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文档简介
关于高等数学上3.7平面曲线的曲率一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为
AB,弧长第2页,共27页,2024年2月25日,星期天则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:第3页,共27页,2024年2月25日,星期天二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义)弧段弯曲程度与有关.转角、弧段长度第4页,共27页,2024年2月25日,星期天)yxo(设曲线C是光滑的,(定义曲线C在点M处的曲率第5页,共27页,2024年2月25日,星期天2、曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.(课本P170))yxo第6页,共27页,2024年2月25日,星期天例1(P171-2)解显然,第7页,共27页,2024年2月25日,星期天三、曲率圆与曲率半径定义第8页,共27页,2024年2月25日,星期天1.有共同的切线,亦即圆与曲线在点M处相切.曲率圆与曲线在点M处有以下关系:2.有相同的曲率.3.因此,圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号.第9页,共27页,2024年2月25日,星期天例2
解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径
第10页,共27页,2024年2月25日,星期天得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第11页,共27页,2024年2月25日,星期天运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径第12页,共27页,2024年2月25日,星期天思考题
椭圆上哪些点处曲率最大?思考题解答要使最大,必有最小,此时最大,第13页,共27页,2024年2月25日,星期天补充:参数方程曲率公式第14页,共27页,2024年2月25日,星期天作业:P177:2,5,8第15页,共27页,2024年2月25日,星期天选讲:曲率圆与曲率半径设M
为曲线C
上任一点,在点在曲线把以D为中心,R
为半径的圆叫做曲线在点
M
处的曲率圆(密切圆),R
叫做曲率半径,D
叫做曲率中心.在点M
处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M
处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D
使第16页,共27页,2024年2月25日,星期天设曲线方程为且求曲线上点M
处的曲率半径及曲率中心设点M
处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.第17页,共27页,2024年2月25日,星期天由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G
称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G
的渐伸线
.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停第18页,共27页,2024年2月25日,星期天例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.第19页,共27页,2024年2月25日,星期天(仍为摆线)例5.
求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得第20页,共27页,2024年2月25日,星期天摆线半径为a
的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停第21页,共27页,2024年2月25日,星期天内容小结曲率中心第22页,共27页,2024年2月25日,星期天点击图片任意处播放\暂停例2第23页,共27页,2024年2月25日,星期天第24页,共27页,2024年2月25日,星期天证如图((在缓冲
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