA/1而—24.96x反~24.96x1.87

所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.

故选：C

6.已知函数“X),g(x)的定义域均为R,且满足〃x)—g(2-x)=4,g(x)+〃x—4)=6,

30

g(3-x)+g(x+l)=0,则Z"")=()

N=1

A.-456B.-345C.345D.456

【答案】B

【分析】根据递推关系可得/(—x)+/(x)=8且/(x)=/(x+2)+2,进而有/(x)+x=/(x+2)+x+2,构造

〃(x)=/(x)+x易知力(x)是周期为2,分别求得/(0)=4、/(1)=3,再求〃(0)、MD,根据周期性求加),最

后求和.

【详解】由f(x)—g(2—x)=4,则f(—x)-g(x+2)=4,即g(x+2)=/(—x)-4,

由g(x)+/(x—4)=6,贝!]g(x+2)+f(x-2)=6,即g(x+2)=6-/(x-2),

又g(x)+/(x-4)=6,则g(x+l)+〃x-3)=6,

“x)-g(2-x)=4,则〃x-l)-g(3-x)=4,

又g(3-x)+g(x+l)=0,

所以g(x+l)+/(x-3)-[/(x-l)-g(3-x)]

=g(x+l)+/(x-3)-/(x-l)+g(3-x)=2,

即/(x-3)-/(x-l)=2,

即〃x)=/(x+2)+2,

所以f(x-2)=f(x)+2,故g(x+2)=6-/(x-2)=4-/(x),

综上f(-x)-4=4-f(x),则f(-x)+/(x)=8,故上x)关于(0,4)对称,

且有fM+x=f(x+2)+x+2,

令丸(x)=/(x)+x,则〃(x)=〃(x+2),即〃(x)的周期为2,

由g(3—x)+g(x+l)=0知g(x)关于(2,0)对称且g⑵=0,

所以〃0)-g(2)=4,即"0)=4,则M0)=/(0)+0=4,

17(-1)+/⑴=8

由+可得"1)=3,则/瑁)=.*1)+1=4,

所以/i(0)=〃⑵=/⑵+2=4则"2)=2；

力(1)=版3)=/(3)+3=4贝1]/(3)=1,

依次类推可得7(4)=0,/(5)=-1,........f(n)=4-n,则/(30)=4-30=-26,

所以

t/(〃)=/(1)+/(2)+...+/(30)=26=_345

n=\2

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据递推式得/(-x)+/(x)=8目J(x)=/(x+2)+2,构造〃*)=/(x)+x并确定其周

期，依据周期性求/⑺.

7.a=^-,/?=lnl.l,c=tan0.1,则()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】令/(x)=ln(x+l)-旨丁利用导数研究函数的单调性可得到了(0.1)>/(0)=0,即可判断。、b的

大小关系；构造函数力(x)=ln(x+l)-x判断〃=lnl.l与0.1的大小，构造函数m(x)=x-tanx判断0.1与

c=tan0.1大小，从而可判断〃、c大小.

]]x

【详解】令〃x)=ln(x+l)-后，.㈠〜)，则:(力,一而广再产

所以当X>0时•/qx)>0,即/(x)在(0,田)上单调递增,

所以"0.1)>/(0)=0,即也(0.1+1)-昔1>0,即即〃>“,

1_r

令〃(x)=ln(尤+1)-X,贝I」〃'(/)=----1=—1y,

在川0彳时，厅(x)<0,则故x)为减函数,

/./i(x)</z(o)=o,即ln(x+l)<x；

令m(x)=x-tanx,XE(0,5),则①'(X)=1--->0,

故加(x)在xe(og)为减函数，

/.tn^x)<m(0)=0,即xvtanx；

Aln(x+l)<x<tanx,xe[0,^j,

令x=0.1,则ln(0.1+l)vO.lvtanO.l,即bvO.lvc,:.b〈c,

所以a<Z?<c.

