2023人教版新教材高中数学必修第二册同步练习-第十章　概率 提高练习

综合拔高练

五年高考练

考点1随机事件的概率及其性质

1.（2018课标全国///,5）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金

支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B,0.4C,0.6D,0.7

2.（2020全国新高考/,5）某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96批勺学生喜欢足球或游泳,60%

的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总

数的比例是（）

A.62%B.56%CA696D.42%

考点2古典概型

3.（2022全国甲文,6）从分别写有123,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡

片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

ʌiB3%DG

4.（2022新高考/,5）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为

（）

A二B-C-D-

6323

5.（2020全国/,4）设O为正方形ABCo的中心,在O1A1B1C1D中任取3点,则取到的3点共线的概

率为（）

1214

AyBgC-D-

6.（2019课标全国//,4）生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标者从这5只兔子中

随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为（）

ʌlB∣C∙∣DI

7.（2022全国乙理,13）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的

概率为.

8.（2019天津,15）2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大

病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工

分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除

的享受情况.

⑴应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

⑵抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,GQ,E,尸,享受情况如

下表,其中表示享受，“x”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

\员工

WlABCDEF

子女教育OOXOXO

继续教育×XOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷OOXXOO

款利息

住房租金×XOXXX

赡养老人OOXXXO

考点3事件的相互独立性

9.（2021新高考/,8）有6个相同的球,分别标有数字123,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取

1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，

丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是T,

则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

l（λ（2022全国乙理,10）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该

棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P∣,P2,P3,且P3>P2>P∣>O.记该棋手连胜两盘的概率为

P，则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大

11.（2020天津,13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为［和!.假定两球是否落入盒子互不影响,

则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率

为.

12.（2020全国/理,19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;

比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者

下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另

一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空,设每场比赛双方获胜的概率都为:

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

⑶求丙最终获胜的概率.

考点4用频率估计概率

13.（2019课标全国//,14）我国高铁发展迅速,技术先进,经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个

车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高

铁列车所有车次的平均正点率的估计值为,

14.（2020北京,18）某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.

为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

⑴分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

⑵从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案

一的概率；

⑶将该校学生支持方案二的概率估计值记为P。,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除

一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为PL试比较PO与pi的大小.（结论不要求证

明）

三年模拟练

应用实践

1.（2022山西朔州怀仁第一中学模拟）笼子中有2只鸡和2只兔,从中依次随机取出1只动物,直

到4只动物全部取出,如果将2只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2

只被取出的动物的概率为（）

ALB-C-D工

6234

2.（2021山东泰安第一中学期末）如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是/且是相互独立的,

则灯亮的概率为（）

3.（2022山西运城盐湖月考）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体,在正八面体的六个顶

点中任取三个构成三角形,则这三个点能构成等腰直角三角形的概率是（）

A-B-C-D-

7552

4.（2022山东济南一模）我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人

的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母

亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,00为0型血.比如:父亲和母亲的基

因型分别为AQAB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、

奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为（）

AΛB-C-D-

16842

5.（多选）（2022广东佛山南海超盈实验中学月考）某次数学考试的一道多项选择题的要求是：“在

每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分已知某选择

题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,则下列说法正确的是（）

A.甲同学仅随机选一个选项,能得2分的概率是］

B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是:

C.丙同学随机至少选择一个选项,能得分的概率是9

D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是高

6.（2022豫南九校联考）在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球,若不放回地依次

从口袋中每次摸出1个球,直到摸出2个红球,则连续摸4次后停止的概率为.

7.（2022重庆天星桥中学质检）假定某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为0.4,现采用随机模

拟的方法估计该运动员投掷飞镖两次恰有一次命中靶心的概率:先用计算器产生0到9之间取

整数值的随机数,指定123,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一

组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数：

93281245856968343125

73930275564887301135

据此估计,该运动员投掷飞镖两次恰有一次命中靶心的概率为.

8,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对

得1分,答错得0分,在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概

率均为;,乙队每人回答问题正确的概率分别为;且两队每人回答问题正确与否相互之间没

3234

有影响.

