长沙市重点中学2023-2024学年数学高二年级上册期末调研试题含解析

长沙市重点中学2023-2024学年数学高二上期末调研试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（X）=三—x—61nx,则/（尤）单调增区间为（）

A.°（2,+co）B.（0,2）

C.（2,+co）D.^0,|^o（2,+cc）

2.已知点A为直线2x+y-10=。上任意一点，。为坐标原点.则以Q4为直径的圆除过定点（0,0）外还过定点（）

A.（10,0）B.（0,10）

C.（2,4）D.（4,2）

3.将函数y=/（x）图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移:个单位长度，

得到函数丁=852工的图象，贝！）/（%）=（）

A.-sin4xB.sinAx

C.-cos4xD.cos4x

4.已知一质点的运动方程为s=ln%+3,其中$的单位为米，/的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为。

A.Im/sB.2m/s

7

C.4m/sD.—m/s

2

5.在等差数列｛4｝中，出+4=8,a5=6,则数列｛4｝的公差为（）

A.lB.2

C.3D.4

6.我们知道：用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底

面半径和高均为2的圆锥中，AB.CZ＞是底面圆。的两条互相垂直的直径，E是母线尸5的中点，已知过CZ＞与E的

平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）

p

Ba

2

C.V2D.1

7.是"log2a>log2b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知抛物线y=a/过点。,2）,则抛物线的焦点坐标为。

9.在空间直角坐标系中，若以（0,1,3）,N（2,l,l）,则加=（）

A.（-2,0,2）B.（2,0,-2）

C.（2,2,0）D.（2,2,-l）

1

10.已知函数八为二/的图象过点^^），令4=--------------,nGN*.记数列｛%｝的前"项和为S,,则S=

/(n+l)+/(n)2021

()

A.V2021-1B.V2021

C.V2022D.V2022-1

TT17r

11.已知〃=sin^,b=ln—,c-,执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

6e6

（开始）~~，输入。也―>x=a—■/输出x结束）

1

A.—B.—1

2

C.-D.1

6

12.在数列｛%｝中，％=1,%=1+匕0_（〃22）,则％等于

4T

35

A.-B.-

23

82

C.-D.一

53

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等比数列｛&｝中4=1，%0=16,则%=

14.已知A,B为x,y正半轴上的动点，S.\AB\=4,。为坐标原点，现以|AB|为边长在第一象限做正方形ABC。,

则OCOD的最大值为.

Xy2

15.已知椭圆C:、+l（a〉b〉O）交x轴于A,3两点，点P是椭圆C上异于A,3的任意一点，直线B4,PB

a护

分别交丁轴于点河，N,则为定值廿一片.现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线

22

•二-乙=1（«>0,。〉0）交X轴于A,3两点，点P是双曲线C上异于A,3的任意一点，直线24,PB分别

c./甘一

交丁轴于点/，N,则AN-3M为定值

16.如图所示，在平行六面体A3CD—A4G2中，AG「BR=F,若人尸:元钻+了池+二明，则

x+y+z=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知等比数列｛4,｝的首项4=16,公比4=W，在｛4｝中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原

数列的数一起构成一个新的等比数列他,｝.

（1）求数列｛2｝的通项公式；

（2）记数列｛%｝前"项的乘积为北，试问：北是否有最大值？如果是，请求出此时"以及最大值；若不是，请说明

理由.

18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，ABCD,AB1AD,上4,底面A5CZ>,E

为BP的中点，AB=2,PA=AD^CD^1

（1）证明：EC//平面物O；

（2）求平面EAC与平面B4c夹角的余弦值

19.（12分）已知椭圆的焦点为耳（—2,0）,鸟（2,0）,且该椭圆过点P（2,-应）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点河（飞,为）满足求先的值

20.（12分）已知复数z=biSeR）,—^是实数.

1-1

（1）求复数z；

（2）若复数（根-z）2-8机在复平面内所表示的点在第二象限，求实数机的取值范围.

21.（12分）已知函数/（x）=（av+l）e*（a/0）.

（1）讨论“力的单调性；

（2）若。=2,当x>0时，”尤）2日恒成立，求实数k的取值范围.

22.（10分）已知点P（5,0）和圆UV+V—©―4y+3=0.

（1）求圆C的圆心坐标和半径；

（2）设。为圆。上的点，求|PQ|的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】求出导函数/'(X),令/■'(%)>()解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数/■(%)=寸—x—61nx,所以=A=6(x〉o),

XX

令/'(尤)>0,得尤>2,所以/(%)的单调增区间为(2,+8),

故选：C.

2、D

【解析】设05垂直于直线2x+y-10=。，可知圆恒过垂足6；两条直线方程联立可求得3点坐标.

【详解】设08垂直于直线2x+y—10=0,垂足为3,则直线08方程为：y=

由圆的性质可知：以0A为直径的圆恒过点B,

2x+y-10=0r=4

由1得：一・••以Q4为直径的圆恒过定点(4,2).

y.x[y=2

故选：D.

