(期中名校真题)第五单元三角形(讲义)-2023-2024学年四年级下册数学期中备考高频易错考点大串讲（人教版）

第五单元三角形板块一：知识精讲1．三角形的特性【知识点归纳】三角形具有稳定性．三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．三角形的分类【知识点归纳】1．按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90°．直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．钝角三角形：有一个角大于90°．判定法二：锐角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．钝角三角形：最大角大于90°．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．3．三角形的内角和【知识点归纳】三角形内角和为180°．直角三角形的两个锐角互余．4．三角形边的关系【知识点归纳】1、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。2、三角形任意两边的和大于第三边。板块二：典题精练1．王老师用一根铁丝围成一个边长15厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个正三角形，这个正三角形的每条边长多少厘米？2．空调的室外机需要一个支架。王叔叔根据三角形的稳定性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是7分米和12分米，第三根铝合金最长是多少分米？（取整数）3．说理分析题。下面的三角形有部分被挡住了，你能确定哪个一定是直角三角形吗？说出你的理由。4．将一根12cm长的线剪成3段（每段长为整厘米数），哪几种剪法剪出的线能围成三角形（接头处长度忽略不计）？请写下来。5．聪聪想找一根小棒，它既可以和长、的两根小棒围成三角形，也可以和长、的两根小棒围成三角形，这根小棒的长度可能是多少厘米？（小棒长为整厘米数）6．在一个直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的4倍，求这两个锐角的度数。7．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，较大的锐角是多少度？8．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?9．王老师准备了一条10厘米长的铁丝，用来做一个三角形框架。小明说：如果用这条铁丝围成一个三角形，那么这个三角形的任何一条边一定小于5厘米。小明说得对吗？请你写出小明的思考过程。10．一个等腰三角形，其中一个角的度数是30°，求另外两个角的度数．11．在一个等腰三角形中，已知一个角是72°，则另外两个角分别是多少度？12．一个等腰三角形的周长是30厘米，如果三角形的腰长是8厘米，那么这个三角形的底边长是多少厘米？13．一个等腰三角形的周长是98厘米，底边长22厘米，一条腰长多少厘米？14．一根绳子长18cm，可以围成边长是几厘米的等边三角形？如果剪成整厘米围成等腰三角形，有几种情况？（正三角形除外）15．我们知道，三角形的内角和是180°，一个平角也是180°，请你利用以上两个结论完成题目：如图，延长三角形ABC的边BC到点D，请探究∠ACD、∠A、∠B三者之间的关系，并说明理由。16．用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒分别为4厘米和8厘米，如果第三根棒取整厘米数，它最短是多少厘米？最长是多少厘米？17．李叔叔用一根72cm长的铁丝围成一个等边三角形，这等边三角形的边长是多少厘米？如果用这根铁丝围成一个底边30厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的每条腰长多少厘米？18．李伯伯用一根铁丝围成一个边长是10cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个底边是16cm的等腰三角形，等腰三角形的腰长是多少cm？19．算出下面三角形中∠3的度数．（1）∠1=35°，∠2=55°．（2）已知∠1和∠3是直角三角形中的两个锐角，∠1=25°．20．如图，把三角形的边延长到点。你能说明吗？21．李爷爷家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是90°，是最小角的3倍，求这块菜地每个角的度数．22．用一根长12.6厘米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底长是4.6厘米，则腰长是多少厘米？23．一根铁丝围成一个边长为25厘米的正方形，如果改围成一个底边长是10厘米的等腰三角形，那么腰长是多少厘米？24．活动课上，同学们用小棒摆了8个三角形（如下图）；如果用这些小棒摆正方形，可以摆出多少个正方形？25．三角形ABC是等腰直角三角形，已知∠1＝60°，求∠2、∠3、∠4的度数。26．在下面三角形中，∠1＝38°，∠2＋∠3＝90°，求∠3和∠4各是多少度？27．建筑工人要做一个三角形的钢架，已经找到两根钢材，第一根长4米，第二根长6米，第三根钢材可能长多少米（长为整米数）？28．用一根铁丝可围成一个边长为8cm的等边三角形，如果将这根铁丝围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？29．根据三角形内角和是180°，求出下面的四边形和正六边形的内角和．