浙江杭州余杭区2023年八年级上学期开学数学试卷

浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题

目要求.

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.〃6+〃6=Q12B.〃6X々2=〃8c.+D,（^6）2=^8

2.（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.m（〃+人）=ma+mbB.x2+2x+l=x（x+2）+1

22

C.x+x=x（14X）D./-9=（x+3）（X-3）

X

3.（3分）要使分立邑有意义，则x的取值范围是（）

x-1

A.xWlB.x>lC.x<\D.xW-1

4.（3分）一组数据共60个，分为6组，第1至第4组的频数分别为6,8,9,11,第5组的频率为0.20,

则第6组的频数为（）

A.11B.13C.14D.15

5.（3分）已知：a+b=5,a-b=\,则a“后=（）

A.5B.4C.3D.2

6.3（分）如图，直线则Na为（）

A.150°B.140°C.130°D.120°

7.（3分）已知分式A=__,B=_J_.二一，其中工力±2,则A与8的关系是（）

X2-4X+2:2-x

A.A=BB.A=-BC.A>BD.A<B

8.（3分）把一副三角板按如图所示摆放,使尸£>〃BC,点E恰好落在CB的延长线上，则/BOE的大小为

）

C.25°D.30°

9.（3分）若一-2——的值为则一-1——的值为（

）

3x-+4x+746X2+8X-1

A.1B.-1C.--1D.1.

75

10.（3分）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正

方形，其阴影部分的面积为100;8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为81；

12个长方形纸片围成如图3所示的正方形,其阴影部分的面积为（）

183

C.49D.64

二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.（4分）用科学记数法表示0.000085=.

12.（4分）已知犬=亚+1,则代数式/-级+1的值为.

13.（4分）若分式方程a-一红=i有增根，则上=

x-11-x

14.（4分）（1）已知""=2,a"=3,贝1]〃3"广2"=.

（2）已知2X8*X16=223,贝|jx=.

15.（4分）如图，已知a〃b,Zl=50°,Z2=115°,则N3=

16.（4分）观察下列等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2-,若250=m,则

210l+2101+2102+...+220l=.（用含机的代数式表示）

三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）因式分解：

（1）ab-2b；

（2）/-9+）2-2xy.

18.（8分）先化简，再求值：

（1）（2«+1）2-（2。-3）（2a+3）,其中。=-3；

2

（2）（―Ji—-_J_其中x=2.

X2-9X-3x

19.（8分）“触发青春灵感，点亮科学生活”.某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”

竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如

图所示.

♦的伏j------、

60708090100

组别成绩力分频数

A组60«706

8组70«80a

C组80«9012

。组90^x<10014

请根据图表信息解答以下问题.

（1）表格中。=,一共抽取了个参赛学生的成绩；

（2）补全频数分布直方图；

（3）计算扇形统计图中“B”与“C”对应的圆心角度数；

（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分

比是多少？

20.（10分）如图，AC//EF,Zl+Z3=180°•

(1)判定与N4的大小关系，并说明理由；

(2)若AC平分/项B,于点E,N4=72°,求的度数.

21.(10分)已知关于x,y的方程组I、"'二(〃2,〃为实数).

2x-y=8-6n

(1)若机+4"=5,试探究方程组的解x,y之间的关系；

(2)若方程组的解满足2x+3y=0,求分式也吐尤的值.

m2-2nn

22.(12分)为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活动.

(1)甲队在A地植树，如果每人种4棵，还剩下66棵树苗；如果每人种5棵，则缺少30棵树苗.求

甲队志愿者的人数和A地需种植的树苗数.

(2)乙队在8地植树，原计划植树1200棵，由于另有新加入的志愿者共同参与植树，每日比原计划多

种工，结果提前3天完成任务.问原计划每天植树多少棵？

4

23.(12分)如图1是一个长为4”，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用

四块小长方形拼成如图2的正方形.

(1)由图2可以直接写出(a+b)2,(a-b)2,必之间的一个等量关系是；

(2)根据(1)中的结论，解决下列问题：3x+4y=10,xy=2,求3x-4y的值；

(3)两个正方形ABC。，AEFG如图3摆放，边长分别为x,y.若7+y2=58,BE=4,求图中阴影部分

面积和.

