圆的方程讲义

的方程知识梳理：、圆的标准方程1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．.圆心为缶，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：(x—a)2+(y—b)2=r2,称作圆的标准方程.特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2+y2=。..点P(x0,y0)与圆(x—a)2+(y—b，=r2的位置关系.P在圆外Q(x0—a)2+(y0—b)2>r2,P在圆上q(x0—a)2+(y0—b)2=r2,P在圆内o(x0—a)2+(y0—b)2<r2.二、圆的一般方程(，玲(,E\D2+E2—4F.圆的一般万程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配万得"+2+［丫+万^= 4 -,、一一/DE\,一1 ~~- ⑴当D2+E2—4F〉。时，方程表示以1—万，一］)为圆心，WD2+E2—4F为半径的圆;,、， ।一人/D E)(2)当D2+E2—4F=0时，方程表示一个点［—I，一,)⑶当D2+E2—4F<0时，方程没有实数解，它不表示任何图形..二元二次方程42+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是：八=Cw0,B=0,D2+E2—4F>0.点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0)的位置关系是:P在圆内='一二+fJ'+E''' ",P在圆上Q 一二+必 -F-I’,P在圆外Q■ +。：.+「」一」【4．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;⑵设点：写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)};⑶列式：用坐标(x,y)表示条件p(M)，列出方程F(x,y)=0；⑷化简：化方程F(x,y)=0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．典型例题：类型一圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2+y2=2； (2)(x—3)2+y2=4；(3)x2+(y—1)2=9； (4)(x+1)2+(y+2)2=8.练习1：已知圆的方程为(x—a)2+(y—b)2=r(r>0),试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上； (2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切.练习2：已知圆C的方程为(x—5)+(y—6)=10，试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上，圆内,还是在圆外？例2：过两点P(2,2)、Q(4,2),且圆心在直线x—y=0上的圆的标准方程是()A．(x—3)2＋(y—3)2=2 B．(x＋3)2＋(y＋3)2=2C.(x—3)2+(y—3)2=\；'2 D.(x+3)2+(y+3)2=\：5练习1：求经过点A(10,5)、B(—4,7),半径为10的圆的方程.练习2：求满足下列条件的方程

(1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C(3,4)上，半径半径是、/5；(3)圆心在直线5x—3y=8上，又圆与坐标轴相切练习3练习3：求以42,2)、B(5,3)、C(3,－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．类型二圆的一般方程例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2+m—1)X2+(m2—m+2)y2+m+2=0表示一个圆?练习1：已知方程X2+y2+2mx—2y+m2+5m=0表示圆，求:(1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径.练习2：x2+y2—x+y+R=0表示一个圆，则R的取值范围是( )(-8,2〕(-8,2〕(—8,2)C．D．求^ABC的外接圆的一般方程.例4：已知4庆83勺三个顶点为A(1,4)、B(-2,求^ABC的外接圆的一般方程.练习1：求过点C(—1,1)和D(1,3)且圆心在直线y=x上的圆的一般方程.练习2：AABC的三个顶点坐标分别为A(—1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圆的方程.例5：等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．练习2：已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A.x2+y2=32 b.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 d,x2+(y-1)2=16小练习：1.已知圆的方程是(x-2)2+(y—3)2=4,则点?(3,2)满足(A.是圆心 B.在圆上

C.在圆内 D.在圆外2.圆(%C.在圆内 D.在圆外2.圆(%+1)2+。―2)2=4的圆心坐标和半径分别为()A.(－1,2)，2 B.(1，－2)，2(—1,2),4(1,—2),43.已知4(3,—2),B(—5,4),则以AB为直径的圆的方程是(A.(%—1)2+(y+1)2=25B.(%+1)2+(y—1)2=25C.(%—1)2+(y+1)2=100D.(%+1)2+(y—1)2=1004.圆％2+y2—2%+y+4=0的圆心坐标和半径分别是( )A.(-1,2)；11/(1,—2)；甘B.(1,-1)；11遍(—1,2)；甘TOC\o"1-5"\h\z.方程％2+y2+a%+2ay+2a2+a—1=0表示圆，则a的范围是( )—2 2A.a<—2或a>3 B.—3Va<2C.—2<a<0D.C.—2<a<0.圆%2+y2—2%+6y+8=0的周长等于( )A.\''2n B.2nC.2<2n D.4n.若点P(—1,43)在圆%2+y2=m2上，则实数m=..点P(1,—2)和圆C：%2+y2+m2%+y+m2=0的位置关系是 .求经过点25,1),圆心为点C(8,—3)的圆的标准方程.课后练习：.(21 1—12] .、一.一一.点p172-,干J与圆%2+y2=1的位置关系是()1+t21+t2A.在圆内 B.在圆外C.在圆上 D.与t有关.圆(%+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程是()A.(%—2)2+y2=5B.%2+(y—2)2=5C.(%+2)2+(y+2)2=5D.%2+(y+2)2=5.方程2%2+2y2—4%+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在.已知点P是圆C：%2+y2+4%+ay—5=0上任意一点，P点关于直线2%+y—1=0的对称点在圆C上，则实数a等于()A.10 B.—10C.20 D.—20.过点4(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A.(%—1)2+(y—1)2=1或(%—5)2+(y—5)2=25B.(%—1)2+(y—3)2=2C.(%—5)2+(y—5)2=25D.(%—1)2+(y—1)2=1.圆(%+3)2+(y—1)2=25上的点到原点的最大距离是()A.5—\丽 B.5+\伺TOC\o"1-5"\h\zC.<10 D. 10.一束光线从点4(—1,1)出发经%轴反射到圆C：%2+y2—4%—6