空间向量在立体几何中的三种考法-2024年高考数学复习大题题型归纳含答案

空间向量在立体几何中的三种考法-2024年高考数

学复习大题题型归纳

空间向量在立体几何中的三种考法

空间角的向量求法

题目工〕如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，4。仆3。=0,且「0，平

面/BCD,PO=2,R,G分别是PB,PD的中点，E是P4上一点，且AP=3AE.

(1)求证：BD〃平面ERG；

⑵若ADAB=与,求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.

题目0如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA，平面ABCD，七为PD的中

(1)求证：〃平面4EC；

(2)求平面P4C与平面AEC所成角的余弦值.

题目叵］己知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为

4,乙4=90°,/。=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面4BEJ.平面BCDE（如图2）.

⑴求证：AQLCD；

（2）求二面角B-A.C-D的正弦值.

题目［7J如图,四棱锥P-ABC。中，四边形4BCD为梯形，/B〃CD,AO_LAR,AB=AP=

20c=4,PB=2AD=4®,PD=2娓,M,N分别是PO,PB的中点.

（1）求证:直线MN//平面ABCD；

⑵求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值.

题目Jl如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCDyPA=AD=

点M是PD的中点.

(1)证明：AM_LPC;

(2)设4。的中点为。，点N在棱PC上(异于点P,C),且ON=O4,求直线AN与平面ACM■所

成角的正弦值.

题目已知三棱台AiBiCi—ABC,AiA±面ABC,44场=AB=AC=4,cosZ.BAC——牛,D

是线段4A中点，且BD_LDC.

⑴证明：BD_LBQ；

(2)请选择合适的基底向量,求直线8。与AA所成角的余弦值.

3

1_,如图，在三棱柱ABC-ABiG中，=BC,AB}=BQ.

B

（1）证明：AC_LBpB；

（2）若AB=BBi=2,AB尸瓜^ABC=120°,求二面角A-的余弦值.

题目百）如图，在四棱锥P-ABCD中，P4_L平面4BCD,ADYCD,AB//CD,PA=AD=

CD=1,AR=2,点M是的中点.

(1)证明：PB=2CM；

(2)求直线0M与平面49”所成的角的正弦值.

4

题目J如图，平行六面体ABCD-4B1GR的体积为6,截面ACC.A,的面积为6.

(1)求点JB到平面4CC/1的距离；

⑵若力B=4D=2,N瓦1。=60°,力4=V6,求直线BDi与平面CCQQ所成角的正弦值.

题目lo如图所示，在多面体A3CGRE中，底面BCBE为矩形，且/E_L底面BCRE,4G〃ER,

AG=AE=BE=4EF=2,BFClGE=O.

(1)证明：49〃平面GCF.

(2)求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值.

5

题目如图，在四棱锥P-ARCD中，底面HBCD是矩形，尸A_L平面ABCD,PA=AD=

也15=1,七，”分别为线段4?,9。的中点,连接困延长无并与"1的延长线交于点尸,连

接PE,PF.

(1)求证：ME〃平面P尸D

(2)求平面APE与平面PM所成角的正弦值.

题目及如图1,在五边形ABCDE中，四边形4BCE为正方形，CDLDE,CD=DE,如图2,将

^ABE沿BE折起，使得4至4处，且AB，AtD.

(1)证明：OE_L平面43E；

(2)求二面角C-A.E-D的余弦值.

6

题目J3如图，在斜三棱柱ABC-4BG中，44尸AB,ABXY4。，AB】的中点为O,3。的中

点为D

(1)证明：OD〃平面ACG4；

(2)若ZACB=90°,AB}=B.C,AC=2BC=4,求平面ACCXAX与平面4BC所成角的大小.

题目J4如图,在底面为正方形的四棱台力中，已知4。=2,。2=1,8。|=，7,

A到平面BDDt的距离为等L

⑴求。到平面4BCD的距离；

（2）若44产空，求直线CC、与平面ABD｛所成角的正弦值.

题目如图，多面体ABiA-ABCD中，四边形A3CD是菱形，/ABC=60°,AB〃4Bj,AB=

2AB产4,ADUAR,AD=24。，44_L平面ABCD,AXC_LABV

BY-----------%

(1)求力Ai；

(2)求二面角DI-CALD的正弦值.

