拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题

一、单项选择题(每题2分)

1'已知*=但力6@6},下列集族中，()是X上的拓扑.

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,e}}

②T人仪,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}

③T={X,,{a},{a,b}}

④T={X,,{a},{b},{c},{d},{e}}

2、设X={a,b,c}>下列集族中，()是X上的拓扑.

①T={X,,{a},{a,b},{c}}②T={X,,{a},{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},{b},{a,c}}④T={X,,{a},{b},{c}}

3、已知X二{a,b,c,d},下列集族中，()是X上的拓扑.

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b,c},{a,b,d}}

③T={X,,{a},{b},{a,c,d}}④T={X,,{a},{b}}

4、设X={a,b,c}，下列集族中，()是X上的拓扑.

①T={X,,{b},{c},{a,b}}②T<X,,{a},{b},{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},{b},{a,c}}④T<X,,{a},{b},{c}}

5、已知X={a,b,c,d},下歹U集族中，()是X上的拓扑.

①T={X,,{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b},{a,c,d}}

③T={X,,{a},{b},{a,c,d}}④T={X,,{a},{c},{a,c}}

6、设X={a,b,c}＞下列集族中,()是X上的拓扑.

①T={X,,{a},{b},{b,c}}②T={X,,{a,b},{b,c}}

③T={X,,{a},{a,c}}④T={X,,{a},{b},{c}}

1

7、已知X={a,b,c,d}，拓扑T={X,,{a}},则{b}=()

①©②X③{b}④{b,c,d}

8、已知X={a,b,c,d}，拓扑T={X,,{a}},则{b,c,d}=()

①©②X③{b}@{b,c,d}

9'已知X={a,b}，拓扑T二{X,,{a}},则面=()

①©②X③{a}@{b}

10、已知X二{a,b}，拓扑T二{X,,{a}}则{b}=()

①©②X③{a}④{b}

11'已知X二{a,b,c,d}，拓扑T-{X,,{a}},则面=()

①©②X③{a,b}④{b,c,d}

12、已知X={a,b,c,d}>拓扑

T={X,,{a}}厕{c}=()

13、设X二{a,b,c,d}，拓扑

①嗨X③{a,c}④{b,c,d}

T二{X厂，a},b{c,d,,则X的既开又闭的非空真子集的个数为()

①1②2③3④4

14、设X={a,b,c}，拓扑T={X,,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为

()

①1②2③3④4

15、设X二{a,b,c}，拓扑T={X,,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为

()

①。②1③2④3

16、设X

={a,b}，拓扑T={X,,{b}}厕X的既开又闭的子集的个数为()

①0②1③2④3

2

17

设X二{a,b}，拓扑T={X,,{a},{b}}厕X的既开又闭的子集的个数为（

18、设X二{a,b,c}，拓扑T二{X,,{a},{b},{a,b},{b,c}}厕X的既开又闭的非空真子集

的个数为（）

①1②2③3@4

19、在实数空间中，有理数集Q的内部。是（）

①，②Q③R-Q④R

20、在实数空间中，有理数集Q的边界；：9）是（）

①，②Q③R-Q④R

21、在实数空间中，整数集Z的内部乙，是（）

①‘②z③R-Z④R

22、在实数空间中，整数集Z的边界?（Z）是（）

①‘②Z③R-Z④R

23、在实数空间中，区间[0,1）的边界是（）

①②[0,1]③。1}@（0,1）

24、在实数空间中，区间[2,3）的边界是（）

①②[2,3]③⑵3}@（2,3）

25、在实数空间中，区间[0,1）的内部是（）

①②[0,1]③。1}@（0.1）

26、设x是一个拓扑空间，A,B是X的子集，则下列关系中错误的是（）

①d（AB）=d（A）d（B）②A_"B=A_.B

③d（A-B）=d（A）-d（B）④A-A

27、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，则下列关系中正确的是（）

①d（AB）二d（A）d（B）②A-B二人-B

3

③d(AB)二d(A)-d(B)④A=A

28、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，则下列关系中正确的是（）

4

①d(AB)=A_.B②A_B=A_B

③d(A-B)=d(A)-d(B)(4)d(d(A))A一d(A)

29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是()

③d(A)=A④d(A)=X

①d(A)=②d(A)二X—A

30、已知X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集，则下列结论中不正确的是(

①若A，则d(A)=②若夫X)},则d(A)=X-A

③若A={XI,X2},则d(A)二X④若A=X,贝Ud(A)=X

31'已知X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集，则下列结论中正确的是(

①若人=则蛤)=①若A=(X)＞则d(A)二X

③若A={XI,X2},则d(A)=X-A④若人={禺必}，则d(A)=A

32、设X二{a,b,c,d}>令B二{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是

①{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}

②{X,,{c},{d},{c,d}}

③{X,,{c},{a,b,c}}

④{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}

33、设X是至少含有两个元素的集合，X,T={GX|pG}_{}是X的拓扑，则()是T的基.

