考研数学一(线性代数)模拟试卷61(题后含答案及解析)

考研数学一(线性代数)模拟试卷61(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A为mXn矩阵，齐次线性方程组Ax=O仅有零解的充分条件是A的

A.列向量组线性无关.

B.列向量组线性相关.

C.行向量组线性无关.

D.行向量组线性相关.

正确答案：A涉及知识点：线性代数

2.设齐次线性方程组的系数矩阵为A,且存在3阶方阵BWO,使AB=O,

则

A.入=-2且|B|=0.

B.入=一2且|B|WO.

C.入=1且|B|=0.

D.入=1且|B|WO.

正确答案：C涉及知识点：线性代数

3.设al,a2,a3是4元非齐次线性方程组Ax=b内3个解向量，且秩

(A)=3,a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)T,c表示任意常数,则线性

方程组Ax=b的通解x=

A.

B.

C.

D.

正确答案：C涉及知识点：线性代数

4.设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=0

和(H)：ATAx=0,必有

A.(H)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解.

B.(H)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解.

C.(I)的解不是(II)的解，(H)的解也不是(I)的解.

D.(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是⑴的解.

正确答案：A涉及知识点：线性代数

5.4个平面aix+biy+ciz=di(i=l,2,3,4)交于一条直线的充要条件是对应

的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵满足r(A)==

A.1.

B.2.

C.3.

D.4

正确答案：B涉及知识点：线性代数

6.设A是n阶矩阵，a是n维列向量，且则线性方程组

A.Ax=aM有无穷多解.

B.Ax=a必有唯一解.

C.

D.

正确答案：D涉及知识点：线性代数

7.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*WO,若11,g2,€3,W4是非齐次线

性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系

A.不存在.

B.仅含一个非零解向量.

C.含有两个线性无关的解向量.

D.含有3个线性无关的解向量.

正确答案：B涉及知识点：线性代数

8.设A为4X3矩阵，n1,112,n3是非齐次线性方程组Ax=B的3个

线性无关的解，kl,k2为任意常数，则Ax=B的通解为

A.

B.

C.

D.

正确答案：C涉及知识点：线性代数

填空题

9.若方程组有解，则常数al,a2,a3,a4应满足的条件是

正确答案：al+a2+a3+a4=0.涉及知识点：线性代数

10.若3阶非零方程B的每一列都是方程组的解，则入=,

|B|=.

正确答案：入=1,|B|=0.涉及知识点：线性代数

11.设其中al,a2,…，an是两两不同的一组常数，则线性方程组ATx=B

的解是.

正确答案：(1,0,…，0)T涉及知识点：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

12.证明：n维列向量组al,a2,…，an线性无关的充分必要条件是行

列式

正确答案：令矩阵A=[ala2…an],则a1,a2,…，an,线性

无关,|A|W0,而D=|ATA|=|AT||A|=|A|2,故|A|W0,DW0.涉及知识点：线

性代数

13.设向量组(I)：al,a2,a3的秩为3；向量组(II)：a1,a2,a3,

a4的秩为3；向量组(HI)：a1,a2,a3,a5的秩为4.证明：向量组(IV)：

a1,a2,a3,a5—a4的秩为4.

正确答案：由条件知(I)线性无关，而(II)线性相关，故a4可由al,a2,

a3线性表示，设为：a4=Xla1+X2a2+X3a3.设有一组数xl,x2,x3,

x4,使得xl为对称的正交矩阵；(2)若a=(l,2,一2)T,试求出矩阵A；(3)若

B为n维列向量，试证明：AB=B—(bc)a,其中，b、c为实常数.

正确答案：t己常数则b>0,A=E—baaT.(1)AT=(E—baaT)T=E—baa

T=A,所以A为对称矩阵.AAT=AA=(E—baaT)(E—baaT)=E一2baaT+b2

a(aTa)aT,而aTa=代入上式得A涉及知识点：线性代数

15.设向量组(I)：al,a2,…，ar线性无关，且(I)可由(II)：B1,B2,…，

Bs线性表示.证明：在(H)中至少存在一个向量Bj,使得Bj,a2,…，ar

线性无关.

