百师联盟2023-2024学年高三年级上册一轮复习联考(四)数学试卷及答案（江西、新教材）

2024届高三一轮复习联考(四)

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合。=(1,2,3,4,5),4={2,3),3=(2|工=2%/62),则8口CyA=

A.{4}B.{2,4)C.{1,2}D.{1,3,5)

2.已知复数z满足(z—2i)(l-i)=2,则|zl=

A.THB.A/IOC.3D.2

3.已知a=cosy,6=3^,c=log3y

A.c>a>6B.6>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

2222

4.—有或a》相''是"圆C):x+y=l与圆C2：(x+a)+(^-2a)=36存在公切线”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知3tana=.1。r则cos2a=

sinZa

6.如图,ABC-A|B|g是一个正三棱台，而且下底面边长为4,上底面边长和侧棱长都为2,则

异面直线AC与BBj夹角的余弦值为

一轮史习联考(四〉数学试题笫1页(共4页)

7.已知函数八r）=1og?（12+1）+2.+1,则不等式f（了+1）V4的解集为

A.（—2,0）B.（—8,—2）

C、（0,+z）D.（-8,—2）U（0,+8）

8.已知函数f（式）="（］-1）片一炉+。在1，2）上有两个极值点,则实数m的取值范围为

司B,僚

C《'+8）。.（。4）式:，+8）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9,已知曲线点PG,y）为曲线C上一动点,则下列叙述正确的是

—4777

A.若加=10,则曲线C的离心率为呼

B.若加=1,则曲线C的渐近线方程为》=士。

C.若曲线C是双曲线,则曲线c的焦点一定在》轴上

D.若曲线C是圆，则工一,的最大值为4

10.已知数列储“）满足m=2,%十］=犯三1,则下列说法正确的是

a”十JL

A.aj=-1B.数列｛6｝为递减数列

C.数列（一1^］为等差数列D.a“==1

1L如图，球。的半径为6■，球面上的三个点A,B,C的外接圆为圆O】，且NCAB=£,则下列

4

说法正确的是

A.球O的表面积为12K

B.若AO尸质,△QZB的面积为哼

C.若BC=2OO1,则三棱锥O-O|BC的体积是:

•J

D.三棱锥0—。］。体积的故大值为《

6

一轮复习联考（四）数学试题第2页（共4页）

12.已知函数-下列说法正确的是

AJ(z)在r=l处的切线方程为工一)=0BJGt)的最小值为＜(l+ln2)

U

C./(z)的血小值为/一52D.若如＜e/(H)+e，恒成立，则a42e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a，b满足、忖|=3,|b|=2,(2a+b)•b=l,则|2a+M=.

14,在AABC中.角A,B,C所对的边分别为a,ac,且'2sinB=3sinC,若占一c=1,cosA=

2.

Q，贝n(](2=.

15.已知数列Q”)是各项均为正数的等比数列，则%+I+曲的最小值为

Q?-------

-r2y2

16.已知A(0」),BQ,0),点P为椭圆C：T+—=1上的动点，当I尸AI+IPBI取燧小值时,

43

点P的横坐标的值为.

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知函数f(x)=-4sin(7t+x)cosx+273^cos2x.

(1)求函数〃H)的最小正周期和单调减区间；

(2)求函数八工)在0,j上的值域.

18.(12分)已知数列QQ的前"项和为S“，aj=2,等比数列仍力的公比为2,S/“=”22”.

(1)求数列｛a.3B”)的通项公式；

ra„,71为奇数，

(2)令以=求数列(c”)的前10项和.

\bn,n为偶数,

19.(12分)已知NIBC中,BC=3,M在线段BC上，2BM=MC,/BAM=J.

0

(D若AB=2,求AC的长；

(2)求△AMC面积的极大值.

一轮允习联考(四)数学试题笫3页(共4页)

20,（12分）在直三极柱八BC-ABCi中，D,E分别为的中点，BF=）CF.

U

⑴证明IAE〃平面GDPi

（2）若BC=2A8g2BB|R2,ACH述■，求平面ABE与平面DFG夹角的余弦值.

21.（12分）巳知抛物线Ct/=2Ar（p>0）.侬直于工轴的直线C与圆Q：（工一1¥+/=1相

切，且与C交于不同的两点A,B,|AB|=4V2.

