2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编26（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(二十六)

一、单选题

1.(2023•广东汕头♦统考一模)已知函数f(x),g(x)的定义域为R,g，(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g'(x)=2,

f(x)-g'(4-x)=2,若g(x)为偶函数，则下列结论不一定成立的是()

A.八4)=2B.g'⑵=0

C./(-1)=/(-3)D./(1)+/(3)=4

【答案】C

【解析】对A：•；g(x)为偶函数,则g(x)=g(-x)

两边求导可得g'(x)=-g'(-x)

...g'(x)为奇函数，则g'(0)=0

令x=4,则可得〃4)-g'(O)=2,则/(4)=2,A成立；

()⑵

对B：令.2,则可得［if/(2⑵)+g-'遍2==22,则⑵=2=。,B成立；

〃x)+g'(x)=2,则可得/(2+x)+g'(2+x)=2

/(x)-g'(4-x)=2,则可得/(2-x)-g，(2+x)=2

两式相加可得：/(2+x)+/(2-x)=4,

•••/(X)关于点(2,2)成中心对称

则/⑴+f(3)=4,D成立

XVf(x)+g\x)=2,则可得/(x-4)+g，(x-4)=/(x-4)-^(4-x)=2

/(幻―g'(4—x)=2,则可得/(x)=/(x—4)

二/(x)以4为周期的周期函数

根据以上性质只能推出了(-1)+/(-3)=4,不能推出/(-1)=〃-3),C不一定成立

故选：C.

2.(2023•广东汕头・统考一模)已知yefo,^,-sx+sinxJ-co：2.y,则下列判断正确的是

I2Jv2Jcosx-sinxsin2y

()

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A.tan(y-x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

【答案】A

cosx+sinx_1-cos2y

【解析】由

cosx-sinxsin2y

cosx+sinx2sm-ysiny1+tanx/兀、

可得----------=----------=———，即urt-------=tantan(x+-)=tany,

cosx-sinx2sinycosycosy1-tanx4

」十兀(兀3兀)兀、.一八

由于x+[“彳J，0,-I,则tany>0,

../兀、八71(兀兀、

故tan(x+—)>0,.'.x+—G—,

44142J

由于y=tanx在(0,父上单调递增，故x+==y,即y_》==，

所以tan(y-x)=l,故A正确，B错误，

由于》+：=>得、+光=2》+:€(：弓)，则1011。+对=1不可能成立，C错误，

由于不能确定y+x是否等于与，故tan(y+x)=-1也无法确定，D错误，

故选：A

3.(2023.湖南株洲.统考一模)已知a=e。/，b=^,。=晒，则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】c

【解析】由lna=lne°'=0.1,ln/>=lnj^=In1.1,则lna—lnb=0.1-lnl.l=0.1—ln(l+0.1),

令/(x)=x—ln(l+x)，((可=1一上=3，

当时，/^x)>0,则/(x)单调递增，即〃0.1)>〃0)=0,

故0.1-lnl.l>0,可得lna>lnb,即a>〃；

lt>2

由〃°二=(l+0.1)=l+C[00.1+C[()0.14-+C^0.1'°

2

=1+1OXO.1+C;OO.1++C；泣尸=2+C；00.F++C^0.r°>2,

且1°=1.9<2,则R°>d°,即b>c.

综上，a>b>c.

故选：C.

4.(2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测)已知。、beR,且时H0,对任意x>0均有

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(lnx-«)(x-Z?)(x-6Z-/?)>0,则()

A.a<0,h<0B.a<0,b>0

C.〃〉0,b<0D.6Z>0,b>4

【答案】B

【解析】Inx-〃=Inx-In/=ln-^-,故In工一。与In二■的符号相同，

当In1r>O=lnl时，x>/;当ln=<O=lnl时，x<^.

所以，lnx-a与工-炭的符号相同.

