数学具体分析及谈数学的概率

27生活的需要、数学思维的培养。而且大多数的师范生均把考学需要放在第一位，认为学数学最重要的是因为高考要考数学，他是进入大学的一块敲门砖，可见师范生对数学重要性的理解尽管较为全面，但是在潜意识里他们还是更重视高考对数学的要求。（二）师范生的数学教学观数学教学可以分两类，一类是新知识的教授，另一类是复习及习题的演练。1.新课的教授新课改提倡在教学过程中注重讲解知识的生成，那么高校师范生对此有什么看法？是觉得直接切入主题较好，还是慢慢引导学生去发现问题较好呢？对于这个问题，不能绝对的说是慢慢引入好，也不能绝对的说是直接切入主题好，要具体问题具体分析。因为并不是所有的问题都适合慢慢引导，也不是所有的问题都适合直接切入主题，这要根据多方面因素来决定，包括课程内容、学生情况、课时安排、大纲要求等，所以不能一概而论。T1：这个得具体问题具体分析，有一些跟实际联系起来比较紧密的话，可以从实际出发啊，然后有一些还是可能得直接切入主题会好一些T4：我感觉绝大多数来说还是慢慢切入主题比较好，因为学生他需要一个过度过程，有些新的东西他可能一下接受不了，他不知道你从什么想到的这个问题，他就没办法锻炼学生的思维，数学中很多案例都是有实际的背景，如果能从实际背景循序渐进地引出的话，这能够培养学生发现问题的能力，如果你一下给出的话，学生就会叹为观止，觉得发现这个问题的人非常伟大，但是不知道这个人是怎么想的，我觉得这样对学生来说不是一件好事，但是你要是一步一步给学生讲解问题是怎么给出的，这实践上是在培养学生的发现问题的能力，以后学生遇到新的问题，他会按照这种思路去尝试解决问题，但是在实际教学中，由于课时的原因，如果每次都这样慢慢引导学生的话时间是不够用的，所以说对于有些课没有隐藏这么大的价值的话，可以直接切入主题，如果背后真的有那种很好的思想在内，还是要花些时间去引导学生的。T5:我觉得对于高中阶段来说，直接切入主题这种方式要好，高中的数学的趣味性要远远小于了他学术的严肃性，很多时候由于课时限制，直接切入主题往往可以更快地抓住学生的注意力，所有我觉得前者比较好T6：我觉得是具体问题具体分析，比方说我们学习正弦定理的时候，就是慢慢的引导学生去发现正弦定理的存在，还有就是等差数列就是直接性比较强，所有具体问题具体分析。可见师范生对于这个问题上的看法较为一致，大多数师范生都认为这个问题2628应该具体问题具体分析，对于适合引导学生的课程觉得还是应该慢慢引人较好，认为这样可以培养学生的数学思维，以及自己发现问题解决问题的能力；但也有个别人认为高中阶段不需要引导，受课时限制，直接切入主题效果会更好。2.对“题海战术的态度”目前还是有很多教师通过题海战术去训练自己学生的解题能力，对于这种现象，师范生的看法是什么样的呢？题海战术显然是不可取的，盲目做题不利于学生数学素养的提高，但受高考影响，不做题是不行的。因此，教师可以通过大量做题，并对题目进行归类总结，找出典型例题，让学生去练，然后仔细讲解，让学生掌握这类题型的本质，再适当练习几道题，这样的效果远比学生盲目的大量做题要好得多。T2:对于这个我觉得你得两面去看，就像我刚才说的，你给他一本一本的做，你未必能培养一个解题高手，所以说你要去总结，你做了一百道题，你不去总结，你照样还只会这几道题，那说穿了的话就是可以搞题海战术，但得分怎么搞，教师要对题目进行相应的规划和总结……T4：如果过多的题海战术真是毫无意义，我觉得这个题海战术应该是老师下海学生上岸，就是老师下到题海当中把这些题进行归类整理，总结后再给学生去做，这样效果会好些，太多题的话对学生益处并不大。T6：题海战术有利有弊，一方面在学会归纳总结的情况下来进行题海战术，练题是需要的，只是要把度掌握好了。可见师范生对于题海战术的理解已经上升了一个层面，尽管不反对学生多做题，但更强调的是在大量做题中要学会归纳总结，不要盲目做题。而且比较重视教师在对学生进行题目训练时的指导作用。（三）师范生的数学学习观对数学学习的理解主要是两个方面的理解，即数学要怎么学、学数学要从中学到什么。1.数学——我们应从中学到什么？通过前面对数学重要性的阐述，我们可以看到学习数学最重的是从中学习到数学的思想方法及思维方式，并运用的实际生活中去。A:你认为学生学习数学最重要的是要从中学习到什么？T1:数学思维方法有了这个思维方法再去学习其他科目的知识的时候会起到一定的作用。T3:我觉着是一种学习的能力，就是怎么去学习，再一个就是怎么把数学的知识应用到生活中，就是数学话，用数学的思维去思考问题。T4:我感觉最重的是学习锻炼思维的方法，上这么多年学以后，再回想高第四章MATLAB在概率论与数理统计问题求解中的应用概率论与数理统计是实验科学中常见的数学分支，其问题的求解是很重要的，MATLAB提供了专用的统计学工具箱（StatsToolbox），其中包含了大量的函数，可以直接求解概率论与数理统计领域的问题。本章主要介绍概率分布与概率问题的求解、假设检验、方差分析、回归分析、协方差分析等。4.1.概率分布与概率问题的求解常见的几种概率分布的命令字符见表4.1.1表4.1.1几种概率分布的命令字符命令字符概率分布名norm正态分布exp指数分布poiss帕松分布betaβ分布weib威布尔分布chi2χ2分布tt分布FF分布Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符见表4.1.2表4.1.2五类函数的命令字符命令字符MATLAB函数pdf概率密度cdf概率分布inv逆概率分布stat均值与方差rnd随机数生成当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.例1画出正态分布和的概率密度函数图形.解：clearall;x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)图1正态分布和的概率密度函数图形例2．计算标准正态分布的概率P{-1<X<1}.解：clearall;p=normcdf(1)-normcdf(-1)p=0.6827例3取α=0.05，求.的含义是：P{X<}=，X～N(0,1)解：α=0.05时，p=0.975,norminv(0.975)=1.96此题中norminv命令可用来求逆概率分布，调用格式为：x=norminv(p,mu,sigma).