2023年湖南省各市中考数学试题真题汇编-函数b

函数B（真题汇编）2023年湖南省各市中考数学试题全解析版

一.选择题（共8小题）

1.（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=K（原0）

X

的图象上，点8的坐标为（2,4）,则点E的坐标为（）

A.（4,4）B.（2,2）C.（2,4）D.（4,2）

2.（2023•株洲）如图所示,直线/为二次函数y（存0）的图象的对称轴，则下列说法正

确的是（）

y八

A

ox

A.b恒大于0B.a,b同号

C.a.b异号D.以上说法都不对

3.（2023•怀化）已知压力F（N）压强P（尸。）与受力面积S（,n2）之间有如下关系式：F=PS.当

F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（）

Pi

4.（2023•邵阳）已知Pi（xi,y\）,P2（x2,y2）是抛物线y=ax^+Aax+i（a是常数，存0）上的点,

现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若xi>X2

>-2,则yi>）2；④若yi=y2,则xi+x2=-2,其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023•衡阳）已知m>n>0,若关于x的方程7+2x-3-m=0的解为x\,xi[x\<xi）,关于x

的方程，+2x-3-〃=0的解为X3,X4（X3<X4）.则下列结论正确的是（）

A.X3<XI<X2<X4B.XI<X3<X4<X2

C.Xi<X2<X3<X4D.X3<X4<X\<X2

6.（2023•永州）已知点M（2,a）在反比例函数y上的图象上，其中a,%为常数，且Q0,则点

M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）

A.Pi(1.-4B.尸2(4.-1C.尸3(2,4D-P4（2V2,V2）

8.（2023•怀化）如图，反比例函数了=K（%>0）的图象与过点（7,0）的直线AB相交于A、B

X

两点.已知点A的坐标为（1,3）,点C为x轴上任意一点.如果SAABC=9,那么点C的坐标为

)

y

A.(-3,0)B.(5,0)

C.(-3,0)或(5,0)D.(3,0)或(-5,0)

二.填空题（共4小题）

9.（2023•衡阳）在平面直角坐标系中，点P（-3,-2）所在象限是第象限.

10.（2023•娄底）函数），=五百的自变量x的取值范围是.

11.（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=区（k为常数，Q0,x>0）

X

的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B,连接04.若"AB的面积为空，则k

12

12.（2023•郴州）在一次函数y=（A-2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是

（任写一个符合条件的数即可）.

=,解答题（共12小题）

13.（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个

物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加

入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x（）（0（烂60）,记录容

器中加入的水的质量，得到下表：

托盘B与点C的距离x/cm3025201510

容器与水的总质量y\/g1012152030

加入的水的质量.V2/g57101525

把上表中的X与yi各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线

连接起来，得到如图所示的“关于x的函数图象.

（1）请在该平面直角坐标系中作出"关于x的函数图象；

（2）观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测yi与x之间的函数关系，并求w关于x的函数表达式；

②求）2关于x的函数表达式；

③当0＜烂60时加随x的增大而（填"增大或，减小”）必随x的增大而（填

“增大’或“减小”）的图象可以由的图象向（以“上”或吓”或“左”或“右”）平移得到.

（3）若在容器中加入的水的质量”（g）满足19今，2%5,求托盘B与点C的距离x（cm）的取值

范围.

A[CB

LJ

14.（2023•衡阳）如图,正比例函数y=&的图象与反比例函数y=卫（工＞0）的图象相交于点A.

3x

（1）求点A的坐标.

(2)分别以点0、A为圆心，大于04一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线

BC,交X轴于点D.求线段0。的长.

15.(2023•永州)小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，

小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作

)，与时间/的函数关系？并求出y关于■的表达式；

(2)应用：

①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？

②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一

人饮用多少天.

16.(2023•株洲)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分

别在%轴负半轴，)，轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(f,0),点P(1,2)在函数

y=^(k>0,X>Q)的图象上.

(1)求R的值；

(2)连接BP、CP,记"CP的面积为S,设T=2S-2乙求7的最大值.

17.(2023•株洲|)某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进

行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(〃为正整数，单位：支)，统计如下表：

日需求量“131415161718

天数112411

(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；

(2)当”16时，日利润y(单位：元)关于〃的函数表达式为：y=10"-80；当位16时，日

利润为80元.