.\(lnx-tz)(j;-Z?)(x-6z-/?)>0<=>(x-ert)(x-Z?)(x-6r-Z?)>0,

令/(x)=(x-e")(x-〃)(太一。一〃)，所以，当x>。时，〃x)NO恒成立，

令/(%)=。，可得M=e"，"=b,x3=a+b.

,而工0,分以下四种情况讨论：

对于A选项，当々<0,b<0时，则a+/?<Z?<O<e",当0cx<e"时，/(^)<0,不合乎题意，A选项错误;

对于B选项，当〃<0,Z?>0时，则〃+力<力，

若〃+人>0,若a+b、b、e”均为正数，

①若e"=0，则〃x)=(x-a—0)(x—Z;)2,当Ovxva+b时，/(x)<0,不合乎题意；

②若e"=a+b,则/(工)=(%一4一犷(工一匕)，当Ovxv.+A时，/(x)<0,不合乎题意.

③若。+人、b、/都不相等，记Z=min｛》,〃+。,，｝,则当Ovx<£时，/(x)<0,不合乎题意.

由上可知，a+b<0,当x>0时，若使得/x”0恒成立，则｛“如下图所示，

e=b>0

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X)

所以，当a<0,Z?>0时，且a+Z?40,b=e">0Hi>当x>0时，〃x)20恒成立;

对于C选项，当a>0,6<0时，则bva+6,

①若a+/?40时，则当0cx<e"时，/(x)<0,不合乎题意；

②当a+b>0时,构造函数g(a)=e"-a-6,其中a>0,g'(n)=e"-l>(),

函数g(4)在(。,+8)上单调递增，则g(a)>g(0)=l-b>0,:.ea>a+b.

当a+A<x<e"时，由于x-6>0,则/(x)<0,不合乎题意，C选项错误；

对于D选项，当a>0,。>0时，^!\b<a+b,此时匕、a+b.e"为正数.

①当6、a+b,e"都不相等时，记f=min{b,〃+/#},当0<x<f时，/(/)<0,不合乎题意；

②若6=e"，则/(司=(工-与2(X一“一与，当0<x<b时，/(x)<0,不合乎题意；

③当e"=a+b时，/(x)=(x-^)(x-fl-&)?,当0cxeb时，/(x)<0,不合乎题意.

所以，D选项错误.

故选：B.

5.(2023・湖南・湖南师大附中校联考模拟预测)如图，。是平行四边形ABCD所在平面内的一点，且满足

ZAOB=-ZBOC=-,2y/3\OA\=2\OB\=3\OC\^6,贝卜()

26

【答案】D

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【解析】由已知，可得"A|=6,|OB|=3,|OC|=2,/AOC=5,

又四边形ABCD为平行四边形，

所以|。£>『=(OC+CD)2=(OC+BA)2=(OC+OA-()B『

*2-2-2

=OC+OA+OB+2OCOA-2OCOB-2OAOB

=4+3+94-0-2x2x3xcos--2x>/3x3xcos—=1,

36

所以P4=i.

故选：D.

6.(2023・湖南邵阳•统考二模)如图所示，在矩形ABC。中，AB=64)=1,AE_L平面ABC。，且A尸=3,

点E为线段CD（除端点外）上的动点，沿直线AE将翻折到cO'AE,则下列说法中正确的是（

A.当点E固定在线段8的某位置时，点屏的运动轨迹为球面

B.存在点E,使49人平面

C.点A到平面BCF的距离为正

2

f713他

D.异面直线£尸与BC所成角的余弦值的取值范围是［石，记）

【答案】D

【解析】

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选项A：当点E固定在线段CD的某位置时，线段AE的长度为定值，4D，DE,过。叫乍07/_L于点H,

”为定点，的长度为定值，且。“在过点”与AE垂直的平面内，故£>0的轨迹是以H为圆心，DH为

半径的圆，故A错；

选项B：无论E在8（端点除外）的哪个位置，A8均不与AE垂直，故A8不与平面AZ）'E垂直，故B错；

选项C：以"，AD，A尸为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,尸（0,0,3）,8便,0,0）,

C(V3,l,0).

