山西省部分学校2023-2024学年高三年级上册12月联考数学试题

高三数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向

量、复数、数列、立体几何、直线与圆、圆锥曲线.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知复数z=i(a+3i)(aeR)的模不大于5,则。的取值范围是()

A.(-4,4)B.[T4]C.(-2A/3,2A/3)D.[—26,2G]

2.若集合4={尤|x=y,y>0},B={x|九=一，丁>0},则Au6=()

A.1x|x2=y,y..o}B.{%|x=/〉o}

C.{x|x=|yl,y>0}D.{%|x2=/,j>0)

3.“a=481”是是质数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若平面。，〃截球。所得截面圆的面积分别为2兀,3兀，且球心。到平面a的距离为3,则球心。到平面夕

的距离为()

A.272B.2C.2GD.4

5.向量AB=(2,1)在向量AC=[o,g)上的投影向量为％4。，则|AB+XAC，()

A.2A/3B.2V2C.8D.12

6.若函数/(x)=sin[0x+g)-g(0〉O)在0彳)上恰有10个零点，则()

A.0有最大值,且最大值为58

B.0有最小值,且最小值为52

C.。有最大值,且最大值为60

D.。有最小值,且最小值为58

7.如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-4与G中，尸为棱CG的中点，则直线A耳与直线的所成的角为

（）

A.30B.45C.60D.90

8.已知正数a,A,c满足a+log2a=b+3"=c+J=5,现有下列4个结论：①c<Z?<a；②c〈a〈b；③

b<a<c；④a<Z?<c.其中，所有可能成立的结论的序号为（）

A.③B.①④C.②④D.①③

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/:x+y=0与圆“：必+⑶―2）2=7交于A3两点，则（）

A.直线/的倾斜角为45B.|AB|=4

C.直线/的倾斜角为135D.|AB|=2V5

10.已知函数/（%）=^-3X2+1的图象在点（“2,〃“2））处的切线为/",,则（）

A./m的斜率的最小值为-2B.。的斜率的最小值为-3

C.4的方程为y=lD./_i的方程为y=9x+6

11.如图，在正方体ABC。—中，均为棱的中点，则（）

A.平面AMN//平面BDFE

B.梯形应）££内存在一点K,使得平面AAW

C.过2可作一个平面，使得用,N到这个平面的距离相等

D.梯形BDFE的面积是，AMN面积的2拒倍

12.已知抛物线£:/=2/（0>0）的焦点为/,过点厂的直线/与抛物线E交于A8两点（A在第一象

限），0为坐标原点，若|AE|=2忸司=6,则（）

A.p=4

B.直线/的斜率是±2&

C.线段的中点到V轴的距离是-

2

D.。钻的面积是6夜

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7—V

13.函数/（x）=ln上」是.（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数

14.己知耳，工是椭圆C的两个焦点，若。上存在一点P满足|尸匐=15\PF2\,则C的离心率的取值范围是

15在等比数列｛a“+i-a/中，6=1,g=°，％=2,贝1］。“=.

16.若A,3是平面内不同的两定点，动点P满足网=上/>0且左71）,则点尸的轨迹是一个圆，这个轨

迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知尸是圆G：/+y2=4上

的动点，点C（4,0）,D（4,9）,则21pq—|PC|的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在等差数列｛%｝中,%=13,%=53.

（1）求｛q｝的通项公式；

⑵求数列｛2a〃+（-l）"｝的前“项和

18.（12分）

如图，在四棱锥E—A3CD中，底面A5CD为梯形，BE±ABCD,BC//AD,ABLBC,

AB=1,BE=AD=3.

D

(1)若四棱锥E—A3CD的体积为2,求的长；

(2)在(1)的条件下，求直线AC与平面CDE所成角的正弦值.

19.(12分)

如图，在四边形ABCD中，AB=25BC=2,CD=M,AD=\+币,sin/BAC=（~

(1)证明：ACLBC.

3兀

(2)证明：ZABC+ZADC=—.

4

20.(12分)

丫2V2(Jl3A

己知A(—2,0)是椭圆M：t+方=15〉6〉0)的左顶点，且M经过点［弓-，幸.

(1)求A/的方程；

(2)若直线/:丁=左(％—1)与〃交于人&,乂),3(程％)两点，且'=求弦A3的长.

%元2

21.(12分)

已知函数=1-加一%-2.

(1)当。=0时，求/(%)的单调区间与极值;

1、/(x)+/(x)/(x)-fM

(2)若％―,证明：当%,为€r°，+8)，且石〉々时，''"2'“恒成立.