⑴分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

⑵求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

9.（2022安徽蚌埠质检）为培养青少年的阅读兴趣、养成阅读习惯、提高阅读能力,不断增强思想

道德素质和科学文化素质,从2021年秋季开始,某市中小学（幼儿园）实施“大阅读工程”,某学

校有小学生600人,初中生400人,为了解全校学生的课外阅读时间,学校采用分层随机抽样的方

法,抽取了100名学生的阅读登记册,对11月和12月（按60天计算）的课外阅读时间进行统计调

查，并将样本中的小学生和初中生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5

组：。10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50],得其频率分布直方图如图所示.

⑴活动规定:小学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时,若该校小学生课外阅读的平

均时间低于规定时间,则学校应适当增设阅读课,根据以上抽样调查数据判断该校是否需要在小

学部增设阅读课（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

⑵从课外阅读时间不足10小时的样本中随机抽取3人,求其中至少有2名小学生的概率.

10.（2022四川南充高级中学月考）某市为促进生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可

回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾桶,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随

机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾,总计400吨,数据统计如下表（单位:吨）.

厨余可回收其他

垃圾桶物桶垃圾桶

厨余垃圾602020

可回收物104010

其他垃圾3040170

⑴试估计厨余垃圾投放正确的概率；

⑵若处理1吨厨余垃圾需要5元,处理1吨非厨余垃圾需要8元,请计算处理这400吨垃圾所需

要的总费用；

⑶某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有3名女志愿者,2名男志愿者,现从这5名志愿者中

随机选取3名,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）,求2

名男志愿者都参加的概率.

答案与分层梯度式解析

五年高考练

IB设事件A为“不用现金支付”，事件8为"既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只

用现金支付”，则P(A)=I-P⑻-P(O=I-0.15-0.45=04故选B.

2.C记“该中学学生喜欢足球”为事件4“该中学学生喜欢游泳”为事件后则“该中学学生

喜欢足球或游泳”为事件AlJS“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AC8

根据题意,P(A)=0.6,P(B)=O.82,P(AUB)=O.96,所以P(A∩8)=P(A)+P⑻-P(AUB)=O.46.

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%

深度剖析

用Venn图表示学生参加体育锻炼的情况,如图.

3.C依题意知，总的基本事件有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中符合

数字之积是4的倍数的基本事件有6个,故所求概率P=⅛=§.故选C.

4.D从2至8的7个整数中随机取2个不同的数的样本空间0

={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6

,7),(6,8),(7,8)},共21个样本点，

设事件A为“所取的2个数互质”，则

A={(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)},共14个样本点,

则P(A)焉=|.

故选D.

5.A从O,A,B,C,D中任取3点的情况有

(OAB),(0AC),(0,40,(0,5C),(。8,D),(0,C,。),(A£C),(A£。),(A,CQ),(B,C,Q)洪10种油图可

知取到的3点共线的有(OAe)和(OBQ)2种情况,所以所求概率为磊=/故选A.

6.B记5只兔子分别为4。CQE,其中测量过某项指标的3只兔子为4。G则从这5只兔子中

随机取出3只的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共IO种,其中恰有2

只测量过该指标的情况有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P噎=|.

7•答案⅞

解析设另3名同学为AEG则从5名同学中随机选3名,样本空间OM甲乙4甲乙氏甲乙C,

甲A3,甲AG甲BC,乙AB,乙AG乙BC,ABC}l^10个样本点.设“甲、乙都入选”为事件4则

A={甲乙A,甲乙氏甲乙C)洪3个样本点,所以P(A)=条

8.解析⑴由已知,老、中、青员工人数之比为6：9：10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25

位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.

⑵①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

(A,B),(A,0,(AQ),(A,£),(40,(5,0,(BQ),(瓦功伊㈤,(CQ),(C,E),(C,»,("£),(D㈤,(居项共15种.

②由题中表格知，符合题意的所有可能结果为

(AB),(A,D),(4E),(4㈤,(BQ),(3矶仍国(。,©,(。,》,(。,丹,出,切,共H种.

所以事件M发生的概率PM=,.

9.B依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结

果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),⑶1),(3,2),⑶3),⑶4),(3,5),(3,6),(

4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中

p(甲)嚏=/p(乙)=2=∕P(丙)=割P(丁)=£=*

丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),⑶4),(4,3),共6个基本事伟丙事件包含(2,6),(6,2),⑶5),(5,3),(4,4),

共5个基本事件.

