线性空间和线性映射

关于线性空间和线性映射本章知识要点线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换；线性空间的分解：子空间、值域(列空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和；线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。第2页,共100页，2024年2月25日，星期天集合集合元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）例：数域是一个集合含有加法+和乘法*含有元素0，满足对任何元素a，有a+0=a；含有1，满足对任何元素a，有a*1=a；任何元素a存在负元素b，满足a+b=0；非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1；对加法和乘法封闭常用数域有：有理数域、实数域、复数域第3页,共100页，2024年2月25日，星期天映射映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则)f:S→S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。一般称a’为a的象，a为a’的原象。变换：若S=S‘，则称映射为变换。映射的相等：设有两个映射f:S→S’和g:S→S’，若第任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。映射的乘积(复合)：若f:S1

→S2和g:S2→S3，则映射的乘积g○f

定义为：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情况下，简记g○f

为

gf

第4页,共100页，2024年2月25日，星期天映射的例子例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则

f(A)=det(A)

为S到F的映射。例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：

为S到S上的一个变换。第5页,共100页，2024年2月25日，星期天线性空间的定义定义：设V是一个非空的集合，F是一个数域，在集合V中定义两种代数运算,一种是加法运算，用+来表示，另一种是数乘运算,用∙来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律：α+β=β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V

中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V都有

α+0=α（4）对于V中的任意元素α都存在一个元素β使得：α+β=0第6页,共100页，2024年2月25日，星期天线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：

1∙α=α（6）对k,l∈F,α∈V有：(kl)∙α=k

∙(l

∙α)（7）对k,l∈F,α∈V有：(k+l)∙α=k

∙α+l

∙α（8）对k∈F,α,β∈V有：k

∙(α+β)=k

∙α+k

∙β称这样的集合V为数域F上的线性空间。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。第7页,共100页，2024年2月25日，星期天线性空间的例子例1：全体实函数集合RR构成实数域R上的线性空间。例2：复数域C上的全体m×n

阶矩阵构成的集合Cm×n

为C上的线性空间。例3：实数域R上全体次数小于或等于n的多项式集合R[x]n

构成实数域R上的线性空间。例4：全体正的实数R+

在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意k∈R,a,b∈R+

第8页,共100页，2024年2月25日，星期天

例5：R∞表示实数域R上的全体无限序列组成的的集合。即线性空间的例子（续）则R∞

为实数域R上的一个线性空间。在R∞中定义加法与数乘：第9页,共100页，2024年2月25日，星期天例6

在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成R上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有线性空间的例子（续）例7

在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合构成R上的线性空间。

Hilbert条件是：级数收敛第10页,共100页，2024年2月25日，星期天线性空间的基本概念及其性质

基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。基本性质：

（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。第11页,共100页，2024年2月25日，星期天例1

实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2

实数域R上的线性空间RR

中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的正整数。例3

实数域R上的线性空间RR

中，函数组也是线性无关的。第12页,共100页，2024年2月25日，星期天例4

实数域R上的线性空间RR

中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。第13页,共100页，2024年2月25日，星期天线性空间的基底与维数

定义：设V

为数域F上的一个线性空间。如果在V

中存在n个线性无关的向量，使得V

中的任意一个向量都可以由线性表出:

则称为V的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称V

为一个n维线性空间，记为dimV=n。第14页,共100页，2024年2月25日，星期天例1

实数域R上的线性空间R3

中向量组与向量组基底的例子都是线性空间R3

的基底，R3是3维线性空间。第15页,共100页，2024年2月25日，星期天例2

实数域R上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。基底的例子（续）第16页,共100页，2024年2月25日，星期天例3

实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向量组与向量组都是Pn

的基底，Pn的维数为n+1。注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。基底的例子（续）第17页,共100页，2024年2月25日，星期天例4在4维线性空间中，向量组

与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。第18页,共100页，2024年2月25日，星期天解：设向量A在第一组基下的坐标为于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为第19页,共100页，2024年2月25日，星期天设（旧的）与新的）是n维线性空间V

的两组基底，它们之间的关系为基变换与坐标变换第20页,共100页，2024年2月25日，星期天将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称n阶方阵是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵(可逆)，那么上式可以写成第21页,共100页，2024年2月25日，星期天任取，设在两组基下的坐标分别为与，那么我们有该式被称为坐标变换公式。于是有：第22页,共100页，2024年2月25日，星期天与向量组例1