正确答案：可用反证法：否则，对于j=l,2,…，s,向量组Bj,a2,…，

ar线性相关，又a2,…，ar线性无关，质储可由。2,…，ar线程表示，(II)

可由a2,…，ar线性表示，又已知a1可由(II)线性表示，al可由a2,…，

a(1)由阶梯形矩阵可见，当tW2时，a1,a2,a3,a4线性无关，止匕时，再

对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为⑵当t=2时，a1,a2,a3,a4

线性相关，其极大无关组可取为al,a2,a3(或a1求由基(I)到基(H)的过渡

矩阵c.

正确答案：由[BlB233]=[a1a2a3]cC=[a1a2a

3]-l[31B2B3]=涉及知识点：线性代数

20.设al,…,an-l,Bl,B2均为n维实向量，a1,…，an-l线性无

关，且2)与al.….an-l均正交.证明：B1与B2线性相关.

正确答案：n+1个n维向量al,…，an-l,Bl,B2线性相关，故有不全

为0的一组数kl,…，kn-1,kn,kn+1,使kla1+…+kn-lan-l+knB1+kn+l

B2的非零解向量，试判断向量组al,…，ar,B的线性相关性.

正确答案：线性无关，证明如下：由题设条件有BTai=0(i=l,2,…，r).设

kla1+…+krar+kr+1B=0,两端左乘BT,并利用BTai=0及BTB>0,得

kr+l=0,kla1+…+kr,可知a2问kl与k2各取何值，方程组无解?有唯一解?

有无穷多解?在有无穷多解时，求其一般解.

正确答案：对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见：(1)

当klW2时，r(A)==4,故此时方程组有唯一解.(2)当kl=2时，对B作初等行

变换：可见当kl=2且k2关1时，r(A)=3,而=4,方程组无解.(3)当kl=2且k2=l

时，对矩阵C作初等行变换：由此得方程组的一般解为xl=-8,x有解.(1)确

定a、b的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解.

正确答案：对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由此可见，方程组有解,b

—3a=0,2—2a=0,即a=l,b=3.当a=l,b=3时，对矩阵B作初等行变换：由

此得方程组的用自由未知量表示的通解为对应齐次方程组Ax=0的通解为由此得

Ax=0的基础解系为11=(1,-2,1,0,0)T,€2=(1,一2,0,1,0)T,€3=(5,

—6,0,0,1)T由阶梯形矩阵可见⑴当(4一k)(k+l)W0,即kW4且kW—1时，

r(A)==3,方程组有唯一解.此时，对矩阵B作初等行变换，可得方程组的唯一

解为：(2)当k=-l时，r(A)=2,而涉及知识点：线性代数

26.设有线性方程组(1)证明：当al,a2,a3,a4两两不等时，此方程组无

解；(2)设al=a3=k,a2=a4=-k(kWO)时，31=(-1,1,1)T,32=(1,1,-1)T

是方程组的两个解，写出此方程组的通解.

正确答案：(1)当al,a2,a3,a4两两不等时，增广矩阵的行列式(为一范德

蒙行列式)故有，但系数矩阵的秩不大于3,故方程组无解.(2)此时有r(A)==2,

故方程组有无穷多解,对应齐次线性方程组Ax=0的基础联系含3—r(A)=3-2=l

个解向量，由于A(B1—B2)=AB1—AB2=0,所以，B1问a、b、c各取何值

时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解.

正确答案：由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=r[A|B],a=l,b=2,c=l,

于是由上题知Ax=B有解,a=l,b=2,c=l.此时，对矩阵D作初等行变换：于是

若将矩阵B按列分块为B=[blb2b3],则得方程组Ax=bl的通解为：xl=(l

一1,一1,1)T；方程组Ax=b2的通解为：xl=(2—m,涉及知识点：线

性代数

29.设已知方程组Ax=O的解空间的维数为2,求c的值，并求出方程组

Ax=O的通解.

正确答案：由条件有4一r(A)=2,r(A)=2,于是由知c=L当c=l时，对矩

性B作初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为用基础解系表

示的通解为x=cl(l,-1,1,0)T+c2(0,-1,0,1)T,其中cl,c2为任意常

数.涉及知识点：线性代数

30.求解线性方程组

正确答案：对增广矩阵作初等行变换：可见方程组恒有解.(1)当aWl时，

对矩阵B作初等行变换：得通解为：xl=-x4,x2=b+3x4,x3=-3x4(x4任意)，

或x=(0,b,0,0)T+c(—1,3,一3,1)T,其中c为任意常数.(2)当a=l时，

由得通解为：xl为正定二次型.

正确答案：由于两端取行列式，得由于A正定，故|A|>0,且A-1正定，故

对于任意XWO,