2023年高考数学真题分类汇编：集合、逻辑用语、函数、初等函数

2023年高考数学真题分类汇编：集合、逻辑用语'函数、初等函数

一、填空题

1.(2023.全国甲卷)若/(%)=(%-1尸+Q%+sin(%+殳)为偶函数，则。=.

2.(2023•全国甲卷)若y=(x—1)2+Q%+sin(%+分为偶函数，则。=.

3.(2023•天津卷)若函数"%)=Q/一2%一氏2一q%+1|有且仅有两个零点，贝Ija的取值范围

为.

4.(2023•全国乙卷)设aw(0,1),若函数/(%)=亦+(1+a尸在(0,+8)上单调递增，则a的取值范

围是.

(2%v>Q

5.(2023•上海卷)已知/(%)=',则/(%)的值域是______________;

I1,x<0

6.(2023•新高考国卷)已知函数f(x)=cos3xT®>0)在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则3的取值范围

是.

二、选择题

7.(2023•全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={L4},N={2,5}，则NUQM=

()

A.［2,3,5)B.［1,3,4)

C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5)

8.(2023•全国甲卷)设集合4=(x\x=3k+l,kEZ},B={x\x=3k+2,keZ］，U为整数集，

Cu(AUB)=()

A.{%|x=3k,kCZ}B.(x\x=3k-l,k&Z)

C.{x\x=3k-2,k&Z}D.0

9.(2023.全国甲卷)已知函数/(x)=e-(xT)2.记。=/(孝)，b=〃苧)，c=鸣),则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

10.(2023•全国甲卷)“siMa+sin??=1"是"sina+cosS=0”的()

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

IL(2023•天津卷)已知集合^={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4}.则QBU4=)

A.[1,3,5}B.[1,3}

C.{1,2,4)D.{1,2,4,5}

12.(2023•天津卷)=卢是9+b2=2ab”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

13.(2023•天津卷)若a=L01°，5,b=l.Ol06,c=0,605,则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

14.（2023•天津卷）函数/（%）的图象如下图所示,则/的解析式可能为（)

5sinx

B.

久2+1

「50+er)5cosx

D.

7+2x2+l

15.（2023•全国乙卷）设集合U=R,集合M=[x\x<1},N=[x\—1<x<2},则{x|x>2}=()

A.Q(MUN)B.NUC(/Mc.Q(MnN)D.MUQN

xex

16.（2023•全国乙卷）已知f(%)=是偶函数，则a=（）

eax-l

A.-2B.-1C.1D.2

17.（2023•全国乙卷）函数/（x）=x3+ax+2存在3个零点，贝！Ja的取值范围是（

A.(—oo,-2)B.(—oo,-3)C.(—4,—1)D.(一3,0)

18.（2023•全国乙卷）设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MU

QN=()

A.{0,2,4,6,8}B.[0,1,4,6,8}

c.[1,2,4,6,8}D.U

19.(2023•上海卷)在平面上，若曲线「具有如下性质：存在点M,使得对于任意点PCT,都有使

得|PM|•|QM|=1.则称这条曲线为“自相关曲线”.判断下列两个命题的真假().

(1)所有椭圆都是“自相关曲线”.(2)存在双曲线是“自相关曲线”.

A.(1)假命题；(2)真命题B.(1)真命题；(2)假命题

C.(1)真命题；(2)真命题D.(1)假命题；(2)假命题

20.(2023・上海卷)已知P={1,2},Q={2,3}，若用={xIxeP月.x任Q},则"=()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.[1,2,3)

21.(2023•新高考13卷)设集合A={0,-a],B=[1,a-2,2a-2},若AUB,则a=()

A.2B.1C.1D.-1

22.(2023•新高考回卷)若f(x)=(x+a)ln弟1为偶函数，则a=()

A.-1B.0C.1D.-1

23.(2023•新高考回卷)已知集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>0},贝UMCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2)

C.{-2}D.{2}

24.(2023•新高考回卷)设函数/Q)=2工(>。)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

25.(2023•新高考回卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级”=

20X1g常，其中常数p0(p0>0)是听觉下限间值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P],p2,p3,则

()

A.p1>p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.Pi<100p2

26.(2023•新高考回卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),贝I」()

A.f(0)=0B.f(l)=0

c.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点

三、解答题

27.(2023•全国甲卷)己知/(x)=ax—,%G(0,刍

(1)若a=8,讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

28.(2023•全国甲卷)已知/(%)=2枚一a|—a,a>0.