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题

目要求.

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.a^a6—a'2B.a6Xa2=a8C.ae-ra2—^D.（a6）2—（^

【分析】直接利用合并同类项法则以及幕的乘方运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别计算得出答案.

【解答】解:A、小+“6=2次故此选项错误;

B、a6Xa2=c^,故此选项正确；

C、a6+a2=j,故此选项错误；

D、（«6）2=,尸，故此选项错误；

故选:B.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及基的乘方运算、同底数塞的乘除运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

2.（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.m（a+b）=ma+mbB.x2+2x+1=x（x+2）+1

C.x,+x=X'（1）D.j?-9=（x+3）（x-3）

x

【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，可得答案.

【解答】A.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B.没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

C.没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

D.把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式

的变形是解题的关键.

3.（3分）要使分立工有意义，则x的取值范围是（）

x-1

A.xWlB.x>lC.x<\D.xW-1

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，x-1^0,

解得xri.

故选：A.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义=分母为零；

（2）分式有意义=分母不为零；

（3）分式值为零0分子为零且分母不为零.

4.（3分）一组数据共60个，分为6组，第1至第4组的频数分别为6,8,9,11,第5组的频率为0.20,

则第6组的频数为（）

A.11B.13C.14D.15

【分析】首先根据频数=总数X频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第六组的

频数.

【解答】解：根据题意，得

第五组频数是60X0.20=12,

故第六组的频数是60-6-8-9-11-12=14.

故选：C.

【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查.用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和，各

小组频率之和等于1：频率、频数的关系：频率=频数+数据总数.

5.（3分）已知：a+b—5,a-b—l,则M-廿=（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】把所求式子变形为（a+6）（a-b）,再整体代入即可.

【解答】解：'：a+b=5,a-b=\,

.'.a2-b2—（a+Z?）（a-b）=5X1=5,

故选：A.

【点评】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式.

6.（3分）如图，直线八〃/2,则Na为（）

a

A.150°B.140°C.130°D.120°

【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题.

【解答】解：

.••130°所对应的同旁内角为/1=为0°-130°=50°,

又与（70°+Z1）的角是对顶角，

AZa=70°+50°=120°.

故选：D.

【点评】本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等，是一道较为简单的题目.

7.（3分）已知分式A=—1-8=U-」一,其中xW±2,则A与B的关系是（)

X2-4x+22r

A.A=BB.A=-BC.A>BD.A<B

【分析】先将8通分后变为同分母分式相加，再观察A、B关系即可得答案.

【解答］解：5=_L」L=」—L

x+22-xx+2x-2

x-2_x+)

("2)(x-2)(x+2)G-2)

-4

(x+2)(x-2)

而A=4

(x+2)(x-2)

・"=-B,

故选：B.

【点评】本题考查分式的加减，解题的关键是将3通分变为同分母分式相加.

8.（3分）把一副三角板按如图所示摆放，使/点七恰好落在C8的延长线上，则NBOE的大小为

()

A.10°B.15°C.25°D.30°

【分析】依据平行线的性质，即可得到/FD8的度数，再根据/F£>E=45°,即可得到/8OE的度数.

【解答】解：BC,

AZFDB=ZABC=60°,

又,.•/「£>£=45°,

:.NBDE=60°-45°=15°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键.

9.（3分）若一/——的值为■!,则一——的值为（）

3x'+4x+746X2+8X-1

A.1B.-1C.-AD.JL

75

【分析】可设37+4x=y,根据一」——的值为工，可求y的值，再整体代入可求一」——的值.

3X2+4X+746X2+8X~1

【解答】解：设3/+4x=y,

•••————的值为工，

3X2+4X+74

.*=A,解得y=l,

y+74

•1=1=i.

6X2+8X-11X2-1

故选：A.

【点评】考查了分式的值，关键是整体思想的运用.

