高三数学一轮复习教案 不等式

高三数学一轮复习教案一一不等式

一、本章知识结构:

较

法

比»

7

合

去

综

析

法

分

缩

法

放

证

法

反

元

去

换函数的定义域、

数

法

函值域与单调性

数

去

导

不

取值范围问题

不一元一次不等式(组)等

式最值问题

等

•元二次不等式(组)的

方程根的分布

整式高次不等式(组)应

式有理不等式数列不等式、函

用

不分式高次不等式(组)

等数不等式的证明

式理不等式实际应用问题

的

解指数不等式(组)

法

对数不等式(组)

三角不等式(组)

线

性

规

划

二、重点知识回顾

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

(1)对称性：a>bu>b<a；

(2)传递性：若a>b,b>c,则a>c；

(3)可加性：a>bna+c>b+c；

(4)可乘性：a>b,当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bco

不等式运算性质：

(1)同向相加：若a>b,c>d,则a+c>b+d；

(2)异向相减：a>h,c<da—c>b-d.

(3)正数同向相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。

(4)乘方法则：若a>b>0,n^N+,则an>bn；

(5)开方法则：若a>b>0,neN+,则也0>屮仿；

(6)倒数法则：若ab>0,a>b,则丄<丄。

ab

2、基本不等式(或均值不等式)；利用完全平方式的性质，可得az+b2》2ab(a,b《R),

该不等式可推广为az+b2221ab|；或变形为|ab|W”产；

当a,b20时，a+b22、毎或abW(土史■).

3、不等式的证明：

（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法;

（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都

要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一

元二次不等式与相应的函数，方程的联系

①求一般的一元二次不等式以2+fox+c>0或以2+8x+c<0（a>0）的解集，要结合

ax2+bx+c=Q的根及二次函数y=on+bx+c图象确定解集.

②对于一元二次方程以2+笈+c=O（a〉O）,设厶=从-4収，它的解按照

A>0,A=0,△<0可分为三种情况.相应地，二次函数了=以2+桁+或。>0）的图象与工

轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式

ax2+〃x+c>0（。>0）的解集，列表如下：

2

A=&一*■lac△>04=()△<()

Jy

\//

J

（g））的图象AJ\\

\

I,o、■X

有两不等实根有两相等实根

无实根

(a>())的根,物且式|—2,/2且上|62

>()力加〈阳或

1xlx/——|

12aR

(eO)的解集%>%2

ax^bx-^c<()

00

<2-11'-J

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题

过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一

族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。

它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

az

（3）由目标函数z=ax+by变形为y=-,x+,,所以，求z的最值可看成是求直线y

hh

az

=—Lx+丁在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x,y的变化而变化）。

hh

（4）作平行线：将直线ax+by=O平移（即作ax+by=O的平行线），使直线与可行域有

交点，且观察在可行域中使:最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

b

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。

7、绝对值不等式

（1）IxI<a（a>0）的解集为：｛xI-a<x<a｝；

IxI>a（a>0）的解集为：｛xIx>a或*<-a｝。

（2）\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\

三、考点剖析

考点一：不等关系与不等式

【内容解读】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了

解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。

养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如

a>h>0,nwNna，，>b"中，注意后面大于0的条件，出题者往往就在这里出一些似是而

+

非的题目来迷惑考生.

【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题

或填空题，属容易题。

例1、（2008广东文）设公荘心若。一问〉0,则下列不等式中正确的是（）

A.b-a>0B.。3+加<0c.。+。>0D.a2-b^<0

解：由。一例>0知，例NT?,所以8+6（〉（）,故选C.

点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。

例2、（2007上海理科）已知〃为非零实数，且“<匕，则下列命题成立的是（）

,,,11ba

A、a2cb2B、aw<alnc、----<--D、—<—

ab2a2bab

解：取a=-3,b=2,由（A）（B）（D）都错，故（C）o

点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a,

b没有说明符号，注意不要错用性质。

考点二：一元二次不等式及其解法

【内容解读】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函

数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解

不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数

图象来解不等式.

（1）用图象法解一元二次不等式

教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程

的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解.

（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系

二次函数y=on+fec+c（a*0）是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的

解就是自变量为何值时，函数值y=0的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过

程中，何时函数值y>O（y2O）或〉<0（丫忘0）的情况.■—元二次方程or+c=0（〃*0）

的解对研究二次函数丫=以2+加+,5二0）的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根

4x,是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点.学习过程中，

0有露清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法.

【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则

会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一

般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。

例3、（2007湖南）不等式X2>x的解集是（）

A.（-（»,0）B.（0,1）C.（1,+8）D.（T»,0）U（1，+8）

解：原不等式可化为X2-X>0,即x（X-1）>0,所以x<0或x>1,选（D）.

