2023年高考圆锥曲线解答题100道（含答案）

参考答案，仅供参考

c_V6

1.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意M=5，而a2=b2+c2,所以

,a=V3

„2c

b=l.所以所求椭圆方程为言+必=1.

(2)设4(%i，yD，8(%2，丫2)，

①当月81%轴时，\AB\=V3,

②当4B与％轴不垂直时，设直线48的方程为y=々％+小.由已知

^===辛得巾2=：(/：2+1),把y=土%+小代入椭圆方程，整理得

(3/c2+l)x2+6kmx+3m2—3=0,

其中A>0恒成立，%1+%2-3d+l,%1%2-所以

MFI2=(1+炉)(%2-％J?

八36/c2m212(m2—1)

=(1+好)————_——----L

[(3/+1)23/+1

_12(/c2+l)(3/c2+l-m2)

一(3/c2+I)2

_3(/C2+1)(9/C2+1)

—(3/c2+l)2

12k2

=34-.)

9k4+6k2+1

12,、

=3+](/cW0)

弘2+后+6

12

工3+2X3+6=&

当且仅当9幺=也,即k=±9时等号成立，1481=2.当k=0时,

\AB\=V3,

综上所述，l4Blmax=2.

所以当L48I最大时，△MB面积取最大值，S=|x\AB\x^=^-.

2mwaacx22

22

2.（1）设双曲线方程为%-%=1.

22

由椭圆2+亍=1，得两焦点为（—2,0）,（2,0）.对于双曲线C,根据题

o4

意得

b

c=2,—=V3,

a

结合c2=a2+b2解得

c”2

所以双曲线C的方程为

（2）解法一：由题意知，直线，的斜率k存在且不等于零.设/的

方程为y=k%+4,设4（%i，yi）,8（%2，丫2），则Q（一右。）

因为所=入1遢，所以

%1+嬴），

V-4=入1丫1，

44

k入1k

4

因为力（%1，%）在双曲线。上，所以

+入1

整理得

(16—入j+32入i+16——=0,

KJ

同理得

/>Ox9169

(16—k)%+32入2+16——k—0.

KJ

若16—1=0,直线/过顶点，不合题意，则有16-幺。0,从而

入1，入2是二次方程

/八)16_

(16—/c2)%2+32%+16———k2—0

的两根，于是

解得

k2=4,

适合A>0,于是/c=±2,故所求Q的坐标为（±2,0）.

解法二：由题意知直线2的斜率左存在且不等于零，设，的方程为y=

kx+4,设8（%2）2），则Q（—%0）・

因为而=入19=入2证，所以

（一$—4）=入1卜］+氤）=入292+和2），

即

-4=X1y1=入2y2,

亦即

44

入1=--------，入2=一

yi丁2

乂入1+入2=—/所以

112

---1---=B

yi72----3

即

3（乃+y2）=2yly2・……①

将y=kx+4代入/—g=1得

（3-/c2）y2-24y+48-3k2=0.

而3-Mwo,否则，与渐近线平行.于是

2448-3k2

为+'2=^^必，乃乃二石*

将它们代入①得

2448-3k2

3X-------7=2X---------，

3-k23-k2

解得

k=±2,

适合A>0,故所求Q的坐标为（±2,0）.

3.（1）设4（%i，yi）,8（%2，乃），

则:

X1+X2、，_yi+yict-i>yM_月+，2

XP

M-2—，――2-，所以k（）M

XM盯+%2

又

9%；+y：=

9%2+y2=m2>

两式相减得

9（%1+%2）（%1-%2）+01+72）（71-72）=0,

即

为+72yi-72c

----------------------=—9.

%+%2%1—％2

所以k°M,=—9,

因此原命题得证，且定值为-9.

（2）根据题意，如图.

假设存在符合题意的平行四边形O/PB,设MO。,%),贝iJP(2%o,2yo),

于是

1

9珞+*=严2•①.