①B珂p,x}|xX-{p}}②B二{{x}|xX)

③B珂p,x}|xX}④B二{{x}|xX-{p}}

34、设X二{a,b,c},则下列X的拓扑中()以$=凶,{a}}为子基

①{X,,{a},{a,c}}②{X,,{a}}

③{X,,{a},{b},{a,b}}@{X,}

35、离散空间的任一子集为()

①开集②闭集③即开又闭④非开非闭

5

36、平庸空间的任一非空真子集为（）

①开集②闭集③即开又闭④非开非闭

37、实数空间R中的任一单点集是（）

①开集②闭集③既开又闭④非开非闭

38、实数空间R的子集A={1,L±,……}>JA=（）

234

①©②R③AU{0}④A

39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）

①整数集②a,b③有理数集④无理数集

40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）

①整数集Z②有理数集

③无理数集④整数集Z的补集Z-

41、已知X二{1,2,3}上的拓扑T二{X,,{1}},则点1的邻域个数是（）

①1②2③3④4

42、已知X={a,b},则X上的所有可能的拓扑有（）

①1个②2个③3个④4个

43、已知X={a,b,c},则X上的含有4个元素的拓扑有（）个

①3②5③7④9

44、设（X,T）为拓扑空间，则下列叙述正确的为O

①XT,«-T②X

③当TT时，UU・T④当丁T时，「IU・T

UT'U-T'

45、在实数下限拓扑空间R中，区间［a,b）是（）

①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭

46、设X是一个拓扑空间，A,BX,且满足d（A）BA,则8是（）

①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭

47、设X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A二{1,2},则X的子空间A

的拓扑为（）

①T寸,{2},{1,2}}②T珂，X,{1},{2},{1,2}}

③T讯，A,{1},{2}}④T珂，X,⑴,{2}}

48、设X二{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A二{1,3},则X的子空间A

6

的拓扑为（）

7

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{，代⑴}

③T冢，X。},{3},{1,3}}④T={,X,{1}}

49、设X={1,2,®,丁=0乂{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={2,3},则X的子空间A

的拓扑为（）

①T={,{3},{2,3}}②T={,A,{2},{3}}

③T={,X,{2},{3},{2,3}}④T={,X,{3}}

50、设X={1,2,®,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={1}厕X的子空间A的

拓扑为O

①T={,{1}}②T={,A,{1,2}}

③T讹，X,{1},{3},{1,3}}④T珂，X,{1}}

51>设X={123,T=W,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓扑，A={2}厕X的子空间A的