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．20厘米【分析】等边三角形也叫正三角形。根据题意，先利用正方形的边长×4求出正方形的周长，也是等边三角形的周长，等边三角形的三条边相等，利用周长除以3即可。据此解答。【详解】15×4÷3＝60÷3＝20（厘米）答：这个正三角形的每条边长20厘米。【点睛】本题考查了等边三角形的特征及周长的应用。牢记正方形周长计算公式和等边三角形三边关系是解决此题的关键。2．18分米【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此解答。【详解】7＋12＝19（分米），19分米＞18分米12－7＝5（分米），5分米＜6分米第三边长度大于6分米小于18分米，最长为18分米答：第三根铝合金最长是18分米。【点睛】掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。3．②；因为露出的一个角是直角。【分析】锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此判断选择。【详解】图①，可能是直角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，因为露出的一个角是锐角，其他两个角，可能是一个直角，一个锐角；也可能是两个锐角；也可能是一个钝角，一个锐角；图②，是直角三角形，因为露出的一个角是直角；图③，是钝角三角形，因为露出的一个角是钝角；所以，图一定是直角三角形，因为露出的一个角是直角。【点睛】熟练掌握三角形的分类标准，是解答此题的关键。4．第一种剪法：4cm、4cm、4cm。第二种剪法：5cm、4cm、3cm。第三种剪法：5cm、5cm、2cm。【解析】略5．、、【分析】先由条件“可以和长、的两根小棒围成三角形”及三角形的三边关系，可知小棒长度，即小棒长度小于；小棒长度，即小棒长度大于。再由条件“可以和长、的两根小棒围成三角形”，同理可得小棒长度大于且小于。同时满足两个条件的小棒长度有、、。【详解】

符合第一个条件的小棒要比长比短。

符合第二个条件的小棒要比长比短。综上所述，符合两个条件的小棒要比长比短。答：这根小棒的长度可能是、或。【点睛】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。6．18°；72°【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据三角形内角和是180°可知此三角形中剩余两个锐角的和应是90°，其中一个锐角的度数是另一个锐角的4倍，可知这个较小锐角的度数为90°÷5＝18°，另一个锐角的度数为18°×4＝72°。【详解】90°÷5＝18°18°×4＝72°答：这两个锐角的度数分别是18°和72°。【点睛】明确直角三角形两锐角和是90°，并能根据两个锐角的倍数关系求出其中一个锐角的度数是解答本题的关键。7．60°【分析】直角三角形有一个角是90°，再结合三角形的内角和是180°进行计算即可。【详解】180°－90°＝90°1＋2＝3（份）90°÷3＝30°30×2＝60°答：较大的锐角是60°【点睛】熟练掌握直角三角形的特点和三角形的内角和是解答此题的关键。8．32【详解】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．9．说得的对；思考过程见详解【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此解答即可。【详解】如果三角形中有一条边等于5厘米，10－5＝5（厘米），则另外两边之和就等于5厘米，因此不满足。如果三角形中有一条边大于5厘米，则另外两边之和就小于5厘米，因此不满足。如果三角形中有一条边小于5厘米，则另外两边之和就大于5厘米，另外两边之差就小于5厘米，因此满足。由此可知，这个三角形的任何一条边一定小于5厘米，即小明说得对。【点睛】熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。10．当顶角为30°时：(180°－30°)÷2＝75°当底角为30°时：180°－30°×2＝120°答：另外两个角分别为75°、75°或30°、120°．【详解】易错点拨：本题应用分类讨论思想，分顶角为30°和底角为30°两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解．11．72°、36°或54°、54°【分析】已知等腰三角形的一个角是72°，要分两种情况考虑：72°的角可能是顶角，也可能是底角，据此根据三角形内角和是180°和等腰三角形的两个底角相等的性质进行计算即可解答问题。【详解】当72°是底角时：180°－72°×2＝180°－144°＝36°当72°时顶角时：（180°－72°）÷2＝108°÷2＝54°答：当72°是底角时，另外两个角是72°、36°，当72°是顶角时，另外两个角54°、54°【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的计算应用，当没有规定已知角是顶角还是底角时，要分情况进行讨论。12．14厘米【分析】等腰三角形的两条腰相等，用三角形的周长减去这两条腰的长度，就等于三角形的底边长。【详解】30﹣8﹣8＝14（厘米），答：三角形的底边是14厘米。【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的周长计算方法的灵活应用。13．38厘米【分析】等腰三角形的两腰相等，因此用等腰三角形的周长减去底边长后，再除以2即可，依此计算。【详解】98－22＝76（厘米）76÷2＝38（厘米）答：一条腰长38厘米。