此时根据第(1)小题的结论，有

m-yy门

根0丫0力

可一%。

KJ

整理得

1

2

3mx04-my0=9说+其=-m,

即

1

3%o+yo=7^……②，

4

由方程①与②解得

缶=和+上)，

或

无。=/(1-b)，

%=表1+⑨,

斫以“_yo_3(1一夕)或“_yo_3。+⑺

于是直线I的斜率为

-9•—=4+V7.

yo

或

-9•—=4-V7.

yo

,所以能为平行四边形.

4.(1)依题意，设抛物线C的方程为%2=4cy(c>0),

由点到直线的距离公式，得

|0-c-2|_3V2

Vl+1—2，

解得c=l(负值舍去)，故抛物线。的方程为

x2—4y.

(2)由％2=4y,得y=[%2,其导数为

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

吊=4yl，%=4y2,

切线PA,PB的斜率分别为71，n2，所以切线PA的方程为

y-yi

即

丫亍一三+为，

即

xxx—2y—2y1=0.

同理可得切线PB的方程为

应％-2y-2y2=0.

因为切线PA,PB均过点P®),yo),所以

%i%o-2y0-2yl=0,

x2xo—2yo—2y2=0,

所以和心：：2为方程％0%—2y0—2y=0的两组解.

ty—yiu—丫2

所以直线48的方程为

%0%-2y-2yo=0.

（3）由抛物线定义可知

I4FI=y1+l,

\BF\=y2+l,

所以

\AF\•IBFI=&+I）—+D

=y02+（71+力）+1-

由

（xox-2y-2yo=0,

I%2=4y,

消去%并整理得到关于y的方程为

2

y+（2y0-%）y+羽=。.

由一元二次方程根与系数的关系得

yi+丫2=说一2%,

乃乃=其，

所以

\AF\­\BF\=yry2+（y1+乃）+1

二羽+说-2yo+1.

又点P（%o，yo）在直线/上，所以

%o--2=0，

即&=yo+2,所以

弟+说-2y°+1=2*+2y0+5

/1\29

=2。。+?+了

所以当yo=-g时，I2FIJBFI取得最小值，且最小值为

5.（1）由椭圆的定义，2a=出匕1+3&1=（2+鱼）+（2—鱼）=4,

故a=2.

设椭圆的半焦距为c,由已知PFilP%，

因此2c=IF1&I=JlPF/2+IPFZR=J（2+V2）2+（2-V2）2=2V3.

即c=V3,从而b-yJdz—c2-1,

2C

故所求椭圆的标准方程为千Y+y2=1.

4

（2）连接％Q.

如图，由椭圆的定义，得IP&I+IP尸2l=2a,\QF1\+\QF2\=2a,

从而有|P%I+\PQ\+IF©=4a,因为|P尸J=\PQ\,且PF11PQ,

所以旧乙|=熹=4a—2鱼a,\PF2\=242a-2a,因为△P%F2

为直角三角形，所以|P%|2+|PF2|2=EF2|2,所以（4a—2鱼a）+

2

（2^2a—2a）-4c2,所以6=£=布一遍.

方法二：

22

如图，设点P（%o，yo）在椭圆上，且PF1IPF2，则云+卷=1，芯+

求得％o=±Ra2-2b2,y0=±y.

由IP尸［I=\PQ\>\PF2\得％0>0,

2222

从而IPF/2=(a，。12b+—_|_L.=2(a—b)+2aVa—2b=(a+

Va2-2b2)2.

由椭圆的定义，IPF/+IPF2I=2a,IQFil+IQBl=2a.

从而由IP%I=IPQI=IPF2I+\QF2\,有IQ%I=4a-2IPF1I,

又由PF1IP4，IP%I=IPQI，知IQ%I=鱼3%1,

22

因此(2+^2)\PFr\=4a,即(2+V2)(a+Va—2b)=4a,

于是(2+V2)(l+V2e2—1)=4,

解得e=用+(瘾-第=巫-瓜

6.(1)由题意可得

b=V3,

c1

£二5，

b2=a2—c2.

