应用概率统计课件

二、边缘分布一、二维随机变量

多维随机变量及其分布三、相互独立的随机变量设

E

是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)§1二维随机变量定义注意事项二元函数设二维随机变量，对于任意实数称为二维随机变量的分布函数，或随机变量X和Y的联合分布函数定义2yo(x,y)(X,Y)分布函数中的概率。如图阴影部分：表示随机点(X,Y)落在区域几何意义：一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)分布函数具有以下的基本性质：固定x,

y1<y2，固定x

,2.且是变量的不减函数，即固定y，x1<x2，固定y

,3.

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),右连续，关于F(x,y)关于即也右连续.上述四条性质一二维随机变量的分布函数是二维随机变量分布函数的最基本的性质，4)如果某一二元函数具有这四条性质，那么它一定是某yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)n维随机变量n维随机变量的分布函数解由分布函数的性质例1设的分布函数为求常数的值及概率解得从而则和Y的联合分布律。所有可能的值为称为二维随机变量的分布律，或随机变量X定义设（非负性）（归一性）2．二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量的联合分布律由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j取不大于i

的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。设随机变量X

在1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量

Y

在1~X

中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。例2解：XY12341234对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。二维连续型随机变量由定义，分布函数F(x,y)必连续.（非负性）（归一性）密度函数f(x,y)具有以下性质:40

设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：的概率。

解（1）利用概率密度的性质已知二维随机变量的概率密度为试求：(1)常数的值；(2)分布函数；例32）由定义

（3）的取值区域如图3－3所示，故的分布函数。

试求：（1）的概率密度；

解（1）由概率密度的性质知已知(2)例4§2边缘分布边缘分布函数

边缘分布律

边缘概率密度

返回主目录边缘分布的定义边缘分布也称为边沿分布或边际分布．已知联合分布函数求边缘分布函数返回主目录例1例1（续）例1（续）

例２已知的分布函数求关于和的边缘分布函数和，问和各服从什么分布？

解

关于的边缘分布函数

关于的边缘分布函数

记和的概率密度分别为和,则有所以，服从参数的指数分布，服从参数的指数分布。

已知联合分布律求边缘分布律已知联合分布律求边缘分布律例2例2（续）已知联合密度函数求边缘密度函数已知联合密度函数求边缘密度函数二维均匀分布例3yoy=xy=x21yoy=xy=x21xyoy=xy=x21xyo1x例4解

的二维正态分布，记为若二维随机变量的概率密度为其中都是常数,且则称服从参数为例6结论（一）结论（二）结论（三）

条件分布律

条件分布函数条件概率密度第三章随机变量及其分布§3条件分布设，我们考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，由条件概率公式可得1．二维离散型随机变量的条件分布定义1设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称为在的条件下的条件分布律。易知上述条件概率具有分布律的性质同样，设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称为在的条件下的条件分布律。2．二维连续型随机变量的条件分布

设是二维连续型随机变量，因为对任意的

有，，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。下面我们用极限的方法导出条件分布函数。定义2

给定，设对任意固定的正数

，，如果对任意实数，极限

存在，则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写成P{X

x

|Y=y}，或记为FX|Y(x|y).若记为在条件下的条件概率密度，则由上式可得

类似地有

由此可得关系式

条件密度函数的性质例2

设随机变量的概率密度为其中是由

和围成的区域，求条件概率密度

,解要求条件概率密度，须先求出常数和边缘密度由

因为仅当在内取值时，，故其中当

或

时，无定义因为仅当在内取值时，故

当

或

时，无定义。其中例3

设的联合分布密度为

解

关于的边缘密度为

于是二、频率与概率一、随机事件及其运算概率论的基本概念三、等可能概型四、条件概率五、独立性二、样本空间一、随机试验第一节随机事件及其运算三、随机事件四、事件间的关系及其运算一、随机试验（可重复性）(1)可以在相同条件下重复的进行(2)每次试验可能出现的试验结果不止一个，(3)每次试验前不能确定会出现哪种结果,但能事先知道试验的所有可能结果。(结果具有多样性）(结果具有随机性）具有上述三个特点的试验称为随机试验。