BC=(0,l,0),BF=(-"0,3),A8=(G,0,0),

n-BC=y=0l

设平面56的法向量为〃=(x,xz),「.〈•,取〃=(30,1),

nBF=-yJ3x+3z=0

\n-AB\

LA3

则点A到平面BCF的距离为d=-rr=|,故C错；

H

选项D：设2e(O,l),BC=(0,1,0),£F=(-732,-1,3),设所与8c所成的角为6,则

者言"夜匕‘（噜'噜）’故口正确.

故选：D.

7.（2023•湖南邵阳•统考二模）若不等式上“-（l-g|ln（x-l）20对任意xe[2e+l,+s）恒成立，则正实数r的

取值范围是（）

rIn2、「In2+1、Gn2+1）「ln2ln2+l]

2e+1J2e+1）（2e4-1J2e+12e+1

【答案】B

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【解析】因为x22e+l,恒成立，

即txe1'N(x-1)ln(x-l)=e"*T.In(x-l)恒成立.

令/(x)=m，(x>0),则/(a)Z/(ln(x_l))恒成立.

因为r(x)=(x+l)e、>0恒成立，故f(x)单调递增，

所以在x32e+l时恒成立，

.S皿二^(xN2e+l)恒成立.

令g(x)=———(-X>2e+1),

g\x)_±1TM1)_.

一x2一x2(.v-l)

4'/?(x)=x-(x-l)ln(x-l)(x>2e+l),则"(x)=-ln(x-l)<0

.・・〃(x)单调递减.A/z(x)</z(2e+l)=2e+l-(2e+l-l)-ln(2e+l-l)=l-2eln2=l-eln4<0,g|Jg'(x)<0,

g(x)单调递减，故g(x)4g(2e+1)=.

则正实数f的取值范围是乎W，+e).

L2e+l)

故选：B.

8.(2023糊南・模拟预测)已知函数〃力通(力的定义域为凡8'3为8(力的导函数,且〃司+8'(司-6=0,

,

/(x)-(?(5-x)-6=0,g(x)为偶函数,则"5)的值为()

A.3B.5C.6D.11

【答案】C

【解析】g(x)是偶函数，则g(—x)=g(x),两边求导得—g〈—x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数，由

f(x)+g'(x)-6=0,/(x)-^(5-x)-6=0,得f(x)-6=-g'(x)=g'(5-x),即g'(_x)=g'(-x+5),

所以g'(x)是周期函数，且周期为5,

又令x=0,得g'(0)=g'(5)=0,

由/(x)+g'(x)—6=0,令x=5得〃5)+g'⑸—6=0,所以"5)=6.

故选C.

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9.（2023•湖南•模拟预测）已知正方体A8CD-A4CQ,AB=26,点E为平面A0£>内的动点，设直线AE

与平面所成的角为a,若tana€则点E的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（)

A.[n,2n]B.[兀,4兀]C.[4兀,6兀|D.[4兀,8兀]

【答案】D

【解析】如图所示，连接A0交平面48。于O,连接E。，AC

C^l^ABCD,即u平面A8C£>,故CJ工BD,

AC1BD,ACCC,=C,AC,CC,u平面ACC,,故5。工平面ACC,,

ACu平面4CG，故8。LAC-

同理可得AB，AG，ABcBD=B,ARBDu平面ABO,故AC；L平面A/。，

0A

所以NA£。是AE与平面A8D所成的角，ZAEO=a,所以tana=k，

OE

在四面体A-A8D中，BD=AD=AB=2娓,AB=AD=AAt=2yf3,

所以四面体A-ABO为正三棱锥，。为AB。4的重心，如下图所示，

A

D

所以B0=当x2#=2近，AO^^AB--BO2=2-

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一0A2

仄为tan々=---=----G』I，所以2WEOW2近,

OE0E

乂E在平面AB。内的轨迹是以。为圆心，半径为0E的圆,

所以E在平面内的轨迹围成的图形面积Se[4兀,8司.