解得

a=2,b=y/3,c=1,

22

所以椭圆的方程为亍+g=l.

(2)由题意可得以FiB为直径的圆的方程为/+y2=i,所以圆

心到直线2的距离为4=鬻.由d<l,得鬻VI,解得ImlV冬所

以

设4（%i，yi）,8（%2，丫2），由方程组

（1

y=——x+m,

22L

x乙y

—+5r=1.

143

整理得

x2—mx+m2—3=0,

则

2

x1+x2=m,x1x2=m—3,

所以

因为黑=#,所以』=1'解得

V3

…可，

且满足\m\<y.

因此直线I的方程为y=—3%+f或y=-g%-9.

2「

7.（1）椭圆”:一v+y2=i的右顶点8的坐标为（2,0）.因为四边形

4

。力BC为菱形，

所以4C与。B相互垂直平分.所以可设4（1即），代入椭圆方程得;十

4

m2=1,即771=±-y.

所以菱形0/8C的面积是与08|•\AC\=|x2x2|m|=V3.

（2）当B不为顶点时,不妨设4（%i，yD，。（%2，乃），则

1+了t:两式相减，k「一

Xl+%2

%2+4y；=44（71+72）?

令AC的中点为M（%o，y°）,则kAc=—鲁Go。O,yo工。，），

yo_i,

则七二一荒-------....—--1,

CXo4

故四边形O/1BC不可能是菱形.

8.(1)焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-l.

(2)由题意知直线1的斜率存在，故设直线2的方程为丫=4％+小,

y=kx+m,

由方程组

,x2—4y.

得x2—4kx-4m=0,

由题意，得A=16/c2+16m>0.

设4Qi，yD，8(%2，丫2)，

则%i+%2=4k,%62=—4m,

由抛物线方程％2=4y,得y=：/,

所以y1-

所以抛物线在点A处的切线方程为

y一滔=%(%一%1),

化简，得y=]i%-1/，①

同理，抛物线在点8处的切线方程为

y=^x2x-^.……②

联立方程①②，

曰

得4一1%1%——1X27=1-XoX——%彳.

21412242

即-x2)x=k%i-%2)(%1+%2)・

Z4

因为所以％=+%2)，

代入①，得、=；%1%2=-小，

所以点Q,-7?1),

即Q(2k,—m).

所以点Q在直线y=-m±.

(3)假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形，

由四边形PEQ/7为矩形，得EQJ.FQ,即2Q1BQ,

所以kAQ-kBQ=-1,BP-x1--%2=—1.

由(2),得=](-4?n)=-1,

解得m=1.

所以P(O,1).

在①中，令y=0，得网?通)，

同理得产6％2，。)・

所以直线EP的斜率为kEP=这=3，

(

直线FQ的斜率为kFQ=.°--^2=—.

/2———其1

所以册P=MQ,BPEP//FQ.

同理P尸〃EQ.

所以四边形PEQF为平行四边形，

综上所述，存在点P(O,1),使得四边形PFQF为矩形.

9.(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点，那么点P(x,y)满足

d(x-1)2+y2—x=l(x>0),

化简得y2=4x(%>0).

(2)设过点>0)的直线N与曲线C的交点为4(/,yj,

8(%2，、2)・

设I的方程为x=ty+m,

,(X=ty+m,

由

2=/4x,

得产—4ty—4m=0,A=16(t2+m)>0,

于叱蓝二……①

又E4=(%]-l,yi),FB=(x2-l,y2)»FA-FB<0-1)(%2一

1)+y/2=-(%i+%2)+1+y/2<o,……②

222/22\

又％于是不等式②等价于v?•v2+y/2-vv+1<0，

444\44,

“普+丫供一；[%+为尸一2yly21+1<0....③

由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2....④

对任意实数34户的最小值为0,所以不等式④对于一切七成立等价

于租2—6巾+1<0,BP3-2V2<m<3+2V2.