已知空间角求其他量

题目1］如图,在三棱锥P-ABC中，R4J_底面ABC,ZBAC=90°.点D、E、N分别为棱P4

P。、BC的中点，M是线段力。的中点，PA=40=4,48=2.

⑴求证：MN//平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上,且直线M与直线BE所成角的余弦值为名,求线段的长.

8

题目区］己知正方体ABCD-AiBQQi，点、E为中点，直线交平面CDE于点、F.

⑴证明：点尸为BiG的中点；

⑵若点加为棱上一点,且直线与平面CDE所成角的正弦值为焙，求笑的值.

题目百在三棱柱ABC-ABG中，平面ABBA，平面ABC,侧面A^BA为菱形，NABBF

春，AB」力。，43=4。=2,E是AC的中点.

O

⑴求证：4B,平面

(2)确定在线段力㈤上是否存在一点P,使得AP与平面A2E所成角为与,若存在，求出兽的

3EAV

值;若不存，说明理由.

9

题目\Jj如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱P4±平面ABCD,底面四边形4BCD是矩形，P力=

AO=4,点M,N分别为棱PB,PD的中点，点E在棱AD上，49=3AE.

⑴求证:直线AM//平面BNE；

(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.

①平面PAB与平面PCD的交线I与直线BE所成角的余弦值为琮口;

②二面角N-BE-D的余弦值为誓.

注:若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.

题目回在底面ABCD为梯形的多面体中.AB〃CD,BC，C0,MB=2CD=2A/2,ZCBD=45°,

BC=AE=DE,且四边形BDEN为矩形.

⑴求证：3D_LAE；

(2)线段EN上是否存在点Q,使得直线BE与平面QAO所成的角为60°?若不存在,请说明理由.

若存在，确定点Q的位置并加以证明.

题目aI如图1所示，在四边形ABCD中，BC_LCD,E为BC上一点，AE=BE=AD=2CD=2,

CE=4，将四边形AECD沿AE折起，使得BO=心,得到如图2所示的四棱锥.

(1)若平面BCD0平面ABE=2,证明：CD//Z；

(2)点F是棱BE上一动点，且直线BD与平面4OF所成角的正弦值为《孥，求第.

11E/1D

题目7如图，A3是圆O的直径，点。是圆O上异于力，B的点，PC_L平面ABC,AC=瓜,PC

=2BC=2,E,R分别为PA,PC的中点，平面BE尸与平面A3。的交线为3D,。在圆O上.

(1)在图中作出交线BD(说明画法，不必证明)，并求三棱锥D-ACE的体积；

⑵若点“满足BM=^-BD+ABP(A6R),且CM与平面PBD所成角的正弦值为平，求/)的

/O

11

题目旦）如图，已知直角梯形ABCD与ADER,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,AD±AF,

ED//AF,AD±AB,BC//AD,G是线段BR上一点.

(1)平面ABCD_L平面ABF

(2)若平面ABCD_L平面ADEF，设平面CEG与平面ABF所成角为。，是否存在点G，使得

cosg=W^，若存在确定G点位置;若不存在,请说明理由.

题目⑥］如图，在正方体ABCD-ABCQi中，E是棱CG上的点(点E与点C,G不重合).

(1)在图中作出平面A2E与平面ABCD的交线，并说明理由；

(2)若正方体的棱长为1,平面AD㈤与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为嗤2,求线段CE

的长.

12

题目JO如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为平行四边形，侧面PA。是边长为2的正三

角形，平面PAD±平面ABCD,AB±PD.

(1)求证:平行四边形ABCD为矩形；

(2)若E为侧棱P。的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为平，求点B到平面

ACB的距离.

题目”如图1,菱形ABC。的边长为2/，与，将△43。沿30向上翻折，得到如图2所

O

示得三棱锥H-BCD.

⑴证明：

(2)若A'C=3,在线段BD上是否存在点G,使得平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为

吟?若存在，求出BG；若不存在,请说明理由.

13

题目卫如图，在四棱锥P-ARCD中，AB〃CD,CP工CD,CD=2AB=2,AP=AC=AD.

(1)证明:平面P3C_L平面PCD：

⑵己知CP=，53C=2,国=4万[0,1].若平面与平面ACQ夹角的余弦值为空,

求4的值.

题目_13_；已知在直三棱柱43。一A3G中，其中44尸2月。=4,AB=3。,尸为33的中点，点E

是CG上靠近G的四等分点，人/与底面ABC所成角的余弦值为乌.