故选：D.

【点睛】结论点睛：常用的不等式：sinx<x<tanx^O<x<yj,ln(x+l)<x(x>0),InxKx-IKx2-x(无>。)，

er>x+Be'>er>x(x>0),e'>x2(x>0).

8.已知函数〃x)=?+m壬+a,若〃x)=0有3个不同的解，则“的取值范围是()

A.(-8，一|")B.f-0°,-z

C.(|，+8)D.3

—,+00

2

【答案】A

1

【分析】对函数变形得，5)=二1+亘二+〃，令七区:，利用导数可求得/=£二«_8,0)31,+8),则

X

将问题转化为/(x)=0有3个不同的解等价于f+-j+a=O有两个解4,弓且6>1,r2<0,然后利用一元

二次方程根的分布可求得结果.

，/、exe1

、％▼/Ix)=----1---：----F〃=----1---：----1-a

r【详解】八/Xe'-'+xxe'T,

X

，当xv()或Ovxvl时，，<0,当x>l时，r>o,

.,.r=—a(-^,0),(0,1)上单调递减，在(1,用)上单调递增，

X

则/=?€(-00,0)。(1,+8),可得函数的大致图象，

所以/(x)=0有3个不同的解等价于/+—1+。=0有两个解％,r2R/,>i,G<0,

整理可得/+(a+l)/+(a+l)=O,

£7+1<0

二根据根的分布，得

1+。+1+。+1<0

解得"一1’则〃的取值范围是F-I

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是通过对函数变形换元，将问题转化

为〃x)=0有3个不同的解等价于f+5+a=O有两个解％，&且4>1，f2<。，考查数学转化思想和数形

结合的思想，属于较难题.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分)

9.已知函数和g(x)分别为奇函数和偶函数，且，(x)+g(x)=2*,则()

A.f(x)-g(x)=2'x

B./(x)在定义域(ro,”)上单调递增

C./(x)的导函数/'(XRI

D.g(x)>1

【答案】BD

_x-i.9x

【分析】根据函数的奇偶性可得,g(x)="^,结合选项即可逐一求解，

【详解】期f(x)+g(x)=2:得f(F+g(F=2L由于函数/(*)和g(x)分别为奇函数和偶函数，所以

_1_

-f(x)+g(x)=2r,因此/(x)=F一,g(x)「2~，

对于A,f(x)-且(1)=-2一二故A错误，

对于B,由于函数y=2*在(7,”)单调递增，产2一,在(7>,内)单调递减，所以〃力=二^—在(7,切)

单调递增，故B正确，

对于C,r(力2-2;2—2=(2*+；)ln222匕x2*In2=g2,当且仅当x=0时取等号，

而加2<1,所以C错误，

对于D,=[,当且仅当x=0时取等号，所以D正确，

v722

故选：BD

10.已知a,beR,满足e"+e"=4,贝U()

A.a+h<2\n2B.ea+b<3C.ab>\D.e2fl+e2*>8

【答案】ABD

【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.

【详解】对于A,由ea+e”=422^/?"，得e"吆2,,。+匕421n2,

当且仅当a=b=ln2时等号成立，A正确；

对于B,由e"=4-e">0,得e"+0=4+0-e"且a,bw(-°o[n4),

令〃x)=4+x-e'(x<ln4),则_f(x)=l—e"盟x)>0解得x<0,f'(x)<0解得0<x<ln4,

得〃x)在(-8,0)上单调递增，在(0,In4)上单调递减，

所以f(x)4〃0)=3,即e"+b=4+b-e'Y3,B正确;

对于C,当a=0,b=ln3时，满足e"+e"=4,ab=0<l,C错误；

对于D,e2u+e2h=g-2(e2<,+e2/,)>g(e2a+e2*+2后"力=1(eu+e*)2=8,D正确.

故选：ABD.