(1)解不等式f(x)<x

(2)若y=/(%)与坐标轴围成的面积为2,求a.

29.(2023•上海卷)函数/(%)=x2+(^^L)x+c(a,0€R)

(1)当a=0是，是否存在实数c,使得/(%)为奇函数；

(2)函数/(%)的图像过点(1,3).且/(x)的图像与x轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围.

30.(2023•新高考回卷)已知函数/(%)=。(婕+a)—%.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)>21na+1.

答案解析部分

L【答案】2

【知识点】偶函数

【解析】【解答】/(x)=(%-I)2+ax+sin(x+：)=/+1+(a_2)x+cosx>

'-y=cos%为偶函数

为使/(x)为偶函数，只需•••y=/+1+(a-2)x为偶函数，

■•a—2=0,即a=2

故答案为：2

【分析】先利用诱导公式化简sin(尤+5)，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从

而得出a的值。

2.【答案】2

【知识点】偶函数

【解析】【解答】•­,/(x)=(x—I)2+ax+sin(x+另=+1+(。-2)x+cosx,

,.,y=cosx为偶函数

为使/O)为偶函数，只需丫y=%2+1+(a-2)x为偶函数，

・•・a-2=0,即Q=2

故答案为：2

【分析】先利用诱导公式化简sin(x+方)，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从

而得出a的值。

3.【答案】(一8,0)U(0,1)U(1,+00)

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】令f(x)=ax2-2x-\x2-ax+1|=0,

①当％2—a%+1>0时，

EPax2-2%-(x2-ax+1)=0,整理得[(a—l)x-l](x+1)=0,

a)若％=—1是函数零点，则(—1)2—QX(-1)+120,解得QZ—2；

b)若a=1,此时%2一%+i=(%一；f+,之o,即方程Ra-l)x-l](x+1)=0只有一个解x=・l,

c)若Q。1,方程整理得力i=^,x2=—1

i)此时若％=白是函数零点，贝I」(右)2—QX(白)+1之0,解得Q42；

ii)若，f=-1,即a=0,且/+1>0成立，此时方程为重根，

a—1

同理②当一Q%+1<o时，

即QM-2%+(%2-ax+1)=0,整理得［(a+l)x-l］(x-1)=0,

a)若％=1是函数零点，则1?一a+lvO,解得a>2；

b)若Q=-1,此时％2+%+i=(%+$2o,与一a%+1vo矛盾，

c)若a。—1,方程整理得%2=1

i)此时若％=是函数零点，则(―7产—aX(^^)+1V0,解得a<—2；

Q+1'a+17%+17

ii)若一=1,即a=0,则%2+1>0与%2—ax+1<0矛盾，

a+1

综上，

(1)当aV—2时，此时％=士使得%2一。%+1<0成立，是函数零点；%=工使得%2一。%+1之()也是

Q+1a—1

函数零点，

即当a<-2时，函数零点分别是上，

Q+1a—1

(2)当一2Wa<0,0<a<1,1<aW2时，函数零点分别是-1,工；

a—1

(3)当a=0时，函数零点是工(-1),此时不满足题意，舍去；

(4)当a=1时、函数零点分别是-1,此时不满足题意，舍去；

(5)当a>2时，函数零点分别是1,-1；

当函数/(%)=ax2-2%-|x2-ax+1|有且仅有两个零点时，；

故答案填：(一8,0)U(0,1)U(1,4-00)

［分析］令/(%)=0将零点转化成方程根问题，不妨先分类好一ax+120与好一〃+1<0去绝对值

得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以

上参数a分类整理即可得出答案.