10.（3分）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正

方形，其阴影部分的面积为100；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为81：

12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（）

□

A.24B.32C.49D.64

【分析】由图1和图2阴影部分的面积，可求出小长方形的长和宽，进而解决问题.

【解答】解：因为图1中阴影部分的面积是100,

所以阴影正方形的边长为10.

同理图2中阴影正方形的边长为9.

设小长方形的长为x,宽为y,

则卜十吗解得卜力.

x~2y=9Iy=l

所以小长方形的长为11,宽为1.

又图3中阴影正方形的边长为：x-3y=ll-3=8,

所以图3中阴影正方形的面积为：82=64.

故选：D.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，能根据图1图2中阴影正方形的面积求出小长方形的长和

宽是解题的关键.

二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.（4分）用科学记数法表示0.000085=8.5X105.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX107与较大数的科学记数

法不同的是其所使用的是负整数指数基，指数〃由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决

定.

【解答】解：0.000085用科学记数法可以表示为8.5X105.

故答案为：8.5X107.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为4X10,其中lW|a|<10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.（4分）已知、=亚+1,则代数式/-2x+l的值为2.

【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题.

【解答】解：.."=&+1,

•*.x2-2x+l

=（X-1）2

=（a+1_1）2

=（扬2

=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.

13.（4分）若分式方程2-一"有增根，则％=-1.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求得x,由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的

值，据此得出关于k的方程求出k的值即可.

【解答】解：等式两边同乘（x-1）,得:2k+3=x-1,

解得：x—2k+4,

•••方程有增根，

Ax-1=0即2%+4=1,

­,3

・『•

故答案为：-3.

2

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把

增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

14.（4分）（1）已知""=2,/=3,则/h2"=_3.

-9—

（2）已知2X8*X16=223,则-=6.

【分析】（1）利用同底数幕的乘法、除法和幕的乘方运算计算；

（2）利用同底数基的乘法和基的乘方运算计算.

【解答】解：⑴an=3,

•••Cl3/w'2n

2n

(a*)3

(an)2

32

=&

9

故答案为：&；

9

(2)V2X8VX16=223,

.".2'X24X23X=223,

•21+4+3%__223

.\l+4+3x=23,

故答案为：6.

【点评】本题考查了同底数幕的乘法、除法和累的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幕的乘法、除法

和察的乘方运算法则.

15.(4分)如图，已知Zl=50°,Z2=U5°,则N3=65°

【分析】根据平行线的性质，可得N4的度数，再根据三角形内外角的关系可得N3的度数.

【解答】解：如图:

•:a"b,Zl=50°,

AZ4=Z1=5O°,

VZ2=115°,Z2=Z3+Z4,

AZ3=Z2-Z4=115°-50°=65°.

故答案为：65°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内外角关系.解题的关键是掌握平行线的性质，解题

时注意：两直线平行，同位角相等.

16.(4分)观察下列等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24-25-2-,若23)=6，贝I」

42

2101+2101+2102+...+22014m-2m.(用含m的代数式表示)

【分析】由题意可得213+2102+2103+…+2201=213(1+2+22+-+299+2100)=2101(1+2101-2)=2(250)

2[(250)2*2-1)],再将25°=/代入即可求解.

【解答】V25O=7H,

A21O1+21OI+21O2+...+22O1

=2101(1+2+22+-+2"+2100)

=21°1(1+2101-2)

=2(250)2[(250)2X2-1)]

=2nz2,(2w2-1)

=4m4-2/M2.

故答案为：4w4-2mL

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发

现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2"=2/1-2.

三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(6分)因式分解：

(1)ab-2b；

(2)?-9+『-2xy.

【分析】(1)利用提公因式法分解因式；

(2)利用完全平方公式和平方差公式分解因式.

【解答】解：⑴ab-2b=b(a-2)；

(2)/-9+y2-2xy

=(x-y)2-9

=(x-y+3)(x-y-3).

【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法.

18.(8分)先化简，再求值：

(1)(2a+l)2-(2a-3)(2a+3),其中a=-3；

2

(2)(-3-1).x+3,其中x=2.

X2-9X-3x

【分析】(1)先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案

即可；

(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可.