在4维线性空间中，向量组为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式第23页,共100页，2024年2月25日，星期天向量A在第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为第24页,共100页，2024年2月25日，星期天定义设V为数域F上的一个n维线性空间，W为V的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有那么我们称为的一个子空间。例1

对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间以及线性空间本身.线性空间的子空间第25页,共100页，2024年2月25日，星期天例2

设，那么线性方程组的全部解为维线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3

设为维线性空间中的一组向量，那么非空子集合

第26页,共100页，2024年2月25日，星期天构成线性空间的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称为该子空间的生成元。的维数即为向量组的秩，的最大无关组为基底。例4

实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间，第27页,共100页，2024年2月25日，星期天子空间的交与和两个子空间的交:两个子空间的和:子空间交与和的性质若V1和V2都是V的子空间，则V1∩V2和V1+V2也是V的子空间.V1∩V2=V2∩V1，V1+V2=V2+V1(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)两个子空间的直和:若V=V1+V2，且V1∩V2=Φ，则称V为V1与V2的直和。第28页,共100页，2024年2月25日，星期天线性变换定义：设V是数域F上的线性空间，T

:V→V为V上的映射，则称T为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的k,l∈F和α,β∈V，有则称T为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。第29页,共100页，2024年2月25日，星期天线性变换的例子例1：R2空间上的如下变换为线性变换（该变换还是正交变换）。例2：设Pn为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为Pn到Pn的线性变换。例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：

为V上的线性变换。第30页,共100页，2024年2月25日，星期天线性变换的值域和核V上的线性变换T的值域和核定义如下：R(T)={Tx|x∈V}N(T)={x|Tx=0,x∈V}定理：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间，分别称为T的象空间和核空间。定义：线性变换T的象空间维数dimR(T)称为T的秩，核空间维数dim(N(T)称为T的亏。可以证明，若V维数为n，T的秩为r，则T的亏为n-r。例：实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中为线性空间，求导运算的象空间为Pn-1

，核空间为R。第31页,共100页，2024年2月25日，星期天线性变换的运算零变换T0：T0x=0变换的加法：定义(T1+T2)x=T1x+T2x负变换：定义(-T)x=-(Tx)数乘：定义(kT)x=k(Tx)定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。单位变换Te：Tex=x变换的乘法：定义(T1T2)x=T1(T2x)逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换T-1。定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。第32页,共100页，2024年2月25日，星期天线性变换的矩阵表示以下讨论均假设线性空间为F上的有限维空间，并以上标表示维数，如Vn、Wm等。设映射T为Vn上的线性变换，为空间的基底，则可以用该基底线性表示，即

写成矩阵形式第33页,共100页，2024年2月25日，星期天对Vn中的任意元素x，设x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：第34页,共100页，2024年2月25日，星期天对Vn上的线性变换T，在基底下可以用矩阵来表示：定理：设Vn上的变换T在基底下对应的矩阵为A，则R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）单位变换对应单位矩阵零变换对应零矩阵逆变换对应逆矩阵第35页,共100页，2024年2月25日，星期天设Vn上的线性变换T在两组基底和下对应的矩阵分别为A和B，两个基底之间的过度矩阵为P，即：

于是即得结论：相似矩阵表示相同的线性变换第36页,共100页，2024年2月25日，星期天矩阵的运算零矩阵（对应零变换）矩阵加法（对应线性变换的加法）负矩阵（对应负线性变换）数乘（对应线性变换的数乘）定理：所有n×m阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。单位阵（对应单位变换）矩阵的乘法（对应变换的乘法）逆矩阵（对应逆变换）定理：所有n阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。第37页,共100页，2024年2月25日，星期天定义设T是数域F上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域F中的某个元素λ0，存在一个非零向量ξ，使得

那么称λ0为T的一个特征值，而ξ称为T属于特征值λ0的一个特征向量。取定V的一组基底，设T在这组基下的矩阵是A，向量ξ在这组基下的坐标是，那么我们有线性变换的特征值与特征向量即得第38页,共100页，2024年2月25日，星期天求解特征值与特征向量选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基底下对应的矩阵A；求解矩阵A的特征多项式的所有根；求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量；以A的特征向量为坐标求出对应的特征向量。第39页,共100页，2024年2月25日，星期天例1

设V是数域F上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，T在V的一个基下的矩阵是求T的全部特征值与特征向量。解：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。第40页,共100页，2024年2月25日，星期天所以A的特征值是3(二重)与-6。对于特征值3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：第41页,共100页，2024年2月25日，星期天从而T的属于3的极大线性无关特征向量组是于是T属于3的全部特征向量是

