人教版高中数学必修4课后习题答案详解

第页第二章平面对量2．1平面对量的实际背景及基本概念练习（P77）1,略.2,，.这两个向量的长度相等，但它们不等.3,，，，.4,（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1A组（P77）1,（2）.3,及相等的向量有：；及相等的向量有：；及相等的向量有：.4,及相等的向量有：；及相等的向量有：；及相等的向量有：5,.6,（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1B组（P78）1,海拔和高度都不是向量.2,相等的向量共有24对.模为1的向量有18对.其中及同向的共有6对，及反向的也有6对；及同向的共有3对，及反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面对量的线性运算练习（P84）1,图略.2,图略.3,（1）；（2）.4,（1）；（2）；（3）；（4）.练习（P87）1,图略.2,，，，，.3,图略.练习（P90）1,图略.2,，.说明：本题可先画一个示意图，依据图形简单得出正确答案.值得留意的是及反向.3,（1）；（2）；（3）；（4）.4,（1）共线；（2）共线.5,（1）；（2）；（3）.6,图略.习题2.2A组（P91）1,（1）向东走20km；（2）向东走5km；（3）向东北走km；（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.2,飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500km.3,解：如右图所示：表示船速，表示河水的流速，以,为邻边作□，则表示船实际航行的速度.在Rt△ABC中，，，所以因为，由计算器得所以，实际航行的速度是EMBEDEquation.DSMT4，船航行的方向及河岸的夹角约为76°.4,（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.5,略6,不肯定构成三角形.说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段肯定能构成三角形.7,略.8,（1）略；（2）当时，9,（1）；（2）；（3）；（4）.（第11题）10,，，.（第11题）11,如图所示，，，（第12题）12,，，，，（第12题）13,证明：在中，分别是的中点，（第13题）所以且，（第13题）即；同理，，所以.习题2.2B组（P92）（第1题）1,丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.（第1题）2,不肯定相等，可以验证在不共线时它们不相等.3,证明：因为，而，，所以.4,（1）四边形为平行四边形，证略（第4题(2)）（2）四边形为梯形.（第4题(2)）证明：∵，∴且∴四边形为梯形.（3）四边形为菱形.（第4题(3)）证明：∵，（第4题(3)）∴且∴四边形为平行四边形又（第5题）∴四边形为菱形.（第5题）5,（1）通过作图可以发觉四边形为平行四边形.证明：因为，而所以所以，即∥.因此，四边形为平行四边形.2．3平面对量的基本定理及坐标表示练习（P100）1,（1），；（2），；（3），；（4），.2,，.3,（1），；（2），；（3），；（4），4,∥.证明：，，所以.所以∥.5,（1）；（2）；（3）.6,或7,解：设，由点在线段的延长线上，且，得∴，所以点的坐标为.习题2.3A组（P101）1,（1）；（2）；（3）.说明：解题时可设，利用向量坐标的定义解题.2,3,解法一：，而，.所以点的坐标为.解法二：设，则，由可得，，解得点的坐标为.4,解：，.，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为.5,由向量共线得，所以，解得.6,，，，所以及共线.7,，所以点的坐标为；，所以点的坐标为；故习题2.3B组（P101）1,，.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.2,（1）因为，，所以，所以,,三点共线；（2）因为，，所以，所以,,三点共线；（3）因为，，所以，所以,,三点共线.3,证明：假设，则由，得.所以是共线向量，及已知是平面内的一组基底冲突,因此假设错误，.同理.综上.4,（1）.（2）对于随意向量，都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面对量的数量积练习（P106）1,.2,当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形.3,投影分别为，0，.图略练习（P107）1,，，.2,，，，.3,，，，.习题2.4A组（P108）1,，，.2,及的夹角为120°，.3,，.4,证法一：设及的夹角为.（1）当时，等式明显成立；（2）当时，及，及的夹角都为，所以所以；（3）当时，及，及的夹角都为，则所以；综上所述，等式成立.证法二：设，，那么所以；5,（1）直角三角形，为直角.证明：∵，∴，为直角，为直角三角形（2）直角三角形，为直角证明：∵，∴，为直角，为直角三角形（3）直角三角形，为直角证明：∵，∴，为直角，为直角三角形6,.7,.，于是可得，，所以.8,，.9,证明：∵，，∴为顶点的四边形是矩形.10,解：设，则，解得，或.于是或.11,解：设及垂直的单位向量，则，解得或.于是或.习题2.4B组（P108）1,证法一：证法二：设，，.先证由得，即而，所以再证由得，即，因此2,.3,证明：构造向量，.，所以（第4题）4,的值只及弦的长有关，及圆的半径无关.（第4题）证明：取的中点，连接，则，又，而所以5,（1）勾股定理：中，，则证明：∵由，有，于是（2）菱形中，求证：证明：∵，∵四边形为菱形，∴，所以∴，所以（3）长方形中，求证：证明：∵四边形为长方形，所以，所以∴，所以，所以（4）正方形的对角线垂直平分.综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面对量应用举例习题2.5A组（P113）1,解：设，则，由得，即（第2题）代入直线的方程得.