定义将随机试验

E的所有可能结果组成的集合

二、样本空间(Space)样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。称为E的样本空间(记作S)

。

E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面TE2

：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。（Tails）出现的情况。E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。S1={H,T}S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}

S3={0,1,2,3}S4={1,2,3,4,5,6}注：试验目的不一样，其样本空间也不一样。三、随机事件:实际问题中，在进行随机试验时，人们关心的是满足某种条件的那些样本点所组成的集合。如例5中，这样的样本点组成的一个集合为S的子集：并称A为E的一个随机事件。关心试验E的样本空间S的子集称为随机事件事件发生:当且仅当该事件中的一个样本点在试验中出现。（简称事件）。用A,B,C,D等表示。1、定义例E4中A“出现正面”B“出现反面”例E1

中表示“抛出k个点”。表示“抛出的点数小于3”。表示“灯泡是一级品”例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出现的是正面”S5中事件B1={t|t

1000}表示“灯泡是次品”事件B2={t|t

1000}表示“灯泡是合格品”事件B3={t|t

1500}1）基本事件:由一个样本点组成的单点集2、随机事件中几种具有特殊意义的事件:为六个基本事件。

E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

S4:{1,2,3,4,5,6}注意：基本事件有可列的、不可列的、有限的、无限的。2）必然事件:在每次试验中一定会发生的结果。记为S.由于样本空间S包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，样本空间本身就是必然事件。3）不可能事件:在每次试验中一定不发生的结果.记为即为空集其中不包含任何样本点。掷筛子试验中{点数为必然事件。为不可能事件。{点数4）复合事件：若干个基本事件组合而成的事件。四、事件间的关系及事件的运算事件是集合，可用集合论表述事件间的关系和运算下面给出这些关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义给出它们在概率论中的含义。1）若事件A发生必导致事件B发生，事件B包含了A。即特别且A=B.A与B相等，总是同时发生或同时不发生1.事件间的关系2）即事件A与B至少有一个发生时或和事件发生类似，中至少有一个发生-----n个事件的和事件,即-----可列个事件的和事件类似，由“事件”同时发生所构成的事件，称为的积，记为3）当且仅当事件A与B同时发生或事件AB才发生，积事件记且4）A与B的差事件即当且仅当A发生且B不发生时，发生且同时5）事件A与事件B不能同时发生互不相容(互斥)事件思考：互斥事件能否同时不发生？如：基本事件是两两互不相容的(互斥)。6）A与B为对立事件(互逆)且即：事件A、B

必有且仅有一个发生。（二选一）记为可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。2.事件运算规律1.交换律2.结合律3.分配律4.德摩根律即A、B中不是至少有一个发生，就是两个都不发生。A、B不是两个同时都发生，就是两个至少有一个不发生。例1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全不发生(6)A,B与C至少有两个发生或例2从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示

第k次取到次品（k=1,2,3),试用表示下列事件。1、三次全取到次品。2、只有第一次取到次品3、三次中至少有一次取到次品4、三次中恰有两次取到次品5、三次中至多有一次取到次品或

第一章一、频率第2节

频率与概率二、概率的公理化定义设随机试验，在相同条件下，发生了称为事件A发生的频率，记作一.频率的定义的样本空间为次重复独立试验，要在这进行次试验中事件次，则比值即1）、频率有随机波动性，即对于同样的n,所得的不尽相同。2）、试验的次数n较小时，频率随机波动的幅度较大，但随着n增大，呈现出稳定性。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005常数P＝0.5(统计规律性)揭示了事件发生的可能性频率的基本性质：频率稳定值概率事件发生的频繁程度事件在一次试验中发生的可能性大小的数频率的性质概率的公理化定义进而引出表示二、概率的公理化定义设随机试验