3、A

【解析】根据三角函数图象的变换，由旷=<：。52%逆向变换即可求解.

【详解】由已知的函数y=cos2x逆向变换，

第一步，向左平移;个单位长度，得到y=cos2(x+：J=cos(2x+]]=—sin2x的图象；

第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，得到y=-sin4x的图象，即y=/(x)的图象.

故/(%)=—sin4%.

故选：A

4、C

【解析】求出s'=1+3即得解.

t

【详解】解：由题意得s'=l+3,故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=4m/s.

t1

故选：C

5、B

【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得q,d.

【详解】在等差数列｛。“｝中，设公差为d,

a1+d+q+5d—8Q]=-2

由4+。6=8,%=6,得V…,解得

q+4d=6d=2

故选：B

6、C

【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得0E=及,建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线

的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离

D

设45,CZ）的交点为。，连接P0,由题意可得产。，面A3,所以由题意08=0尸=0C=2,因为E是母线

尸8的中点，所以。石=夜，由题意建立适当的坐标系，以为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示：

可得：C(—g,2),

设抛物线的方程为炉="刈将c点坐标代入可得4=-耳，所以加=-20,,所以抛物线的方程为：/=-2A/2X,

所以焦点坐标为（一日,0）‘准线方程为等'

所以焦点到其准线的距离为J5

故选：c

7、B

【解析】求出log2a>log2〃的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】log2a>log260a>6>。，因“/“a>b〉O"且ua>bnuaa>b>Qn,

因此，“a>6”是“log?a>log2b"的必要不充分条件.

故选：B.

8、D

【解析】把点(1,2)代入抛物线方程求出a,再化成标准方程可得解.

【详解】因为抛物线丁=0好过点。,2),

所以2=a,所以抛物线方程为y=2一,

91

方程化成标准方程为X2=G》,

2

故抛物线的焦点坐标为［0,：］.

故选：D.

9、B

【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.

【详解】解：因为Af(O,l,3),N(2,l,l),

所以痴=(2,0,—2).

故选：B

10、D

【解析】由已知条件推导出4=标斤-6，〃eN*.由此利用裂项求和法能求出S2021

【详解】解：由/(4)=2,可得半=2,解得。=彳，则/(尤)=%5.

/.an=-------------------=/1-----7==y/n+1-G，

/("+1)+/(")+l+4n

S2021=V2-1+A/3-V2+V4-V3+...+72022-72021=72022-1

故选：D

【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

11>B

【解析】计算出。、6的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果.

TT\]

【详解】Qa=sin—=—,/?=ln-=-l,则

62e

1]n

执行如图所示的程序，x=—,—1<—成立，则1二―1,1不成立，输出x的值为-1.

226

故选：B.

12、D

12

【解析】分析：已知〃1逐一求解。2=2,a3=—,a4=3,%=—

12

详解：已知为逐一求解〃2=2,a3=—,a4=3,a5=—.故选D

点睛：对于含有(-1)〃的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】设等比数列｛4｝的公比为心由题意可知&和与同号，结合等比中项的性质可求得4的值.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为9,则&=。2r>0,

由等比中项的性质可得=。2%)=16,因此，«6=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查等比中项的计算，解题时不要忽略了对应项符号的判断，考查计算能力，属于基础题.

14、32

【解析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出0C.0。，利用三角函数换元，

求出最大值.

兀

【详解】如图，过点。作OELx轴于点E,过点C作CFLy轴于点歹，设=00,-),则由三角形

全等可知4CF=e,设。4=m，OB=n,则祥+川=人长=16,则。(m+4cosO,4sin。)，

C(4cos仇〃+4sin。),贝!]＜?C-(?D=4cos6)(m+4cos6,)+4sin(9(n+4sin6,)=16+4mcos0+4/tsin0,令

wt=4cos0,〃=4sin0,贝!|0。-0。=16+16＜：050(：05。+1651]105111。=16+16＜：05(。一0),当cos(。-0)=1

时，取得最大值，最大值为32

15、—b2-a2

【解析】由双曲线的方程可得A,B的坐标，设P的坐标，代入双曲线的方程可得P的横纵坐标的关系，求出直线AP,

族的方程，令％=0,分别求出"，N的纵坐标，求出AN力加的表达式，整理可得AN出河为定值-4-k

【详解】由双曲线的方程可得&—a,0),3(a,0),设P(〃”)，

22

则乌-一勺=1,可得〃2〃2=加2=一〃2b2=/(加2一〃2),

ab2

直线K4的方程为：y=-^—(x+a)9令X=0,贝!|加二/^，可得

m+a机+々m+a

直线M的方程为＞=—J(%-。)，令x=0,可得%=二已，即N(0,二^幺)，

m—am—am—a

na22

・AATn”/~\/na、2n0/(疗一/)

..AN•BM=(a,-------)-(-62,-------)=-a——-——-=-a2-----——7^=-a-b,

m—am+am—am—a

故答案为：一一〃2

2222

另解：双曲线方程化为4=1,只是将A+==1的〃替换为一"，故答案也是只需将〃一片中的〃替换为

a2-b2a2b2

-b2即可.

