新高考专用2023年高考数学二轮复习 考点2 数列中的开放题含解析

专项二数列

考点2数列中的开放题

大题拆解技巧

【母题】(2021年全国甲卷)已知数列区｝的各项均为正数，记S,、为瓜｝的前n项和,从下面①

②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列｛a,,｝是等差数列;②数列｛国｝是等差数列;③a?=3a,.

【拆解1】已知数列｛an｝的各项均为正数,记S0为｛an｝的前n项和，数列｛aj是等差数歹(J,数列

｛图｝是等差数列，求证:az=3ai.

2

【解析】设丙、an+b(a>0),则Sn=(an+b),

当n=l时，ai=Si=(a+b)2;

22

当n22时，an=Sn-Sn-i-(an+b)-(an-a+b)=a(2an-a+2b).

因为｛a„｝也是等差数列，所以(a+b)?=a(2a-a+2b),解得b=0.

2

所以a„=a(2n-l),所以a2=3ai.

【拆解2】已知数列｛a,,｝的各项均为正数，记S”为｛a„)的前n项和,数列⑸｝是等差数列,a2=3ai>

求证:数列｛国｝是等差数列.

1

【解析】因为@2=3ai,数歹ij｛aj是等差数歹U,

所以公差d=a2-ai=2ai,

所以Sn=na]+^-^-d=n2a],即居二/57必

因为JSn+i-，§^二“7(n+1)~y/a^n=y[a^f

所以｛离｝是等差数列.

【拆解3]己知数列｛aj的各项均为正数，记Sn为｛③｝的前n项和，数列｛图｝是等差数

列,a2=3a,.求证:数列区｝是等差数列.

[解析]设居卜an+b(a>0),则Sn=(an+b)；

当n=l时，ai=Si=(a+b)2;

当n22时,a.FSn-Sn-F(an+b)J-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).

2

因为a2=3ai,所以a(3a+2b)=3(a+b),解得b=0或b=个.

22

当b=0时,ai=a,an=a(2n-l)(n^2);当n》2时,an-an-Na"满足等差数列的定义,此时数列｛aj

为等差数列.当b二号时,国=an+b=an*,则心*$0,不符合题意,舍去.

综上可知,数列EJ为等差数列.

小做变式训练

2

在①a1+a3-2a2=0;②a2-ai=2;③S3=3a2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.

已知数列⑸｝的各项均为正数,其前n项和为Stl,且满足4Sn=ana『i+l,.

(1)证明：数列｛&｝是等差数列.

(2)若数列｛b„｝满足b„=—,其前n项和为T„,且T.〈az对任意nCN*恒成立,求ai的取值范围.

anan+l

【拆解1］已知数列｛备｝的各项均为正数，其前n项和为S”,且满足4s产a“an“+l,a,+a3-2a2=0.

证明：数列｛3,｝是等差数列.

=

【解析】因为4Snanan4i+l,所以4Sn+l=an+lftn+2+l,

=-

两式相减得4an-1Sn-1Sn+2a»a-n+1,

—=

因为an+i>0,所以an+2an4,

所以数列｛a..)的奇数项和偶数项分别成等差数列.

当n为奇数时，an=ai+4(手T)刊+2n-2;

当n为偶数时,an=a2+40-1)=a2+2n-4.

由ai+a3-2a2=0得a?二巴产=ai+2,

所以当n为偶数时，arFa2+2n-4=ai+2n-2.

此式也适合n为奇数的情况,所以a„=a.+2n-2,n£N*,则an+1-an=2为常数，

3

所以数列｛aj是以2为公差的等差数列.

【拆解2】已知数列｛输｝的各项均为正数,其前n项和为S„,且满足4s产aMi+1,@22=2.证明:

数列｛aj是等差数列.

【解析】因为4Sn=an3ri+l^*l,所以4Sn+l=an+lBn+z+l,

两式相减得4an+i=an+ian+2-anan+i,

因为3«+1>0,所以Qn+2~SLn=4,

所以数列｛劣｝的奇数项和偶数项分别成等差数列.

当n为奇数时，an=ai+4(乎-1)=a1+2n-2;

当n为偶数时,劣尸az+4(^-1)=a2+2n-4.

因为ai=2,即&=a1+2,

所以当n为偶数时，an=a2+2n-4=ai+2n-2.

此式也适合n为奇数的情况，

所以an=ai+2n-2,neN*,贝！JaxaN为常数，

所以数列｛aj是以2为公差的等差数列.