这里k1k2≠0。对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：第42页,共100页，2024年2月25日，星期天从而T的属于-6的极大线性无关特征向量组是于是T的属于-6的全部特征向量这里

k为数域F中任意非零数。第43页,共100页，2024年2月25日，星期天特征值与特征向量的相关性质特征子空间：线性变换T属于特征值λ0的特征向量生成的子空间，记为，其中的非零向量为特征向量。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。Tr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。矩阵A是其特征多项式的零点，即设，则第44页,共100页，2024年2月25日，星期天矩阵的相似标准形n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；任何复矩阵与一Jordan矩阵相似；第45页,共100页，2024年2月25日，星期天矩阵可对角化的判定推论：矩阵A可以对角化的充分必要条件是A的特征值的代数重数等于几何重数。注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根的重数。几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值λk,对应的特征子空间为的解空间，其维数称为几何维数。第46页,共100页，2024年2月25日，星期天例1

判断矩阵是否可以对角化？解：先求出A的特征值于是A的特征值为λ1=1，λ2=2（代数重数=2）。由于λ1=1是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑λ2=2第47页,共100页，2024年2月25日，星期天于是即特征子空间的维数为1，从而不可以相似对角化。第48页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：

已知和关于变量x

的多项式那么我们称为A的矩阵多项式。设A

为一个n

阶矩阵，J

为其Jordan标准形，则于是有矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式第49页,共100页，2024年2月25日，星期天我们称上面的表达式为矩阵多项式f(J)的Jordan表示。其中第50页,共100页，2024年2月25日，星期天第51页,共100页，2024年2月25日，星期天例已知多项式与矩阵求f(A)。解：首先求出矩阵A的Jordan标准形J及其相似变换矩阵P那么有第52页,共100页，2024年2月25日，星期天第53页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：已知和关于变量x的多项式如果f(x)满足，那么称该多项式为矩阵A的一个零化多项式。第54页,共100页，2024年2月25日，星期天定理：已知，为其特征多项式,则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义：已知，在A的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为A的最小多项式，通常记为最小多项式的性质：已知，那么（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。第55页,共100页，2024年2月25日，星期天如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1：已知一个Jordan块求其最小多项式。解：注意到其特征多项式为,则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状，其中。但是当时第56页,共100页，2024年2月25日，星期天第57页,共100页，2024年2月25日，星期天因此有.例2：已知对角块矩阵,而分别为子块的最小多项式，则的最小多项式为即为的最小公倍数。例3：求下列矩阵的最小多项式第58页,共100页，2024年2月25日，星期天解：（1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式为。（2）此矩阵的Jordan标准形为第59页,共100页，2024年2月25日，星期天从而其最小多项式为。（3）该矩阵的Jordan标准形为第60页,共100页，2024年2月25日，星期天故其最小多项式为。（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式第61页,共100页，2024年2月25日，星期天Euclid空间（欧氏空间）线性空间内积的定义：设V是实数域R上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量α、β,

按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与α与β的内积，记为(α,β)，并且要求内积满足下列运算条件：我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间(欧氏空间)。当且仅当α=0时内积为零第62页,共100页，2024年2月25日，星期天例1

在Rn中，对于规定容易验证(,)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。如果规定容易验证(,)2也是Rn上的一个内积，这样Rn又成为另外一个欧氏空间。第63页,共100页，2024年2月25日，星期天例2

在mn维线性空间Rm×n中，规定容易验证这是Rm×n上的一个内积，这样Rm×n对于这个内积成为一个欧氏空间。例3

在连续函数构成的线性空间C[a,b]中，规定容易验证(f,g)是C[a,b]上的一个内积，这样C[a,b]对于这个内积成为一个欧氏空间。第64页,共100页，2024年2月25日，星期天Euclid空间的性质第65页,共100页，2024年2月25日，星期天有限维线性欧氏空间设实数域上有限维线性空间V的基底为，设向量x与y在此基底下的表达式如下

则x与y的内积可以表示如下第66页,共100页，2024年2月25日，星期天

取即A为实对称矩阵，而且(x,x)>0表明A为正定的。第67页,共100页，2024年2月25日，星期天性质：（1）当且仅当时（2）（3）（4）

欧氏空间的度量定义：设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为第68页,共100页，2024年2月25日，星期天例1：在线性空间Rm×n