4.【答案】［与1,1)

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】•••函数f(x)=谈+(1+a尸在(0,+8)上单调递增，

，/'(工)=(lna)ax+ln(l+a)(l+a)x>0在(0,+8)上恒成立,

令9(%)=(lna)ax+ln(l+a)(l+a尸,故只需证9(%)而n>°

则g'(X)=(lna)2ax4-[ln(l+a)]2(l+a)x>0,

则g(%)在(0,+8)上单调递增，且g(x)7nm>g(0)=Ina+ln(l+a)

Ina+ln(l+a)>0,

即Ina>—ln(l+Q),

Aema>e-in(i+a)(即a2击，解得a2二1卡或aw二1于5，

又W(0,1)

；.ae母，1)，

故答案为：［与1,1)

【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的

最小值大于0即得答案.

5.【答案】口，+oo)

【知识点】指数函数的图象与性质；分段函数的应用

【解析】【解答】当x>0,2,>2°,即X>0,2、>1,

故/(x)21,即［1,+00)

故答案为：［1,+00)

【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合xWO可得分段函数值域.

6.【答案】［2,3)

【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos(3x+(t>)的图象与性质

【解析】【解答】令f(x)=cos(ox-l=0,则coswx=1,故该函数的交点可视作函数y=cos(ox与y=l的在

［0,2可的交点

xG［0,2兀］,则3xe［0,2a)n］

结合余弦函数可知此时4兀<2na)<6兀

二4兀42兀3<6兀，解得&)C［2,3).

故答案为：［2,3)

【分析】可将函数零点转换为余弦型函数与y=l的交点即得答案。

7.【答案】A

【知识点】并集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】••・G/M={2,3,5},NUQM={2,3,5}

故选：A

【分析】先计算补集QM，再求并集NUQM即得答案.

8.【答案】A

【知识点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】由已知4={%|x=3k+1,keZ},B=[x\x=3k+2,keZ}分析可知A为被3除

余1整数的集合，B为被3除余2整数的集合，

故当全集为整数，此时Q（AUB）为3的整数倍，即{%|%=3鼠kEZ）.

故选：A.

【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补力UB的结果.

9.【答案】A

【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用

2

【解析】【解答】f（2—x）=e-Q-xT）2=e-（x-i）=/（%）,

■■y（x）关于％=i对称，

又...y=靖在R单调递增，y=一（％一1）2在（一8,1）单调递增，在（1,+8）单调递减，

由复合函数可知/（尤）在（一8,1）单调递增，在（1,+8）单调递减，

由/（%）关于久=1对称得/（孚）=/卜—萼）

V（V2+V6）2<16<（V3+A/6）2.

由/（%）在（一8,1）单调递增得a<c<b

故选：A

【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而

利用单调性比较函数值大小。

10.【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】若sin2a+sin2/?=1,

Vsin2/7+cos2/?=1,

此时sin2a=cos2/?,即sina=±cos/?,

/.当sina=±cos^,此时sina+cos0=0不一定成立，充分性不成立；

反之,当sina+cos/?=0,sin2a=cos2^3,此时siMa+siM/?=1,必要性成立；

故选：B.

【分析】利用同角三角基本关系可将sin2a+sin2^=l化简，结合条件的判断可得出答案.

11.【答案】A

【知识点】并集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】=口，2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4).

：.CuB=[3,5),

：.CuB\JA=[1,3,5卜

故选：A.

【分析】结合补集和并集对有限集运算.

12.【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】由a2=庐oa=±b，a2+b2=2aboa=b，

故由a?+M=2ab可以推出a?=b2>

.,.V=房”是+b2=2ab”的必要不充分条件.

故选：B.

【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.

13.【答案】D

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幕函数的图象与性质

【解析】【解答】由指数函数y=1.0仔在R上单调递增，

故1.01口6>1.O105>1.01°,即b>a>1,

由累函数y=”5在[0,+8)上单调递增，

故0.6口5<1。-5,即C<1,

/.b>a>c,

故选：D.

【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.

14.【答案】D

【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式

【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，

5(e~x-ex}

对A,；/=-/(%),故该函数为奇函数，不符合题意，错误；

(-X)2+2

对B,/(f)="咚？=一/("),故该函数为奇函数，不符合题意，错误；

(一x)+1

对C,/⑺=5(e；+ef)5x2产厂二以故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；

八]X2+2X2+2X2+2

故选：D.