故选：D

22

10.（2023糊北•统考模拟预测）已知匕，尸2分别是双曲线「：*•-专■=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过匕的

直线分别交双曲线左、右两支于A,8两点，点C在x轴上，CB=3EA,8名平分则双曲线「的

离心率为（）

A.y/1B.y/5C.6D.72

【答案】A

因为CB=3月A,所以

设归剧=2c,则后。=4以设|例|=t,则忸耳|=3f,|明=2t.

因为B名平分N^BC,由角平分线定理可知，招=陶=

所以忸C=2忸制=6f,所以|AK|=g|BC|=2r,

由双曲线定义知|A闾-|A耳|=2,B|J2t-t-2a,t-1a,①

又由％卜|竭=2a得忸闾=3・2a=2,

所以|明|=|岗=|M|=2t,即鸟是等边三角形，

所以NgBC=NABF[=60°.

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4

在,中，由余弦定理知cos/耳的=忸用馨1看皿

2,|r班卜|明I

即白"生产’化简得

把①代入上式得右=£=近，所以离心率为力.

a

故选：A.

11.（2023•湖北•统考模拟预测）已知函数〃x）=log3（3-+3）-gx,若"a—1及/（勿+1）成立，则实数“

的取值范围为（）

A.(―0°,—2]B.(-co,-2][0,4-co)

C,-2,-D.(-oo,-2JJ-.+°°I

【答案】C

【解析】因为g(x)=log3(3'+l)-gx=log3(3年+3凸)的定义域为R,又g(-x)=log3@T+3B=g(x),故函

数g(x)为偶函数，

又xe［o,y）时，3f>l.y=3弧单调递增，故由复合函数单调性可得函数y=3=+3置在［。，+8）单调递增,

函数y=log3x在定义域上单调递增,

所以g（x）在［0,y）单调递增，

r-2

所以/（x）=log,（31+3）-gx=1+log,（3*々+1）_；x=log3（3+1）-；（x-2）=g（x-2）,

所以f（x）关于直线x=2对称，且在［2,+8）单调递增.

所以〃a_I）N/（2a+l）o|a_l_2闫2a+l—2|,

两边平方，化筒得（a+2）（3a—4）40,解得-

故选：C.

12.（2023•山东潍坊•校考一模）若正实数a,〃满足a>b,且lna/n6>0,则下列不等式一定成立的是（）

A.log„b<0B.a-->h--C.2ah+,<2a+bD.ab''<b^'

ba

【答案】D

【解析】因为d>6>0,丁=1nx为单调递增函数，故lna>ln〃，由于lna」nb>。，故lna>ln/?>0,或

lnZ?<lnd;<0,

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当lna>lnb>0时,a>b>\,此时log,屹>0；

a------1b—|=1------|>0,故Q—>h—；

bya)\ab)ba

。力+1-(〃+/?)=(〃-1乂/?一1)〉0,2如।>T+b;

当ln》<Ina<0时，Ovbvavl,止匕时log“〃>0,b—|=(a-b\\1--|<0,i^a——<b——；

bya)Iab)ba

Q/?+1-(Q+/?)=(Q-1)(〃一l)>0,>2“+J

故ABC均错误；

D选项，两边取自然对数，。—l)lnav(a—l)ln6因为不管。还是Ovbvavl,均有

(a-l)(ft-l)>0,所以等<瞥，故只需证”〈丝即可，

<7-1b-1a-\b-\

,1।

inx]------Inx

设/⑴=-J(x>0且xwl),则/(x)=X,，令g(x)=l------Inx(x>0且xwl),则

(1)

g'(x)=5-1=^^,当x«0,l)时，g<x)>0,当xe(l,+a>)时，g，(x)<0,所以g(x)<g(l)=0,所以

/'(x)<0在x>0且xwl上恒成立，故""=苦(x>0且X")单调递减，因为。>6,所以罟<£，

结论得证，D正确

故选：D

13.(2023•山东潍坊•校考一模)已知S,是数列｛a,J的前"项和，且弓=生=1,«„=2a„_,+3a„,2(n>3),

则下列结论正确的是()