易知“甲、丙同时发生”的基本事件有O个，“丙、丁同时发生”的基本事件有。个，“乙、丙

同时发生”的基本事件为(6,2),共1个，

∙'∙P亿丙)=煮

又P(乙)∙P(丙)="£#表,

...乙、丙不相互独立.

“甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6),

∙∙∙P(甲丁)』

又P(甲)∙P(丁此X”煮

∙∙∙P(甲丁)=P(甲)∙P(丁)，

甲与丁相互独立,

故选B.

10.D棋手与甲、乙、丙比赛顺序有以下6种情况:

①比赛顺序为甲、乙、丙时,P=0P2(1-P3)+(1-P1)-P2〃3=0P2+P2P3-2PIP2P3；

②比赛顺序为甲、丙、乙时,P=Pip3(1-〃2)+(1-0)∙p3"2=P∣P3+〃2〃3-2〃1〃2〃3；

③比赛顺序为乙、甲、丙时,P=P2P1(1-P3)+(1-p2)pip3=pip2+pip3-2pip2p3；

4比赛顺序为乙、丙、甲时,p=p2p3(i-p1)+(i-p2)p3p1=p2p3+p1p3-2p∣p2p3;

⑤比赛顺序为丙、甲、乙时,p=p3pi(l-p2)+(l-p3)・pip2=0p3+〃ip2-2pip2p3；

⑥比赛顺序为丙、乙、甲时,P=P3p2(l-pi)+(l-p3)・p2pi=p2p3+pip2-2/?ip2〃3.

易得情况①与⑥②与④,③与⑤的概率分别相等,又P3>P2>P1>O,∙∙∙P1P2<P1P3,P2P3>P1P3,

.・・②与④的概率最大,即棋手在第二盘与丙比赛,P最大,故选D.

一题多解

设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙,

在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙.由题意得，P甲

=PllP2(l-p3)+p3(l-p2)]=p1p2+0p3-2p1p2p3,p乙=p2[∕21(l-p3)+p3(l-0)]=pw2+p2p3-2pφ2p3,p丙

=p3[pi(l-〃2)+0(l-0)]=pip3+p2p3-2pip2p3.由P3>P2>P1>O,得P丙-P甲二〃2〃3-〃1〃2=〃2(/73-〃1)>0,“丙

-P乙二〃1，3-〃1〃2="1(723-，2)>0,，，丙最大.故选D.

12

案

1咨

1--

63

解析设“甲、乙两球都落入盒子”为事件4

贝IJP(A)=M=/

设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件比

则P(B)=I-(IT)X(IT)=IT=4

12.解析⑴甲连胜四场的概率为白

⑵根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况：

甲连胜四场的概率为白

乙连胜四场的概率为占

丙上场后连胜三场的概率为

所以需要进行第五场比赛的概率为ι-⅛-⅛-⅛=∣

⑶丙最终获胜,有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为上

比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情

况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为1⅛3A

因此丙最终获胜的概率为［+Λ+g+π=Λ∙

OIoOoIo

13.答案0.98

解析设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为4正点率为0.98的事件为B,正

点率为0.99的事件为C则用频率估计概率有=ɪʃ(fi)=ɪ-g-=p(C)=

iθɪiθ=9,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×ɪ+0.98×\+

0.99xJ=0.98.

4

14.解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件4“该校女生支持方案一”为事件8.

依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=费=3

抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)=耗=*

⑵由(1)可知，“该校男生支持方案一”的概率估计值为3；

“该校女生支持方案一”的概率估计值为今

设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件G该事件包括“2个

男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一旦女生支持方

案一”，故所求概率为P(C)=(9×(l-g+2×∣×(l-∣)×∣=g

(3)pι<po.

解法一：由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为P。=黯指=ɪ

该校一年级男生中支持方案二的有就为jX500-292(人),

该校一年级女生中支持方案二的有τξ接δX300≈113(人)，

假设一年级学生中支持方案二的概率为p2,贝如2=(292+113)÷(500+300)=⅛,⅛>

黑=今则P2>P(),

故该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即0<私

解法二:由题表可知,男生支持方案二的概率明显大于女生支持方案二的概率.样本中男、女生比

例为3：2,此时PO=就捣制.而一年级的男、女生比例为5：3,因为I>|,所以该校除一年级

外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即pι<po.

