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文档简介
2023年高三数学高考模拟试卷(9)
一、单选题
1.已知集合4={x|3<x<7},B={x\2<x<10},则CR(AUB)=()
A.(-co,2]U[10,+oo)B.[3,7)
C.(2,3)U[7,10)D.R
2.若复数z=(1+2i)(2-i),则复数z的模|z|=()
A.3B.5C.9D.25
双曲线薨()的渐近线方程为(
3.4=1"0)
A.y=±2xB.y=±|xC.y—+\[2xD.y=±*x
4.学校举行德育知识竞赛,甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节,通过笔试决出了第1名到
第5名.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对他们说:“决赛5人的成绩各不相同,但你们俩的名
次是相邻的“,丙、丁两名参赛者也去询问成绩,回答者对丙说:“很遗憾,你和丁都未拿到冠军”,
又对丁说:“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,5人的名次排列共有()种不同的可能情
况.
A.14B.16C.18D.20
5.为了得到函数y=3sin(2x―卷)的图象,只要把y=3sE(2%+*图象上所有的点()
A.向右平行移动g个单位长度B.向左平行移动g个单位长度
C.向右平行移动等个单位长度D.向左平行移动整个单位长度
6.在△ABC中,BE=^BC,AF=^AE,则前=()
A.-^AB+^ACB.~BF=^AB-^AC
C.-1AB+^ACD.BF=^AB-^AC
7.在半径为国的实心球0i中挖掉一个圆柱,再将该圆柱重新熔成一个球O2,则球。2的表面积的最
大值为()
A.47r.(空需B.47r.(挈)孑
C471-(1)3D.47r.3I
8.已知定义域为R的函数/(%)满足f(1+x)=/(I-x),/(I-x)=1-f(x),且/(%)在区间[0,1]
上还满足:①当均<%2时,都有/(%1)4/(&);0/(0)=0;③f(|)=*Q).则/(_|)+温)等
于()
A-iB-IC-1D.|
二、多选题
9.下列说法正确的是()
A.若随机变量X〜N(0,1).贝UP。W-1)=P(x21)
B.样本相关系数7•的绝对值越接近1,成对样本数据线性相关程度越强
C.数据25,28,33,50,52,58,59,60,61,62的第40百分位数为51
D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},令事件4=
[2,3,5},B={1,2},则事件4B不独立
10.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱:一个棱柱是一个立体图形,它是
由一些平面构成的,其中有两个面是相对的、相等的,相似且平行的,其它各面都是平行四边形.显然
这个定义是有缺陷的,由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响,该定义在后世可谓谬种流
传,直到1916年,美国数学家斯顿(J.C.Stone)和米利斯(J.F.Millis)首次给出欧氏定义的反例.如
图1,八面体E—/BCD—F的每一个面都是边长为2的正三角形,且4个顶点A,B,C,D在同一
平面内,取各棱的中点,切割成欧氏反例(如图2),则该欧氏反例()
E
图1八面体图2欧多反例
A.共有12个顶点B.共有24条棱
C.表面积为4+4国D.体积为企
11.已知抛物线C:y2=%,点4,B均在抛物线C上,点P(0,3).则()
A.直线P4的斜率可能为工
B.线段PA长度的最小值为遥
C.若P,A,B三点共线,则存在唯一的点8,使得点2为线段PB的中点
D.若P,A,B三点共线,则存在两个不同的点B,使得点A为线段PB的中点
YTl
12.当%>1且y>l时,不等式信〉(令恒成立,则自然数n可能为()
A.0B.2C.8D.12
三、填空题
13.(x+y)(x—y)5的展开式中/y4的系数是.(用数字作答).
15.若存在直线I既是曲线y=M的切线,也是曲线y=a仇工的切线,则实数a的最大值为.
16.已知4B,。三点在圆C:(久+27+y2=36上,△力BD的重心为坐标原点。,则△ABD周长的
最大值为.
四、解答题
17.设正项等比数列{®}的前n项和为%,若S3=7,a3=4.
(1)求数列{出}的通项公式;
(2)在数列{S"中是否存在不同的三项构成等差数列?请说明理由.