B

(1)求证:平面AFC±平面A{EF^

(2)在线段AF上是否存在一点N,使得平面4PC与平面NBC所成的锐二面角的余弦值为

苧，若存在,确定点N的位置，若不存在,请说明理由.

14

题目J4直三棱柱ABC-4BQ］中，AC=BC=CCi=2,D为3。的中点，点E在44i上，A。

(1)证明：3。_1,平面44D；

(2)若二面角4—DE—G大小为30°,求以4,EQ，G为顶点的四面体体积.

题目工？如图1,在△A3C中，AB=AC=2,/历1。=岑,E为的中点，尸为上一点，且

EF±AB.将4BEF沿ER翻折到AREF的位置，如图2.

L8，

E。

图1图2

(1)当AB=2时,证明：平面BAE±平面ABC；

(2)己知二面角8-£R一4的大小为茅棱47上是否存在点M,使得直线EE与平面BW1所

成角的正弦值为裒？若存在，确定M的位置;若不存在,请说明理由.

15

空间距离的向量求法

题目J如图，四边形/BQD是边长为2的菱形，乙4BC=60°,四边形R4CQ为矩形，PA=1,从

下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答

计分).

①3P,OP与平面ABCD所成角相等;②三棱锥P-ABD体积为空;③cosZBPA=与

35

⑴平面PACQ±平面ABCD-,

(2)求二面角3-PQ—D的大小;

(3)求点。到平面BPQ的距离.

题目2如图所示,在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，3C〃

平面PAD,BC=^AD=1,E是棱PD上的动点.

(1)当E是棱PO的中点时,求证：CE〃平面PAB；

(2)若43=1,43，AD,求点B到平面ACE距离的范围.

16

题目J在如图所示的圆锥中，己知P为圆锥的顶点，。为底面的圆心，其母线长为6,边长为3-

的等边△A3C内接于圆锥底面，OD=AOP且4€[5,1].

(1)证明：平面。3C_L平面。力O；

(2)若E为中点，射线OE与底面圆周交于点M,当二面角A—OB—C的余弦值为得时，求

点”到平面BCD的距离.

题目在多面体4BCGAB中，四边形BBQQ是边长为4的正方形，AB±BtB,△4BC是正三

角形.

(1)若4为4B的中点，求证:直线A。〃平面4BG；

(2)若点A在棱AB1上且44尸24B1,求点。到平面A.BC,的距离.

17

题目包〕如图,该几何体是由等高的半个圆柱和十个圆柱拼接而成，点G为弧8的中点，且。,

E,O,G四点共面.

(1)证明:平面BDF±平面BCG；

(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为率，且线段长度为2,求点G到直线

5

OR的距离.

题目g］如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,AB±AD,AB=AD,。为BD的中

点.

(1)证明：OA_LCD

⑵若4BCD是等腰直角三角形，"DC=90°,8=2,点E在棱AD±(与4,D不重合)，若二

面角E—BC—。的大小为45°,求点。到面3CE的距离.

18

题目J斜三棱柱ABC-4BG的各棱长都为4,44/3=60°,点4在下底面ABC的投影为AB

的中点O.

(1)在棱(含端点)上是否存在一点D使A{D±AC[?若存在，求出BD的长:若不存在，请说

明理由；

(2)求点A到平面BCCB的距离.

题目瓦I在直角梯形ABCD中，CD_LAD,AB=BC=2CD=2,4D=现将AACD沿着对角

线AC折起，使点。到达点尸位置，此时二面角P-AC-D为专.

O

(1)求异面直线所成角的余弦值;

(2)求点A到平面PBC的距离.

19

题目3如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，47为底面直径，△ABD为底面圆O的内接

正三角形，且边长为《，点E在母线PC上，且AE=四,CE=1.

(1)求证:直线PO〃平面BDE；

⑵求证:平面BED±平面ABD-,

(3)若点M为线段PO上的动点.当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M

到平面ABE的距离.

题目1F；已知直三棱柱ABC-4B|G中，4BJ_BC,43=44产2,BC=1,分别为48,

BE的中点，F为CD的中点.

⑴求证：〃平面4BC；

(2)求平面CED与平面HCGA夹角的余弦值;

(3)求点G到平面CED的距离.

20

空间向量在立体几何中的三种考法

空间角的向量求法

题目［Tj如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ACCBD=O,且PO_L平

面/BCD,PO=2,R,G分别是PB,PD的中点，E是P4上一点，且AP=3AE.