定义3法则对于E中的每一个事件A赋予一个实数p,记为P(A).称为事件A的概率.1.非负性3、可列可加性的样本空间为，按照某种其满足三个公理：2、规范性（归一性）根据定义可推得概率的重要性质概率的性质性质1、不可能事件的概率为0。性质2（有限可加性）、性质3、则有可推广到多个事件的情形:如三个事件性质5（加法公式）对于任意的事件都有性质4（逆事件的概率）已知求例1解例2.已知证明:求ABC中至少有一个发生解:例3.已知

第一章二、排列与组合一、等可能概型第3节等可能概型三、几何概率1)样本空间S中样本点的总数有限2)每个样本点出现的可能性相同

计算公式由于每个基本事件是互不相容的事件A中含有k

个基本事件故有A中样本点的个数S中样本点的个数

定义：设随机试验E满足如下两个条件则称E为等可能概型，也称为古典概型。古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型.箱中摸球分房问题随机取数分组分配例1.一部五卷本的手册按任意次序放到书架上，问按顺序放的概率是多少？解：则样本空间包含的样本点数为设事件A=“按顺序排放”例2.

在1到100的整数中任取一数,求1)它即能被2又能被5整除的概率;2)它能被2或者能被5整除的概率;解:

设A=“能被2整除”B=“能被5整除”例3.总经理的5位秘书中有2位精通英语。今遇到其中的3位，求下列事件的概率。1、A“其中恰有一位精通英语”2、B“其中恰有两位精通英语”3、D“其中有人精通英语”解在5位秘书中任取3位的可能取法数为1、3人中恰有一位精通英语是指其中1人精通英语、其余2位不精通英语，由乘法原理共有2、是指其中2位精通英语，同时另一位不精通英语。3、其中有人精通英语,是指至少有一人精通英语，其为三人都不精通英语的逆事件。例4.一口袋中装有10只球,其中6只蓝球,4只红球现从袋中取球两次,放回和无放回两种方式取球,就以上两种情况求:1)取到的两只都是蓝球的概率;2)取到两只球颜色相同的概率3)取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率解:

设A=“两只球都是蓝球”B=“两只球都是红球”C=“取到的两只球中至少有一只是蓝球”a)有放回的抽样每次随机的取一只,分别按有2)3)b)无放回的抽样1)2)3)设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件产品中抽取n件，取法共有不放回抽样1）件，问其中恰有k(k

D)件次品的概率是多少?于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有（产品检验中常用的公式）例52）有放回抽样将每一排列看作基本事件，总数为而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法

于是所求的概率为：此式即为二项分布的概率公式。从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为个，共有成立，则称随机变量与是相互独立的。若二维随机变量，

随机变量的独立性一、定义均有对任意的实数即2)对于连续型的随机变量在平面上除去“面积”为零的集合之外处处成立。几乎处处成立1)对于离散型随机变量例1

已知随机变量的分布律如下表，问是否相互独立？解由已知X与Y的联合分布率和边缘分布律为由于因此相互独立。例2

已知随机变量的分布律如下表，问是否相互独立？解的联合分布律和边缘分布律为因此不相互独立。解例3例4例5例6（正态随机变量的独立性）§4两个随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布（1）求分布律例1

的分布律为解的可能取值为的分布律为二、连续型随机变量和的分布定理

设(X,Y)概率密度为f(x,y),则随机变量Z=X+Y的概率密度为例1例3定理特别当相互独立且具有相同

分布函数时，设相互独立，其分布函数为则的分布函数分别为：例2

设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值;(2)两个边缘密度；解

(1)c=1xy0y=x(2)xy0y=xxy0y=xX+y=1xz0Z=2x综上所述，可得的密度函数为xz0Z=2x连续型随机变量商的分布三．商的分布补充结论：本节的解题步骤三．其它的分布返回主目录练习五、随机变量函数的分布一、随机变量二、离散型随机变量三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量

随机变量及其分布1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份徐州的最高温度；每天从徐州下火车的人数；昆虫的产卵数；也就是说，把试验结果数值化.2、在有些试验中，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.试验结果看来与数值无关，§1随机变量例如生男孩X=1生女孩X=0种子发芽X=1种子不发芽X=0事件