A.数列｛4-4川｝为等比数列B.数列｛。向+24｝为等比数列

【答案】D

【解析】由题意得：。3=2。2+34=5,。4=2。3+3。2=1。+3=13,

由于4-々=0,故数歹Ka,,一4/不是等比数列，A错误;

则4+2〃]=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

773

由于:故数列｛。向+24｝不为等比数列，B错误；

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〃23时，an=2a,t+3a„^,即+%=3（。,-+%），

又4+%=1+1=2,

故｛。e+4,｝为等比数列，首项为2,公比为3,

故%+|+%=2*3"-1

2,8

故a2+q=2,a4+a3=2x3,........,+a39=2x3,

1_a40n40

以上20个式子相加得：5^=2x（1+32+34++338）=2X-^-=^=^,C错误；

因为—+4=2x3一,所以a,*+*=2x3"，两式相减得:

a“+2-%=2x3"-2x3"T=4x3"、

当〃=24时，4*-。2*-2=4x3”",-。2«-4=4X3"T............a4-a2=4x3,

o_q2"l^2k-\_Q

3

以上式子相加得：«2*-«2=4x（3+3++321）=4、之岩一=三二，

故4*=二^+4=3^，而生=1也符和该式，故。”=3

令2人〃得：a=江=3"-1+（-1）",

"22

当〃=2々-1时，4”-1-。2/-3=4x32*',%/-3-。2火-5=4X3"6,........,a,-a,=4X3°,

［_R2*-2-12）1-2_।

以上式子相加得：=4x021+320++3。）=4、（］=

故〃”一二二三工+4;工产，而4=1也符号该式，故~—»

令2%一］=〃得：a=----i_L—,

"2

综上：a=3"'+（T）"',D正确.

"2

故选：D

14.（2023•山东济宁•统考一模）已知直三棱柱ABC-4耳0,。为线段人用的中点，E为线段CG的中点,

AE过△A0E的内切圆圆心，且A£»，£»G，CA=6,他=2,则三棱锥。—ABC的外接球表面积为（）

272727

A.—兀B.—reC.—兀D.2771

842

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【答案】B

【解析】如图，。为线段A片的中点，ADLDCt,平面4出6，。6<=平面48«,

故AA^DG，ADC4A=A,4力,44（=平面48及4，故Z）GJL平面ABB0,

A]B|U平面A8B1A，故力GlA^i，

故GA=GB\=CA=CB=6

因为E为线段cc,的中点且AE过XAC\E的内切圆圆心,

故ZA.EC,=NAEA=NAEC,即ZAEC=17T.

所以CG=2GE=2EC=2.

取A3的中点E，连接CF、DF,

分别在CF、DF上取△C48、_ZM8的外接圆圆心。|、O2.

过《,。2分别作平面以B，平面DAB的垂线，两垂线交于点。,

则点0为三棱取O-ABC的外接球球心.

在△C48中由余弦定理得：cosN4CB=松+叱-、'2=/+/二-=1,

2ACBC2乂863

所以sinZ.ACB=.

3

设△CAB、ZMB的外接圆半径分别为4、4，三棱锥O-ABC的外接球半径为R.

AB2

"=sinNAC屋布,解得耳二苧，同理4二：，

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222

所以0Q=QF=；,R=OC=00；+OtC=乎)+图=备

9777

所以三惨锥D-ABC的外接球表面积为S=4K/?2=47tx—=—K.