（1）求证：〃平面EFG；

（2）若NDAB=当，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵高

【分析】（1）通过证明BD〃GF即可证明结论；

（2）以O为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量P力坐标与平面

EFG法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案.

【详解】（1）证明：:G,/分别为中点，：.GF//DB,

又BZ?|c］平面GEF,GFu平面GEF,

:.BD44面EFG;

（2）底面ABCD是边长为2的菱形，所以又POJ.平面AB。。，OAOBu平面

ABCD,

所以P。J_OA,PO±OB,

如图所示，以O为原点，以04OB,OP所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,O,O),B(O,V3,0),D(0,-V3,0),P(0,0,2),3(0,一4,1),尸(0,乎,1).

/.R4=(l,0,-2),AP=(-l,0,2),a4=(l,0,0),

又AP=3AB,/.AE^^-AP,：.无=示+：存=信,0,,),

0JJO

•••呜端)屈=(/喙为就=_2_V31_

3'2'3

设平面EFG的一个法向量为亢=(i,仇z),

n-EF=—^x+嗡/+上=0

n卜"_?，令力=1,所以元=(1,0,2),

则.-2

方・EG=_%_号g+枭=o[Z—ZX

设直线H4与平面ERG所成角为氏(0,y]

IPA*n|I—3|Q,----------4

则sin^=—=—r=一~产二7-,故有C=J1-sin1=—,

\PA\\n\V5-V555

所以直线P4与平面EFG所成角的余弦值4.

5

题目口〕如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA，平面4BCD,E为PD的中

(1)求证：PB〃平面4EC；

(2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)建系，求平面4EC的法向量，利用空间向量证明线面平行；

(2)求平面尸AC的法向量，利用空间向量求面面夹角.

【详解】⑴因为PA，平面ABC。,且AB,4DU平面ABCD,则PA±AB,PA±AD,

即⑷3,AD,4P两两互相垂直，

如图，以4为原点，以AB,AD,AP分别为:r轴，9轴，z轴，建立空间直角坐标系A—xyz,

,

则A(0,0,0),P(0,0,2))B(2,010),C(2,2,0),E(0,1,1),

可得而=(2,0,—2),而=(2,2,0),AE=(0,1,1).

设平面AEG的法向量为庆=(BMZ),

nl\AC-m—2x-\-2y—0„._.za,,

则(—►，取N=1,可得u=-l,z=l,

[AE-rn=y-i-z=0

所以平面4EC的一个法向量为由=(1,-1,1),

可知越•市=2x1+0—2x1=0,即两J_关,

又因为PB（t平面AEC,所以PB〃平面AEC,

(2)由(1)可知：/=(2,2,0),*=(0,0,2),

设平面PAC的法向量为五=(a,b,c),

则7=20+20=°,取&=],可得6=一1,。=0,

•n=2c=0

则平面P4c的一个法向量为元=(1,一1,0),

封汨,-m-n1+1+0V6

可付COSV771,72>=----------=—=-----=——,

刷.同73x723

所以平面P4C与平面AEC所成角的余弦值为坐

O

题目3：已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为

4,乙4=90°,/。=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面4BEJL平面BCDE（如图2）.

（1）求证：A1C±CD；

（2）求二面角3—4。一。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵多

【分析】⑴取BE的中点O,连接AXO,OC,则AtO±BE,再结合已知面面垂直可得AQ，平面

BCDE,则4Q，CD,而OC8,再由线面垂直的判定可得8，面力QC,从而可证得AC

工CD,

（2）以OB,OC,04所在的直线分别为工轴，？/轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：取3E的中点O,连接AQ,OC.

vA{B=AXE,：.AiO±BE.

又•・,平面A.BE_L平面BODE,且平面A.BEn平面BCDE=BE9A{Ou平面A.BE,

・•.AO_L平面8c

•・•CDu平面BCD石，・・.40_LCD

•・•在菱形3cz汨中，NO=60°,・,.ABCE为等边三角形，

,:BE的中点、为O,：.OC1.BE,

-BEUCD,：.OCA.CD

,・・A}OAOC=O,AOOCu平面A}OC,

・•.CD_L平面AO。，・・•ACu平面A}OC,CD±A}C.