①当”=14时，问该花店这天的利润为多少元？

②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率.

18.(2023•郴州)已知抛物线y=ax^+bx+4与x轴相交于点4(1,0),2(4,0),与y轴相交于点

C.

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图1,点P是抛物线的对称轴/上的一个动点，当△物C的周长最小时，求空的值；

PC

(3)如图2,取线段OC的中点D,在抛物线上是否存在点。，使tan/QOB=1?若存在，求出

2

点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2023•株洲)已知二次函数y=a^+bx+c(a>0).

(1)若〃=1,c=-1,且该二次函数的图象过点(2,0),求匕的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy,该二次函数的图象与X轴交于点A(xi,0),8(如

0),且R<0<,点。在。。上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE,且线段DE

交V轴正半轴于点F,ZD0F=ZDE0,OF^|-DF-

①求证：D0=1

E03

②当点E在线段08上，且8E=1.。。的半径长为线段0A的长度的2倍，若4a=-/.房，

求2a+h的值.

20.(2023•岳阳)已知抛物线Q\：y=-，+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点,交y轴于点C(0,

3).

(1)请求出抛物线2的表达式.

(2)如图1,在y轴上有一点。(0,-1),点E在抛物线Q1上，点下为坐标平面内一点,是

否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在,请说

明理由.

(3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线。2,抛物线Q2的顶点为K,与x轴

正半轴交于点H,抛物线Q\上是否存在点尸，使得NCPK=乙CHK?若存在，请求出点P的坐标；

21.(2023•衡阳)如图，已知抛物线y=ax2-2以+3与.r轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于

点C,连接4C,过8、C两点作直线.

(1)求。的值.

(2)将直线BC向下平移机(相＞0)个单位长度，交抛物线于B；C两点.在直线"C上方的

抛物线上是否存在定点力，无论机取何值时，都是点。到直线8C的距离最大.若存在，请求出

点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)抛物线上是否存在点P,使NP8C+NACO=45。，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存

在，请说明理由.

22.(2023•怀化)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a^+bx-8与x轴交于A(-4,01

B(2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接叫PC,求△出C面积的最大值及此时

点P的坐标；

(3)设直线l\：y=kx+k-至交抛物线于点M、N,求证：无论k为何值，平行于x轴的直线12:

4

y=一至■上总存在一点E,使得NMEN为直角.

4

23.(2023•永州)如图1,抛物线y=(a,b,c为常数)经过点F(0,5),

顶点坐标为(2,9),点尸(xi,yi)为抛物线上的动点，PH±x轴于H,且x［冶.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,直线OP：y^x交BF于点G,求S^BPG的最大值；

X1SApnc

(3)如图2,四边形OBMF为正方形，外交y轴于点E,BC交FM的延长线于C,且BC±BE,

24.(2023•邵阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+x+c经过点A(-2,0)和点2(4,

0),且与直线/：y=-x-l交于久E两点(点。在点E的右侧)，点M为直线/上的一动点，

设点M的横坐标为f.

(1)求抛物线的解析式.

(2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0<r<4,求&NED面积的最大值.

(3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边

形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标.

函数B（真题汇编）2023年湖南省各市中考数学试题全解析版

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点£都在反比例函数y=K（原0）

x

的图象上，点B的坐标为（2,4）,则点E的坐标为（）

A.（4,4）B.（2,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】。

【解答】解：.•点B的坐标为（2,4）在反比例函数y=K上，

2

，反比例函数的解析式为产B.

X

••点E在反比例函数上，

可设（a,且）.

a

：.AD=a-2=ED=3..

a

=4,〃2=-2.

..Z>0,

♦.4=4.

：.E(4,2).

故选：D.

2.（2023•株洲）如图所示,直线/为二次函数y^a^+bx+c（a邦）的图象的对称轴，则下列说法正

确的是（）

A

OX

A.b恒大于0B.a,h同号

C.a.h异号D.以上说法者坏对

【答案】C

【解答】解：.•.直线/为二次函数y=ax1+hx+c（存0）的图象的对称轴，

・••对称轴为直线乂=上>0，

2a

当〃<0时，则>0,

当〃>0时，则

二〃,b异号，

故选：C.