所以，点的轨迹方程为.（第2题）2,解：（1）易知，∽，,所以.（2）因为所以，因此三点共线，而且（第4题）同理可知：，所以（第4题）3,解：（1）；（2）在方向上的投影为.4,解：设，的合力为，及的夹角为，则，；，及的夹角为150°.习题2.5B组（P113）1,解：设在水平方向的速度大小为，竖直方向的速度的大小为，则，.设在时刻时的上上升度为，抛掷距离为，则所以，最大高度为，最大投掷距离为.2,解：设及的夹角为，合速度为，及的夹角为，行驶距离为.则，.∴.所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3,（1）解：设，则..将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是所以，解得（2）解：设曲线上任一点的坐标为，绕逆时针旋转后，点的坐标为则，即又因为，所以，化简得第二章复习参考题A组（P118）1,（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2,（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.（第4题）3,，（第4题）4,略解：5,（1），；（2），；（3）.6,及共线.证明：因为，，所以.所以及共线.7,.8,.9,.10,11,证明：，所以.12,.13,，.14,第二章复习参考题B组（P119）1,（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2,证明：先证.因为，所以，于是.再证.由于，由可得，于是（第3题）所以.【几何意义是矩形的两条对角线相等】（第3题）3,证明：先证又，所以，所以再证.由得，即所以【几何意义为菱形的对角线相互垂直，如图所示】（第5题）4,，（第5题）而，，所以5,证明：如图所示，，由于，所以，所以所以，同理可得所以，同理可得，，所以为正三角形.（第6题）6,连接.（第6题）由对称性可知，是的中位线，.7,（1）实际前进速度大小为（千米／时），沿及水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿及水流方向成的方向前进.8,解：因为，所以，所以同理，，，所以点是的垂心.9,（1）；（2）垂直；（3）当时，∥；当时，，夹角的余弦；（4）第三章三角恒等变换3．1两角和及差的正弦,余弦和正切公式练习（P127）1,.2,解：由，得；所以.3,解：由，是第二象限角，得；所以.4,解：由，得；又由，得.所以.练习（P131）1,（1）；（2）；（3）；（4）.2,解：由，得；所以.3,解：由，是第三象限角，得；所以.4,解：.5,（1）1；（2）；（3）1；（4）；（5）原式=；（6）原式=.6,（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.7,解：由已知得，即，所以.又是第三象限角，于是.因此.练习（P135）1,解：因为，所以又由，得，所以2,解：由，得，所以所以3,解：由且可得，又由，得，所以.4,解：由，得.所以，所以5,（1）；（2）；（3）原式=；（4）原式=.习题3.1A组（P137）1,（1）；（2）；（3）；（4）.2,解：由，得，所以.3,解：由，得，又由，得，所以.4,解：由，是锐角，得因为是锐角，所以，又因为，所以所以5,解：由，得又由，得所以6,（1）；（2）；（3）.7,解：由，得.又由，是第三象限角，得.所以8,解：∵且为的内角当时，，不合题意，舍去9,解：由，得.10,解：∵是的两个实数根.11,解：∵（第12题）12,解：∵（第12题）又∵，∴13,（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.14,解：由，得15,解：由，得16,解：设，且，所以.17,解：，.18,解：EMBEDEquation.DSMT4，即又，所以19,（1）；（2）；（3）；（4）.习题3.1B组（P138）1,略.2,解：∵是的方程，即的两个实根由于，所以.3,反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：，其中，等等思索过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面找寻共同特点，从而作出归纳.对相识三角函数式特点有帮忙，证明过程也会促进推理实力,运算实力的提高.4,因为，则即所以3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1,略.2,略.3,略.4,（1）.最小正周期为，递增区间为，最大值为；（2）.最小正周期为，递增区间为，最大值为3；（3）.最小正周期为，递增区间为，最大值为2.习题3.2A组（P143）1,（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用代替1，用代替；（5）略；（6）提示：用代替；（7）提示：用代替，用代替；（8）略.2,由已知可有……①，……②（1）②×3－①×2可得（2）把（1）所得的两边同除以得留意：这里隐含及①,②之中3,由已知可解得.于是4,由已知可解得，，于是.5,，最小正周期是，递减区间为.习题3.2B组（P143）1,略.2,由于，所以即，得3,设存在锐角使，所以，，又，又因为，所以由此可解得，，所以.经检验，是符合题意的两锐角.（第4题）4,线段的中点的坐标为.过作垂直于轴，交轴于，.（第4题）在中，.在中，，于是有，5,当时，；当时，，此时有；当时，，此时有；由此猜想，当时，6,（1），其中所以，的最大值为5，最小值为﹣5；（2），其中所以，的最大值为，最小值为；第三章复习参考题A组（P146）1,.提示：2,.提示：3,1.4,（1）提示：把公式变形；（2）；（3）2；（4）.提示：利用（1）的恒等式.5,（1）原式=；（2）原式=（3）原式=（4）原式=6,（1）；（2）；（3）.提示：；（4）.7,由已知可求得，，于是.8