即求出x,使得P{X<x}=p，此命令也可用来求分位数.例4求正态分布N(3,52)的均值与方差.解：clearall;[m,v]=normstat(3,5)m=3v=25例5>>M=normrnd([123;456],0.1,2,3)M=0.95672.01252.88543.83345.02886.1191此命令产生了2×3的正态分布随机数矩阵，各数分别服从N(1,0.1),N(2,0.1),N(3,0.1),N(4,0.1),N(5,0.1),N(6,0.1)4.2.几种假设检验假设检验就是先对未知总体提出某种假设或推断，然后利用抽取的样本，通过一定的方法，检验这个假设是否合理，从而做出接受还是拒绝这个假设的结论。主要的假设检验方式见表4.2.1所示。表4.2.1常见假设检验的MATLAB命令检验类型调用格式正态总体方差σ2已知，正态总体均值u的检验[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)正态总体方差σ2未知，正态总体均值u的检验[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)两正态总体均值的假设检验[h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)正态总体分布的检验h=normplot(x)Weibull总体分布的检验h=weibplot(x)例1Matlab统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年一月份和二月份的汽油平均价格（price1,price2分别是一，二月份的油价，单位为美分），它是容量为20的双样本.假设一月份油价的标准偏差是一加仑四分币（s=4），试检验一月份油价的均值是否等于115.解这是正态总体方差σ2已知，正态总体均值u的检验问题，作假设：m=115.clearall;loadgas；[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)h=0sig=0.8668ci=113.3970116.9030此检验结果说明:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设均值115是合理的.2.sig-值为0.8668,远超过0.05,不能拒绝零假设3.95%的置信区间为[113.4,116.9],它完全包括115,且置信度很高例2试检验例1中二月份油价Price2的均值是否等于115.解这是正态总体方差σ2未知，正态总体均值u的检验问题，作假设：m=115，clearall;loadgas；[h,sig,ci]=ttest(price2,115)h=1sig=4.9517e-004ci=116.7521120.2479此检验结果说明:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假设油价均值115是不合理的。2.95%的置信区间为[116.8120.2],它不包括115,故不能接受假设。3.sig-值为4.9517e-004,远小于0.05,不能接受零假设。例3试检验例1中一月份油价Price1与二月份的油价Price2均值是否相同.解这是两正态总体均值的假设检验问题clearall;loadgas；[h,sig,ci]=ttest2(price1,price2)h=1sig=0.0083ci=-5.7845-0.9155此检验结果说明:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假设“油价均值相同”是不合理的.2.95%的置信区间为[-5.8,-0.9],说明一月份油价比二月份油价约低1至6分.3.sig-值为0.0083,远小于0.05,不能接受“油价均相同”假设.例4一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布.解clearall;x=[459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851];hist(x,10);normplot(x);[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x);[h,sig,ci]=ttest(x,594)muhat=594sigmahat=204.1301sigmaci=179.2276237.1329muci=553.4962634.5038h=0sig=1ci=553.4962634.5038图4.2.1正态检验图此检验结果说明:1.估计出该刀具的均值为594，方差204，均值的0.95置信区间为[553.4962，634.5038]，方差的0.95置信区间为[179.2276，237.1329].2.从正态检验图上，可以看出数据大致集中在一条直线上，说明该刀具出现故障时完成的零件数符合正态分布.3.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设寿命均值594是合理的.4.95%的置信区间为[553.5，634.5],它完全包括594,且置信度很高。5.sig-值为1,远超过0.05,不能拒绝零假设.4.3.方差分析方差分析是英国统计学家兼遗传学家FisherRA提出的一种分析方法，在农业、科学试验和现代工业质量控制等众多领域有着广泛的应用。在实际的生产和经营管理过程中，影响产量、产品质量、数量或销量的因素很多。如何从众多的因素中，分清哪些主要，哪些次要？这就是本节所要研究的内容。一般我们称产量、产品的质量、数量或销量为试验指标，对试验指标起一定影响作用的称为因素或因子(factor)。在众多因素中，有些因素可能对试验指标影响大，有些可能影响小，经常需要分析哪几种因素对生产质量（数量）或销量起决定性的作用，并需知道最优的生产（工艺或销售）条件是什么？方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。1．单因素方差分析模型