164

故选：B

15.(2023•山东淄博•统考一模)已知"小-1,b=lnl.3,c=tan0.3.其中e=2.71828…为自然对数的底数,

则()

A.c>a>hB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【解析】由〃一6=e03—l-tan0.3,令=e'tanx=coskcosksinx,。<),

cosx4

☆g(x)=e"cosx-cosx-sinx,贝ijg'(x)=(e*-l)(cosx-sinx),

当0<x芍时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,：)上单调递增，

Xg(O)=e°cosO-cosO-sinO=l-l=0,

所以g(x)>。,又cosx>0,

所以〃x)>0,在(0,1成立,

所以/(0.3)>0,即“0.3)=e03-l-tan0.3>0,

所以e03_l>tan0.3,即0>c,

令〃(x)=ln(l+x)_x,,所以/«*)=-^_]=—^,

因为xe(0,])所以好<0,即〃(x)<0,

所以〃(x)在(0目上单调递减，

所以〃⑴及⑼:。，即ln(l+x)<x,

令〃7(x)=x-tanx,xe|0,三]所以加(x)=l---,

I2)cos'x

因为x40，M，所以1二<0,即加(x)<0,

I2)cosx

所以加(x)在(0胃)上单调递减，

所以m(x)<w(0)=0,即xvtanx,

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所以ln（l+x）<x<tanx,在（0卷）成立,

令x=0.3,则上式变为In（1+0.3）<0.3<tan0.3,所以2<0.3<c,即A<c,

综上，a>c>b.

故选：B.

16.（2023•山东临沂•统考一模）已知x=Jog[y=«,x=log、.z,则（）

A.x<yvzB.yvxvzc.Z<x<yD.zcyvx

【答案】B

【解析】令则/⑴在R上单调递增，

由，则时/（力=0,即x=,rfolog!y=Vx=>y=

X<yfx，

x

X=logvz=>z=x>J=x.

综上：y<x<z.

故选：B.

17.（2023•山东临沂•统考一模）已知双曲线C:[-*=l（a>08>0）的左、右焦点分别为£,居，过《的直线

a~b~

与C的左、右两支分别交于点M,N,且用M：国M：|MN|=1:3:4,则C的离心率为（）

A.叵B.应C.恒D.巫

3232

【答案】D

【解析】因为国刈:|取V|:|MN|=1:3:4,

所以|耳M=t,|玛M=3t,|ACV|=4r,

由双曲线的定义得|N国-优N|=2f=2。，

解得，

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则|MN|=4a,

设%M：切=x+c,知（西，,）,'（%2，%）,乂，必>0,机>0,

my=x+c

联立X2y2,消去X得伍2病-a，y?-2相助2y+〃4=0,

/廿

h4

由韦达定理得：M+%=，*丫2=,•>>>2

b/~m"~-.a~，b~tn"-a~

29/

由⑶M|:|MV|=1:4,得弘=卜,解得加r=-------

%2-5?

所以|MN|=Jl+加+%『-4y.%,

^m2c2bA4/

+W=4a,

b2m2-a2

18.（2023・山东日照•统考一模）已知数列｛4｝的前〃项和为6,,,且满足％=1,44”=2S“，设”弟，若

存在正整数PM（P<4）,使得4，bp,%成等差数列，则（）

A.p=lB.p=2C.p=3D.p=4

【答案】B

【解析】数列｛aj满足4=1,ana^=2S„,

2

当〃=1时，4a2=2Si=2q,解得：«2=;

当〃22时,2all=2(Sn-S„_,)=a„(an+l-an_,),

因为4*0,所以%M-4T=2,所以数列｛a,,｝是首项为1,公差为1的等差数列,

所以为=1+（〃-1）=〃，〃=李与

若存在正整数P，<q）,使得bt,3,%成等差数列,

则2a所以泮;+/①

因为数列｛々J是单调递减数歹1J,

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当P=I时，由[=3+看，解得：q=i，舍去：

〃“，川3一3-3鹏3〃3P'

当34P时,；2金3竽,^->0-所以零<；+9①式不成立,

41

所以p=2,则有巳=：+a/解得：q=3,

故选：B.