11.函数y=〃x)在区间(9,舟)上的图象是一条连续不断的曲线，且满足/(3+力—〃3—x)+6x=0,函

数〃l-2x)的图象关于点(0,1)对称，则()

A./(X)的图象关于点(1,1)对称B.8是“X)的一个周期

C.“X)一定存在零点D./(101)-299

【答案】ACD

【分析】根据/(I-2x)的图象关于点(0,1)对称得f(x)的图象关于点(U)对称，进而构造函数

g(x)=/(3+x)+3x,判断g(x)为偶函数，且关于(-2,-5)对称，进一步得到g(x)的单调性，进而结合可求

解ABD,由零点存在性定理即可判断C.

【详解】对于A,由于“1-2司的图象关于点(0,1)对称，所以/(I-2x)+f(l+2x)=2,故/(l-x)+f(l+x)=2,

所以〃x)的图象关于点(1,1)对称，故A正确，

由/(3+x)-/(3-x)+6x=0^/(3+x)+3x=/(3-x)-3x,令g(x)=/(3+x)+3x,;.g(_x)=/(3-x)+3x,

所以g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数，又“X)的图象关于点(1,1)对称，所以〃x)+/(-x+2)=2,又

/(X)=g(x-3)-3(x-3),从而

g(x-3)-3(x-3)+g(-x+2-3)-3(-x+2-3)=2=>g(x-3)+g(-x-1)=-10,

所以g(x)的图象关于(-2,-5)对称，

对于C,a/(l-x)+/(l+x)=2中，令x=0J(l)=1>0,所以

g(-2)=/(l)-6=-5,\g(2)=-5=/(5)+6?/(5)=1K0,由于y=/(x)在区间(口,内)上的图象是一

条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得f(x)在(L5)有零点，故C正确

对于D,由于g(x)的图象关于(-2,-5)对称以及g(x)=g(r)得

g(x)+g(-x-4)=-10=>g(x)+g(x+4)=-10,X.g(x+8)+^(x+4)=-10,J>lfy,^(x)=g(x+8)，所以g(x)

是周期为8的周期函数，f(101)=g(98)-3?98=g(2)294=-5-294=-299,故D正确，

对于B,/(1)=L/(9)=g(6)-18=g(-2)-18=g(2)-18=-5-18=-23?/(I),所以8不是〃x)的周期，

故选：ACD

【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见

的奇偶性与对称性结合的结论有：

⑴若函数y=/u+a)为偶函数，则函数y=/(X)关于X=。对称.

⑵若函数y=/(Ha)为奇函数，则函数y=/(幻关于点(a,0)对称.

⑶若/(x)=/(2a-X),则函数/(X)关于X="对称.

(4)若f(x)+f(2a-x)=3,则函数f(x)关于点(。/)对称.

12.对于函数/(x)和g(x),设玉e{x|/(x)=()},X2e{x|g(x)=()},若存在内,电，使得|西一百＜1,则称/(x)

与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数〃x)=ei+x-4与g(x)=lnr-/nr互为“零点相邻函数”，则实数机的值

可以是()

Aln5门ln3厂In2-1

A.—B.—C.—D.-

532e

【答案】BCD

【分析】根据零点的定义求函数的零点七，由定义可得函数g(x)的零点演的范围，结合函数解析式，

转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.

【详解】由题意，可得/(幻=/*-3+怎_4=0,g仇)=ln%—慢=0,

易知％=3,则|3—wlvl,2<x2<4,

则机=3在24当44有解，

X2

求导得：,令加'=0,解得x?=e,可得下表:

工2

演(2，e)e（e，4）

inr4-0—

nt/极大值

则当马=e时，取得最大值为L

e

.In2.In4In2

x,==--,x、-4,〃?=---

24—

则"的取值范围为竽3

、「Inx、八「।,1-lnx八

设y=—，x>e,则y=--—<0,

XX

所以函数了=皿在（e,y）上单调递减，所以增〈牛=。<甲<1,

DLje

u,-2,„ln2ln31

所以"，的值可ris以丁，——,—.