若只考虑一个因素对试验指标的影响，这种分析问题的方法称为单因素方差分析(analysisofvariance)，方差分析简称“ANOVA”。该方法的主要目的是：通过试验数据分析推断因素A对指标影响是否显著。1）问题的一般提法假定要检验的因子有m种水平，X1，X2，…，Xm是m个相互独立的正态总体，分别服从于N（μi，s2），i=1，2，…，m。另外，xij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，ni）是分别服从正态分布抽得的简单随机样本。则单因素方差分析模型：

εij~N（0，s2），且各εij相互独立2）显著性检验对于上面所提出的多个正态总体均值是否相等的问题，也就是检验假设：H0：μ1=μ2=…=μm

；H1:μi（i=1,2,…，m）不全相等定义：，，则有平方和分解公式：

其中，Q1被称为组内离差平方和（或误差平方和）。它反映了数据xij在抽样过程中产生总的误差程度的一个评价指标。Q2是各组平均值与总平均值的离差平方和，反映了各总体的样本平均值之间的差异程度，被称之为组间平方和。通过Q2取值的大小可以反映原假设H0是否成立。3）F-检验法构造F-统计量：给定显著性水平α，查表，当F>Fα(m-1,n-m)时，则拒绝H0。4）方差分析表表4.3.1方差来源平方和自由度方

差F-值p值因子A误差E总和Q2Q1Qm-1n-mn-1MSA=Q2/m-1MSE=Q1/n-mFA=MSA/MSEp2．双因素方差分析在许多实际问题中，对试验指标的影响不仅仅只有一个因素，可能需要同时考虑几个因素对试验指标的影响。这种同时分析多个因素对试验指标的影响作用大小的方法，就是多因素的方差分析。如果只考虑两个因素，称之为双因素方差分析。1）数学模型

双因素方差分析数学模型：

其中：xijk

服从N（μij，s2）分布，i=1,2,…,r,j=1,2,…s,k=1,2,…,n.且各xijk

相互独立；μ是总的平均值，αi是因子A的水平Ai的效应，βj为因子B的水平Bj的效应，γij是Ai、Bj的交互效应值，εijk服从N（0，s2）分布，且相互独立.