【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B,对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可

排除，从而得出答案D.

15.【答案】A

【知识点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】根据题意

对A,M(JN={x\x<2},则Cu(MuN)={x|x22},符合题意，

对B,CUM={x\x>1},则NUQM={久|久>一1},不符合题意，

对C,MQN={x\-1<x<1),WJCy(MCl/V)=[x\x>1<-1],不符合题意，

对D,CUN=[x\x>2sj(x<-1],则MUCpN={%|x<1或r22},不符合题意，

故选：A.

【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.

16.【答案】D

【知识点】偶函数；函数的奇偶性

【解析】【解答】•♦•/(%)=凝耳是偶函数,

/(%)-/(-x)=点;-点]；-=，叱刃=0恒成立，

V%不恒为0,

:.ex—e(aT)x=0,解得a=2.

当a=2时定义域为％*0关于原点对称，又满足/(X)—/(—%)=0,/./(x)为偶函数。

故选：D

【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。

17.【答案】B

【知识点】函数的零点

【解析】【解答】由题意得/'(%)=3/+a

•••/(%)=x3+ax+2有三个零点，

•••f(x)有极大值和极小值且异号，[a<0.

令/'(x)=0,解得x2=

+2-—ba—F2j<0»解得a<-3

•••f(%1),f(x23

故选：B

【分析】fM=x3+ax+2有三个零点转化为/(x)的极大值和极小值异号，进而转化为((%)=0有两

个根且丰%2>/Ui)1/(%2)<Oo

18.【答案】A

【知识点】并集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】由题意可得CuN={2,4,8),MUCVN={0,2,4,6,8)

故选：A

【分析】根据题意先计算QN,再计算MUG/N。

19.【答案】(1)B

【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合

【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M,使得对于任意点Per,都有QC『使得|PM|•

\QM\=1.

不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在|MA|-\MB\=1,

以此M点为假设存在的点，•.•P、Q均在椭圆上，且|M4|W|MP|W|MB|,|MA|W|MQ|W|MB|,故对

于任意点Per,都有Qe「使得|PM|•|QM|=1.

由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故

对任意的情形依然存在且符合题意；

故所有的椭圆都是“自相关曲线”为真命题.

②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不

存在双曲线是“自相关曲线”.

【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.

20.【答案】A

【知识点】元素与集合的关系

【解析】【解答】'.'P={1,2},Q={2,3}，若用={x|xCP且％任Q}

.,.只有元素1CP,1CQ复合集合M,

故选：A

【分析】由元素和集合的关系得出符合条件的集合M.

21.【答案】B

【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题

【解析】【解答】-：AQB,

.•.当a-2=0时，a=2,则4={0,-2},B={1,0,2},不符合题意；

当2a-2=0时，a=l,则4={0,-1},B={1,-1,0),符合题意。

故选：B

【分析】根据AUB,分别讨论a—2=0或2a—2=0的情况。

22.【答案】B

【知识点】偶函数

【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为舞|>0,即xe(—8,+8)关于原点对称

•••/(%)为偶函数，

・•.则有/⑴=/(—1)，即(a+l)ln/=(a—l)ln3,解得a=0。

检验：当a=。时，有f(-x)=-xln==xln为3=f(x),

a=0时/(%)为偶函数。

故选：B

【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值/(I)=/(-1)即得答案。

23.【答案】C

【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集

【解析】【解答】%一6》0,(x—3)(%+2)》0,》3或c《—2,即2={x/x>3或c《

一2},则MCN={-2}。故选C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,进而求集合M与N的交集。

24.【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性

【解析】【解答】•♦•/(%)=2丫为增函数，令g(x)=x(x-a)

由复合函数单调性可知，若/(%)=2%(%-。)在区间(0,1)单调递减

只需gQ)=%(%-a)=x2-Q%在区间(0,1)单调递减

由二次函数易得g(x)在(-8,另为减函数，在0,+8)为增函数，

所以/(X)=2屹-。)在(一8,分为减函数，在(1,+8)为增函数，

故掾》1,

即a>2.