三年模拟练

LD记2只鸡分别为αι,z,2只兔子分别为",/?(其中”为“长耳朵”)，

则从笼子中依次随机取出1只动物，共有如下24种不同的取

^(a∖la2lHlh)Xa∖la2lhlH)r(a∖,Hla2rh)r(a∖lHlhla2)r(a∖lhrHfa2)r(a∖lhla2rH)l(a2la∖,Hllι)r(a2laιlhlH)f(a2tHla∖

,h),(a2,H,h,aι),(a2,h,a1M,(a2,h,H,aι),(H,a1,a2,%(H,a1,h,a2),(H,a2,a1,h),(H,a2,h,a1),(H,h,cn,a2),(H,h,a2,

a∖),(h,a∖la2fH)f(hla1,H,aι},(hla2la∖rH)r{h,aι,H,a∖),{h,H,a∖,a2)l(h,H,aι,a∖).

其中“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的取法有

(aι,H,a2,m,(aι,H,h,θ2),(a2,H,aι,h),(a2,H,h,aιMh,H,aι,a∕(h,H,a2,aι)射6种.

则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率P=S=/故选D.

2.C灯不亮包括开关A1B1C1D均断开和开关A1B中有一个断开且C1D均断开两种情况,这两种

情况是互斥的,每一种情况中的事件是相互独立的,

灯不亮的概率PWXaX打升，，Xp"=看；灯亮与灯不亮是对立事件,

，灯亮的概率是1喘=得

3.C正八面体如图，

设原正方体的棱长为1,则正八面体的棱长均为孝,AB=LCE=IQF=L

当A为等腰直角三角形的顶点时，满足条件的情况有

(45C),(A,B,O),(A,B,E),(A,5B,(A,E,C),(A,。尸),共6种；

当B为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(3,C,E),(B,D,F),共2种；

当C为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(C,QE),(GQE),(GED,共3种；

当D为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(。,瓦尸),共1种.

从6个点中任选3个,有20种选法,故所求概率为券=§.故选C.

4.C因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,它们

对应的概率分别为另3

当小明父亲的基因型是AA时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型是AA,AB,它们

对应的概率均为;,则小明是A型血的概率为；×∣=⅛

L4∙ZO

当小明父亲的基因型是AB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型是AA,AB,BB,

它们对应的概率分别为悬J则小明是A型血的概率为；×i=⅛

当小明父亲的基因型是BB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的血型不可能是A型.

所以小明是A型血的概率为2+i=".故选C.

5.ABC甲同学仅随机选一个选项,共有4个基本事件,分别为{A},{助{C},{Q},随机事件“能得2

分”中有{G,{O},2个基本事件,故“能得2分”的概率为,=今故A正确；

乙同学仅随机选两个选项,共有6个基本事件,分别为{4图,{4©,{4。},出,0,仍,。},{。,。},随机事

件“能得5分”中有{C,D},1个基本事件,故“能得5分”的概率为右故B正确；

丙同学随机至少选择一个选项，共有15个基本事件，分别为

U},{B},{q,{D},{Λ,B},{A,C},{A,D},{B,∏,{β,Z)},{C,D},{AB,q,{ΛB,Z)},U,GD},{B,C,D),U,B,C,D),随

机事件“能得分”中有{©,{。},{。,。},3个基本事件,故"能得分”的概率为意气,故C正确;

丁同学随机至少选择两个选项，共有11个基本事件，分别为

{A,B},{A,G,{A,D},{BQ,{5Q},{CQ},{A,5,C),{A,JB,D},{4,GD},{3,CD},{4,5,GD},随机事件“能得分”

中有{C,Q},1个基本事件,故“能得分”的概率为片故D错误.

故选ABC.

6.答案⅛

解析连续摸出4个球后停止的情况有白白红红,白红白红,红白白红,共3种情况，

其中摸出“白白红红”的概率为"IXsXR得

3323

-X-X--

摸出“白红白红”的概率为:X