18.为迎接“五一小长假”的到来,某商场开展一项促销活动,凡在商场消费金额满200元的顾客可
以免费抽奖一次,抽奖规则如下:在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球,其中,红
球2个,白球3个,黄球5个,顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球,根据摸出球的颜色情况分
别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况:41个红球1个白球,B-.2个红球,
C:2个白球,D:至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖,二等
奖,三等奖,不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中,第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率;
(3)若三名顾客每人抽奖一次,且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X,求X的分布列和期
望.
19.在四棱锥P-力中,底面ABCD为梯形,AD||BC,AD=2BC,E为PB上的点,且PE=2EB.
p
(1)证明:PD〃面4CE:
(2)若PAI面ABC。,AB1AD,PA=AD,面PBD1面P力C,求二面角4一CE-D的正弦值.
20.在锐角△ABC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(2A+8)=2sinA(l-cosC).
(1)证明:b=2a;
Co)^3sin2A+sin2B,
⑵2sinAsinC+cosB的取值范围.
21.在平面直角坐标系xOy中,已知点Fi(-VI,0)、92(疗0),IMFil+IM&I=4,点M的轨迹为
C.
(1)求C的方程;
(2)设点P在直线%=s(|s|>2)上,4、B为C的左右顶点,直线P4交C于点E(异于4,B),直线
PB交C于点尸(异于4B),EF交于G,过G作%轴的垂线分别交PA、PB于R、T,问是否存在常数
九使得|RG|=4|TG|.
22.已知函数/'(x)=2x-alnx.
(1)若/(无)>0恒成立,求a的取值范围;
/(4)/(金)r-
(2)当a=l时,若亩=黄=标,其中/<外,证明:犯一巧<Jm2-16
2
参考答案
L【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A,B,C
10.【答案】B,C
11.【答案】B,D
12.【答案】B,C
13.【答案】一5
14.【答案】|
15.【答案】2e
16.【答案】12+12V2
17.【答案】⑴解:设{%}的公比为q>0(且q*1).
由秒=%(1+q+9?=7,两式相除并整理得3q2_4q_4=(3q+2)(q-2)=0,
解得q=2或—q(舍去),即q=2,%=1,
所以an=2"T.
(2)解:由(1)有q=2,%=1,所以sn=1XM=2"-1,
假设存在三项Sm,Sn,Sp(ni<n<p)构成等差数列,
则有2Sn=Sm+Sp,即2x2。=2m+2P,
左右两边除以2加,2n+l-m=l+2P-m,
等式左边为偶数,右边为奇数,该等式显然无解,
所以在数列{Sn}中不存在不同的三项构成等差数列.
18.【答案】(1)解:设顾客第i次摸到红球为E&=1,2),
__0100-1
则P(%)=P(E]E2)+p(瓦莅)W+养W;
A962i
(2)解:由题意知,P(71)=—2-=45=Yg,P(B)=~^~=而,
C10C10
C*2q17
P(C)=•=诟=田P(D)=1-P(A)-P(B)—P(C)=g
c10
因此,顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为春白、含
(3)解:由⑵可知,顾客抽奖一次获奖的概率为「=兼+金+条
则X〜B(3,1),
所以P(X=0)=以4)。4)3=|g,P(X=1)=盘(|)】4)2=篇,
P(X=2)=C文|)24)i=悬,P(X=3)=第(|)34)。=备,
则X分布列为:
X0123
343294848
p
729729729729
数学期望E(X)=3x^=|.
19.【答案】(1)证明:设4CCiB0=。,连0E,
•••AD||BC,AD=2BC,
A人nACpiBOBC1
〜4DA0,且加=西=2'
又翳=*,二器=爵,,•,△B0E〜4B0P,
E0||PD,
又PD,面ACE,EOu面4CE,
P。〃面力CE;
(2)解:连P。,过点4作AM1P。,垂足为M,
•••平面P8D1平面PAC,nPBDd^PAC=PO,AMu平面PAC,
.••AMI平面PBD,•••BD•••AM1BD
又•••PA1平面4BCD,BDu平面ABC。,•••PALBD,
AMCtPA=A,AM,PAu平面PAC,从而B。_L平面24C,
:•BD1AC,・•.△ABCBAD
BC_=AB_
AB=ADAB=y[2BC,
令BC=1,贝=AD=2.以A为原点,ZB为X轴,AC为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系.