23e

故选：BCD.

【点睛】“新定义’'主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去

解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看

本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜

法宝.

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集R的函数/（同=.

①最小正周期为2；0/（-x）+/（x）=2；③无零点.

【答案】gsin（心）+1（答案不唯一）

【分析】根据周期，对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.

【详解】/（x）=；sin（口）+1的定义域为R,

最小正周期为丁=巧2兀=2,

元

f（一1）+=gsin（-心）+l+gsin（7Lr）+l=-gsin（7Lr）+l+（sin（7tx）+l=2

i3

因为-IWsinTLrWl,所以万4/卜）^^,

所以/（x）无零点,

综上，/（x）=gsing）+l符合题意

故答案为：/（x）=gsin（叫+1.

14.已知〃x）=l+log3X（14x49）,设8（%）=尸（司+/1）,则函数y=g（x）的值域为

【答案】[2,7]

【分析】确定函数y=g（x）的定义域，化筒可得y=g（x）的表达式，换元令iog3x=r,（te[0,i]）,可得

y=t2+4t+2,结合二次函数的性质即得答案.

【详解】由题意得贝打4x43,即g(x)=r(x)+f(x2)的定义域为[1,3],

22

故g(X)=/(X)+f(》2)=(1+log,x)2+1+log3x=(log3x)+4log?X+2,

令logsx=/,(/€[0,1]),则y=/+4r+2=a+2)2-2,

函数y=«+2）2—2在[0,1]上单调递增，故ye[2,7],

故函数3=8（6的值域为[2,7],

故答案为：[2,7]

15.已知函数y=log“（2x+3）-4（a>0且过定点尸，且定点P在直线/：or+by+7=0S>0）上，则

工+上的最小值为.

a+24b

【答案】|4

【分析】根据对数函数的性质得尸（T，T）,代入直线方程得。+2+劭=9,再根据基本不等式可求出结果.

【详解】令2x+3=l,即x=-l,y=~4,故P(-l,-4),

由P(-l,-4)在直线/:ox+6y+7=0S>0)上，得-a-4b+7=0,即a+2+46=9,

因为a>0且axl,b>0,所以a+2>2且a+2?3,4b>0,

a+2+4匕1小4ba+2、1小、I46”+2、4

所以——-——=一(2+----+----)>-(2+2j----------)=-

Jr齐信99a+24b9\a+24b9

当且仅当焉=工’即〃+2=皿*'即"于'蓝时’等号成立.

1|4

故有十花的最小值为“

故答案为：!4

16.已知函数〃月=5（1+/2万）则使得〃2a）>/（a+l）成立的实数。的取值范围为

【答案】f-1oL（o,i）

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】函数〃月=、1+岛）的定义域为（9,0）5。，内）,

因为f(x)=:(i+二1ex+l

xe

所以AT)《冷1l+ev1eA+1z、

Fh二r(力

故函数/(x)为偶函数,

当x>0时，y=->0,且y=-在(0,一)上单调递减，

XX

29

当x>0时，y=l+^-j>0,且y=l+1口在(0,w)上单调递减,

而“"TH

故/(x)在(0,一)上单调递减，且/(x)>0.

则使得〃2a)>〃a+l)成立,

|2tz|<|f/+l|

需“2"0,

。+1*0

所以4a2<(〃+1)2且〃工0,々工一1,

所以3。2一2。一1<0且,

所以(34+1)(〃一1)<0且々00,。,-1

解得-;<〃<0或Ovavl,

故答案为：M,oL(O,l).

四、解答题(本题共6小题，其中17题10分，18、19、2()、21、22题各12分，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知事函数〃x)=(3疗-2〃?)/'(〃7GR)在定义域上不单调.