故选：D

【分析】根据复合函数单调性，分别分析外函数指数函数y=2工的单调性和内函数二次函数y=x(x-

a)单调性即得答案。

25.【答案】A,C,D

【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】由y=3是增函数，故”也是增函数，由表格可知，LP1e[60,90],LP2G

[50,60],LP3=40

L.e[60,90],即60W20xlgMw90,则3W国空第

“II」PQPON

同理可得三.黑，3,仞A=2

zPoPo

A:由对数函数单调递增，..11》乙2，，P1》P2,故A正确；

B：脸=，谓=喷-脸「1、啮啮=2,...8啮W1,二国喷W10,即

Po

P2w10p3,故B错误；

C：啮=2,则，=102=100即「3=。00口0,故c正确；

El

D：喷=磁=喷-嘀-3<lg^<l，；.0<lg^<2,Al<^<

Po

100,即PlWIOOP2，故D正确.

故选：ACD

【分析】由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。

26.【答案】A,B,C

【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用

【解析】【解答】A：令牙=产=0,则/'(0)=0+。=0,故A正确

B:令x=y=l,则/'(1)=f(l)+f(l),即/"(1)=0，故B正确

C：令x=-l,y=1,则/'(-x)=f(x)/，⑴，结合B可得，f(-x)=f(x)

•••f(x)为偶函数，C正确

D：由f(xy尸y2f(x)+x2f(y),等式两边同除产后，则等=等+3铁，

由函数结构结合对数运算构造函数形式，可令睁=ln|x|,即/(x)=/ln|x|(%00)

*

当x=0时，即f(0)=0,即函数/(%)=。)，易得/(X)=%2］川R在(0,+8)上单调递增

当0<x<1时,x2ln|2|<0</(0),故此函数不连续，即x=0不是f(x)的极小值点

【分析】由抽象函数结合赋值法逐项可判断ABC,根据抽象函数结构可构造符合条件的具体函数再进

行单调性与值域分析即可判断Do

27.【答案】⑴解：当"8,即«)=8%一瑞，xe(。，刍,

422

mil,，，、ocosx+3sinxcosx_8cos4%+2cos2%—3_(2COS2%—1)(4COS2%+3)_cos2%(4cos2c+3)

则/⑺=8-----------占最-----

cos4%COS4XCOS4X

令((%)=。，即cos2%=0,解得％=p

令广(x)>0,即cos2x>0,解得0V%V

令/'(X)<。,即cos2%<0,解得与<x<

・・・/(%)在(0,分上单调递增,在妗，分上单调递减

7F

(2)令g(%)=/(%)—sin2%,x6(0,力

•/T\\c,/、.2cos2%—3c/roV、.o.2cos2%—3

•・g(。)=0，9(%)=aH----cos4------2(2coszx-1)=a+2—4Acos2xH------，

...必然存在g(x)在(0,x0)x0e(0,舒单调递减，

.•.g'(0)<0,即g'(0)=a-3<0,解得a<3,

检验，当a<3时，/(x)<sin2x是否恒成立，

令t=cos2x(t6(0,1))

2r—?

=a+2—4tH----~~，

2r—a

令/i(t)=a+2—4tH—必

•一4±3—2t+62(t—l)(2t^+2t+3)

••九⑷=----m------=--------------m-----------

当ovtv1时，九'(t)>o,

在te(0,1)单调递增，

<%(l)max=a—3<0,即g'(t)<0,

.,.g(x)在xe(0,0单调递减，故此时/(x)<sin2：dll成立；

综上所述:a<3.

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函

数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出/(%)的单调性；

(2)令g(x)=f(x)-sin2x,注意到g(0)=0结合函数变化易分析g'(0)<0,从而缩小a的分析范围，在

a<3时，结合整体换元简化式子结构并对g'(x)再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出

g(x)的函数单调性继而得出答案.