2）提出三个假设：HA0：α1=α2=…=αr=0；HA1：至少有某个αi≠0HB0：β1=β2=…=βr=0；HA1：至少有某个βj≠0HAB0：γij=0，i=1,2,…,r,j=1,2,…s,；HAB1：至少有某个γij≠0同样有平方和分解公式：Q=Q1+Q2+Q3+Q4（具体公式及公式推导略）

3）方差分析表：表4.3.方差来源平方和自由度均

方F-值p值因子AQ1r-1MSA=Q1/(r-1)FA=MSA/MSEpA因子BQ2s-1MSB=Q2/(s-1)FB=MSB/MSEpB交互作用Q3(r-1)(s-1)MSAB=Q3/(r-1)(s-1)FAB=MSAB/MSEpAB误差Q4rs(n-1)MSE=Q4/rs(n-1)

总和Qrsn-1

3．MATLAB实现对于方差分析，MATLAB统计工具箱中提供了如下调用格式：

[p,tab,stats]=anova1(X)

[p,tab,stats]=anova2(X)前一个命令是单因素方差分析，后一个命令是双因素方差分析。更具体的功能可用help查询。例1．某公司为了研究三种内容的广告宣传对某种汽车销售量的影响，进行了统计调查。经广告广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算，一年四个季度的销售量如下表所示：表4.3.季

度广

告

类

型A1

A2

A3

一二三四

163

184

206

176

198

191

170

179

218

185

190

224表中A1：强调运输方便性的广告；A2：强调节省燃料的经济性的广告；A3：强调噪音低的优良性的广告；试问哪一种类型的新闻广告促进汽车销量增加所起的宣传效果最佳？解：clearall;x=[163184206;176198191;170179218;185190224];[p,tab,stats]=anova1(x)p=0.0039计算结果中p=0.0039＜α=0.05，表明拒绝H0。

得到两个图形界面：

图4.3.1图4.3.2Box图反映了各组数据的特征。另一方面经查表得：F0.05（2,9）=4.26。由方差分析表知F=10.93>F0.05（2,9）=4.26,所以拒绝H0，即认为不同类型的广告内容对汽车销售量有显著影响。进一步问哪一种广告形式最佳？因此需要计算各水平效应值：

计算结果表明，效应值α3最大。这说明广告A3的汽车销售量最多，因此A3为最优水平。为此，在今后的广告宣传中，应该注意多宣传噪音低的好处，同时也提出在汽车的生产中应注意改进工艺以降低噪音，从而促进汽车销量增加。例2．为比较3种松树在4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机的选择5株，测量它们的胸径，得出的数据在表4.3-4中给出,试对它们进行双因素方差分析。表4.3.4松树数据地区松树种类1234123152613212520211618211716242714171920242282225192630262620281924192529172118262331810122213152122141223251913221612232219解:clearall;x=[2315261321252021161821171624271417192024;2822251926302626202819241925291721182623;1810122213152122141223251913221612232219];anova2(x',5);输出方差分析表为：图4.3.3

双因素方差分析表从双因素方差分析表中可以看出，第一个因素松树种类对应的概率p=0.00029466值很小，所以应该拒绝原假设，从而认为树种对观测树的胸径有显著影响。进一步计算树种在3个不同的水平下的均值分别为y=[];fori=1:3forj=1:4y(i,j)=mean(x(i,[1:5]+(j-1)*5));endend;y=[y;mean(y)];y=[ymean(y')']y=19.600020.000021.000018.800019.850024.000026.000023.200021.000023.550015.000016.800020.400018.400017.650019.533320.933321.533319.400020.3500由y的最后一列可以看出，树种2的树胸径最大，树种3的最小。而方差分析表中的另外两个概率的值都很大，所以没有理由拒绝另外两个假设。故得出结论：地区对树的胸径无显著影响，不同区域对不同树种的胸径观测结果也无显著影响。4.4.回归分析许多实际问题往往需要对大量数据进行分析，尤为重要的是统计分析(statisticalanalysis)。如统计预报中的预测、经验公式中的参数确定等等，常常用到各种统计方法。回归分析（regressionanalysis）是研究各变量间相互关系的一种统计方法。1．一元线性回归模型我们称模型Y=a+bx+ε,ε～N(0,σ2)或Y～N(a+bx,σ2)为一元线性回归模型，称Y与x之间存在线性回归关系，其中参数a和b称为一元线性回归的回归系数。1）回归系数a、b的最小二乘估计