3.（2023•怀化）已知压力尸（N1压强尸（尸。）与受力面积S（谓）之间有如下关系式：F=PS.当

F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（）

Pi

【答案】D

【解答】解：1.压力F（N*压强尸（Pa）与受力面积S（，/）之间有如下关系式：F=PS.

・•.当尸为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，

故选：D.

4.（2023•邵阳）已知P\[x\,y\）,Pz{xi,y2）是抛物线y=（a是常数,存0）上的点,

现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若xi>》2

>-2,则yi>”；④若yi=y2,则xi+x2=-2,其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：•.抛物线），=/+4以+3的对称轴为直线户-丝=-2,

2a

二①正确；

当X=0时，y=3,则点点（0,3）在抛物线上,

，②正确；

当a>0时，XI>X2>-2,则yi>J2；

当a<0时，xi>X2>-2,则yiv”；

，③错误；

当yi=>2,贝Llx\+x2=-4,

，④错误；

故正确的有2个，

故选：B.

5.（2023•衡阳）已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=O的解为x\,x2（x\<x2）,关于x

的方程?+2A--3-M=0的解为X3,X4（X3<X4）.则下列结论正确的是（）

A.X3<X\<X2<X4B.XI<X3<X4<X2

C.X]<X2<X3<X4D.X3<X4<XI<X2

【答案】B

【解答】解：关于x的方程/+2x-3-/n=0的解为抛物线y=/+公-3与直线y=m的交点的横

坐标，

关于x的方程』+2x-3-〃=0的解为抛物线y=/+2x-3与直线y=n的交点的横坐标，

故选：B.

6.(2023•永州)已知点M(2,a)在反比例函数y上的图象上，其中a,k为常数，且0,则点

M一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解答】解：1.点M(2,a)在反比例函数产乂的图象上，

X

.,.67=—,

2

.,次>0,

：.a>0,

・•・点时一定在第一象限.

故选：A.

方法二：

・•,反比例函数y上中,k>0,

x

・••图象的两个分支在一、三象限，

•・•点M(2,a)在反比例函数了3的图象上，

X

•••点”一定在第一象限.

故选：A.

7.(2023•株洲)下列哪个点在反比例函数的图象上？()

A.Pi(1,-4)B.P2(4,-1)C.P3(2,4)D-P4(2V2,V2)

【答案】D

【解答】解：A.1•lx(-4)=-4^4,.'.Pi(1,-4)不在反比例函数y.的图象上，故选项不

X

符合题意；

B.-.-4X(-1)=-4^4,：.P2(4,-1)不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；

X

c.••,2X4=挣4，:.P3（2,4）不在反比例函数y底的图象上，故选项不符合题意；

X

。・•••西X&=4,.“4（2&,近）在反比例函数产细图象上，故选项符合题意.

故选：D.

8.（2023•怀化）如图，反比例函数了=K（左＞0）的图象与过点（7,0）的直线AB相交于4、B

X

两点.已知点A的坐标为（1,3）,点C为x轴上任意一点.如果S“BC=9,那么点C的坐标为

（）

以

%

A.（-3,0）B.(5,0)

C.（-3,0）或（5,0）D.(3,0)或(-5,0)

【答案】D

【解答】解：把点A（1,3）代入y=K(Z>0)得，3=K,

X1

=3,

..反比例函数为y=3,

X

设直线A8为y=ax+b,

代入点。（-1,0）,A（1,3）得［-a+b=0

a+b=3

（_3_

解得“-2:，

14

，直线AB为），=雪+旦，

22

（x=-2

解：2,得［x=：或3

•・山（・2,一旦），

2

♦0ABC=9,

•SACD+SABCD=/CD・（3咳）=9，

：.CD=4,

二点C的坐标为（-5,0）或（3,0）.

9.（2023•衡阳）在平面直角坐标系中，点P（-3,-2）所在象限是第三象限.

【答案】三.

【解答】解：点P（-3,-2）在第三象限，

故答案为：三.

1（）.（2023•娄底）函数y=471的自变量x的取值范围是x"I.

【答案】x>-1.

【解答】解：由题意得：.r+l>0,

解得：於-1,

故答案为：应-1.