A

出现X=1事件

A

不出现X=0X具有两个特点1、它是一个变量——其随着试验结果的不同而取不同的值。2、它具有随机性——因试验结果的出现是随机的。可见：随机变量是建立在随机试验的基础上的一个概念，引入后，事件可用随机变量来表示。

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母等随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示X为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合都是随机事件．这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)R

这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数定义设是E

的样本空间，若对于每一个有一个实数和它对应为随机变量。则称一样吗？为了区别不同的随机变量，也可用Y、Z来表示。引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面地研究随机试验的全部结果的概率分布情况，及其他的特征。所以要完全刻化随机变量必须知道下列两方面的问题。1、随机变量能取什么样的值。（取值范围）2、随机变量以多大的概率取这些值。（概率分布）3、奇异型（混合型）随机变量三、随机变量的分类：1、离散型随机变量2、连续性随机变量按X的取值情况，X所有可能值（有限、无限）是可以一、一列举的。X所有可能值是不可一、一列举的。内的一个区间。如一批灯泡中，任取一只测其寿命X。若事件寿命小于5小时，可表示为可以将其分为三类：（主要研究）

x1,x2,

…,§2.2离散型随机变量及其分布律这种随机变量称为离散型随机变量定义设X是一个随机变量，如果它可能取的值是有限个或可列无限多个定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称为X的分布律或概率分布。列表法一、离散型随机变量分布律的定义2.分布律的性质（非负性）（归一性）给定了我们就能很好的描述X.即已知X取什么值，以及以多大的概率取这些值。

从盒中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2且例1设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。(一)(0-1)分布（二点分布）随机变量X只取0与1两个值,它的分布律是1-ppkPK012.3常用的离散型随机变量分布律二点分布非常有用，如检查产品质量是否合格、电路“通、断”等。

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

新生儿：“是男孩”，“是女孩”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.设生男孩的概率为p,生女孩的概率为女男X=0X=1令X表示随机抽查出生的1个婴儿中“男孩”的个数.则例2将一枚均匀硬币抛掷1次，则X的分布律是：反面正面X=0X=1“正面”的次数令X表示1次中出现例3例4100件相同的产品中有4件次品和96件正品，现从中任取一件，解求取得正品数X的分布律。伯努里试验：即在试验E的样本空间S只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。且每次试验中例如：试验“成功”、“失败”。种子“发芽”、“不发芽”生“男孩”、“女孩”考试“及格”、“不及格”产品“合格”、“不合格”买彩票“中奖”、“不中奖”伯努里试验。二项分布(二)四.伯努里试验：设在一次试验中事件A发生的概率为则在n重伯努利试验中事件A恰好发生次的概率为证:

设事件

A

在n次试验中发生了X

次=“在第次试验中事件发生”设伯努里定理设在试验E中事件A发生的概率为p，现将E重复独立的进行n次，称这n次试验为n重伯努里试验在

n重贝努利试验中，事件A

正好出现

k

次的概率有一个一般的求法。由于n

次试验是相互独立的，事件A发生的次数为X,则X

的取值为而就表示一个事件，在

n重贝努利试验中，事件A

正好出现

k

次的概率有n重Bernoulli试验的例子掷n次硬币，可看作是一n重Bernoulli试验．掷n颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷n颗骰子”也可以看作是一n重Bernoulli试验．对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验．二项分布如果随机变量X的分布律为显然，当n=1时例5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．所以

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…试求其命中次数不少于2的概率。解设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}例6泊松定理且

n很大，p很小，记

=

np，则设随机变量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),Poisson定理的应用由Poisson定理，可知上题用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}近似地有＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．当n很大，p很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数

=np

的泊松分布二项分布就可近似看成是Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．如，可证，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．

设某国每对夫妇的子女数X服从参数为

的泊解:由题意,求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.例74）几何分布若随机变量X的分布律为几何分布的概率背景在Bernoulli试验中，试验进行到A首次出现为止．即例

8对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：

X：所需射击次数．试求随机变量X的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率．解：由独立性，得X的分布律为：5）超几何分布如果随机变量X的分布律为超几何分布的概率背景一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M