19.（2023•山东日照•统考一模）已知椭圆C：J+Afg〉/,〉。）的左、右焦点为[,尸2,点A（-2,2）为

22

椭圆C内一点，点。（a,b）在双曲线E：?-?=1上，若椭圆上存在一点P,使得|网+|尸鸟1=8,则。的

取值范围是（）

A.a+1,5]B.[3,5]C.（75+1,275]D.[△向

【答案】A

【解析】点Q（a,。）在双曲线E：--^=1±.所以片一片=4.

44

所以椭圆左焦点"坐标为（-2,0）.

因为|网+|尸耳=8,所以|网+加一归耳|=8,.』期一出耳中8-加国*|=2,

所以34a<5.

因为储-〃=4,所以从=储一4.

点A（—2,2）为椭圆C内一点，所以m+及<1,噜+/七<1,

所以，―12/+16>0,;.4>遥+1或“<百_1.

综上：\[s+1<a<5.

故选：A

二、多选题

20.（2023•广东汕头•统考一模）已知2、=3、'=36,则下列说法正确的是（）

A.xy=2（x+_y）B.xy>\6C.x+y<9D.x1+y2<32

【答案】ABC

【解析】由2*=3,=36可得：=log,36,y=log336,

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对于A：=-+-=log3+log,2=log6=,所以刈=2（x+y）,故选项A正确；

xyyx366236

对于B：x=log236=log24+log29=2+log,9,log,8<log29<log,16,

即3<logz9<4,所以x=2+log29e（5,6）,

y=log336=log,9+log,4=2+log,4,log,3<log,4<log,9即1<log34<2,

所以y=2+log34e（3,4）,所以x+y>8,xy=2[x+y）>\6,故选项B正确:

对于C：x=log236=2+21og23,y=log,36=2+21og32,

所以x+y=4+2（k>g23+log32）=4+2卜g23+，^,^-log23=?e（l,2）,

则x+y=4+21+）在fe（l,2）上单调递增，

所以x+y=4+2（r+；）<4+2x（2+g）=9,故选项C正确；

22

对于D：x=2+log29e（5,6）,y=2+log,46（3,4）,所以f>52=25，y>3=9,

所以x?+y2>34,故选项D不正确，

故选：ABC.

21.（2023•湖南株洲•统考一模）已知三棱锥A-38的所有棱长均相等，其外接球的球心为。.点E满足

AE=AAB（O</1<1）,过点E作平行于AC和50的平面a,a分别与棱BC,CD,A。相交于点F,G,”，则

（）

A.当;1=1时，平面a经过球心0

2

B.四边形EFGH的周长随2的变化而变化

2

C.当时，四棱锥A-瓦6〃的体积取得最大值

D.设四棱锥O-EFG〃的体积为八为上二£）,则V（2）=叭1一冷

【答案】ACD

【解析】对于A选项，因为AC〃平面EFG”,ACu平面ABC,

平面ABCn平面EFGH=EF,

:.EF//AC,同理可得G〃〃AC,所以反〃G”,同理£77〃尸G,

所以，四边形EFG”为平行四边形，则EF=GH=,EH=FG,

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取线段BD的中点M,连接AM,CM,

因为AB=4)，例为8。的中点，所以4WL8D，同理B£>_LCW,

因为CM=M,AM,CMu平面ACM,所以BO/平面ACM,

ACu平面ACM,ACA-BD,

当2=1时.，则E为A8的中点，则F为BC中点，同理E为CO的中点，则H为AE>中点,

2

22

因为防〃AC,EH//BD,AC工BD,EF工EH,

所以四边形£FG〃为正方形，

连接F”,EG,交于O',则O'E=O7^=O'G=O7/,

由二棱锥A-88的所有棱长均相等，则△AB84DBC,

可知AF=£)F,”为AO的中点，

故用1AD，同理尸〃_LBC,EG_LA8,EG_L8,

又AE=AH=CF=BF，故Rt.AEOgRtAHO^RtBFgRtCFQ、

则即o'即为外接球的球心o,

故当2=!时，平面EFG”即a经过球心。，A正确；

对于B,设三棱锥A-3CZ)的棱长为a,

由(1)知E尸〃AC且四边形EFG”为平行四边形，AE=A/1B(O</1<1).