(1)试问：函数/(x)是否具有奇偶性？请说明理由；

⑵若f(a+l)+〃2a-3)<0,求实数a的取值范围.

【答案】⑴"X)为奇函数；理由见解析

,23

(2)av-1或

【分析】(1)由篝函数的定义可得m=-;或加=1,结合函数/(X)的单调性排除增根，由此确定

/(X)的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

(2)利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.

【详解】(1)由题意3帆2-2s=1,解得，〃=-g或机=1,

当m=l时，/(x)=x,

函数/(x)=x在R上单调递增，不合题意；

1」

当加=一§时，/(x)=—,

函数/(耳=/的定义域为(—,。)5°，+8)，

函数f(x)=E；在(f,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递减，

但/(-1)=TJ⑴=1,

所以函数〃司=/在定义域(,，°)5°，+8)上不单调，符合题意，

所以/(x)=X3,

因为函数/(司=3^勺定义域关于原点对称，

口_1—

“f(-X)=(-x)-3=-X3=-/(x)，

所以〃x)为奇函数；

(2)由勿-3)<0及/(x)为奇函数,

可得+加-3)="3-2&),

即(a+l)Tv(3-2a)T,

而/(X)在(-8,0)上递减且恒负，在(0,内)上递减且恒正，

«+1>0。+1<0

。+1<0

所以<3-2“>0或<3-2。<0或

3—2。>0

〃+1>3—2。〃+1>3—2。

23

解得av—1或一<〃<一.

32

-x2+2nvc,x<2

18.已知函数/（x）={4，meR.

ni-x-i-----X>2

、2-x9

（1）当x42时，求y（x）>0的解集：

（2）若/（x）的最大值为3,求m的值.

【答案】⑴详见解析；

⑵〃?=±^3

【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；

（2）当x>2时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得〃2=9然后结合条件即得，当x<2时根据二次

函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得.

【详解】（1）当x42时，-%2+2fnx>0，即x（x-2m）v0.

当mV0时，2m<x<0；

当m=0时,不等式无解；

当〃2>0时，若相£1,0<X<2/M,若/>1,0<X<2；

所以，当机<0时，不等式的解集为（2加,0）；当加=0时，不等式的解集为0；当0<加41时，不等式的解

集为（0,2书;当加>1时，不等式的解集为（0,2].

4「4

（2）①当x>2时，f{x}=m-x-^-—二加一2一（x-2）+--,

2-xLx-2

4

又X—2>0,则（％-2）+-->4,当且仅当工=4取等号，

x-2

所以=相一2_4=m一6=3,即m=9,

若帆=9时，当XK2时，/（x）=-x2+2nix=-x2+18x.此时/（冷山=/（2）=32>3,

所以〃2=9不满足题意，舍去.

②当xK2时，/（力=一/+2如的对称轴为X二小，

当〃?<2时，=/（帆）="=3,m=±y/3.

7

当加>2时，“X）在（YO,2]时增函数，〃x）a=/（2）=4〃L4=3,即,"=工（舍去）.

若加=±6.当x>2时，/(x)gx=〃7一6=±6一6<3,满足题意.

综上，〃2=±6时，/(X)的最大值为3.

19.已知函数/*)对任意的。力wR,都有"a+b)=〃a)+/S)-l,且当x>0时，/W>1.

⑴求证：/(外是R上的增函数；

⑵若，闫="X)-〃y)J⑵=1,解不等式J'(x)-/(9)42.

【答案】(1)证明见解析

⑵［一1,3).(3,4］

【分析】(1)由已知条件结合函数单调性的定义证明；

(2)利用赋值法求得了(4)=2,再利用(1)求出的函数单调性解不等式.

［详解】(1)设西,多©R，且％<多,

则彳2-%>0,即/(%2一］)>1,

所以)-/(X)=/［(々一占)+X/-/(不)=一%)+/(占)-1一/(X］)=/(%-%)-1>0,

所以/(%)</(工2)，所以“X)是R上的增函数.