点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可.

例4、（2007福建）“|x|<2”是“X2-X-6<0”的什么条件……（）

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

解：由|x|V2,得：-2VxV2,由X2-x-6<0得：-2<x<3,

-2Vx<2成立，则一2Vx<3一定成立，反之则不一定成立，所以，选（A）。

点评：本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式的解集来，再由

充分必要条件的判断方法可得。

例5、(2008江西文)不等式24+2.4<1的解集为.

解:原不等式变为23+2X-4K2T,由指数函数的增减性，得:

取+2x—4W—1n(x+3)(x—1)W0=x£[―3,1],所以填：[—3,1]。

点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查

的内容，应加强训练。

例6、已知集合A=｛vX2-5x+4W。｝,3=11x2-2ov+a+2W。｝,若5啞A,求实数

。的取值范围.

解：厶=3W0}={dl<0}.

工2—5x+4

设/(x)=x2-2ov+a+2,它的图象是一条开口向上的抛物线.

(1)若8=(|),满足条件，止匕时AvO,即4〃2-4(〃+2)<0,

解得-1<a<2；

(2)若Bw。，设抛物线与x轴交点的横坐标为x,x，

12

且xW尤，欲使BeA,应有｛x1WJVW4｝,

1212

/d)^0,

“4)2。，

结合二次函数的图象,得丨一丄4,

2

△20,

1-2。+。+220,

220,

42—8。+〃+解得2W°W竺.

即

1WaW4,7

4a2-4(a+2)2o,

综上可知a的取值范围是-吟

点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法,

注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。

考点三：简单的线性规划

【内容解读】了解二元一次不等式(组)表示的平面区域和线性规划的意义；了解线性

约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解

法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力.

生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.在线性规划的实际问题中，主要掌

握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务

量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、

物力资源最小.

【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为

主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考

查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。

x<0

例7、（2008安徽文）若A为不等式组，>20表示的平面区域，则当。从一2连续变

y-x<2

化到1时,动直线x+y=a扫过4中的那部分区域的面积为（）A.；

7

B.1C.-D.5

4

解：如图知区域的面积是AOAB去掉一个小直角三角形。

（阴影部分面积比1大，比S=：x2x2=2小，故选C,不需要算出来）

40AB2

点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经

常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。

2x+y<40,

x+2y<50,

例8、（2008广东理）若变量x,y满足，，则z=3x+2y的最大值是（）

x>0,

y>0,

A.90B.80C.70D.40

3Z

解:做出可行域如图所示.目标函数化为：y=——X+一,

22

令z=0,画y=-jx,及其平行线，如右图，当它经过两

直线的交点时，取得取大值。

2x+y=40x=10

解方程组《得<

x+2y=50'[y=20'

所以z=3x10+2x20=70,故答c.

max

点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式,再令z=0,画它的平行线，看

y轴上的截距的最值，就是最优解。

例9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的

广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/

分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万

元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，

最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为X分钟和>分钟，总收益为Z元，

x+yW300,

由题意得，500x+200yW90000,

x20,y20.

目标函数为z=3000x+2000y.

x+yW300,

二元一次不等式组等价于卜x+2yW900,

x20,y20.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.

如图：

作直线/：3000x+2000y=0,

即3x+2y=0.

平移直线/,从图中可知，当直线/过M点时，目标函数取得最大值.

x+y=300,

联立＜解得x=100,y=200.

5x+2y=900.

二点M的坐标为（100,200）.

.-.z=3000x+2000y=700000（元）

max

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最

大收益是70万元.

点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课

改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。

考点四：基本不等关系

【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解

用综合法、分析法、比较法证明不等式。

利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：

（1）当。，匕都为正数，且为定值时，有。+力22丿訪（定值），当且仅当a=b时，

等号成立，此时。+厶有最小值；

（2）当a，b都为正数，且a+人为定值时，有"W（定值），当且仅当。时，

等号成立，此时有最大值.

创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的

过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑

等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常

被设计为一个难点.

【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命

题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。

例10、(2007上海理)已知X,)，€11+,且》+4>=1,则》・>的最大值是.

解：xy=Jx.4)，<二11)2=厶，当且仅当x=4y=：时取等号.

442162

点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。

例11、(2008浙江文)己知。20,/?20,且。+。=2,则()

(A)ab<\^(B)ab2；(C)^2+b2>2(D)。2+匕2(3

解：由且Q+%=2,・\4=(a+b)2=〃2+从+2ab<2(。2+拉)，•

。2+核>2

O

点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

V2

例12、(2008江苏)已知x,y,zeR+,x-2y+3z=0,则二的最小值.