【解答】解：(1)(2o+l)2-(24-3)(2。+3)

=4/+4。+1-4/+9

=4(7+10,

当a=-2时，原式=4X(-3)+10=-6+10=4；

22

(2)(―?—

X2-9X-3x

_.x+3

(x+3)(x-3)x

=.-x.x+3

(x+3)(x-3)x

=--1_,

x-3

当x=2时，原式=-——=1.

2-3

【点评】本题考查了整式和分式的化简求值，能正确根据整式的运算法则和分式的运算法则进行计算是

解此题的关键.

19.(8分)“触发青春灵感，点亮科学生活”.某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”

竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如

图所示.

0^60~708090100

组别成绩X/分频数

A组60«706

8组70«80a

C组80«9012

。组90«10014

请根据图表信息解答以下问题.

（1）表格中4=8,一共抽取了个参赛学生的成绩；

（2）补全频数分布直方图；

（3）计算扇形统计图中“B”与“C”对应的圆心角度数；

（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分

比是多少？

【分析】（1）由频数分布直方图可得a的值，根据。组人数及其所占百分比可得总人数；

（2）根据频数分布表可补全图形；

（3）用360°分别乘以8、C组人数所占比例即可：

（4）用C、。组人数和除以被调查的总人数即可.

【解答】解：（1）由频数分布表知a=8,

本次抽查的学生人数为14・35%=40（人），

故答案为：8、40；

40

“C”对应的圆心角度数为360°X12=108°；

40

（4）所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是丝1生X100%=65%.

40

【点评】本题考查的是频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的

统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

20.（10分）如图，AC//EF,ZI+Z3=180°.

(1)判定与N4的大小关系，并说明理由；

(2)若AC平分/项B,EFLBE于点E,Z4=72°,求NBCQ的度数.

【分析】(1)根据性质可得Nl+N2=180°,已知Nl+N3=180°,所以N2=N3,BREF//CD,根据

平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得出答案；

(2)因为AC平分所以/2=NCAQ,根据三角形外角定理，Z4=Z3+ZCAD,可计算出N3

的度数，因为EELBE,EF//AC,根据平行线的性质可得/AC8=90°,即可得出答案.

【解答】证明：(1)ZMB=Z4.理由如下：

'JAC//EF,

；./1+/2=180°,

又；N1+N3=18O°,

.*.Z2=Z3,

：.AF//CD,

.♦./阳B=N4；

(2)平分NMB,

：.Z2=ZCAD,

又；/2=/3,

：.Z3^ZCAD,

又丫/4=N3+NC4O,

A72°=2Z3,

.".Z3=36°,

VEFlBE,EF//AC,

：.ZFEC=90o,NACB=90°,

AZBCD=ZACB-Z3=90°-36°=54°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定进行计算是解决本题的关

键.

21.（10分）已知关于x,y的方程组，x4V~m+l（如”为实数）.

I2x-y=8~6n

（1）若m+4〃=5,试探究方程组的解x,y之间的关系；

（2）若方程组的解满足2x+3y=0,求分式呼+m"的值.

m^-2nn

【分析】（1）求出方程组的解，即可得出X,y之间的关系；

（2）把方程组的解代入2x+3y=0,可得8/n+2〃=0,即4m+〃=0,可得〃=-4〃，再代入所求式子计算

即可.

【解答】解：⑴解方程组卜3=输+1,得!x=nr2n+:，

12x-y=8-6nIy=2m*2n-2

当777+4/2=5时,m=5-4小

则x=5-4〃-2/1+3=8-6n,y=2（5-4〃）+2n-2=8-6〃,

*.x=y.

（2）由2x+3y=0,可得2（次-2〃+3）+3（2m+2n-2）=0,

即8m+2n=0,

:.4m+〃=0,

可得n=-4加，

2\22

把〃=-4m代入分式得炯+m.=“领x（-领）+m=-15m=

m"-2nn（-4m）9m"

【点评】考查二元一次方程（组）的解法和应用，代入法是常用的方法.

22.（12分）为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活动.

（1）甲队在A地植树，如果每人种4棵，还剩下