由此可知，存在正数相，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点4

B的任一直线，都有两•而<0,且小的取值范围是(3-2鱼,3+

2V2).

10.(1)由题意可知尸信0),则该直线方程为y=x—壬代入y2二

。2

2Px(p>0),得％2—3Px+—n=0.

设M(%i，yD，N(%2，y2)，则有%i+&=3p.

因为|MN=8|,所以％I+%2+P=8,即3p+p=8,解得p=2,

所以抛物线的方程为y2=4%.

(2)设直线E的方程为y=%+b,代入y2=4%,得％2+(2b-

4)x+b2=0.

因为直线/为抛物线。的切线，所以A=0,解得b=l.

所以直线I的方程为y=%+l.

由(1)可知%1+%2=6,%1%2=L

设P(m,m+1),则PM=—m,y1—(m+1)),PN—(x2—m,y2—

(m+1)),

所以

PM•丽=(%i—m)(x2—租)+[yi—(jn+l)][y2—(m+1)]

2

=%1%2-巾(％1+%2)+/+y，2-O+1)(71+y2)+(m+l).

因为+上=6,=1，所以(y/z)?=16%I%2=16,yyy-i=-4.

因为y：-兔=4(%1-％2)，所以为+乃=4蓝度=4,

所以

~PM-~PN=1—6m+m2—4—4(m+1)+(m+I)2

=2(m2—4m—3)

=2[(m-2)2-7]

2—14.

当且仅当巾=2,即点P的坐标为(2,3)时，两•丽的最小值为-14.

11.(1)由题意得『二；.所以椭圆C的方程为

I。=2

%22

彳+y=工

(2)设4(%i，yi),8(%2，乃)，OCWo).

由题意知直线I,的斜率存在，不妨设其为k,则直线。的方程为

y=kx—1.

2

又圆C2：x+泡=4,故点。到直线k的距离

1

d=,

V/c2+1

所以

I------14k2+3

\AB\=2-v4—cP=21-7-5——.

“2+1

又八上％，故直线，2的方程为

x+ky+k=0.

x+ky+k=0,

由/।消去外整理得

丁+y=i，

(4+fc2)%2+8kx=0,

8V/c2+1

\PD\=

44-/c2

设△480的面积为S,则

1

s=1

所以

74k2+?+,

74k2+3

32

2V4/r2+3.—

JV4/c2+3

16V13

13'

当且仅当k=±乎时取等号，所以所求直线的方程为

Vio

y=±~Y-X-1・

b=y/2,

12.(1)由已知，得h=解得p=V2,

a2=b2+c2,

22

所以椭圆E的方程为・+5=l.

42

(2)解法一：

设4（%i，yi）,8（%2，、2），48的中点为

rx=my—1,

由-x2y2_得（m？+2）y2—2my-3=0,

—I—=1,

142

所以乃+丫2=^7，y/2=—从而yo=^7.

机乙+2小乙+2mz+2

22

2

所以\GH\=（%o+：）+羽=（my。+1）+九=（*+1）赤+|my0+

25

16,

♦Bl_（%1-%2）2+。1-丫2）2

4-4

_（1+-2）（丫1_.）2

―4

_（1+/）[（月+.2）2-4皿2]

—4

=（1+巾2）（犬一y/2），

故IGHI2一粤=|皎0+（1+病）乃丫2+!|二就分3（1+/）।25_

m2+216

17/+2〉o

1652+2）；U，

所以IGHI>—.

故点G（—?0）在以48为直径的圆外.

解法二:

设点4（%i，yJ,3（%2，丫2），则GA=&+%丫1），=（x2+油）.

rx=my—1,

由2得（M？+2）y2-2?ny-3=0,

匕+万=1，

所以乃+丫2=焉，%丫2=一高，从而

GA•GB=[1+a）卜2++y02

=（my1+§（my2+3）+7172

525

=（m2+1）丫1乃+彳m（Yi+乃）+77

416

52

-3（m2+1）2m25

=-----------+—±-----1---

m2+2m2+216

_17m2+2

16（m2+2）>

所以cos（GA^GB）>0.

