高考数学一轮复习精讲必备 第7讲 函数与方程（讲义含解析）

第7讲函数与方程

学校姓名班级

一、知识梳理

(1)概念：一般地，如果函数尸/(X)在实数a处的函数值等于零，即F(a)=o,则称丄

为函数y=f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系:

敢有零点

福数产心)的图齡一方制(#)=。

聒.1：轴有公共点有实数解

如果函数y=F(x)在区间［a,6］上的图像是连续不断的，并且f{a)•/'(6)«0(即在区间两

个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a,6)中至少有一个零点，即mx°e(a,

t>),f(xo)=o.

二、考点和典型例题

1、函数零点所在区间的判断

【典例1-1］(2022•天津红桥•一模)函数/(x)=e'+2x-6的零点所在的区间是

()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【详解】

函数〃x)=e'+2x-6是R上的连续增函数，

/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0,

可得”1)/(2)<0,

所以函数/*)的零点所在的区间是(1,2).

故选：C

【典例1-2】(2021•山西•太原五中高三阶段练习(文))利用二分法求方程log3X=3-x

的近似解，可以取的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【详解】

解：设F(x)=log3X-3+x,

•当连续函数/(x)满足/(a)•/(6)<0时,/⑶在区间力上有零点,

即方程10g3X=3-x在区间(a,b)上有解，

X-f(2)=log}2-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,

故)(2)­/(3)<0,

故方程log?x=3-x在区间(2,3)上有解，

口卩利用二分法求方程x=3-x的近似解，可以取的一个区间是(2,3).

故选：C.

【典例1-3】(2019•全国•高三专题练习)若/(另=丁+/-21-2的一个正数零点附近

的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

川)=-2/(1.5)=0.625

“1.25)=-0.984“1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程V+d—2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(

【答案】C

【详解】

根据二分法，结合表中数据，

由于.438)=0.165>0,/(1.4065)=-0.052<0

所以方程三+》2—2x_2=0的一个近似根所在区间为(14065,1.438)

故选:C.

【典例1-4](2022•天津•静海一中高三阶段练习)已知函数y=/(x)是周期为2的周期

函数，且当时时，/(x)=2w-l,则函数尸(幻=/(幻-四4|的零点个数是

()

A.9B.10C.11D.18

【答案】B

【详解】

尸(x)=/⑴-怛目零点个数就是y=f(x),y=旭乂图象交点个数，

作岀》=f(x),y=|lgM图象,如图:

由图可得有10个交点，

故F(x)=/(x)-|lgx|有10个零点.

故选：B.

为()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【详解】

令〃x)=e*T_-一—=0,得j—8-=亠,

x-1x-1

g(x)=T图象关于(1,0)对称，在(7,1),(1,—)上递减.

X—1

力(%)=i-8",,令H(x)=/i(x+l)=ex—e-v,H(—x)=e-v—ev=—H(x),

所以H(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以〃(x)图象关于(1,0)对称，

/z(l)=0,〃(力=j|-/在口上递增，

所以/i(x)与g(x)有两个交点，

两个交点关于(1,0)对称，所以函数“xbei-eZ-T的所有零点之和为2.

X—1

故选：B

2、图像零点个数的判定

【典例2-1】(2022•北京•模拟预测)已知函数/(x)=cos2x+cosx,且xe[0,27r],则

/(x)的零点个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

由cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(cosx+l)(2cosx-l)=0

可得COSX=-1或COSX=；,又X£[(),2兀],则X=7l,或x=g,或工=2

233

则/(X)的零点个数为3

故选：C

【典例2-2](2022•安徽•巢湖市第一中学高三期中(文))已知函数

〃司=」+7'<°,则函数g(x)=/[f(x)+2]+2的零点个数为()

lnx,x>0

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】

令，=f(x)+2,

当XV-1时,f(x)=x+丄€(-00,-2)且递增,此时re(Y,0),

x

当-l<x<0时，f(x)=x+丄e(-co,-2)且递减，此时fe(Yo,0),

X

当0<x<]时，/(x)=lnxw(ro,-2)且递增，此时re(fo,0),

e-

当时，/(x)=lnxe(—2,+oo)且递增，此时/€(0,+oo),

e

所以，g(x)的零点等价于f")与y=-2交点横坐标/对应的x值，如下图示:

由图知：/⑺与y=-2有两个交点，横坐标4=-1、0</2<1：

当“一1，即f(x)=-3时，在(T0)、(0,自上各有个解；当。<4<1,

即—2</(x)<-1时，在xe(5,+<»)有—解.

综上，g(x)的零点共有4个.

故选：B

【典例2-3】(2016•天津市红桥区教师发展中心高三学业考试)函数/(x)=2,nx+4.若

在内恰有一个零点，则，〃的取值范围是()

A.[―1,2]B.C.(—oo,—2][1,-K>o)D.[―2,1]

【答案】C

【详解】

解：当加=0时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，

所以f(x)=2/nr+4为一次函数，

因为F(x)=2妨+4在［-2,1］内恰有一个零点，

所以〃-2)f(l)40,gp(-4m+4)(2/M+4)<0,解得mV—2或m上/.

故机的取值范围是(-8,-2］」1,物).