【拆解3］已知数列｛a｝的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+l,S3=3a2.证明:

4

数列｛aj是等差数列.

【解析】因为4Sn=anHn+l+1,所以4Sn+产8"a+2+1,

两式相减得4an+i=an+ian+2-anan+1,

因为311+1)*0,所以311+2—dn—4,

所以数列｛③｝的奇数项和偶数项分别成等差数列.

当n为奇数时,4二a1+4(字T)=ai+2n-2;

当n为偶数吐热=az+4(j-1)=a2+2n-4.

因为S3=3a2,所以ai+a2+(ai+4)=3a2,

即a2=aj+2,

所以当n为偶数时，an=a2+2n-4=ai+2n-2.

此式也适合n为奇数的情况，

所以an=ai+2n-2,nWN*,则an+i-an=2为常数，

所以数列｛劣｝是以2为公差的等差数列.

【拆解4］己知数列｛aj是以2为公差的等差数歹山若数列｛bj满足b,=，,其前n项和为

anan+l

Tn,且TMaz对任意n£N*恒成立,求aI的取值范围.

5

【国军析】由（1）知,an=a］+2n-2,an-i-an=2,

所以

aa

nn+l2an/+1

所以端(日)号(聂)+“号)="—修仁磊)•

设f(n)4(J一一二■),nGN*,易知f(n)单调递增,所以-ylWTW",

2，］ai+2na((ai+2)2al

又a?=ai+2,TWaz恒成立，所以ai+2N^—,即2a：+4a「120,所以ai~,

所以ai的取值范围为［容,+8).

通法技巧归纳

1.证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法:对于n22的任意自然数,验证a„-a,rl为同一常数.

(2)等差中项法:验证2an-「a“+anf(n》3,nGN*)都成立.

2.判定一个数列是等差数列常用到的结论：

⑴通项公式:a„=pn+q(p,q为常数)Q{a,,}是等差数列.

(2)前n项和公式:S.=An、Bn(A,B为常数)={aj是等差数列.是否是等差数列的最终判定还

是利用定义.

3.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的

6

判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

4.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=l的情形进行验证.

突破实战训练

〈基础过关〉

1.在①a2=16,ae+4a0=32a,「i(n22,nWN*):②工产：二③T"=竺黄这三个条件中任选一个补充

到下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在等比数列⑸｝中，an〉0,其前n项和为T“，且，数列®｝的前n项和为S.，且

bn=log2ari.

⑴求bn；

(2)若1+白+1+…+白20.96,求n的最小值.

【解析】(1)设数列｛a„｝的公比为q,则由an>0得q>0.

方案一：选择①出二16,an+i+4an=32an-i(n>2,n£N*).

:

因为an+i+4an=32a„-I(n52,neN*),

2

所以a11-iq+4an-iq-32all-i=0,

即q2+4q-32=0,

7

解得q=-8或q=4.

因为an>0,所以q=4.

n-2n

所以an=a2•q』6•4=4,

n

所以bn=logzan=log24=2n,即bn=2n.

方案二:选择②T,"^.

因为T.=F，

所以ai=Tk一=4,

又因为丁2=胃工20,

即ai+a2=20,所以32=16,

故q=-^=4,

ai

n-2

所以an=a2•q=16•f

所以bn=log2an=log24n=2n,即bn=2n.

方案三:选择③T产祟.

因为T产竽，所以ai=T产里>

解得ai=4.

8

又因为12二当二即a2=3ai+4,所以a2=16,故q—=4,

3a1

n-2n

所以an=a2•q1-16•4=4,

1

所以bn=log2an=log24-2n,即bn=2n.

(2)由(1)可得S”=2+4+6+・・・+2n=^1^=n(l+n),

所以皆八1、11,

Snn(l+n)nn+1

所W—+—+—++—=1…+-—―—=1——

S]S2s3Sn223nn+1n+1

因为J+J+J+…+5>0.96,所以1-4T>0.96,

D1、3、nn+i

所以n224,故n的最小值为24.

2.在①ai,a3的等差中项是3;②a2,al的等比中项是a彳;③a[+a3+a5=14这三个条件中任选两个,

补充在下面的问题中，并解答.

已知正项等比数列｛aj满足,.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)记数列｛a„｝的前n项积为T”求数列｛点｝的前n项和S„.

[解析】(1)记数列｛aj的公比为q(q>0).