⑴求“

（2）巳知尸过P的直线与抛物线C交于M,N两点，过P作直线MQ,NQ的垂线,

与直线MQ,NQ分别交于S,7两点，求证：|SQ|=|TQ|.

22.（12分）巳知函数f（w）=ae，一工一1有两个零点.

（D求a的取值范例।

7

（2）设两零点分别为小ECTJVHZ），证明m—不>丁（1-a）.

一轮复习联考（四）数竽俄题第4页（共4页）

2024届高三一轮复习联考（四）

数学参考答案及评分意见

1.A【解析】•••CuA={l,4,5）,.,.BnCuA={4}.故选A.

2.B【解析】丁2=7^[+21=113=1+3「・・・|N|=%/五.故选B.

1一11一1

3.C【解析】北〉1,CV0,・・・6＞Q＞C.故选C.

4.C【解析】圆Ci的圆心为（0,0），半径厂1=1,圆。2的圆心为（-a,2a）,半径L=6,所以两圆的圆心距为d=

CC21=%阡彳=两圆内含时，即—,解得一同＜QV西，所以当两圆有公切线时,西

或QW—西，所以“Q&—西或＜2＞而”是“圆C1:12+/2=]与圆。2：（1+4）2+（）—2a）2=36存在公切线”的充

要条件.故选C.

5.D【解析】由题意得九巴一---，•二6sin2a=1,3—3cos2Q=1,cos2a=?.故选D.

cosaZsinacosa3

6.D【解析】作AB的中点D,连接AiD.，A|D〃BBi』UNCAiD或其补角（NCAQ为钝角时）的余弦值即为

所求AC=CD=2V^,AtD=2,cosZCAjD=------"良）---‘二辰）=第'则异面直线A。与BBj的夹角

2X2X2736

的余弦值为名.故选D.

0

7.A【解析】由题意得了（k）为偶函数且在[0,+8）上单调递增，又/（1）=4,.,./（^+1）＜/（1）,.\|^+11＜1,

-2＜]＜0.故选A.

8.B【解析】因为函数/（了）=/屋一De，一^十工在:rC2）上有两个极值点，所以/'（7）在了912,2）上有

2久—122一1（（1

两个变号零点，,:f＜jc）=—+1,・\—2久+1=0,.二利=-----.令九（尤）=-----LrG—,2?

：・川（攵）=—―~J]"-1，，令h'（JC）＞0，得①G,1）,令，（a、）＜0，得1G（1,2）,.二九（z）在,1）上递增，

在（1,2）上递减.,.•/if—=0,&（1）=—,4（2）=，:・mQ|,—].故选B.

^2）e2e（2ee）

x2y2A/5-

9.AC【解析】A选项“=10时，曲线C为五十3=1,曲线C的离心率为一.故A选项正确；B选项，〃?=1时，

16104

2万

曲线C为*—》r=1,则曲线C的渐近线方程为，=±与z,故B选项错误；C选项，若曲线C是双曲线，则m

（2%-4）＜0,二0＜加V2,则曲线C的焦点一定在y轴上，故C选项正确；D选项，若曲线C是圆，则m=2m-

4,即加=4,・,•久？+了2=4,令1=2cosa,y=2sinQ（aG[0,2兀）），.二久一y=272"sin（彳一Q卜则1—y的最大值为

29，故D选项错误.故选AC.

L

10.BCD【解析】•••一^—^7=^^一-^7=^^=J,...一^=I+J（〃—I）=

an+i—1an—1Lan-Zan—1Lan-ZZan—1ZNN

〃

+3—i12故错误，正确.故选

zz+1%+1'0E=ABCDBCD.