(2)因为/⑶=/(x)—/(y),所以庐|+/(y)=/(x).

在上式中取X=4,y=2,则有/(2)+/(2)=/(4),

因为〃2)=1,所以/(4)=2.

于是不等式f(x)-f(£)42等价于加0-3)］</(4),(x+3).

又由(1)知/(x)是R上的增函数，

一fx(x-3)<4A，

所以｛on，解得一1W%<3或3vx<4,

［五一3wO

所以原不等式的解集为［T,3)(3,4］.

20.设函数/(x)=2'+(p-l)-2T是定义域为R的偶函数.

⑴求P的值；

⑵若g(x)=/(2x)-2k-(2'-2-'j在［1,”)上最小值为-4,求人的值；

(3)若不等式/(2x)>加•/(力-4对任意实数x都成立，求实数的范围.

【答案】(1)P=2

(2)k—瓜

⑶y,3)

【分析】(1)根据偶函数的定义，即可求得答案.

⑵由⑴可得/(X)解析式，代入所求，即可得g(x)解析式，令，=2*-2,可得g⑴=*一2h+2,根

据x的范围，可得，的范围，利用二次函数的性质，分别讨论和两种情况，结合题意，即可求得

22

答案.

(3)根据2*+2-->/?于=2,原不等式可化为m<(2"+2一,)+翥尸，令/=2<+2,可得f的范围，

根据对勾函数的性质，即可求得g⑺的最小值，即可得答案.

【详解】(Df(x)是偶函数，/(-x)=〃x)恒成立，

即2-'+(p-1)•2、=2"+(p-1)•2T恒成立，即(0-2)(2*-2-*)=0,

p=2.

(2)由(1)知/3=2*+2一,

g(x)=22jr+2-2*-2k•(2,-2-，)=(2r-2T)2-2我(2,-2')+2,xe[1,+8),

令/=2*-2-*,为增函数，xe[1,+a?),贝ijte|,+°oj,

g(t)=t2-2kt+2,te|-,+oo^,

为对称轴为直线f=Z，开口向上的抛物线，

①当心|时，g(f)在,收)递增，所以g(%=g(|)=?-3&,

1733

—-3^=^,k=—(不合题意)，

412

3

②当上>1•时，=8(&)=一/+2,

，-r+2=-4，解得k=#或k=-布(舍去)，

g(x)的最小值为-4时，k的值为卡.

(3)不等式/(2x)>〃z-/(x)-4,即22，+2N>制2,+2-,)-4,

2X+2~x>2y]2x-2~x=2»当且仅当x=l时等号成立.

22、+22+4_⑵+2T)2+22-2一，?

m<2X+2-X~2X+2-X)2X+2-X

2

令f=2*+2T,/G[2,+QO),则g(r)=f+：,re[2,+oo),

又对勾函数8。)在［2,+00)上递增，；.8。),而11=8(2)=3,，加<3.

故实数>n的取值范围为(TO,3).

21.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车

的发车时间间隔，(单位：分钟)满足2Y420,经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔，相关，当

104/420时列车为满载状态，载客量为500人，当2空<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-r)的平

方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为。⑺.

(1)求P(f)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q(f)=8P(’)；2656一60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟

的净收益最大，并求出最大值.

300+40r-2r2,2<r<10

【答案】(1)P⑺二450

500,10</<20

(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

【分析】(1)由题设，有p(f)=500-左(10-。2艮。(2)=372,求大值，进而写出其分段函数的形式即可.

(2)由(1)写出。⑺解析式，讨论2q<10、104r420求最大值即可.

【详解】(1)由题设，当24r<10时，令pQ)=5OO-A(1O-f)2,

又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，

/.p(2)=500-4(10-2了=372,解得々=2.

300+40/-2/2,2<r<10

/.，

500,10</<20

故，=5时，p(5)=500-2x(10-5)2=450,

所