若选①②，则『+23江+哽=6,

(a2a4=afq4=a1,

9

解得ai=2,q-V2,

n+l

所以数列｛a,,）的通项公式为a,,=2h.

ai+a3=ai+aiQ2=6,

若选①③,则

2

a1+a3+a5=Hi+a^+a1q4=14,

解得ai=2,Q-V2,

n+l

所以数列（a„｝的通项公式为a„=2-.

若选②③,则

◎i+a?+25=a】+ap2+ap'=14,

解得ai=2,q=V2,

n+l

所以数列｛an｝的通项公式为a„=2-.

_n(n+3)ng+3)

⑵由题意得T„=(V2)2X(V2)3X-X(调严=(2)F~=2、-,

所以氤言,

$-=川1-》+（/）+（/）+…+（片—+（土焉）+（9+”三（1+滤一左-京-白）卷一

]2n2+48n+44

3(n+l)(n+2)(n+3)

3.在①Su=nan+i-n"n;②既的同一(2n+l)an+i+2na「2n(2n+l)=0;③a\i-密=8(n+1)这三个条件中

任选一个,补充在下面的问题中，并作答.

问题:设数歹IJ｛&,｝的前n项和为S,„an>0,ai=3,且.b„-求｛bj的前n项和为T”.

(an-l)(an+l)*

10

2

【解析】选①,Sn=nam,-n,则Sn-i=(n-l)an-(n-l)-(n-l)(n^2),

两式相减得ar「aF2(n22),

当n=l时，Si=a2-1-1,所以a2=5,a2-ai=2,

所以数列｛a„｝是一个等差数列,首项为3,公差为2,

所以an=3+(n-l)X2=2n+1,

所以(2n+l-l)(2n+l+l)4n(n+l)4R帝)，

所以T-4…W(『.)二—•

选②,因为anan+i-(2n+l)anfi+2nan-2n(2n+l)=0,

所以[a:(2n+l)](an.i+2n)=0,

因为a«>0,所以an=2n+l,

所以“(2n+lT)(2n+l+l)4n(n+l)4,nn+1”

所以段+导+…

选③,密=8(n+l),设品二统所以Cu+「a=8(n+l),

所以c2-ci=8(l+l),C3-C2=8(2+1),…,cn-Cn-i=8(n-l+l)(n^2),

所以c「9=8X妇詈二所以cn=(2n+l)2(n>2),

11

又ci=9满足上式,所以Cn=a2=(2n+l)2,

因为a«>0,所以an=2n+l,

所以b„=-_______!_______二】)—)

(2n+l-l)(2n+l+l)4n(n+l)4n+1'

所以…三(『高卜潟■

4.在①S.=2a/l;②皆就,a?方③SN+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并

解答问题.

已知数列｛aj的前n项和为S„,,数歹！I｛bj满足b.=a“a0”求数列｛b.｝的前n项和T„.

【解析】选条件①S“=2a/l,

由［?=2丁1，n两式相减得a„=2a「2a,r,

(Sn-!=2a『iT,n>2

所以an=2a“-i(n22),

又Si=2a-1,解得ai=l,

所以数列瓜｝是以1为首项,2为公比的等比数列,所以&尸2,.

因此bn=aa+尸2nL2“二2号

所以T0=2'+23+…+22自-2(_2dr).

1-43

选条件②皿钊,a24，

12

（法一）由皿亭m，a2=|,得里4a,=l,

an2n+l3a13

当n22时,^^乂%义・“义^=1*2义“小也=-!-,

a（ai32an_j352n-l2n-l

所以&-1（22）,

又ai=l也符合须六—所以-

2-12.~1

因此b”=a“a”（2_:（2+信（717公7），

所以丁“日［（「9+养+…+（七一小）】弓（「六）二=•

（法二）由一得（2n+Da”i=（2nT）a.，

所以数列｛（2nT）aJ是常数列，

—=

所以（2n1）an-（2X2~1）a2l,

所以a产乙.

2.~1

因此b“=a“a”（2一:（2+层（-，

所以*［吟+（汾+…+-）］得（『占）嗡•

选条件③S„=2"+l,

nln1

当n，2时,a„=S„-S„-1=（2+l）-（2"-+l）=2-,

又a,=S,=3,显然不符合上式，

13

1

所以a产解~'则b„=a„•a”像；「19

u,n>z,U,n>2,

352|8(14，

当n22时，T„=6+2+2+--­+2"=6+~~X4"+-,

1~433

又「=6,符合*X4n+冬

所以*X4畔

(能力拔高〉

5.己知等比数列瓜｝为递增数列，fia?=a1o,2(a„+a„t2)=5a„H,数歹U®｝满足2b,=ai,bn+1-b„=a,.