一轮复习联考（四）数学答案第1页（共6页）

11.ACD【解析】A选项，S=4“/=12TT,故A正确；B选项，•.•/CAB=^,...NBOIC=2，，SACOIB=：BCH=

4uZ

7T

1,故B错误;C选项，设BC=2a,由BC=2。。],可得00i=a,因为NCAB=1.BC=2a,0i为AABC的外

心，所以0jA=0iB=0iC,NE0iC=2NCAB=],...OjB'+OiG=BCZ,故018=。«=也。，由已知，

0。彳一4。；=。42,。4=9，所以。=1,所以。1=09==，/8。1。=5，。。1=1，由球的截面性质可得

OOi_L平面OiBC,所以三棱锥O—OiBC的体积1=55徵1斑•00]=9X：X北'X1=（,故C正确；

====

D选项，设AOi=z,，。。1J3比29S△OiBCQ22,・\VQ—OIBC=下x2，3一力之=，一K6+3久4，令l2=%（0<

N60

，<3）,则Vo—OIBC=J/——+3八，令且口）=一/+3"，.\8'（方）=一3/+6力=—3"/一2）,・・・当1=2时，

g（X）max=4,Vo.O]BC的最大值为？，故D正确.故选ACD.

12.ABD【解析】八7）的定义域为（0,十8）"'（了）=2z—L则==故切线方程为，-l=z—1,

12r2-1f2历

即久一）=0,故A正确.由/'（I）=21一一=------=0得，尤=丁，/（无）在区间（0,亏）单调递减，在区间

xxNN

—（1+In2）,故B正确，C错误.QiKer?—

elni+e，恒成立，其中1〉0,所以7.一011-,记F（z）—岛"』〉。）,则尸“口二

2ex——+exx—（ejr2-elnx+e，）

xe（久2—1）+（久一l）eT+elnx

，当久6（0,1）时，F'（久）VO；当尤G（l,

十8）时,F，（£）〉0,所以F（i）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，故FCz）min=F（l）=2e,则实数a

的取值范围为Q<2e,D正确.故选ABD.

222

13.75T【解析】•.,（2a+b）•b=l,2a•b+\b\=192a・6=1—4=-3,|2。+力|=^4«+b+4a•b

A/36+4—6

2

14.75【解析】由2sinB=3sinC,得%=3c,因为6—c=l解得c=2,6=3,又cosA=§,由余弦定理得=4+

2

9—2X2X3X1=5,解得。二西.

15.2A/2"【解析】•^〉。，；・。66a8=2。7（当且仅当。6=。8时等号成立），二%+。8H〉2。7H,2々7+

CL7。7

1万1

一）2片（当且仅当a1好时等号成立），故加+土十外的最小值为2洛

CL7NQ7

16.~4^6^【解析】因为8（1,0）为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F,则F（—1,0）,由椭圆的定义，得|PA|十

|PB|=|PA|+2a—|PF|=4+|PA|—|PF|,所以P为射线FA与椭圆交点时，IPA|十|PB|取最小值，因

一轮复习联考（四）数学答案第2页（共6页）

R=久+1,

—4+6V?一

为直线FA方程为丁=1+1,设P（1,）），联立＜/y2消去，得7^2+8比-8=0,----%----或

舍).

17.解：(1)/'(1)=4sinrrcosJ:+2V3~cos2i

=2sin2JC+2V3-cos2x

=4sin12i+-|^],........................................................................................2分

27C

.•./(1)的最小正周期为T=2=7t......................................................................3分

令]+2归/+]<苧+2々兀，上eZ,..................................................................4分

7C77c

+2^7r^2rr^—+2^izfkGZ,

6o

化简得三十4兀+GZ,

"(z)的单调减区间为仁+后,2+左"]/ez.......................................................5分

令42%十（,则犷若,

sin2<1，.....................................................................................8分

—2V3-^4sin力(4,

，了（工）在O.y上的值域为[—2向,4].10分

18.®：(1)当"=1时,

VS161=2,S1=2,

61=1,.................................................................................................1分

・・・第=21,............................................................................................2分

2

Sn=2n................................................................................................3分

当心2时，

a„=S„—S„-i—2n2-2(%—1)2=4%—2..............................................................4分

经检验，当九=1时，加=2满足上式，.............................................................5分

:・a八=471—2..............................................................................................6分

一轮复习联考（四）数学答案第3页（共6页）

（4麓一2,〃为奇数，

（2）・・・金=....................................................................7分

为偶数.