已知观测值为(xi,yi)（i=1，2，…，n）。将它代入回归模型中有如下关系：yi=a+bxi+εi

其中i=1，2，…，n。采用最小二乘法，求观测值与期望值的离差平方和最小。求出的解记为，，回归方程为：。2）回归模型的统计检验回归模型的假设（f(x)=a+bx）是否成立？该问题可转化为对系数b提出假设，H0:b=0;H1:b≠0,然后判断H0是否成立，这就是假设检验问题。有两种检验方法：（1）相关系数检验法其中，当越接近于1时，说明X与Y的线性关系就越显著；当越靠近零时，表明X与Y的线性关系越不明显，或者X与Y之间可能是非线性的关系，或者是两者根本不存在什么关系。检验上述原假设H0:b=0，其拒绝域为：，α为检验水平。（2）F检验法平方和分解公式：

简记为：Lyy=Q+U，

其中Q被称为残差平方和(residualsumofsquares)，U被称为回归平方和(regressivesumofsquares)。考虑检验假设H0:b=0;H1:b≠0

，在H0为真时，可证明：其拒绝域为：。3）回归模型的应用（1）预测对于给定的控制量x=x0，可以给出E(y0)的点估计:，以及y0的置信度为(1-a)%的预测区间为:其中，。（2）控制观察值y在某个区间(y1,y2)取值时,应如何控制x的取值范围,使得相应的观察值落入指定区间(y1,y2)内的概率至少为1-a%.解方程

：

求解得的x1,x2,即x的控制区间的两个端点值.2．多元线性回归模型多元线性回归模型的形式及假设：

Y=β0+β1x1+…+βmxm+ε，ε～N(0,σ2)1）回归系数β0，β1，…，βm的确定根据观测值（xi1，xi2，…，xim，yi）(i=1,2,…,n)，要确定回归系数β0，β1，…，βm，其方法仍然是最小二乘法。建立优化目标函数：2）回归模型的检验问题可转化为：

H0：β0=β1=…=βm=0；H1：存在某个βi≠0判断H0是否成立，可以用F检验法。平方和分解公式：

简记为：Lyy=Q+U，其中Q被称为剩余平方和，自由度为n-m-1；U被称为回归平方和，自由度为m；则F检验统计量，在H0为真时，可证明：其拒绝域为：。3）回归系数的检验问题提出：H0：βi=0（i=1，…，m），H1：βi≠0可以证明：（i=1，…，m）。可用该结果求95%的置信区间和对上述假设进行检验。若检验结果是接受H0，则说明自变量xi对因变量y的影响较小，可以将该变量从回归模型中剔除。实际上，该检验结果成为剔除哪些自变量的一个重要依据。4）预测

给定一组值(x10,x20,…,xm0)，可以得到点估计值y0。同理，也可以计算出它的预测区间。3．MATLAB实现

MATLAB统计工具箱用命令regress实现多元线性回归，调用格式为：

b=regress(Y，X)或[b，bint，r，rint，stats]=regress(Y，X，alpha)其中Y是因变量数据向量，X是自变量数据矩阵，其排列方式如下：，