3

(2)由⑴4O_L平面BCDE,•••OBOCu平面BCDE,.•.4O,OB，4O,OC,

•：OCA.BE,

如图，以OB,OC,04所在的直线分别为h轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则

,

J5(2,0,0),C(0,2V3,0),D(-4,2V3,0),711(0,0,2),

/.AC=(0.2V3,-2),BC=(-2,273,0),CD=(-4,0,0).

设平面BAXC的法向量为有=Q,y,z),则

济•AyC=2V3y-2z=0

不妨设夕=1,则/=(V3,1,V3).

nx-BC=—2x+=0

设平面D4Q的法向量为甚=(a,b,c),则

花,AC=2A/36-2c=0

X，令c=—,则花=(0,1,V3),

莅•CD=-4a=0

设二面角B-4C-D的大小为。，由图可知(9为钝南，

n-n_______4________2V7

/.|cos^|=t2=/.sin9=

V3+1+3XVI+37

V21

二面角B-AQ-D的正弦值为必L.

题目⑷如图，四棱锥P-ABC。中，四边形ABCD为梯形，A5〃CD,AD，AB,4B=AP=

2DC=4,PB=2AD=4四,PD=2V6,M,N分别是PO,PB的中点.

(1)求证:直线MN//平面ABCD；

(2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵爷

【分析】⑴由M,N分别是PD,PB的中点可得MN〃BD,进而可证直线皿N〃平面ABCD;

(2)以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面MCN与平面ABCD得法向量，进而求出

cos*,而，则平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值可得.

【详解】⑴连接RD,N分别是PD,PB的中点.

MN//BD

又•••MN①平面ABCD,BDu平面ABCD

直线MN〃平面458

(2)VAB=AP=2DC=4,P3=2AD=4-,PD=2乃

AB2+AP2=PB2,AD2+AP2=PD2

...AB±AP,AD±AP

4

4P两两之间互相垂直

以力为原点，建立如图所示空间直角坐标系

,

71(0,0,0),5(0,4,0),C(2A/2,2)0),D(2V210,0),P(0,0,4)

又•••”，N分别是PD,的中点.

M(V2,0.2),Af(0,2,2)

(-72,-2,2),QV=(-272,0,2),AP=(0,0,4)

设平面MCN的法向量为4=(z,9,z)

|CM求=0可f—V2x—2y+2z—0

[CN-n=0何i-2，^r+2z=0

(_V2

解得“一〒①令s=2可得法向量方=(2,蓼,2/)

[z=V2x

AB±AP,AD±AP,ADQAB=A

：.AP_L平面ABCD

存为平面ABCD得法向量

乔益82277

COsAP,7Z=

丽4x714~7~

令平面MCN与平面43CD夹角为6且为锐角

/.cos0=|cosAP,n|=

平面MCN与平面ABC。夹角的余弦值为空二.

题目区）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA1.平面ABCD,PA=AD=

方AB,点M是PD的中点.

⑴证明：AWLPC；

（2）设A。的中点为。，点N在棱PC上（异于点P,。）,且ON=O4,求直线4N与平面■所

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵等

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AM±PD,由面面垂直的性质可得CD，平面PAO,则CD

_LAM,所以由线面垂直的判定可得AM±平面PCD,从而可得结论；

⑵以4B,4。,/P所在直线分别为⑨y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：因为PA=AD,点”是PD的中点，所以AM±PD.

5

因为P4J_平面4BCD,P4u平面PAD,所以平面PAD_L平面ABCD,

因为四边形ABCD为矩形，所以CD_L力。，

因为平面PADn平面ABCD=4D,3u平面438,

所以CDJ_平面PAD,所以CDJ_AM,

因为PDCCD=D,PRCDu平面PCD,

所以AAf_L平面PCD,

因为PCu平面PCD,所以AM_LPC.

（2）解：由题意可得AB,两两垂直,

设4B=1,如图，以/B4ZAP所在直线分别为z,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（O,O,O），B（I,O,O）,C（I，,O）„,O）,P（O,O,0,

因为点M是PD的中点，所以“（0,乌,李），

所以丽:（0,岑，孚），京=（1,6,0）,

设平面ACM的法向量为五=（①,9,z）,则

JAM-n=冬y+与z=0

IAC•n=x+~/ly=0

令y=-l可得/=，^,z=l,所以平面HCM的一个法向量亢=

(V2,—1,1).

PC=(1,V2,-V2),设N(XN，VN，ZN),际=APC=(尢仞，一仞)(0<^<1),

即3N，?/N，ZN—，所以—.