28.【答案】(1)依题意/(%)去绝对值得

门、.(a-2x,x<a

f[x)=2Ql|x-a\-a=<

{2x—3a,x>a

①当第4a时，由/(%)V%,即a—2x<xf解得x>*Va>0,・，.此时

②当%>a时，由f(x)V%,BP2x—3a<%,解得x<3a,Va>0,「・此时a<xv3a

综上/(x)<%的解集是％e,3a)；

(2)令/•(%)=(),解得久=*或当，

当％=a时/(a)=-a,

此时0.<a〈当，且—a<0,故其函数图象大致为

••.2怎,0）,8（当,0）,C（a,-a）,D（0,a）

22

•1•SMBC+SAAOD=^\AB\•\yc\+|x\0A\■\0D\=1a+|a=2,解得a=2跖

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；含绝对值不等式的解法

【解析】【分析】(1)根据％<a和x>a分段去绝对值求解不等式；

(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.

29.【答案】(1)当a=0时，此时/(%)=♦停+c,

.♦./(X)的定义域为X。0,

•、%2-x+c-x2+x-C

・・/(-%)=_久=-------，

若此时f(x)为奇函数，则/(x)+f(—x)=§=2：#0，

即/(%)*-/(-%).故不存在实数c使得/(%)为奇函数.

(2)由函数/(%)的图像过点(1,3)，,3=l+(：；；)+c,解得c=l,

令f(x)=0,则"+(^^)*+1=0，则%2+(3a+1)%4-1=0(%。-a)

：f(x)的图像与x轴负半轴有两个交点

方程/+(3a+l)x+1=0在x轴负半轴有两个解.

(△=(3a+if-4>0

•*-j+%2=—3。—1<0，解得a>

(打•％2=1>0

又•：x丰一a,此时/一(3Q+1)Q+1H0,解得a。-1

综上所述：a的取值范围为+8)

【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】⑴由奇函数定义先得出定义域，计算/(%)+/(-%)是否为0即可判断；

(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0

情况即得答案.

30.【答案】(1)当a=0时，此时/•(>)=一％单调递减；

当Q<0时，/(x)=a[ex+a)-x=aex-x+a2.此时y=aex(a<0)与y=—%均单调递减，所以

/(%)单调递减；

当Q>0时，/'(%)=aex-1,令/'(%)=0则％=In，

.•.当xe(-8,ln1)时，f(x)<0,/(%)单调递减；

当xe(lnj,+8)时，f(x)>0,/(x)单调递增。

综上所述：当a40时，/(%)单调递减;

当Q>0时，，当工€(-8，ln/),/(x)单调递减；当％€(ln(,+8),/(%)单调递增。

(2)要证当。>0时，f(%)>21na+/只需证/(切而九>21na+怖，

2

由(1)知/(第)7n讥=f(ln,)=1+M+Ina,即证1+a+Ina>21na+

=当。>0时，/一比。-；Ao恒成立，

令g(a)=a2—Ina—；，则只需证。(。)抽讥>

^(a)=2a-1.易知g'(a)单调递增,且［窗=0,

所以当ae(0,电)时，g'(a)<0,此时g(a)单调递减；

当+00)时，g'(a)>0,此时g(a)单调递增。

所以"JI)=1+ln2-1=ln2>0.

\/min

综上所述，当a>0时，/(x)>21na4-1

【知识点】函数单调性的判断与证明：利用导数研究函数的单调性：函数在某点取得极值的条件

【解析】【分析】(1)根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析

即得答案。

(2)将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：92分

客观题（占比）42.0(45.7%)

分值分布

主观题（占比）50.0(54.3%)

客观题（占比）21(70.0%)

题量分布

主观题（占比）9(30.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

选择题20(66.7%)40.0(43.5%)

填空题6(20.0%)12.0(13.0%)

解答题4(13.3%)40.0(43.5%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(50.0%)

2容易(30.0%)

3困难(20.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1补集及其运算6.0(6.5%)7,11,18

2一元二次方程的根与系数的关系10.0(10.9%)29

3奇函数12.0(13.0%)14,29

4塞函数的图象与性质2.0(2.2%)13

5集合关系中的参数取值问题2.0(2.2%)21

6复合函数的单调性2.0(2.2%)24

7指数函数的图象与性质