拓扑为（）

①T={,{2},{1,2}}②T={,A}

③T={,X,{2}}④T={,X,{1,2}}

52、设X={123,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓扑，A={3}厕X的子空间A的

拓扑为（）

①T<,{2},{1,2}}②T<,{X},{1,3}}

③T={,X,{3}}④T={,{3}}

53、设R是实数空间，Z是整数集，贝UR的子空间Z的拓扑为（）

①T-{,Z}②T-P（Z）

③T=Z④T={Z}

54、设X以沫摄冰6是拓扑空间Xi,X2，川,X6的积空间・P是X到Xi的投射，则P

8

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{，代⑴}

是（）

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

55、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,lll,X6的积空间•B是X到X2的投射,则

9

P2是（

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

56、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,川，X6的积空间・P3是X到X3的投射，

则F3是（）

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

57、设X=XiX2川X6是拓扑空间X「X2,111,X6的积空间・P4是X到X4的投射，

则P4是（）

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

58、设X=XiX2川X6是拓扑空间X,X2,IH,X6的积空间・P5是X到X5的投射，

则F5是（）

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

59、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,||l,X6的积空间・P6是X到X6的投射，

则F6是（）

①单射②连续的单射

③满的连续闭映射④满的连续开映射

60、设Xi和X2是两个拓扑空间，XX2是它们的积空间,AXi,BX2，则有（

①AB=AB②AB二AB

③（ABy-AB④；：（AB）=-：（A）；:（B）

61'有理数集Q是实数空间R的一个（）

①不连通子集②连通子集

③开集④以上都不对

62、整数集Z是实数空间R的一个（）

①不连通子集②连通子集

③开集④以上都不对

63、无理数集是实数空间R的一个（）

10

①不连通子集②连通子集

③开集④以上都不对

11

设丫为拓扑空间X的连通子集，Z为X的子集，若丫ZY,则Z为()

64、

①不连通子集②连通子集③闭集④开集

设X,X2是平庸空间，则积空间XiX2是(

65

①离散空间②不一定是平庸空间

③平庸空间④不连通空间

设Xi,X2是离散空间，则积空间入*2是()

66

①离散空间②不一定是离散空间

③平庸空间④连通空间

设Xi,X2是连通空间，则积空间又*2是()

67

①离散空间②不一定是连通空间

③平庸空间④连通空间

6&实数空间R中的连通子集E为()

①开区间②闭区间③区间④以上都不对

69实数空间R中的不少于两点的连通子集E为()

①开区间②闭区间③区间④以上都不对

70

实数空间R中的连通子集E为()

①开区间②闭区间③区间④区间或一点

71下列叙述中正确的个数为()

(I)单位圆周S1是连通的；(□)R-｛。｝是连通的

(K)R2-｛(0,0)｝是连通的(W)R2和R同胚

①1②2③3④4

72实数空间R()

①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对

73整数集Z作为实数空间R的子空间()

①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对

74有理数集Q作为实数空间R的子空间)

①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对

75无理数集作为实数空间R的子空间(

12

①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理

13

③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对

76正整数集乙作为实数空间R的子空间()

①仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对

77负整数集Z_作为实数空间R的子空间

①仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对

2R2()

7&维欧氏间空间

①仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对

793维欧氏间空间R3()

①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理

③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对

80下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是()

①平庸性②连通性

③离散性④第一可数性公理

下列拓扑学的性质中，

81不具有可遗传性的是()

①第一可数性公理②连通性

③第二可数性公理④平庸性

下列拓扑学的性质中，

82不目启m濡省陛的兄/

①第一可数性公理②可分性

③第二可数性公理

④离散性

下列拓扑学的性质中，

不具有可遗传性的是(

83①平庸性

②可分性

③离散性

④第二可数性公理

设X是一个拓扑空间,若对于-x,y•X,x=y，均有{x}={y},

84

则X是()

①T。空间②空间③丁2空间④以上都不对

设X={1,2}>T二{X,,{1}},则(X,T)是()

85

①T。空间②T空间③丁2空间④以上都不对

设X二{1,2}，T二{X,,{2}}，则(X,T)是。

86

①T。空间②T,空间③T2空间④道路连通空间

设X={1,2,3}，T={X,,{1}}，则(X,T)是()

87

14

①To空间②Ti空间③丁2空间④以上都不对

88、设X二{1,2,3},T二{X,,{2,3}}，则(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③丁2空间④以上都不对

89、设X二{1,2,3},T={X,,{1,3}},则(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③T2空间④以上都不对

90、设X={1,2,3},T={X*{1,2}}，则(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③T2空间④以上都不对

91、设X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}}>贝U(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③T2空间④以上都不对

92、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，

则*是()

①正则空间②正规空间③T空间④丁4空间

93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，

则*是()

①正则空间②正规空间③T空间④丁4空间

94、设X是一个拓扑空间，若对X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V

U厕X是()

①正则空间②正规空间③T空间④T4空间

95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一

个开邻域V,使得VU,则X是()

①正则空间②正规空间③7空间④T4空间

96、设X二{1,2,3},T二{X,,{1},{2,}}，则(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③丁2空间④正规空间

97、设X={1,2,3},T={X,,{2},{1,3}}>则(X,T)是()