力(0,0,0),8(夜,0,0),C(V2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(孥,0,|),
~DC=(y[2,-1,0),屁=(孥,-2,|).
缶_y=0(y=y[2x
设面DCE的法向量为元=(x,y,z),^x-2y+|z=0>,1z=2缶'
.JJ
令x=l,则)/=e,z=2V2,n=(1,V2,2V2).
荏=(竽,0,|),4C=(V2,1,0),
f2V22
设面4CE的法向量为沅=(、o,%,zo),丁配十@zo-u,
=0
(缶。+y0
‘°"x。,令》0=一],则¥=鱼,Z()-y/2,m—(—1,V2,V2),
3=-V2x0
1—>—5
",m)=丽=而,
所以二面角A-CE-。的正弦值为嶙.
11
20.【答案】(1)证明:sin(2A+B)=2sinA(^l4-cos^A4-B))=2sinA+ZsinAcos^A4-B),
sinAcos^A+B)+cosAsin^A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B),
sin(A+B)cosA—cos(A4-B)sinA=2sinA
sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a.
⑵解「•锐角△ABC,代+依+:;4彳〉?,=,6,若,<,倔
la24-h2-c2>0(a2+4a2-c2>0a
222222222
3sinA+sinB,n3a4-Z?,a+c-b4a4-c2a.c、12a、,cn
2sinAsinC+cosB=2^+2ac==T+2^2#X2H=2,
当且仅当c=2a时等号成立,
当髀倔寸,我+弛=哈,当好机时,我+弛=学>整,
Q2ac10a2ac610
所以去+A12,%
21.【答案】(1)解:因为尸1(一6,0)、F2(V3,0),|M0|+IMF2]=4>I&F2I=2百,
所以点”的轨迹以Fi、F2为焦点的椭圆,
这里c=6,2a=4,a=2,所以反=a2-c2=4-3=1,
9
所以椭圆C的方程为竽+y2=i.
、2
设PA:x—my-2»代入号+y2=i,得(my—2产+4y2=4,
22
HP(m+4)y-4my=0,得:yE=-^-,xE=myE-2=
2
设PB:x=ny+2,代入誉+y2=1>得(政+2)2+4y2=4,
即(M+4)y2+4ny=0,得:yF=4=叫+2=
GE=(xE-xG,yE),lF=(XF-XE,yF-yE)<
E
由前〃前得(%-xG)(yF-y£)=(xF-xE)yE,得应-xc=狎干.和),
yFYE
2m2-&-4w_-2-2+8.4?n
得丫r丫后⑸一年)和丫尸一丫七盯混4>2+4t2+4混4
C=-__+7+
E--yF-yE-yF-yE-
nz+4mz+4
_(27n2-8)(—n)—(—2n2+8)m_2nm(m—n)+8(7n—n)_2(m—n)
一—-n(m2+4)-m(n2+4)——mn(m+n)+4(m+n)~m+n
代入PA:x=my-2,得:XR=启%,代入PB:x=ny+2,得JV=为署,
因为|RG|=A|7G|,所以;1=解=呼}=1.
所以存在常数a=1,使得|RG|=4|TG|.
22.【答案】(1)解:因为/(%)=2%-a)>0),
所以/(%)=2-葭=笔工,
当Q=0时,f(x)—2x,显然/(%)>0恒成立,
222
当aVO时,易得y(e万)=2e五一Q仇e5V2e°-2=0,不合题意;
当a>0时,令/(%)<0,得。V%V/令/(%)>0,得%>*
/(%)在(0,身上单调递减,在弓,+8)上单调递增,
故仇=Q-aln^>0,所以0VaV2e;
综上:04QV2e.
2
(2)证明:当a=l时,令。(%)=色铲毛,=(2久一仇幻(彳_2+1nx),
由(1)知2%—Inx>0,
令p(x)=2x+Inx-2,由于y=2x-2与y=In%在(0,+8)上单调递增,
所以p(x)在(0,+8)上单调递增且p(l)=0,
由此令g'(x)<0,得OV%V1;令g'(%)>
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