又褊，方不共线，

所以乙4GB为锐角.

故点G（—3,0）在以48为直径的圆外.

13.（1）设切点坐标为（沏,%）（软>O,yo>O）,则切线斜率为一处，切

yo

线方程为

y~yo=—（%一％。），

yo

即

%。%+yoy=4,

此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为

1448

S=-------=----，

2%oy0xoyo

由％°2+y。2=422%oy（），可知，当且仅当％o==鱼时，％0丫0有

最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为（企,鱼）.

由题意知

（22

______=1

a2b2___'

a2+b2=3a2.

解得

a2=1,

力2=2.

故C1方程为/—1=1.

（2）由（1）知。2的焦点坐标为（―但0）,（V3,0）,由此设C2的

方程为

X2芯=1

--------2+

3+厅bi2'

其中仇＞0,由P（&,鱼）在。2上，得

22

----------1-----=]

3+bJ瓦2'

解得好=因此的方程为

3,C2

X2V2

——F—=1

63

显然，，不是直线y=0,设2的方程为％=my+遮，点

8（%2，丫2），由

x=my+V3,

x2y2

——I--=1

163

得

（m2+2）y2+2省771y—3=0,

又为，为是方程的根，因此

’2V3m三

yi+y?=—……①

J7724+2

-3o

y/2=2n……⑷

Im£+2

由不乃+g,得

i=??1x2=my2+V3,

+%2=巾(%+丫2)+2V3=3……③

<mz+2

2

9.、6-6m小

巧％2=巾y02+v37n(yi+y2)+3=—2——.……⑷

I171十Z

因为

AP=(V2—xlfy/2—yi),BP=(V2—x2,y[2—y2).

由题意知万•瓦3=0,所以

%1%2-V2(%i+%2)+y，2-+丫2)+4=0,........⑤

将①，②，③，④代入⑤式整理得

2m2-2yf6m+4A/6-11=0,

解得

3A/6_p,V6

m=—-----1或？?！=——+1,

乙乙

因此直线I的方程为x—(警—l)y—百=0或%+*—1)y—V3=

0.

14.(1)设4(%i，yi),8(%2，丫2)，。(%1，-丫1)，1的方程为久=刈丫一

l(mH0).

将％=my-1代入y2=4x并整理得

y2—4my+4=0,

从而得到

[Yi+y2=4m,

1月丫2=&

直线BD的方程为

-2=看三(…2)'

即

4(乃2、

y-y=----------x———.

2y2-yiV4)

令y=0，得

所以点尸(1,0)在直线BD上.

(2)由(1)知

m2

+%2=Cyi—1)+(my2—1)=4m—2,

%i%2=(小乃~l)(my2-1)=1.

因为方=(巧一l,y。丽=(x2-1)2)，所以

FA-FB=(%i-1)(%2-1)+y/2

=巧％2一(%i+%2)+1+4=8—4m2,

故8-4/="解得巾=±1所以I的方程为

yj

3%+4y+3=0,3%—4y+3=0.

又由(1)知

72-7i=±V(4m)2-4X4=±-V7,

故直线BD的斜率

丫2-%~~肝

因而直线BD的方程为

3%+y/7y—3=0,3%—巾y—3=0.

因为KF为乙BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),

M(t,0)到I及BD的距离分别为空工,亨.

3lt+lI_3It11,得

1,、

t=G，或t=9(舍去)，

2

故圆M的半径厂二亨二|,所以圆M的方程为卜—目+y2=^.