又O七弩，0)QN=%=坐，

所以(/)—/)+^V2A—+(V2—V2/l)2=-1-,

化简得5/-71+2=0,解得♦=或；1=1（舍去）.

5

所以前呜，啜挈），

设直线AN与平面AC"所成的角为夕，则

3V2

n-AN_________V15

sin6=5

+&+也—10

同.MM"2+i+ix小看T25T25

所以直线4N与平面4cM所成角的正弦值为唔

题目可已知三棱台4BG—4B。，A/J.面ABC,4ABl=48=4。=4,cosABAC=~,D

是线段A/中点，且3。_LDC.

6

小G

⑴证明：BD_L3Q；

（2）请选择合适的基底向量，求直线场。与AA所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

oO

【分析】（1）根据条件结合余弦定理先求出A,A的长度，然后再证明△BAD与△/DA/相似，从

而可证明.

（2）选取基底｛为反而，而｝，分别表示出瓦方，求出模长和对应的数量积，由向量法可得出答案.

【详解】（1）证明:连接BXD.设A/=a，在△ABC中，由余弦定理得

BC=^42+42-2X4X4X（一1）=2V10,

入DB=DC=J4+16,因为BD_LDC,所以2（-y+16）=40,解得a=4,

由于4^=4,且/-BAD=,所以△BAD-,

A.\D2AB

所以^AXDBy=ZABD,所以NBDB尸90°,即BD±BQ,

又因为BQC1。,所以BO_L面BQC,又因为BQU面BQ。，所以5。_LB｛C.

(2)选取基底｛荏,前,启｝,

BQ=54+4/+为c=一十・+4C—<4,

4

(^C)2=(-J-AB+AC-A^)'=1+16+16+2x(-J)•

B\C,AAj—(—,AB+ACJ-J4T41)。AA.\—16,

cos配珂=半=-曙，

4V3535

所以直线与。与A4所成角的余弦值为主舞.

35

题目如图，在三棱柱4BC-A1BG中，=AB产BQ.

4G

⑴证明：47_1_88：

（2）若AB=BBi=2,AB^VG,乙4BC=120°,求二面角4一B5-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-,

【分析】（1）取力C的中点D,连接BD,BQ,即可证明ACJL平面BBQ,从而得证；

（2）证明BQ1.平面ABC,以。为坐标原点，分别以DB、DC、DBX所在直线为W、夕、z轴建立空

间直角坐标系，再由空间向量求解.

【详解】(1)取力。的中点。，连接

AB=BC,ABX=B}C,：.ACJLBD,AC±B}D,

叉BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQ,；.ACJ,平面BBQ,

而BB]U平面BB、D,

・•.AC±B,B;

(2)在4ABC中，AB=BC=2,4ABe=120°,

可得BD=^AB=1,力。=2AD=273,

在A48C中，ABX=B(C=V6,AC=2/,可得BQ=6用=瓜、

在MBQ中，BD=1,BQ=收,BBi=2,

2

可得BD±+BQ'=B}B,即B}D±BD,

由（1）知，4。JL平面BBQ,ACc平面ABC,所以平面ABCX.平面BBQ,

又平面ABCD平面BBQ=BD,BQu平面BBQ,

：.BQ_L平面ABC,以D为坐标原点，分别以DB、DC、DBt所在直线为土、y、z轴建立空间直角

坐标系，

则6(1,0,0),X(0,-V3,0),C(0,V3,0),5(0,0,—),

BA=(-1-V3.0),BB,=(-1,0,73),BC=(-1,73,0),

设平面ABB]与平面CBB}的一个法向量分别为m=（如外为），n=（,2,g,出）,

由{m-BA=-Xi-V3yt=。，取，尸­=（右0,

m•BBi=-Ni+V^Z]=0

由1•西=—+/产。，取,尸依得公（73,1,1）.

=

n・BC=-X2+V3?/20

日•元=3—1+1=3

cos济,n=

|m||n|瓜*瓜5

由图可知，二面角4一35—。的平面角为钝角，

8

二面角A—的余弦值为一

5

题目可如图，在四棱锥P—ABCD中，PA平面ABC。，AD1.CD,AB//CD,PA=AD=

8=1,45=2,点刊是。3的中点.