故答案为：一/72-片.

16、2

【解析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，

一一.---1--—.一.

AF=AB+BBi+B1F=AB+BB1+-耳。，再将转化为AD，以及将A4转化为AB,5耳=朋，总之等式右边

为AB，AD，的，从而得出犬=y=；，z=l.

【详解】解：因为AF=AB+BB[+BF=AB+BB[+gBiR

=AB+BB1+AD—A4)

=AB+BB、+-AD--AB

22

^-AB+-AD+AA.,

22

又AF=xAB+AD+zAAi

所以x=y=Q,z=l,

贝!|x+y+z=2.

故答案为：2.

【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将4/=*延+4£>+244作为转化的目标，从而得解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5

17、(1)bn=2'"

(2)当“=4或5时，有最大值1024.

【解析】(1)利用等比数列通项公式求解即可；

(2)求出数列｛2｝的前〃项的乘积为利用二次函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

由已知得，数列也｝首项4=16,b5=a2=16x-^=l,

设数列也｝的公比为孙，即色=41始-=他)4=L：.%=!

bxb1162

即2=4(%)"T=16x［；1=25，

【小问2详解】

4

Tn=bcb2-b3-bn=2-^-25T=^+3+2++©-“)

2

=22=22=2212)8，

+10

即当"=4或5时,有最大值2#-1IT=2=1024.

18、(1)证明见解析

⑵—

3

【解析】(1)通过作辅助线，构造平行四边形，在平面协O找到线并证明CE〃5根据线面平行的判定定理

即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面EAC与平面MC的法向量，根

据向量的夹角公式求得答案.

【小问1详解】

证明：取融的中点F,由E为P5的中点，

则石尸〃AB,EF^-AB,

2

而ABCD,CD^-AB,

2

所以EFCD且EF=CD,则四边形OWE为平行四边形，

所以CE〃。人又CEa平面”L。，DFu平面必1。，

所以CE平面R4O

p

【小问2详解】

VPA±^ABCD,ABYAD,：.AP,AB,AZ)两两垂直,

以A为原点，AB，AD>AP向量方向分别为x轴，7轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系,

各点坐标如下：4(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),6(2,0,0),El

设平面APC的法向量为根=(%,y,z),由=(0,0,1),AC=(1,1,0),

AP-m=z=0—,-u,、

有《,取x=l,则y=-1,z=0,即m=(l,—l,0),

AC-m-y-0

设平面EAC的法向量为"=(a,6,c),由AC=(l,l,0),AE=h,0,1L

ACn=a+b=0

有《1，取Q=1,则＞=—1,c=—2,即〃=(1,—1,—2),

AE-n=a+—c=0

2

m-n2_A/|

所以COS（根,M

V2x5/63，

由原图可知平面EAC与平面E1C夹角为锐角,

所以平面EAC与平面PAC夹角的余弦值为显

3

x2y2

19、⑴_+=1

84

(2)%=土2

【解析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到。的值，结合c的值,

利用〃川c的平方关系求得从的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程

(2)利用向量的数量积5.儿q=0,求得点加(%,%)满足的条件，再结合椭圆的方程，解得先的值

【小问1详解】

解：设椭圆的长半轴长为“，短半轴长为心半焦距为c,

因为|尸制="2—(―2)『+[(-V2)-0]2=718=372

22

\PF2\=^(2-2)+[(-V2)-0]=V2

所以|P司+|「局=4形=2a,即。=2及，

又因为c=2,所以〃=1—02=4,

又因为椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，

22

所以该椭圆的标准方程为二+二=1.

84

【小问2详解】

解：MF}=(-2-x0,-y0\MF2=(2-x0,-y0)

因为叫所以九生•晒=0,即x：+y：=4,

又甚+花=1,所以'=4,即%=±2.

84

20、(1)z=-3i

(2)(0,9)

7.4-3

【解析】(1)先将Z=历代入「一化简，再由其虚部为零可求出匕的值，从而可求出复数Z,

1-1

[m2-8m-9<0,

(2)先对(加-z)92-8加化简，再由题意可得<从而可求得结果

6m>0,

【小问1详解】

因为z=Z?i,

z+33+bi(3+Z?i)(l+i)3-/?+(Z?+3)i

所以";一"=-；—r=---------=-----------，

1-11-122

z+3

因为二一是实数，所以占+3=0,解得b=—3.

l-i

故z=-3i.

【小问2详解】

因为z=—3i,

所以（加一z）2—8m=（m+3i）2-8m=（m2-8m一9）+6mi.

因为复数-z)2-8m所表示的点在第二象限,

m2-8m-9<0,

所以

6m>0,

解得0<相<9,即实数机的取值范围是(。,9).

21、(1)答案见解析;

【解析】⑴求得/'(%)=(依+a+l)e',分。〉0、°<。两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数〃龙)

的单调递增区间和递减区间

(2)利用参变量分离法可得出左〈包业对任意的x>0恒成立，构造函数g(x)=G2£,其中％>