15.(1)设椭圆的右焦点尸2的坐标为90).由L4BI==191尸2〉可得

a2+b2=3c2,

又匕2=一,则

c^_l

滔=5'

所以，椭圆的离心率

V2

(2)由(1)知

a2—2c2,b2=c2,

故椭圆方程为

X2y2

+百=1，

2c2

设P(%o，y。)，由尸式一c,O),B(O,c),有

%P=(%o+c,yo),

Fl百=(c,c),

由已知，有

F\P-~F\B=0,

即

Oo+c)c+yoc=0,

又C。0,故有

x0+y0+c=0,……①

又因为点P在椭圆上，故

**1，……②

由①和②可得

2

3%04-4cx0=0,

而点P不是椭圆的顶点，故％0=—短，代入①得y°=台

即点P的坐标为（一

设圆的圆心为T（%i，yD，则

4

一§c+02

X1

c

3+C2

进而圆的半径

----------------------V5

r=V（Xi-0）2+（乃-c）2=—c,

设直线，的斜率为匕依题意，直线/的方程为y=/cx.由/与圆相切,

可得

g一月1

———=V

V/c2+1

-----------------=—C

VFT13'

整理得

/c2—8/c+1=0,

解得

k=4+V15,

所以，直线［的斜率为4+底或4—底.

p=1,

16.(1)由题意得卜=?，解得a2=2.故椭圆C的方程为5+

Ia22

22

卜2=b+c,

y2=1.设MQM，。).

因为mW0,

所以一1＜九＜1.直线P4的方程为y—1二子,

所以羯=言，即M（E，O）.

（2）因为点8与点4关于％轴对称，

所以B（m,-n）.

设N（%N，O），则桁二七.“存在点Q（0，y＜2）使得40QM=4NQ等价于

“存在点Q（0,%）使得盟=器"，即%满足/=\xM\\xN\.

2

因为％M=F，XN=三，且，+九2=1,

1—n1+n2

2

所以=|%咻|=言r=2.

所以刈=&或VQ=-V2.

故在y轴上存在点Q,使得乙0QM=40NQ,点Q的坐标为（0,鱼）或

（0.-V2）.

17.（1）把圆好的方程化为标准方程得（%—3）2+y2=+

・•・圆Q的圆心坐标为g（3,0）.

（2）设

••・A,B为过原点的直线I与圆加的交点，且M为4B的中点，

:,由圆的性质知MCi1MO,/.MC[•丽=0.

又MC；=（3——y）,~MO=（一%,—y）,

由向量的数量积公式得％2一3x+y2=0.

易知直线2的斜率存在，设直线1的方程为y=m%,

当直线，与圆Ci相切时，d=^==2,解得徵=±誓.

把相切时直线I的方程代入圆的的方程化简得9%2-30%+25=0,解

得%=*

当直线I经过圆Ci的圆心时，M的坐标为（3,0）.

又直线，与圆的交于48两点，M为48的中点，

•••|<%<3.

・••点M的轨迹。的方程为％2—3x+y2=o,其中|<工43,其轨迹

为一段圆弧.

(3)法一：由题可知，直线y=k(%—4)恒过定点4(4,0),结合

(2)可作出图象如下图，

由(2)知，点8、。的横坐标为全因此，代入曲线。的方程得

竽)、。(右一不>结合图象，可知当出介于直线和"。的斜

率之间时，直线L与曲线。只有一个交点，又七8=齐=—衅，

3

12遍二匚［、］2V5j2>/5

kAD=—»所以一〒工女工〒；

另外，当直线L与曲线。相切时，只有一个交点，又曲线。的圆心为

直线方程为/c%—y—4/c=0,所以弓=品=今解得/c=±j；

V2//Vfc2+124

综上所述，上的取值范围是一?工上<?或/C=±*

方法二：由题意知直线L表示过定点(4,0),斜率为k的直线，

把直线L的方程代入轨迹C的方程/_3%+y2=o,其中?<%W3,

化简得(/+1)%2一(3+8z2)%+16/=o,其中|<工43,

记/(%)=(/c2+I)%2—(3+8k2)x+16k2,其中g<%工3.

