第二章++圆锥曲线综合拔高练 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练五年高考练考点1椭圆1.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(A.23B.23C.-232.(2023全国甲,7)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PFA.1B.2C.4D.53.(2019课标全国Ⅰ,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.C.x24+y24.(2022全国甲,10)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为A.32B.22C.125.(2023全国甲,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=A.135B.302C.145考点2双曲线6.(2023全国甲,8)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1A.55B.255C.37.(2023天津,9)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PFA.x28-y2C.x24-y28.(多选题)(2022全国乙,11)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=35,则C的离心率为(A.52B.32C.1329.(2023全国乙,11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)10.(2022北京,12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=考点3抛物线11.(2022全国乙,5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.22C.3D.3212.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()A.p=2B.|MN|=8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形13.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.

考点4圆锥曲线的综合应用14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.15.(2023全国甲,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN16.(2023全国乙,20)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.三年模拟练应用实践1.(2024吉林长春质量监测)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有两点A,B,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,△ABF1是以A.2-12C.3-122.(2024北京清华大学附属中学开学考试)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线的准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}3.人利用双耳可以判断声源在什么方位,听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应).根据声波传到双耳的时间差,可以确定声源P一般在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上,若声源P所在的双曲线与它的一条渐近线趋近,则声源P对于测听者的方向偏角α就近似地由该双曲线渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定.一般地,甲测听者的左、右两耳相距约为20cm,声源P的声波传到甲的左、右两耳的时间差为3×10-5s,声速为334m/s,则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为()A.0.004B.0.04C.0.005D.0.054.(2024甘肃酒泉第三次诊断)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与双曲线E的右支交于B,C两点,且|CF|=3|FB|,点B关于原点O的对称点为点A,若A.3B.233C.1035.(多选题)(2023福建厦门第一中学期中)一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆围成,如图所示,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(0<t<3)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是()A.椭圆的离心率是2B.线段AB长度的取值范围是(0,3+32)C.△ABF面积的最大值是94D.△OAB的周长存在最大值6.(2024山西吕梁期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于M,N两点(M在第二象限),过点M作抛物线C的准线的垂线,垂足为M1,若|FM|=|FM1|,|FM|-|FN|=4,则p=.

7.(2024湖南长沙长郡中学月考)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=①|PF1|=213;②|AB|的最小值为323③若|AF2|=7,则|AF1|=13;④若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈-∞8.(2023广西钦州浦北中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求C的方程;(2)若A,B是C上的两点,直线AB与圆x2+y2=2相切,求|AB|的取值范围.9.(2023江苏南京江宁五校期中联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24(1)求双曲线C的方程;(2)直线y=2x+m与双曲线C交于A,B两点,点M在双曲线C上,且OM=2OA+λOB(O为坐标原点),求λ迁移创新10.阅读下列有关光线的入射与反射的两个现象:现象(1):光线经平面镜反射满足反射角与入射角相等;现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后经过另一个焦点.试结合上述现象,回答下列问题:有一类似于椭圆形台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为s,则s的值为(用a,b表示).