①T。空间②Ti空间③T2空间④正规空间

15

98'设X={1,2,3},丁=体冲,{3},{1,2}}，则（X,T）是（）

①T。空间②T空间③T2空间④正则空间

99、设X-{1,2,3},T二{X,,{1},{2},{1,2}}，则（X,T）是（）

①T2空间②正则空间③T4空间④正规空间

100、设X={1,2,3},T={X,设},{3},{1,3}}，则（X,T）是（）

①T2空间②正则空间③T4空间④正规空间

101、设X-{1,2,3},T二{X,,{2},{3},{2,3}}，则（X,T）是（）

①丁2空间②正则空间③丁4空间④正规空间

102、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个（）

①连通空间②道路连通空间③紧致空间④可分空间

103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）

①连通子集②道路连通子集③紧致子集④以上都不对

104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）

①连通子集②开集③闭集④以上都不对

105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集

是（）

①连通子集②开集③闭集④以上都不对

106、拓扑空间X的任何一个有限子集都是

（）

①连通子集②紧致子集③非紧致子集④开集

107、实数空间R的子集A二{1,2,3}是（）

①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集

108、实数空间R的子集A<1,2,3,4}是（）

①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集

109、如果拓扑空间X的每

个紧致子集都是闭集，则*是（）

①「空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间

二、填空题（每题2分）

1、设X二{a,b},贝口X的平庸拓扑为;

2、设X={a,b},贝UX的离散拓扑为；

16

3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫；

4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是.

5、X,d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有；

6、设A是有限补空间X中的一个

无限子集，则d(A尸；

7、设A是有限补空间X中的一个无

限子集，贝UA=；

&设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)=；

9、设A是可数补空间X中的一个

不可数子集，则A=；

10、设x={1,2,3}X的拓扑丁=作冲,{2},{2,3}},则X的子集A={1,2}的内部

为；

11、设X二{1,2,3}X的拓扑T二{X「,{1},{2,,3则X的子集A二{1,3}的内部为;

12、设X={1,2,3}X的拓扑T={X/,{1},{2,,3则X的子集A={1,2}的内部为;

13、设X={1,2,3}X的拓扑T=性冲,{2},{2,3}}，则X的子集A={1,3}的内部

为；

14、设XX{a,b,c},贝UX的平庸拓扑为;

15、设XX{a,b,c},贝UX的离散拓扑为;

16、设X-{1,2,3},X的拓扑T二{X,,{2},{3},{2,3}测X的子集A二{1,3}的内部

为；

17、设XH1,2,3}X的拓扑T={X/,{1},{3},{1,3则X的子集A二{1,2}的内部

为；

18、f:X>Y是拓扑空间X到丫的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象

集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个，

17

19、f：X>Y是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且丫的拓扑是对

于映射f而言的商拓扑，则称f是一个

20、设X,Y是两个拓扑空间，f:X>Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集

f(U)是丫中的一个开集，则称映射f是一个；

21>设X,Y是两个拓扑空间，f:X>Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集

18

f（u）是Y中的一个闭集，贝u称映射f是一个

22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B，使得AB=,B二X,贝UX是

23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B，使得AB=,\B二X,贝UX是

24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个__________________;

25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一

个；

26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射

下的象所具有，则称这个性质是一个；

27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所

具有，则称这个性质是一个；

28、若任意n_1个拓扑空间X「X2，川,Xn,都具有性质P,则积空间XiX2川Xn也具

有性质P，则性质P称为;

29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集代B,使得A—B=X,则称

X是一个：

30、若Xi,X2满足第一可数性公理，则积空间XiX2满足；

31、若X「X2满足第二可数性公理，则积空间人X2也满足；

32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质巳则称性质P

为；

33、设D是拓扑

空间X的一个子集，且D=X测称D是X的一个;

34、若拓扑空间X有一个

可数稠密子集，则称X是一个___________________________________;

35、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一

36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质

P为；

37、如果一个拓扑空间具有性质巳那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质

P为；

38、设X是一个拓扑空

间'如果_________________________________________________________

则称X是一个T-空间；

39、设X是一个拓扑空

间'如果________________________________________________________

19

f（u）是Y中的一个闭集，贝U称映射f是一个

则称X是一个£空间；

40、设X是一个拓扑空

间'如果_________________________________________________________

20

则称X是一个T2空间；

41、正则的「空间称为;

42、正规的「空间称为;

43、完全正则的方空间称为;

44、设X是一个拓扑空间•如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间

*是一■个.

45、设X是一个拓扑空间，丫是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，

贝□称丫是拓才卜空间X的一■个—.

46、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空

间X是一■个.