【点睛】此题考查的是根据等腰三角形的周长和底长求腰长，熟练掌握等腰三角形的特点是解答本题的关键。14．边长是6cm的等边三角形；等腰三角形有3种情况：边长分别是①5cm、5cm和8cm；②7cm、7cm和4cm；③8cm、8cm和2cm【分析】等边三角形的三边相等，所以用绳子的长除以3即可；等腰三角形的两腰相等，只要满足两腰相等，三边的总长是18即可，据此解答。【详解】因为等边三角形的三边相等，所以可以围成边长是6cm的等边三角形；因为等腰三角形的两腰相等，所以等腰三角形有3种情况：边长分别是①5cm、5cm和8cm；②7cm、7cm和4cm；③8cm、8cm和2cm。【点睛】熟练掌握等边三角形、等腰三角形的特征并灵活运用是解答本题的关键。15．见详解【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三个内角的和是180°以及它的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的外角可以转化成三角形的内角来考虑。【详解】结合图示可知，三角形的内角和是180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°。一个平角是180°，所以∠ACD＋∠ACB＝180°。综上所述，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝∠ACD＋∠ACB，导出∠A＋∠B＝∠ACD，即：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。【点睛】正确理解三角形的外角性质是解题的关键，可以结合图形来考虑。16．最短是5厘米，最长是11厘米【分析】根据三角形的特征，任意两边之和大于第三边，已知一个三角形的三条边的长度都是整厘米数，其中两条边的长分别是4厘米和8厘米，它的第三边最长是4＋8﹣1＝11厘米，任意两边之差小于第三边最短是8﹣4＋1＝5厘米；由此解答。【详解】在三角形中，任意两边之和大于第三边，已知一个三角形的三条边的长度都是整厘米数，其中两条边的长分别是4厘米和8厘米，因此它的第三边最长是4＋8﹣1＝11（厘米），最短是8﹣4＋1＝5（厘米），答：它的第三条边，最短是5厘米，最长是11厘米。【点睛】考查了三角形的特性，此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的特征解决问题。17．24厘米；21厘米【分析】根据题意可知，等边三角形的边长是（72÷3）厘米，等腰三角形的腰长是[（72－30）÷2]厘米。【详解】72÷3＝24（厘米）（72－30）÷2＝42÷2＝21（厘米）答：等边三角形的边长是24厘米，等腰三角形的腰长是21厘米。【点睛】正确理解等边三角形、等腰三角形的意义及特征，是解答此题的关键。18．12cm【分析】铁丝长度＝边长×4，腰长＝（铁丝长度－底边长度）÷2。【详解】（4×10－16）÷2＝（40－16）÷2＝24÷2＝12（cm）答：等腰三角形的腰长是12cm。【点睛】本题考查的是正方形的周长和等腰三角形的周长，解答本题的关键是明白正方形四边相等的特征，等腰三角形两个腰相等的特征。19．90°；65°．【详解】试题分析：（1）根据三角形的内角和定理即可求解；（2）根据直角三角形中的两个锐角互余即可求解．解：（1）因为∠1=35°，∠2=55°，所以∠3=180°﹣35°﹣55°=90°；（2）因为∠1和∠3是直角三角形中的两个锐角，∠1=25°，所以∠3=90°﹣25°=65°．点评：考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°，以及直角三角形的两个锐角互余的性质．20．见详解。【分析】如图：根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以∠1和∠4拼成的是平角。三角形的三个内角的和是180°，所以∠2＋∠3＋∠4＝180°，又因为∠1和∠4组成一个平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠4没变，所以∠1＝∠2＋∠3，据此解答即可。【详解】因为∠1和∠4拼成的是平角，所以∠1＋∠4＝180°。因为∠2＋∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°∠4＝∠4所以∠1＝∠2＋∠3。【点睛】解题关键是灵活运用三角形的内角和定理和平角的特征解答。21．90°；30°；60°【详解】∠1=90°∠2=90°÷3=30°∠3=180°-90°-30°=60°22．4厘米【解析】12.6厘米是等腰三角形的周长，减去底边长4.6厘米，得到两条腰的长度，除以2得到腰长。【详解】（12.6－4.6）÷2＝8÷2＝4（厘米）答：腰长是4厘米。【点睛】本题考查的是等腰三角形的基本特征，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。23．45厘米【分析】先根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度。再根据等腰三角形的腰长＝（周长－底边）÷2进行解答。【详解】25×4＝100（厘米）（100－10）÷2＝90÷2＝45（厘米）答：腰长45厘米。【点睛】本题考查正方形和等腰三角形的周长公式的应用，关键是熟记公式。24．6个【分析】根据题意，观察图形可知，每个三角形需要3根小棒，那么8个三角形需要（3×8）根小棒；正方形有4条边，所以可以摆（3×8÷4）个正方形。【详解】3×8÷4＝6（个）答：可以摆出6个正方形。【点睛】熟记：三角形有3条边，正方形有4条边，是解答此题