11.（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数产区（k为常数，A>0,x>0）

X

的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B,连接OA.若AOAB的面积为.，则&=空.

12—6―

【解答】解：7。8的面积为e

2212

所以k=

6

故答案为：」包.

6

12.（2023•郴州）在一次函数y=（氏-2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是3（答

案不唯一）（任写一个符合条件的数即可）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•.在一次函数y=（k-2）x+3的图象中，），随X的增大而增大，

：.k-2>0,

解得k>2.

・Y值可以为3.

故答案为：3（答案不唯一）.

=.解答题（共12小题）

13.（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个

物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加

入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x（c〃?）（0（烂60）,记录容

器中加入的水的质量，得到下表：

托盘3与点C的距离x/cm3025201510

容器与水的总质量y\/g1012152030

加入的水的质量)2/g57101525

把上表中的尤与yi各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线

连接起来，得到如图所示的户关于A•的函数图象.

(1)请在该平面直角坐标系中作出"关于x的函数图象；

(2)观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测VI与x之间的函数关系，并求yi关于x的函数表达式；

②求”关于x的函数表达式；

③当0<烂60时,yi随A-的增大而减小(填“增大”或“减小”),)2随x的增大而减小(填

“增大”或“减小”),”的图象可以由yi的图象向下(以“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.

(3)若在容器中加入的水的质量”(g)满足19<>-2<45,求托盘B与点C的距离.V(cm)的取值

范围.

A[c-

LJ

【答案】(1)作出”关于X的函数图象见解答过程；

(2)①yi是.r的反比例函数，户=皿；

X

②”=跑-5；

X

③减小，减小，下；

(3)622.5.

【解答】解：(1)作出”关于X的函数图象如下：

(2)①观察表格可知，V是X的反比例函数，

设V=K，把(30,10)代入得：10=K,

x30

.M=300,

••.V关于X的函数表达式是VI=300；

x

@-->'1=”+5,

二)，2+5=.522.；

x

.-300..

,VV92---------D5,

X

③观察图象可得，当0〈烂60时，川随A-的增大而减小，*随X的增大而减小，”的图象可以由

>'1的图象向下平移得到；

故答案为：减小，减小,下；

(3)•.・*=%-5,19025,

X

.19<300.5<45,

X

■24<300<5Q,

x

.•.6<v<12.5.

14.(2023•衡阳)如图，正比例函数y=&的图象与反比例函数y=12(x>0)的图象相交于点A.

3x

(1)求点A的坐标.

(2)分别以点。、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线

BC,交A-轴于点D.求线段OD的长.

得产，

1y=4

，点A的坐标为(3,4)；

(2)设点。的坐标为(x,0).

由题意可知，8C是04的垂直平分线,

,.AD=OD,

(x-3)2+42=x2,

.丫_25

6

：.D(生，0),。。=空.

66

15.(2023•永州)小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，

小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作

延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：

时间/12345

(单位：分钟)

总水量y712172227...

（单位：毫升）

（1）探究：根据上表中的数据，请判断y占口y=kt+b（k,b为常数）哪一个能正确反映总水量

t

y与时间r的函数关系？并求出y关于f的表达式；

（2）应用：

①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？

②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按3（）天计）的漏水量可供一

人饮用多少天.

【答案】（1）y=5f+2；

（2）①102毫升；②144天.

【解答】解：（1）根据上表中的数据,y=kt+h{klb为常数）能正确反映总水量y与时间r的函

数关系，

,.当t=1时，y=7,当f=2时，y=12,

,/k+b=7

12k+b=12'

.（k=5

'Ib=2'

：.y=5Z+2；

（2）①当f=20时,y=100+2=102,

即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；

②当/=24x60=1440分钟时,>-=5x1440+2=7202（毫升）,

当/=0时，y=2,

.7200X30=144（天）,

1500

答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天.

16.（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点4C分

别在X轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(r,0),点尸(1,2)在函数

y^-(k>0,x>Q)的图象上.

(1)求女的值；

(2)连接BP、CP,记"CP的面积为S,设T=2S-2U，求7的最大值.

【答案】(1)Z=2；

(2)Tmx=1.