47'设X是一个拓扑空间.如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是

48、设X是一个拓扑空间.如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是

一■个.

三•判断(每题3分，判断1分，理由2分)

1'从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()

2、设T「丁2是集合X的两个拓扑，贝UT厂T2不一定是集合X的拓扑()

3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射()

4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，

则d()

5、设A为平庸

空间X(X多于一点)的一个单点集，贝UdA()

6'设A为平庸空

间X的任何一个多于两点的子集，贝UdA二X()

7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B，使得

A—B=,A_•B=X()

&若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间()

9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理()

10、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可数性公理

()

11'若拓扑空间x满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可数性公理

()

12、设X-{1,2.3}，T二{X,,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是丁3空间.()

21

13、设X={1,2,3}，T={X,,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.()

14、设X二{1设,3}，T：{X,,{1},{3},{1,3}},则(X,T)是壬空间.()

22

15、设X二{1,2,3},T二{X,，⑴,{3},{1,3}}，则(X,T)是1；空间.()

16、T3空间一定是T2空间.()

17、T4空间一定是丁3空间")

18、设代B是拓扑空间X的两个紧致子集，则A—B是一个紧致子集.()

19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()

四•名词解释(每题2分)

1•同胚映射

2、集合A的内点

3'集合A的内部

4•拓扑空间(X,T)的基

5'闭包

6'序列

7、导集

&不连通空间

9'连通子集

10、不连通子集

11、Ai空间

12、A2空间

13、可分空间

14、「空间：

15、T空间:

16'T2空间：

17、正则空间：

18'正规空间：

19、完全正则空间：

20、紧致空间

21、紧致子集

22、可数紧致空间

23、列紧空间

24、序列紧致空间

五.简答题(每题4分)

1、设X是一个拓扑空间，代B是X的子集，且AB.试说明d(A)d(B).

23

15、设X二{1,2,3},T二{X,，⑴,{3},{1,3}}，则(X,T)是1；空间.()

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f：X>Y,g:Y>Z都是连续映射，试说明gff：X>Z也

24

是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.

4、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.

5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y=x,y（-：：,1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

设在这个等价关系下得到的商集丫={[0],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.

6、在实数空间R中给定如下等价关系：

X~y=x,y1-,1]或者*/（1,2]或者*,丫（2/-）

设在这个等价关系下得到的商集丫二{[1],[2],[3]},试写出丫的商拓扑T.

7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x-y=x,y（-二，1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

设在这个等价关系下得到的商集丫二（[-1],[1],[2]），试写出丫的商拓扑T.

&在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y=x,y（-：：,1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

设在这个等价关系下得到的商集丫二,试写出丫的商拓扑T.

9、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y=x,y1,1]或者x,y（1,2]或者*,丫（2,：）

设在这个等价关系下得到的商集丫二,试写出丫的商拓扑T.

10'在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y=x,y（-：1]或者x,y（1,2]或者*,丫（2,

设在这个等价关系下得到的商集丫二，试写出丫的商拓扑T.

11、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y=x,y<-,1]或者*,丫（1,2]或者*,丫（2/：=）

设在这个等价关系下得到的商集丫二（[-1],[2],[4]}，试写出丫的商拓扑T.

12、离散空间是否为A2空间？说出你的理由.

25

13、试说明实数空间R是可分空间.

14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.

15、设X是一个Ti空间，试说明X的每一个单点集是闭集.

16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个「空间.

17、设(X,T)是一个T空间，：：是任何一个不属于X的元素.令X二X_.｛::｝和

T*二T-｛X*｝，试说明拓扑空间(X*,T*层一个To空间.

18、若X是一个正则空间，试说明：对-xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域

V,使得VU.

19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存

在A的一个开邻域V，使得VU.

20、试说明Ti空间X的任何一个子集的导集都是闭集.

21'试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.

22、如果X丫是紧致空间，则X是紧致空间.

23、如果XY是紧致空间，贝UY是紧致空间.

24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.

六、证明题(每题8分)

1'设f：XY是从连通空间X到拓扑空间丫的一个连续映射.则f(X)是丫的一个连通子集.

2、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得YA-

B,则或者丫A,或者丫B.

3、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得丫

A-B,则或者YA,或者丫B.

4、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZ丫，则Z也是X的一个连通子集.

5、设｛丫｝二是拓扑空间X的连通子集