(1)证明：PB=2CM；

(2)求直线DM与平面ACN所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取4B中点B,证明得到四边形AFCD是正方形，进而得到BC_1_平面PAC,所以BC

±PC,根据直角三角形相关性质可得到PB=2cA1;

(2)先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面ACW的一个法向量，再结合线面角计

算公式求出答案.

【详解】(1)取AB中点连接CF,则AF=CD=1,

又因为4尸〃CD,所以四边形AFCD是平行四边形，

因为AD_L8,AD=CD,所以四边形AFCD是正方形，

所以力B_L。尸，即△ABC是等腰三角形，则AC=BC=

V2,

所以力。2+8b=4=AB?,即力C，,

因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCDjfy以凡4

BC,

又因为P4ACU平面R4C,PAn力。=4,

所以BCJ_平面PAC,

因为PCu平面R4C,所以BC_LPC,

又因为点“是P3的中点，所以由直角三角形性质易得PB=2CM

(2)因为PA_L平面ABCD,AD,ABC.平面4BCD,所以P4_LAD,PA_LAB,

又因为四边形AFCD是正方形，所以4。_LA3,

如图，以｛而,荏，存｝为正交基底建立空间直角坐标系4一缈z,

则>1(0,0,O),C(1,1,0),D(1,O,O),M(O,l,y),

所以血=(—1,1,/=(1,1,0),戒=(0,1,1),

设平面ACM的一个法向量为1=(c,y,z),

n-AC=x+y=0

，令。=1,则亢=(1,-1,2),

n・AM=y+Y=0

9

设直线0M与平面力CM所成的角为仇

所以sin6=\1cosn,DM\1=上=——^—==乎

\n\\DM\V6X7J9

所以直线DM与平面AC70所成的角的正弦值为平.

题目V1如图，平行六面体ABCD-ABiGA的体积为6,截面ACQA,的面积为6.

（1）求点B到平面AOG4的距离：

⑵若43=AD=2,N3AD=60°,44产通,求直线BD,与平面CCQQ所成角的正弦值.

【答案】（1）1

⑵普

【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离；

（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.

【详解】（1）在平行六面体4BCD—ABGR中，ABC—A8G是三棱柱，

QK1BC-ABQ尸可匕BCD-A.CQ尸->

设点B到平面ACCyA,的距离为d,则%T8,A=±SACC,A；d=gx6d=2,所以d=l,

JJ

即点B到平面ACCiA的距离为1.

（2）在CJABCD中，=AD=2,/HAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD交4c于O,则80

=1,

由⑴知点B到平面4CG4的距离为1,所以BO_L平面ACG4.

设点4在直线力。上射影为点H,SaACClA=AC-AXH=6,

则AH=/,且80_L=y/AAl-AiH2=V（V6）2-（V3）2=V3,

所以O和H重合,即AO_LAO.

以O为坐标原点，OA,OB,OAl分别为rr轴，以轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则B（O,I,O）,4V5,O,O）,D（（）,T,O），A（O,O，），

根据而=丽=（-8,0,《）,荏=觉=（-73,1,0）,则D,（-V3）-1.V3）,

Bby=（-禽,-2,通），设平面CCQQ的一法向量为方=Q,y,z）,

-n——V3x+V3z—0

则，取工=1,则元=（1,V3,1）,

n=—V3x+y=0

设直线BDi与平面CCQQ所成角为a,则sina=|cosB75n|=BDt-n—A/3—2A/34~A/3

e1；

iwiV10xV5

10

=瓜

一5，

所以直线与平面CCQQ所成角正弦值为0

5

题目J0如图所示，在多面体ABCGRE中，底面BCFE为矩形，且AE_L底面BCEE,AG〃ER,

AG=AE=BE=寺EF=2,BFnCE=O.

(1)证明：4。〃平面GCF.

(2)求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】⑴取线段CF的中点H,连接OH,GH,则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边

形4O”G是平行四边形，则AO〃HG,然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

⑵由题意可得班㈤凡区4,所以以E为原点，分别以EB,EF,EA所在的直线为o;,y,z轴建立空间

直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

【详解】⑴证明：取线段CF的中点、H,连接OH,GH,

因为四边形EBCF是矩形，豆CB=2EB,

所以OHMBC且OH=yBC,

因为AG〃EF且AG=3EF,EF〃BC且EF=BC,

所以4G〃口。且4G=9BC,

所以AGIIOH且AG=OH,

所以四边形4OHG是平行四边形，则AO//HG,