BEEF

所以——=—=1-2,/.EF=(1-2)AC=(1-2)a,

ABAC

同理EH=ABD=Aa,所以四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=2a,

即四边形EFG”的周长不随2的变化而变化，B错误：

对于C,由以上分析可得E”=480=£F-(l-A)AC=(l-2)a,

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故SEFGH-2(1-团〃，

设AM交EH于N,CM交FG于R,连接NR.

因为AC〃平面EFGH,ACu平面AMC,

平面AMC平面EFGH=NR,

AC//NR,

由于1平面4cM,EH//BD，故平面ACM,

EHu平面EFGH,故平面EFGH_L平面ACM,

平面EFGH。平面ACM=NR,

过点M作MT，NR,垂足为7,并延长交AC于。，则MTJ_AC,用了,平面6;心”,

则7QL平面EFG",

即TQ的长即为AC,NR间的距离，也为A点到平面EFGH的距离，

由EH〃BD,A£=2AB(O<A<1)u]^=,

由于AC〃NR,则7Q=/IM0,jTijAM=CM=-y«>故。为AC的中点，

故AQ=ga,故，则7。=孝几4，

3

故四棱锥A-EFGH的体积匕KFGH=~W~x—Aa=—/I2(1-A)a,

326

令g(团=^A2(l-2)a3,(0<2<1).则g'(A)=^(2A-3A2)，

2

令g'(2)=0,则2=§或；1=0(舍去)，

当。<2〈利2•，g'(0)>0,g(。在(0,令2上单调递增,

22

当时，g'(X)<0,g(㈤在(：,1)上单调递减，

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故兀=:2时.，g(㈤在(0,1)上取到最大值，

2

即当2=］时，四棱锥A-EFGH的体积取得最大值，C正确；

对于D,由以上分析可知MQ，AC,而AA/=CM,故。为AC的中点，

则7为NR的中点，也即EG,户H的交点，

当人=；时，7即为三棱锥A-BCD外接球的球心O,此时OQ=孝a,

时，7,0不重合，且根据正四面体的特征可知O-定在MQ匕

则四棱锥O-EFG”的高为

23

故四棱锥O-EFGH的体积为V(Z)=VO_EFCH2)ax|=^/l(l-2)x11-2A|a.

5

则丫(1-/1)=》(1-彳)心|2，-1|/=丫(无)，D正确,

故选：ACD

22.(2023•湖南株洲•统考一模)已知sinl5。是函数

/(xbqf+Gd+KxZ+qx+aK%,%，%4，/eZ,4H0)的零点，则下列说法正确的是()

A.—=16B./(cosl50)=0

。0

c./(-x)=/(x)D./(X)2n=-3

【答案】ABC

【解析】设sin15°=sin(45。-30°)=」与巨=%,

片=三与4xj-2=-x/3,(4x；-2『=3,

即16片-16片+1=0,

所以要使与为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式16x4-16d+1.

4

由f(x)=a4x+应+廿2+平+4中x的最高次数为*sin15。是它的一个零点，

242

因此/(力=a"++出f+4%+%=%(1-16x+1)=16a{)x-16aQx+%,

即q=16〃O，〃3=°，出=一16%，4=0.

对A选项，幺=咽=16,是正确的；

。。为

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4220

对B选项，/(cosl5°)=^0(16cos150-16cos150+1)=6f0|_(4cos15°-2)--3=a[)|^(2cos30)"-3^=0,是

正确的；

4A2

对C选项，/(-x)=16q)(r)-164(-x)~+4=\6aQx-16<70x+%=/(x),是正确的：

422

对D选项，/(J；)=16aox-16aox+aQ=a0^(4x-2)--3,当/>0时，/(x)最小值为-3%,当%<0时,

/(X)无最小值，因此D选项是错误的.

故选：ABC.

23.(2023•湖南•湖南师大附中