若直线L与曲线C只有一个交点，令/(%)=0.

当A=0时，解得左2=［即/c=±;,此时方程可化为25/—120%+

164

144=0,即（5%-12尸=0,

解得％=£e（|,3］,

k=±:满足条件.

4

当A>0时，

①若％=3是方程的解，则/（3）=00k=0=另一根为%=0<|,

故在区间G，3］上有且仅有一个根，满足题意.

②若％=3是方程的解，则/©）=0=/c=±§=另外一根为％=普，

|<|^<3,故在区间停,3］上有且仅有一个根，满足题意.

③若％=3和％=|均不是方程的解，则方程在区间（|,3）上有且仅有

一个根，

只需/（0"（3）<0=一乎<女<雪.

故在区间G，3］上有且仅有一个根，满足题意.

综上所述，女的取值范围是一等W/cW萼或k=±：.

774

18.（1）设动圆圆心为C（%,y）,动圆圆心C到点（1,0）的距离与到直线

%=-1距离差为定圆半径5

即动点C到顶点（1,0）的距离等于到定直线%=-1的距离，

根据圆锥曲线的定义，动点。的轨迹是以定点（1,0）为焦点，直线％=

-1为准线的抛物线，

圆心C的轨迹为曲线T的方程为：y2=4%.

（2）假设在曲线T上存在点P满足题设条件，不妨设P（%o，y0）,

4（%i，yi）,8（%2，丫2），

7,_yi-yo_4_yz-yo_4

KpA——，Kpp——,

xi-xoyi+yox2-x0y2+yo

>,>_44_4(yi+y2+2yo)①

PAPByi+yoy2+yo*+优+以加+力及

显然动直线l的斜率非零，

故可设其方程为x=ty+m（tER），

联立y2=4x,整理得y2—4ty—4m=0,

所以乃+'2=43yiy2=-4m,且yiWy2，

代入(J)式得kpA+kpB=16t+8yo

yj+4tyo—4m，

显然Vo。0，于是[4y()(kp4+kp^—16]t+(kPB+%)(*—4m)—

8yo=0,...②

欲使②式对任意4teR成立，必有4广yo(kpA+J/CDD2)—A16A—0,QA

((%+4)(%-4m)-8yo=0,

因为。。，mW0,

所以-4m0,

所以kpz+/cpB与=策*，即羽=—4m,

于是，当山＞0时，不存在满足条件的y。，即不存在满足题设要求的

点P；

当山＜0时，丫0二±2厂元，将此代入抛物线T的方程可求得满足条

件的P点坐标为（一m,27—Hi）,（-m,-2V-m）,

综上所述，存在点P（与48两点相异），其坐标为（―巾,2厂五），

（―叫一2AF五），直线P4PB的斜率之和为定值.

19.（1）设，（乙,”）,尸式一c,0）,尸2（c,0）,曲线Ci所在椭圆的长轴长

为2a,

则2a=|4产il+\AF2\=6.

又由已知及圆锥曲线的定义得：

2X

（%力-C）+y：=学（A+c）2+y：=1,xA+c=

得：（%A_C）2=：,又因为乙4尸2尸1为钝角，所以阳C=g,故%A=g，

即曲线Cl的方程为^+^=1（-3<X<|）,曲线。2的方程为必=

4%（0<%<0.

（2）设直线OC的方程为：y=kg由？71”广得（的％）2—

4%=0即C

同理得：D

(V2-/ci)2

4、_fci(V2-fci)

所以直线CD的方程为：y_g=广早星二也

“1f--------------

4(4)

即丫=虫等&+2企，

当％=0时，恒有y=2鱼，即直线C。过定点（0,2迎）.

20.（1）设直线y=k%+l被椭圆截得的线段为/P,

y=kx+1,

由,/2_得（1+«2左2）X2+2a2kx=0,

2

因此\AP\=Vl+^ki-x2\=红号•Vl+/c