⑴求数列｛aj和｛b“｝的通项公式；

⑵设c产等二,求数列｛册｝的前n项和T„.

anbnbn+l

【解析】(1)对于数列匕工设公比为q,

由题可得［廖8.师(a^O,neN*),

z

(2+anq)=5anq

解得:1或｛:1

V2

又••.｛&,｝为递增数列，.•.21二2，

(q=2,

an=2".

数列｛bn｝满足2bi=ai=2,bn+1-bn=ai=2,

・♦・数列｛bn｝是以1为首项,2为公差的等差数列，

14

/.bn=2n-l.

c-n=2n+l

(2)由(1)得"\bnbn+12(2n-l)(20+1)[(2n-l)-2""(2n+l)-2])

T=2(—1+—―-1-+•••+!-___!____)=]-____!

•••n1x2*3x223x225x23(2n-l)-2n(2n+l)-2n+I；(2n+l)-2n，

6.已知数列｛aj的前n项和为S”,且2,a„,S“成等差数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若bn=n•an,求数列｛bn｝的前n项和T„;

⑶对于⑵中的T,,,设c.3,求数列｛cj中的最大项.

a2n+l

【解析】⑴因为2,a”,Sn成等差数列，

所以2an=2+Sn,①

可得2an-i=2+Sn-i(n22),②

①-②得a=2ai(n22),所以也=2(n22),

nnan-l

又2ai=2+ai,解得ai=2,

所以数列｛劣｝是以2为首项,2为公比的等比数列，

所以a„=2".

n

(2)由⑴可得bn=n•an=n•2,

15

所以T„=2+2X22+3X23+-+n•2",①

2T„=22+2X23+3X2l+-+n•2nH,@

由②-①可得T.=(nT)X2叫2.

⑶由(1)(2)可得以-1:/%/

设数列｛cj的第n项最大,则!?+i，

lcn-cn-b

rn-ln

—QB+1，

可得3工

IF2尹

解得2WnW3(nGN*).

所以当n=2或n=3时,c"最大，即C2=C3=为｛c“｝中的最大项.

4

〈拓展延伸》

7.设等差数列｛a,｝的前n项和为S,„a3=6,a?=14.

(1)求数列｛a0｝的通项公式及S„;

⑵若,求数列｛b,,)的前n项和T,..

在①b.=2%•为:②1)产华垣;③•a.这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其

求解.

【解析】(1)设等差数列｛aj的首项为a1,公差为d,

16

..__.fai+2d=6,.

•33—6c,a7-1]y41,•.].••ai-2,d—2,

⑶+6Pd=14,

1(22n)

an=2+(n-l)2=2n,Sh-^-n(n+1).

ann

(2)^te0,Van=2n,/.bn=2•an=2n•4,

T„=2X41+4X42+6X43+-+2nX4n,①

234nH

4Tn=2X4+4X4+6X4+-+2(n-1)X4+2nX4",②

23n+,

由①-②得-31=2X41+2X4+2X4+-+2X412nX4=^^--2nX2nx叱,

1-4-3

9399

选②，・.・au=2n,Sn=n(n+1),

...b.W±l=字?8+=+8+4d2)，

Snn(n+l)n(n+l)nn+1

；・Tn=bi+bz+b?+…+bn=8n+4(1…+L」y)=8n+T■二也工

223nn+1n+1n+1

选③，..Wn,・・.bn=(T)n•&F(T)"•2n,

n

ATn=-2+4-6+8—•+(-1)•2n.

当n为偶数时，L=(一2+4)+(-6+8)+…+[-2(nT)+2n]g-2=n,

当n为奇数时，Tn=(-2+4)+(-6+8)+•••+[-2(n-2)+2(n-1)]-2n=y->2-2n=-n-l,

fn,n=2k,k^N*,

(-n-1,n=2k-1,k£N.

17

8.在①bi=-ai,b.j=a2+4,②b】刊,3b2=a2,③bi刊+1,b2=a2-3这三个条件中任选一个，补充到下面

的问题中并作答.

问题：已知数列｛aj满足乎出货…+沪?,数歹I」®｝为等比数列，且,S.为数列｛*的

前n项和.是否存在正整数k,使得822020成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明

理由.

【解析】由^"+11+$+=n?可得^■•峰+$+…+|#(nT)2(n22),

两式相减可得新(nT)J2nT,

所以a=(2n-l)2n.

当n=l时,由乎||+於…+沪?可得a,