62%・马

22.（12分）

已知过点（9,J记）的双曲线c：£—《=i（a〉o力〉0）的渐近线方程为＞=±*％.

（1）求c的方程；

（2）已知A3是C的实轴端点，过点（3,0）的直线/与C交于M,N（异于A,3）两点，直线"A与NB交

于点尸，证明：点尸在一条定直线上.

高三数学试题参考答案

1B因为z=—3+ai,所以目=如+a2,,5,解得ae[-4,4].

2.DA<JB={X\X=±J,J>O)=|X|%2=j2,j>Oj.

3.D因为481=13x37,所以481不是质数，故"a=481”是“a是质数”的既不充分也不必要条件.

4.A平面名尸截球。所得截面圆的半径分别为大马，则叫2=2兀,兀4=3兀，则1=2/=3.设球。的半

径为R，球心。到平面夕的距离为d,则1+32=4+/=炉，所以d=2也.

1

AB-ACAC彳

5.B因为向量A5在向量AC上的投影向量为1~R-1~AC=2AC,所以

Ml|AC|1

|AB+2Ac|=/2+(1+1)2=20.

IT、7TTTTT7T1(jr\1

6.C当xe0,小时，®x+-e-,-o+-,令/(x)=0,得sin|ox+/=7，要使在

_o7o|_oo0716/2

上恰有10个零点，则需满足2+8兀〈三0+4,，工+10兀，解得tye(52,60].

_0J6666

7.D设E,尸分别为棱A3,台耳的中点，连接所,bG,ECi，易得EF〃AB「FCI〃BP,所以二所。

(或其补角)为直线A片与直线的所成的角.设正三棱柱A3C-4用£的棱长为2a,则

2

EF=42a.FCi=45a,EQ=^7a,EF+FCf=ECf,所以跖，尸G，/笈FC】=90.

8.D由a+log2。=b+3”—cH———5,得log2a—5—Q,3"—5—b'———5—c,

cc

在同一直角坐标系中，作出函数丁=1082%,丁=3%(%>0),、=!(%>0),丁=5-%的大致图象，如图所示,

x

由图可知，c〈b〈a或b〈”c.

y=3*

r=5-x

/\y=logj（r

\\A

9.CD因为直线/的斜率为-1,所以直线/的倾斜角为135.因为圆心M到直线x+y=O的

距离为板？=J5,所以|AB|=2尸1=2追.

10.BCD因为/'（力=3/—6x=3（x—I）?—3...—3,所以）的斜率的最小值为-3.因为

/'（0）=0,/（0）=1,所以/0的方程为y=l.因为/'（—1）=9,/（—1）=—3,所以3的方程为

y+3=9（x+l）,即y=9x+6.

11.ABC在正方体ABC。-4与CQ中，E,£M,N均为棱的中点，

可证跖〃跖v,AM//DF,因为AMcMN=M,DFcEF=F,

所以平面AAW〃平面区才E,A正确.连接AC,AG，

设ACcBD=P，AGcEP=O，AGcMN=G,连接OP,过点人作AG的垂线，交OP于K,交

cq于H,因为4"在上底面的射影为AG，易证4G，.，则又AGCMN=G,所

以4"，平面AAW，所以AK，平面AAW,B正确.连接gN,取4N的中点W,连接W。，所以过

直线WA的平面一定满足用,N到这个平面的距离相等，C正确.因为梯形5DEE与:.AMN的高分别为

EF+BDMN+2MN

OP.AG,且OP=AG,所以梯形5。/方的面积与,AVN面积的比值为---------=------------=3,

MNMN

D错误.

12.ACD由题意可得直线/的斜率不为0,则可设直线/：尤=冲+段,4（4％）,3（%2，%）联立

y2=2px,

p整理得—2?〃y—p2=o,则为+%=2p〃z,%%=一。2.因为|AF|=2忸同，所以

x=my+,

AF=2FB-所以为=-2%，所以一2y2+%=2。根，所以为=-2。m，则%%=-2代=一",即

-2x（-2ptn）2--p2>解得苏=_.因为|AF|=2忸同=6,所以

8

\AB\=\/m+l-\yl-y2\=2p^m+l^=^p=9,解得p=4,则A正确.因为m？=g,所以加=±-^，

则直线/的斜率是±2近.因为点4在第一象限，所以直线/的斜率大于0,所以直线/的斜率是2枝，则8

错误.设线段A3的中点为以（％，％），则%=五岁=g,即线段AB的中点到V轴的距离是：，则C正

确.因为p=4,机2=*,所以Q司=2,|%_%|=-4%%=2p-y/m2+1=6^/2,贝!JOAB的面

积5=J。耳%|=6应，故。正确.