XZ

-一八x+3z

解：由x-2y+3z=0得y=——,

y2X2+9Z2+6XZ6XZ+6XZ〜

代入一得------------->—-——>=3,当且仅当x=3Z时取“=”.

xz4xz4xz

点评：本小题考查二元基本不等式的运用.题目有有三个未知数，通过已知代数式，对

所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。

考点五：绝对值不等式

【内容解读】掌握绝对值不等式丨xI<a,IxI>a(a>0)的解法，了解绝对值不等式

与其它内容的综合。

【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难

度不大。

例13、(2008湖南文)a\x-l\<2n是“xV3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

解：由小一1|<2得一1<x<3,在一1<x<3的数都有x<3,但当x<3时，不一定

有一1Vx<3,如x=-5,所以选(A).

点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验

证，充分性与必要性的成立。

例14、（2008四川文）不等式卜2-x|<2的解集为（）

（A）（-1,2）（B）（-1,1）（C）（-2,1）（D）（-2,2）

，f

II_X2—2>0X£R

解：V\x2-x\<2：.-2<X2-X<2Bp,

X2-X-2<0-1<X<2

/.xe（-l,2）故选A；

点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解

题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；

考点六：不等式的综合应用

【内容解读】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题,

如求最值，证明不等式等。

【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。

例15、（2008江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边

长分别为X,），（单位:米）的矩形，上部是斜边长为X的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积

为8平方米.

（I）求的关系式，并求x的取值范围；

（II）问x,），分别为多少时用料最省？

1X

解：（I）由题意得：x-y+-x--=8（x>0,y>0）,

8X

...y=一

X4

（II）设框架用料长度为/,

则/=2x+2y+g=（|+x/2）x+—>4^6+4^=8+472.

3]6

当且仅当（一+e》=一,》=8-4嫗），=2"满足0<》<4/

2x

答：当x=8-4j»米，y=2/米时，用料最少.

点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解

题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解

题方法。

例16、（2008江苏模拟）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设

备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为

2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.

（1）求该企业使用该设备X年的年平均污水处理费用y（万元）；

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水

处理设备？

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)

解：⑴)'=-------------------------------

x

100-八

即y=x+---+1.5(x>0)；

x

(2)由均值不等式得：

y=x+100+1.5>2i.r.12?+1.5=21.5(万元)

x\x

[00

当且仅当》=----即x=1()时取到等号.

X

答：该企业10年后需要重新更换新设备.

点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不

大。

考点七：不等式的证明

【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式

的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各

种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.比较法的一般步骤是：作差(商)

一变形一判断符号(值).

【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。

例17、已知a,b都是正数，并且axb,求证：as+bs>a2b3+a3b2

证明：(as+fas)-(a2b3+a3b2)=(as-a3b2)+(bs-a2b3)

=03(Q2-b2)-b3(Q2-b2)=(02-)(03-/73)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

Va,b都是正数,/.a+b,a2+ab+b2>0

又丁awb,/.(a-h)2>0A(a+b)(a-6)2(02+ab+b2)>0

即：as+£>5>a2b3+03b2

点评：作差相减法是证明不等式的常用方法之一，通过作差比较差的结果的符号是大于0

还是小于0,另外，作商也是经常使用的方法。

例18、已知。之一]，,且。+6=1,求证J2a+1+个2b+1«2嫗

证明：只需证：(2a+1)+(2b+1)+2J2a+1J2b+148

a+b=1/.即证：J2a+1+1<2

••・西不IV2F7T<(2"+l)；(21+l)=2成立

二原不等式成立.

点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。

例19、(2007湖北理科)已知m,n为正整数.

(I)用数学归纳法证明：当x>-l时，(l+x)m21+mx；

(1Y1(m

(II)对于n>6,已知1-<,求证|1-<,m=l,l,2...,n；

I〃+3丿2I〃+3丿(2丿

(DI)求出满足等式3n+4m+...+("+2)m=(n+3)”的所有正整数n.

解：(I)证：当x=O或m=l时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x>-l,且xWO时，m扌2,(l+x)m>l+mx.Q

(i)当m=2时，左边=l+2x+X2,右边=l+2x,因为xWO,所以X2>0,即左边〉右边，不等式①成立;

(ii)假设当m=k(k22)时，不等式①成立,即(1+x)Ql+kx,则当m=k+l时,因为x>-l,所以

l+x>0.又因为xWO,k22,所以kx2>0.

于是在不等式(i+x)k>l+kx两边同乘以1+x得

(1+x)k•(l+x)>(l+/cx)(l+x)=l+(/c+l)x+/cx2>l+(k+l)x,

所以(1+x)*+i>l+(k+l)x,即当m=k+l时,不等式①也成立.

综上所述，所证不等式成立.

当〃26,团《〃时，；(1――-)»>(1--