【解答】解：(】)•.•点尸(1,2)在函数产35>0,x>Q)的图象上，

•.•o乙—-—k,

1

1.k—2,

即A的值为2；

(2)♦.点A(f,O)在x轴负半轴上,

：.0A=-t,

.・四边形0A5C为正方形，

,0C=BC=0A=-f,BCIIx轴，

:©BCP的面积为S=Ax(-r)x(2-r)=A/2-1,

22

・・・T=2S-2a=2(A?-r)-2?=-r2-2r=-(t+i)2+l,

2

••1-KO,

，抛物线开口向下，

・•・当「=-1时，T有最大值，T的最大值是1.

17.（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进

行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量（〃为正整数，单位：支），统计如下表：

日需求量n131415161718

天数112411

（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；

（2）当”16时，日利润y（单位：元）关于〃的函数表达式为：>■=10〃-80；当它16时，日

利润为80元.

①当n=14时，问该花店这天的利润为多少元?

②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率.

【答案】（1）花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；

（2）①当〃=14时,该花店这天的利润为60元；

②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为』.

5

【解答】解：（1）1+1+2=4,

答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；

（2）①当〃=14时，y=10/2-80=10x14-80=60,

答：当〃=14时，该花店这天的利润为60元；

②当n<16时，70=10"-80,解得：n=15,

当〃=15时，有2天，

•.2,—1——.

105

答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为工.

5

18.(2023•郴州)已知抛物线y=a^+bx+4与x轴相交于点4(1,0),8(4,0),与y轴相交于点

C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点P是抛物线的对称轴/上的一个动点，当△雨C的周长最小时，求电的值；

PC

(3)如图2,取线段OC的中点D,在抛物线上是否存在点。，使tanze^=1?若存在，求出

2

点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=/-5x+4;

(2)3；

5__

(3)Q(-^V,2)或(,2)或。(3,-2)或Q(1_,芈).

2.239

【解答】解：(1)..抛物线y=/+bx+4与x轴相交于点A(1,0),8(4,0),

a+b+4=0

16a+4b+4=0

解得：a=l

b=-5

二抛物线的表达式为y=/-5x+4；

(2)由(1)知)，=/-5x+4,当x=0时，y=4,

（图1

.•.C（0,4）,抛物线的对称轴为直线，

2

■■^PAC的周长等于PA+PC+AC,AC为定长，

.•.当附+PC的值最小时，△%C的周长最小，

「A,B关于抛物线的对称轴对称,

：.PA+PC=PB+PC>BC，当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直

线BC与对称轴的交点，

设直线BC的解析式为：v=mx+n,

则：（^=°,

In=4

解得：修1,

In=4

二直线BC的解析式为.y=-x+4,

当时>y=-^-+4=?|-'

••P（py）-

.X(1,0),C(0,4),

(2)存在,

为OC的中点,

；・D(0,2),

/.OD=2,

・1(4,0),

/.OB=4f

在RtS。。中/tan/OBD[^]，

UD/

tanXQDB=^-=tanz^OBD，

"QDB=/OBD；

①当Q点在D点上方时：过点。作。QII。3,交抛物线于点Q,则：NQDB=NOBD,此时Q点

纵坐标为2,

设。点横坐标为f,则：尸-5什4=2,解得：t=5±V17,

,Q（空叵，2）或（/叵，2）；

22

②当点。在。点下方时：设OQ与X轴交于点E,

则：DE=BE,

设E(p,0),则：。F=OE?+OD1=p2+4,BE2=(4-p)2

32+4=(4-/?)2,

解得：pJ-,

P2

E(y«0)-

设DE的解析式为：y=kx+q,

%=2

则：13，

yk+q=O

fq=2

解得：＜4，

k=^3

.4

,y="z"x+2，

o

'4

亚4y=~rx+2

联匕S,

y=x-5x+4

2

X=7T

解得：卜毛或

ly=-2

厂.Q(3,-2)或9)；

综上所述，Q(锲亚_,2)或(殳耍，2)或Q(3,-2)或Q(1_,芈).

2239

19.(2023•株洲)已知二次函数y=a^+bx+c(a>0).