7।丫7丫7v*

13.奇因为/(—x)=ln——-=-ln——-=-/(x),xe(-7,7),所以7(x)=ln----是奇函数.

7—x7+x7+x

14.因为|尸国=15|尸闾，所以2。=|尸制+|?用=16|?周，所以旧q=2e[a—c,a+c],则

8

C7

又0<evl,所以e的取值范围是

a8

15（-2）：+2设等比数列｛4+J—%｝的公比为q,

2_

因为“2=-1,。3一4=2,所以q=1=—2,所以=一(一2)1,

-1

则当.2时，(1—q=—%+%—。2++—。〃一1

rl1-(-2)3

„(―2)“T+2巾_|必+口(_2)«-1+2,(—2)1+2

则Na“=-.又％—］也?两足a“=-，C所CI>以a”=-

三」，故

16.6V10设尸(x,y),4(1,0),则2

PCI20-8%2

2\PD\-\PC\=2（|P£>|-|PA|）„2|A£>|=6710,当且仅当A,D,P三点共线，且A在0P之间时取得最大

值.

q+2d=13,

17.解:（1）设｛4｝的公差为d,贝卜

4+12d=53,

%—■5,

解得

d=4,

所以=4〃+l.

（2）（方法一）8〃=2（〃1+%++［〃）+―［二（_］）一

_c(5+4«+l)nl+(-l)"+1

=2x------------------------------

22

/2乙1+(7严

=4n+6n--------------.

2

OO

(方法二)当“为偶数时，S„=2(1+2+-+an)

(5+4〃+1)〃

=2x-----------=4/0+6〃；

2

当“为奇数时，Sn=2(al+a2+--+a„)-l

=4n2+6n—l-

_4〃2+6九-1,“为奇数

‘示'"=14/+6〃,〃为偶数.

18.解：（1）依题意可得梯形ABCD的面积S="士@XAB=T3,

22

因为BE,底面A3CD,所以四棱锥E—A3CD的体积V=』3ExS=/±^=2,

32

解得3C=L

（2）以6为坐标原点，5E的方向为工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

B

则E(3,0,0),C(O,O,1),0(0,1,3),A(0,l,0)

CE=(3,0,-1),CD=(0,1,2).

设平面CDE的法向量为n=(%,y,z),

［3x-z=0,

则”•CE=〃-O)=0，即<cn

y+2z=0,

令x=l,得〃=(1,-6,3).

ACn9国

因为AC=(0,—1,1),所以cos〈AC,n)=-=尸产=.

'7\AC\\n\V2xV4646

故直线AC与平面CDE所成角的正弦值为2叵.

46

19.证明：(1)在，ABC中，由正弦定理得---------=-----------

sin/ACBsin^BAC

2亚2

所以sin/ACB=7F，解得sin/ACB=l,

T

TT

所以NACB=—,则

2

(2)由(1)知47=，4笈—叱=小

AD2+CD2-AC28+2A/7+10-16回

在ACD中'由余弦定理得c°s/ADC=2AD.CD=2++近卜加lo-,

esin/ADC。

则tan/ADC=-------------=3.

cos/ADC

4

在iABC中，tan/ABC=—=2.

2

2+3

所以tan(/ABC+ZADC)=［？\=一］，

因为12口/4£)。=3>1/311/45。=2>1,所以/ADC,/ABCe

所以ZABC+ZADC£(兀,2兀),

3兀

故/A3C+/AOC=——.

4

—a—-2,

27

16

20.解：(1)依题意可得<r官

-

解得a=2,b?=3,

22

所以M的方程为土+乙=1.

43

[22

土+&=1

⑵联立《43，消去V得(3+4左2*—842工+4(/一3)=0,

则8k24俨一3)

12

3+4左2'123+4左2

因为y=k(x—1)经过定点(1,0),且点(1,0)在”的内部，所以A>0恒成立.

2

11x+x98k1

由一+一=—X——X==一,----------r=-I

%1X2\24(父-3)

解得左2=1.

g,88

所以％!+x2=—,XxX2=-—,

所以|AB|=J]+左2J(X]+工2『一4工科2

21.(1)解：当0=0时，/'(x)=e*-l.

当x>0时，/'(x)>0；当尤<0时，/'(x)<0.

所以的单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+。).

所以"%)在尤=0处取得极小值，且极小值为-l"(x)无极大值.

(2)证明：(x)=ex-3ax2-10^#gi/ff(x)=eY-6ax,/ff(x)g15(f"(%)=eT-6a.

当x..0,且“‘时，/m(x)