alpha为显著性水平（缺省时设定为0.05），输出向量b，bint为回归系数估计值β0，β1，…，βm和它们的置信区间，r,rint为残差（向量）及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第1个是R2，R2是样本决定系数，第2个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率p，当p<α时拒绝H0，说明回归模型假设成立。例1测得16名成年女子的身高与腿长所得数据如表4.4.1所示：表4.4.1身高与腿长数据身高143145146147150153154155156158159160162164腿长8885889192939395969897969899100102以身高x为自变量，以腿长y为因变量建立回归方程.解:clearall;x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]’;X=[ones(16,1)x];Y=[8885889192939395969897969899100102]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b=-16.07300.7194bint=-33.70711.56120.60470.8340stats=0.9282180.95310.0000即；95%的置信区间为[-33.7017，1.5612],95%的置信区间为[0.6047,0.834];R2=0.9282,F=180.9531,p=2.1312e-009，p<0.05,可知回归方程y=-16.073+0.7194x显著成立.4.5.协方差分析1．协方差假设随机数(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)为二维随机变量对（x,y）的样本，则可以分别定义出二维样本的协方差sxy与二维样本的相关系数ρ为，由上述式子还可以定义出一个矩阵C为式中，,，该矩阵称为协方差矩阵(covariancematrix).多个随机变量的协方差矩阵可以由上述定义扩展出来。MATLAB中提供了一个专门求解多元随机变量协方差的函数cov()。该函数的调用格式为C=cov(X)其中，X的各列均表示不同的随机变量的样本值。若X是向量，则得出的是其方差，否则将返回协方差矩阵C。例1试用MATLAB语言产生4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵。解：用MATLAB给出的randn()函数可以生成一个标准正态分布的随机数矩阵。clearall;p=randn(10,4);cov(p)ans=1.1048-0.19670.0582-0.3182-0.19670.47510.09260.03490.05820.09261.0791-0.2017-0.31820.0349-0.20170.98202．相关系数相关系数是标准化协方差，是度量随机变量之间线性相关程度的一个指标，其MATLAB的调用格式为C=corrcoef(X,Y)或者C=corrcoef(A)前者返回列向量X，Y的相关系数矩阵，后者返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵。例2clearall;A=[123;40-1;139]A=12340-1139C1=corrcoef(A)%求矩阵A的相关系数矩阵C1=1.0000-0.9449-0.8030-0.94491.00000.9538-0.80300.95381.0000C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3))%求A的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵C1=1.00000.95380.95381.0000练习题四1．设X~N（3,22），求P{2<X<5}，P{-4<X<10}2．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512问机器是否正常？3．据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年一月和二月的数据如下：一月：119117115116112121115122116118109112119112117113114109109118二月：1181191151221181211201221281161201231211191171191281261181251）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性；2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间；3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间；4．经试验证明，影响火箭射程有两个重要因素——燃料A和推进器B，那么这两种因素的不同水平组合对火箭射程是否有显著影响？这两种因素在什么状态下最好，最佳的水平组合为多少？在火箭研制和发射过程中这是研究员们非常想知道的一些问题。为了回答上述问题，研究员对火箭射程进行了模拟试验，取出四种燃料和三种推进器，每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得如下表（单位：km）

推进器(B)燃料(A)B1B2B3A158.252.656.241.265.360.8A249.142.854.150.551.648.4A360.158.370.973.239.240.7A475.871.558.251.048.741.45．考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：温度（℃）20253035404550556065产量（kg）13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间（置信度95%练习题四答案：1．解：>>normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)ans=0.5328所以P{2<X<5}=0.5328>>normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)ans=0.9995所以P{-4<X<10}=0.99952．解：作假设：机器正常工作.然后用以下命令检验>>A=[0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.520.5150.512];>>[h,sig,ci]=ztest(A,0.5,0.015)h=1sig=0.0248ci=0.50140.5210[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)返回：h=1，sig=0.0248，ci=[0.50140.5210]。检验结果:1．布尔变量h=1,表示拒绝零假设。说明提出的假设是不合理的。2．sig-值为0.0248，不超过0.5,拒绝零假设3．95%的置信区间为[0.50140.5210]，它不包括115。3．解：1）作假设：1月份汽油价为115。不知其方差，故用以下命令检验>>A=[119117115116112121115122116118109112119112117113114109109118;118119115122118121120122128116120123121119117119128126118125];>>[h,sig,ci]=ttest(A(1,:),115)h=0sig=0.8642ci=113.3388116.9612返回：h=0，sig=0.8642，ci=[113.3388116.9612]。检验结果:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设油价均值115是合理的。2.95%的置信区间为[113.3388116.9612]，它包括115,故接受假设。3.sig-值为0.8642,远大于0.5,接受零假设。作假设：2月份汽油价为115。>>[h,sig,ci]=ttest(A(2,:),115)h=1sig=1.3241e-006ci=119.0129122.4871返回：h=1，sig=1.3241e-006，ci=[119.0129122.4871]。检验结果:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假设油价均值115是不合理的。2.95%的置信区间为[119.0129122.4871]，它不包括115,故不接受假设。3.sig-值为1.3241e-006，远小于0.5,不接受零假设.。所以，可以说“某地汽油的价格是每加仑115美分”的说法是错误的。2）1月份油价的95%置信区间为：ci=[113.3388116.9612]2月份油价的95%置信区间为：ci=[119.0129122.4871]3）假设：1月份平均油价等于2月份平均油价>>[h,sig,ci]=ttest2(A(1,:),A(2,:),0.05,0)h=1sig=3.6952e-005ci=-8.0273-3.1727返回h=1表示可以拒绝假设，sig=3.6952e-005远小于0.05，所以原假设不成立，1月和2月