(1)若〃=1,c=-1,且该二次函数的图象过点(2,0),求人的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系。冲中，该二次函数的图象与x轴交于点A(xi.0),B(x2,

0),且xi<0<%2,点。在。。上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE,且线段DE

交y轴正半轴于点F,ZD0F=ZDE0,OF^|-DF-

①求证：以上.

E03

②当点E在线段08上，且BE=1.。。的半径长为线段0A的长度的2倍，若4ac=-/一.，

求2a+b的值.

【解答】（I）解：,.2=1,c=-।,

.•・二次函数解析式为y=/+6x-I,

.,该二次函数的图象过点（2,0）,

:.4+2b-1=0,

解得：6=-3;

2

（2）①证明:;ZDOF=ZDEO,/.ODF=AEDO,

:CDOL△DEO,

.DFOF

"DO"EO"

.D0=DF

EOOF）

,•'OF^-DF-

.DO2.

•--------=，/

EO3

②解•.•该二次函数的图象与X轴交于点A（XI,O）,8（X2,O）,且Xl<0<X2,

..0/4=-Xi,OB=X2I

：BE=I.

.,.OE=X2-1,

•­-O。的半径长为线段OA的长度的2倍，

:QD二-2xi,

.,.D—O=-2I

E03

.-2xi2

••-----=—/

X2-13

/.3xi+X2-1=0,

SPX2=1-3x1①,

・•.该二次函数的图象与X轴交于点A（xi,0）,B（X2,0）,

「•XI,X2是方程ax2+bx+c=0的两个根,

b

.・X1+X2、

\'4ac=・。2•.,,

,2

,,4*~+l+(-)=0•

aa

即4(X1X2)+1+(XI+X2)2=O②

①代入②，即4x](l-3xp+l+(x]+1-3x])2=0，

即4xi-12x；+l+l+4x、4xi=0.

整理得・8（M产=-2,

.21

，，x

l4

解得：x,=」（正值舍去），

乂12

•/3、5

・"2=1-（下）节，

••・抛物线的对称轴为直线x」C=HZ=1,

2a22

:・b=-2a,

.t.2a+b=0.

20.(2023•岳阳)已知抛物线Q\：y=-，+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点,交y轴于点C(0,

3).

(1)请求出抛物线S的表达式.

(2)如图1,在y轴上有一点0(0,7),点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是

否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在,请说

明理由.

(3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线。2,抛物线Q2的顶点为K,与x轴

正半轴交于点H,抛物线Q\上是否存在点尸，使得NCPK=乙CHK?若存在，请求出点P的坐标；

(2)存在，E(-2,3),F(1,2).

(3)点P的坐标为(1,0)或(-2,3).

【解答】解：(1)..抛物线Q\:y=-/+bx+c经过A(-3,0),C(0,3)两点，

.f-9-3b+c=0

Ic=3

辞得：产-2,

\c=3

・抛物线Qi的表达式为y=-x2-2x+3.

(2)存在点E,F使得四边形DAEF为正方形.

理由：

如图1,过点E作EG±x轴于点G,则NAGE=90。=乙40。，

/.OA=3,OD=1,

.・四边形D4M是正方形，

：.AE=AD=DF,ADAE=^ADF=90°,

♦.NE4G+ND4O=90。，NDAO+NAOO=90。，

.,.Z.EAG=Z.ADO,

：.^EAG^ADO(AAS)f

.\AG=OD=1,EG=OA=3,

-E(-2,3),

当》=-2时，y=-x2-2x+3=-(-2)2-2x(-2)+3=3,

.•.点E在抛物线上，

过点下作FL_Ly轴于点L,

同理，^DFL^ADO(A4S),

：.FL=OD=\,DL=OA=3,

：.0L=DL-00=3-1=2,

F(1,2).

(3)抛物线Q\上存在点P,使得NCPK=NCHK.

'.'y=-x2-2x+3=-(x+\)2+4,

，抛物线。的顶点坐标为(7,4),

1•将抛物线Q\向右平移2个单位，得到抛物线Q1,

，抛物线02的解析式为>=-(x+1-2)2+4=-(x-1)2+4,

.・抛物线Q2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,

-K(1,4),"(3,0),

过点K作KT±y轴于点T,连接BC，如图2,过点C作PS±y轴交BK于点5,交抛物线Qi于

点