中，证明证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例2

设C[a,b]表示闭区间[a,b]上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我们有证明：由于为线性空间C[a,b]上的内积，由内积基本性质可得上式。第69页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：设V为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为

于是有定理：定义：在欧氏空间V中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。第70页,共100页，2024年2月25日，星期天定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。命题正交向量组一定是线性无关向量组。定义

如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。定义：在n维内积空间中，由n个正交向量组成的基底称为正交基底；由n个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。标准正交基底第71页,共100页，2024年2月25日，星期天定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是向量组为标准正交向量组的充分必要条件是定理：由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。第72页,共100页，2024年2月25日，星期天

设为n维内积空间V中的r个线性无关的向量，利用这r个向量构造一个标准正交向量组的步骤如下：第一步：容易验证是一个正交向量组.Schmidt正交化方法第73页,共100页，2024年2月25日，星期天第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1

运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化

第74页,共100页，2024年2月25日，星期天再单位化那么即为所求的标准正交向量组。第75页,共100页，2024年2月25日，星期天以上正交化方法的结果与向量的次序有关。除此之外，还可以通过矩阵运算直接正交化。为此令：则矩阵B=AAT为正定实对称矩阵，因此存在正交矩阵P，使得第76页,共100页，2024年2月25日，星期天其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：例2

求下面齐次线性方程组第77页,共100页，2024年2月25日，星期天即为其解空间的一个标准正交基底。第78页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：设V是一个n维欧氏空间,σ是V的一个线性变换，如果对任意的α∈V都有正交变换与正交矩阵则称σ是V的一个正交变换。定理：线性变换σ是正交变换的充分必要条件是：任意的都有第79页,共100页，2024年2月25日，星期天证明：必要性，设σ是正交变换，，则有于是有

充分性：取立即可得σ为正交变换。

第80页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：设A为一个n

阶实矩阵，如果其满足AAT=ATA=I则称A正交矩阵，一般记为A∈En×n。例：第81页,共100页，2024年2月25日，星期天设，那么正交矩阵的性质定理：设A∈Rn×n

，A是一个正交矩阵的充分必要条件为A的n个列（或行）向量组是标准正交向量组。第82页,共100页，2024年2月25日，星期天定理：设V是一个n维欧氏空间，σ是V的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）σ是正交变换；（3）σ将V的标准正交基底变成标准正交基底；（4）线性变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。第83页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：设V是一个n维欧氏空间,σ是V的一个线性变换，如果对任意的都有对称变换与对称矩阵则称σ是V的一个对称变换。定理：线性变换σ是实对称变换的充分必要条件是：σ在标准正交基下对应的矩阵是实对称矩阵。证明：设σ在标准正交基下对应的矩阵为A，向量α和β的坐标为列向量X1和X2，则的坐标分别为AX1和AX2，于是有第84页,共100页，2024年2月25日，星期天酉空间酉空间的定义：设V是复数域C上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量α、β,

按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数为α与β的内积，记为(α,β)，并且要求内积满足下列运算条件：我们称带有这样内积的线性空间为酉空间。当且仅当α=0时内积为零第85页,共100页，2024年2月25日，星期天酉空间内积的性质第86页,共100页，2024年2月25日，星期天酉空间的类似理论酉空间和欧氏空间都属于内积空间，因此有相似的性质和结论标准正交基酉变换（对应欧氏空间的正交变换）Hermite变换与Hermite矩阵（即共轭对称矩阵，对应欧氏空间的对称变换与实对称矩阵）第87页,共100页，2024年2月25日，星期天定义：设，若存在

，使得则称A酉相似(或正交相似)于B。Schur引理与正规矩阵第88页,共100页，2024年2月25日，星期天定理(Schur引理)：任何一个n阶复矩阵（实矩阵）A酉相似（正交相似）于一个上(下)三角矩阵。证明：用数学归纳法。A的阶数为1时定理显然成立。现设A的阶数为k-1时定理成立，考虑A的阶数为k时的情况。取k阶矩阵A的一个特征值λ1，对应的单位特征向量为α1，构造以α1为第一列的k阶酉矩阵第89页,共100页，2024年2月25日，星期天因此其中A1是k-1阶矩阵，根据归纳假设，存在k-1阶酉矩阵W满足(上三角矩阵)因为构成Ck的一个标准正交基，故第90页,共100页，2024年2月25日，星期天那么令U=U1U2，则UHAU为上三角矩阵，定理得证。令第91页,共100页，2024年2月25日，星期天定义:

设A∈Cn×n，如果满足那么称矩阵A为一个