答案与分层梯度式解析综合拔高练五年高考练1.C由已知得F1(-2,0),F∵S△F1AB=2S△F2AB,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即|m-2|2=2·|m+2|2,解得m=-23故选C.2.B由椭圆标准方程得a=5,b=1,c=由PF1·PF2=0得所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=25,所以|PF1|·|PF2|=12[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|23.B设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4xcos∠BF2F1①,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8xcos∠BF2F1②,由①②得x=32所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c故椭圆C的方程为x23+y4.A设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=y0x0+因为P(x0,y0)在C上,所以x02a2+y02b2=1,得y故选A.5.B由椭圆方程知a=3,b=6,则c=a2设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①.在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|OP为边F1F2上的中线,故|OP|2=14(P1=1425(m6.D∵e=1+b由图形知与圆相交的渐近线方程为y=bax,即y=2x,即由已知得圆心坐标为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=|2∴|AB|=2r2-d27.D如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c.设P(xP,yP),过点P的渐近线方程为y=bax,直线PF2的方程为y=-a联立y=bax,y故Pa2c,abc所以kP即4a=2(a2+2),即a2-22a+2=0,所以a=2,又b=2,所以双曲线的方程为x22-y8.AC依题意可设双曲线的焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2.(1)当两个交点M,N分别在双曲线两支上时,设切点为P,连接OP,则OP⊥MN,易知|OP|=a,|OF1|=c,|PF1|=b,过点F2作F2Q⊥MN,垂足为Q,则F2Q∥OP,由相似易知|F2Q|=2a,|QF1|=2b,∵cos∠F1NF2=35,∴sin∠F1NF2=4∴|NF2|=5a∴|NF1|-|NF2|=|QF1|+|NQ|-|NF2|=2b+3a2-∴e=1+b(2)当两个交点M,N均在左支上时,同(1)易得|NF2|=5a2,|NQ|=∴|NF1|=3a2-2b,∴e=1+b故选AC.9.D设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y2∵A,B在双曲线上,∴x12-y对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-y29=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,对于B,可得k=-2,则kAB=-92,∴lAB:y=-92x-52,与x2对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,错误,故排除A、B、C,故选D.10.答案-3解析∵双曲线的方程为y2+x2∴双曲线的渐近线方程为y=±-1又∵渐近线方程为y=±33∴1-∴m=-3.11.B设A(xA,yA),依题意可得F(1,0),由B(3,0),得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,代入y2=4x,得yA=2或yA=-2,所以|AB|=(3-1)12.AC∵直线y=-3(x-1)过焦点p2∴p=2,故A正确.抛物线方程为y2=4x.由y=-3(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=103,x1x2∴|MN|=1+(-3)2|x由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=12∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确.由B、C选项分析可知M13∴|OM|=133,|ON|=21,显然|OM|≠∴△OMN不是等腰三角形,故D错误.故选AC.13.答案5;45解析设点M的坐标为(x0,y0),则有|MF|=x0+1=6,解得x0=5,所以M的横坐标是5.将x0=5代入y2=4x,得|y0|=25,由题意得S△MNF=1214.解析(1)设双曲线C的方程为x2a2由题意知c=25,e=5=所以b2=c2-a2=(25)2-22=16,所以双曲线C的方程为x2(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由x=ty-4,x24-y216=1,消去x则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484易知A1(-2,0),A2(2,0),则直线MA1:y-y1y1=x联立消去y得x-x1x1+2+1y1=x-x15.解析(1)联立x=2y-1,y由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>12设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,∴|AB|=1+22|yA-yB|=5((2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=my+n,yΔ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,∵FM=(x1-1,y1),∴FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1①②联立可得n2-6n+1又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-22或n≥3+22.S△MFN=12|MF||NF|=12(x=12(x1x2+x1+x2=12(2n2-4n+2)=(n-1)2又∵n≤3-22或n≥3+22,∴当n=3-22时,(S△MFN)min=(2-22)16.解析(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知ca=53,b=2,又a2=b2+c2,故C的方程为y2(2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,k<0.联立y=kx+2k+3,y29+则Δ=[8k(2k+3)]2-4×(4k2+9)×16k(k+3)=-27×64k>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8k因为P(x1,y1),A(-2,0),所以直线AP的方程为yx令x=0,得M0,2y1x所以线段MN的中点坐标为0,y=2k+3=2k+3=2k+-=2k+-=2k+-72所以线段MN的中点坐标为(0,3),所以线段MN的中点为定点.三年模拟练1.C设AB边与x轴交于点D,如图,因为△ABF1是以F2为中心的正三角形,所以AB⊥F1D,且F2为△ABF1的重心,由重心性质可得,|AF2|=|F1F2|=2c,则|F1D|=3c,在Rt△AF1D中,cos∠AF1D=|F所以|AF1|=23c,由椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=2a,即23c+2c=2a,即(3+1)c=a,则e=ca=132.B由题意得,焦点为Fp2,0,准线方程为设点P-p2,m,则当m≠0时,直线l的斜率k=pm所以直线l的方程为y-m2由y-m2=pm因为Δ=4m2-4m2=0,所以直线l与抛物线只有一个公共点;当m=0时,线段PF的垂直平分线l为y轴,此时直线l与抛物线只有一个交点.综上,直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为{1}.故选B.3.D设声源所在双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,虚轴长为2b,则2a=3×10-5×334=0.01002(m),2c=0.2m,tanπ2-α=所以sinα=11+b2a2=4.D设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,CF1,如图所示,因为AF·BF=0,所以AF又O为FF1和AB的中点,所以四边形AF1BF为矩形.设|BF|=t,则|CF|=3t,由双曲线的定义可得|BF1|=2a+t,|CF1|=2a+3t,又△CBF1为直角三角形,所以|BC|2+|BF1|2=|CF1|2,即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a或t=0(舍去),所以|BF1|=3a,|BF|=a,因为△BFF1为直角三角形,|FF1|=2c,所以|BF|2+|BF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,所以c2a2=52,即5.ABC由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),设半椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0),则b=3,c=3,∴半椭圆的方程为x218+椭圆的离心率e=ca=332当t趋近于0时,|AB|趋近于3+32;当t趋近于3时,|AB|趋近于0,∴线段AB长度的取值范围是(0,3+32),故B正确.由题意得△ABF的面积S=12设A(x1,t),x1<0,则x1设B(x2,t),x2>0,则x2∴S=12(9-t2+18-2t2)×t=2+12△OAB的周长为|AO|+|OB|+|AB|=3+18-∴当t=0时,△OAB的周长最大,又t的值不能为0,∴△OAB的周长没有最大值,故D错误.故选ABC.6.答案3解析如图所示,过点N作抛物线C的准线的垂线,垂足为N1,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,p2,由抛物线的定义知|FM|=|MM1又|FM|=|FM1|,所以△FMM1是等边三角形,所以∠FMM1=π3所以直线MN的方程为y=-33设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<0,x2>0),联立y=-33x+p2,x所以x1+x2=-233p,x1x2=-p由|FM|-|FN|=4,得y1+p7.答案①③④解析对于①,已知双曲线C:x2a2-y2b则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为bcb连接PF1,因为以F2为圆心的圆与该渐近线相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以所以c=53在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,则|PF1|2=|F1F2|2+|PF所以|PF1|=213,故①正确;对于②,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为6<323,所以|AB|的最小值不是323,故②对于③,因为|AF2|=7,a+c=8,所以|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故③正确;对于④,设直线l的方程为y=k(x+5),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+5),x29-y216=1因为直线l与双曲线C的左支交