故选：C

【典例2-4］(2022•湖南衡阳•二模)已知定义在R上的奇函数“X)恒有

“X—l)=/(x+l),当xe［0，l)时，〃x)=U，已知厶4-2'-2)'则函数

g(x)=〃x)-日T在(T，6)上的零点个数为()

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

【答案】D

【详解】

因为〃X-1)="X+1),所以“X)的周期为2,

又因为“X)为奇函数,/(x)=-/(-%),

令x=l,得〃1)=-/(-1),又=所以〃1)=/(-1)=0,

当xe(Tl)时，〃力=記=1一品，

由、=品单调递减得函数/(X)在(-1,1)上单调递增，

所以〃T)vf(x)<〃l)，得一;</(x)<g,

作出函数图象如图所示,

当y=H+：经过点（3,0）时，k=f此时有5个零点.

21

当一百＜女＜一§时，有4个零点.

当丁=依+；经过点（5,0）时，k=-f此时有5个零点.

当一＜~"q时,有4个零点.

913

当丫=履+:经过点（6,0）时，k=_［此时在（—1,6）上只有3个零点.

318

当＜攵＜-丄时，有4个零点.

1518

（）（）（，）

所以当时,函数gx=/x-履-g在-16上有4个或5个零点.

\131oy

故选：D

【典例2-5】（2022•宁夏银川•一模（理））设函数〃x）=sin"+V®＞0）,已知

jrjr

“X）在一（N上单调递增，则f（x）在（0,20上的零点最多有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【详解】

,7T,7一-1、，,„In2kn——n2k/r,„

由—+2AvrW<«x+—W—+2上乃，k&Z,得----H-------WxW——+------,kwZ、

2623(vco3a)co

24<冗

■一总X喷.若小)在-省匕单词递增,3(o6

取«=0,则

2L>£

3「4

解得0<34g.若X£(0,2〃)，贝iJsx+会仁,2°乃+看

设r=s+—,则fw—,2。乃+一,因为2初r+一£

6166)6

所以函数『出「在仁,2初r+小上的零点最多有2个.

所以f(x)在(0,2万)上的零点最多有2个.

故选：A

3、图像零点的综合应用

【典例3-1】(2022•安徽•模拟预测(文))已知函数/(》)=]」]；；：：。，若

g(x)=〃x)-a有4个零点，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[1,+<»)

【答案】A

【详解】

解：令g(x)=/(x)-a=0,得〃x)=a,

在同一坐标系中作出y=f(x),y=a的图象，如图所示：

由图象知：若g（x）=/（x）-a有4个零点,

则实数a的取值范围是（0,1）,

故选：A

【典例3-2]（2022•黑龙江•哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足

三-公-1=0,则实数a的取值范围是（）

【答案】D

【详解】

x=0显然不是V-6-1=0XHO

因此只有一个实数x满足丁-依-1=0等价于方程“-丄只有一个实数根.

X

2

f（x）=xf\x）=2x+^,f'（x0）=2x0+—=0=>x0=,故可知:

xxXQ-v2

当5）时，rw<o,此时/（X）单调递减

当XC[不,0丿时，r（x）>0,此时/（X）单调递增，当xe（O,+8）时，r（x）>0,此

时/（X）单调递增，且当L100时，y（x）=10000+厶，x=100时，f（x）=10000-厶，当

1UU1UU

L击时，小尸誌龍00,当A焉时，/叱康―100,故图像如图：

故"<2=1修）考•

故选：D

/、ax4-l,x<0,

【典例3-3】(2022•河南安阳•模拟预测(理))已知函数/“।(。>0且

|lnx|,x>n0,

awl),若函数y=/(/(x))-。的零点有5个，则实数a的取值范围为

()

A.a=2B.In24avl或1<〃<2

C.0<a<ln2或1<。<2或〃=2D.In24avl或。=2

【答案】I)

【详解】

解：依题意函数y=/'(/(x))-a的零点即为方程〃/(x))=a的根，

①当。时函数“X)的函数图象如下所示：

所以〃f)=a有两个根，-4(0</(<1,/2>1),

而％=〃x)对应2个根，所以需要力对应3个根,

所以，2*2,即切±2,解得1n2M”l；

②当。>2时函数〃x)的函数图象如下所示:

③当。=2时函数〃x)的函数图象如下所示:

从而/(x)=e、〃x)=g,/(x)=0,所对应2、2、1个根,

即共5个根，所以满足题意：

④当1<”2时函数/(x)的函数图象如下所示:

而％=/(x),芍=/(力，f3=/(x)分别对应2、2、0个根，即共四个根，

所以不满足题意；

综上可得实数。的取值范围为山24“<1或。=2；

故选:D

【典例3-4](2022•福建三明•模拟预测)已知函数/(力=渡-办1g-，有两个零点,

则实数a的取值范围为()

A.(0,：)B.(0,e)C./，内)D.(e,y)

【答案】D

【详解】

函数/(》)=加一欠lnx-e”有两个零点，即a(x2-xlnx)-e*=。有两根，又

x2-xlnx=x(x-lnx)>0,故可转换为----有两根，令g(x)=-r^------，则

x~-x\nxx"-x\nx

，/、ex(x2-xlnx-2x+lnx+l),、

g(X)=------------------n---------=-----1---------------，令人(x)=X-1_InX,则

(x2-xlnx)(x2-xlnx)

3)=?,故M*)在(0,1)上单调递减，在(1,+«0」二单调递增，故〃(力2〃⑴=0，当

且仅当x=l时等号成立,故在(0,1)上g'(x)<o,g(x)单