设｛的｝的前10项和为Tio，

；・T1O=（。1+。3+•••+。9）+（心2+64+,••+610）..................................................8分

5XC2+34)12XC1-45)

=772.................................................................................................................................................................................12分

…»ABBM

19.解：(1)在△A8M中飞inNAMB=sin/BAM'

.2_1

•'sinZAMBsin30°'

sin/AMB=1.

：.ZAMB=90°,................................................................................................................................................................2分

，NABC=60"......................................................................................................................................................................3分

,在AABC中,AC2=AB2+BC2—2ABXBCXcosNABC,..................................................................................4分

...AC?=4+9—2X2〉'3X3=7,..............................................................................................................................5分

：.AC=47..............................................................................................................................................................................6分

另解：：ZAMC=ZAMB=90°,

AM=VAB2-BM-=722-l2=73,........................................................................................................................4分

AAC=V22+(V3)2=#...............................................................................................................................................6分

(2)V在△ABM中,BM2=AB2+AM2-2ABXAMXcosZBAM,

：.1=AB2+AM2-43ABXAM^(2~43)ABXAM,..........................................................................................7分

r.ABXAMW—=2+痣，当且仅当AB=AM时，等号成立....................................8分

2-73

'''S^M=^~ABXAMXsin-,

ABNo

•••S△"的最大值为^..................................................................10分

•S/\AMC=2SAABM，

•••5”“'的最大值为^^.....................................................................12分

20.(1)证明：连接CE交CiF于点G,连接DG,延长C】F与延长线交于点H.

因为△CICFS/\HBF,BF=!CF,所以BH=!CCI,所以EH=CCi，所以△HEG组ZXCiCG,则EG=CG.

.........................................................................................................................................................................................3分

又因为AD=CD,所以DG为△CEA的中位线，则AE〃DG..............................................................................4分

因为。GU平面C]DF,AEU平面C]DF,所以AE〃平面CDF.....................................................................5分

一轮复习联考（四）数学答案第4页（共6页）

(2)解：因为45=1,3。=2,4。=4,人。2=4声+6。2,所以AB_LBC

如图，以B为坐标原点，BC为式轴,BA为)轴,BB］为2轴建立空间直角坐标系,

则F[可2，0,0),D[1，2,0),C\(2,0,l),

3

4

贝“,FC：=(1,0,A8分

3

设帆=(x，之)为平面DFC1的一个法向量,

1,1

—x±­y=09

m・oZ/£

则_即,令力=1,解得m=1,一9分

m•FCi=0,4._

—x~vz=0,

又平面ABE的一个法向量”=(1,0,0),10分

设所求夹角为d,则3g”二寸......................................................12分

21.(1)解：由题意得I的方程为了=2.又|AB|=4片,

不妨设A(2,2也)，代入抛物线C,解得p=2......................................................2分

(2)证明：①当直线MQ,NQ中有一条直线斜率存在时，

不妨设直线MQ的斜率不存在，则M(l,—2),N(0,0),此时直线NQ的斜率为0.

=

IMQ：2'=1，/NQ：V0»

SQ|=|TQ|=2...............................................................................4分

②当直线MQ,NQ斜率均存在时，

记直线MQ斜率为M，直线NQ斜率为七，P到直线MQ的距离为由,到直线NQ的距离为蜃，

y1y?

设IMN：;y=氏(2+l)+2,M(久l，；yl),N(•r2，;y2)，则ki=----r，卜2=-r,

—1久2—1

16)1人令

12(j：i—1)(^2-1)y\y\(y\4(3/1+3^2)2+8^1^2+16,

-1

(J=4久，k44屋+2)c八

卜=后(£+1)+2,4kk

64(后+2)

k46(4+2)

12―i6G+2)2—64,32(^+2),——47+8后一一............................................9

卞+—T-+16

一轮复习联考(四)数学答案第5页(共6页)

2|储+112k2+i|

因为di=，同理d2=10分

，1+储

2J+l

2|42+11k1211+MI

则|SQ|=|TQ|.12分

yi+^21+"yi+^i

ai

22.⑴解：令/(z)=0,得。=可，令gGr)=^，则g'(z)=一］，.....................................1分

eee

令g'（i）＞o,得£©（—8,o），令g'（H）＜o,得ze（o,+8）.则g（无）在（一8,o）单调递增，在（o,+8）单调递

减■..............................................