数学儿童歌谣及数学概念儿歌

数学歌谣小数点，真圆滑。向左跑，数缩小。向右跨，数扩大。扩大、缩小十（倍）、百（倍）、千（倍），位置移动一（位）、二（位）、三（位）一数改‘亿’‘万’，‘亿’‘万’位下点。改写用等号，点末零去掉。如果讲保留，要用约等号。添上‘亿’和‘万’，改写没困难”长度单位伸开双手是1米，

八字手枪1分米。

指甲盖儿1厘米，

一粒小米1毫米。计算方面1和9，好朋友；

2和8，是一家；

3和7，不分离；

4和6，手拉手；

5和5，并肩走；

（问：）它们都是谁的好朋友？

（答：）它们都是10的好朋友。解题方法

解比例，好有味。

两种方法我都会！

如果比例横着写，

外乘外来内乘内。

如果比例竖着写，

交叉相乘一定对一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八。亿以内数的读法万级先，个级后，万级按照个级读，后面加上万；每级末尾０不读，中间有０读一遍。亿以内数的写法》先写万，再写个，后面加上一个万；一个单位也没有，还要用０来补位一九一九好朋友，

二八二八手拉手，

三七三七真亲密，

四六四六一起走，

五五凑成一双手。分数乘除应用题

关键在于单位“1”

“谁”的分率“谁”是“1”

当作整体用“1”替

题中若有“是”“占”“比”

后边数量是整体

已知整体用乘法

除法为了求整体计算歌

计算很重要，处处离不了。

一要看清题，二要算仔细，

先乘除，后加减，运算顺序掌握好！

小括号里的先算，中括号里的后算，没做的到的部分要照抄。

一步一回头，检查很必要。

这样做下去，答案肯定错不了。

分数应用题解答歌

解答分数应用题，首先判断单位“1”

几分之几是谁的？谁就是单位“1”

找好单位“1”

单位“1”

求一个数的几分之几是多少？符合分数乘法的意义，

只需用单位“1”

单位“1”

要求的是单位“1”

算术方法用除法，“对应量和分率”两者相除更简易。

应用题歌

应用题，重分析，

由问题，想条件，

抓好中间量，铺好过路石。

一种方法是：要想怎么样？就得怎么样？就得怎么样？还得怎么样？

一步一步想下去……

应用题，重推理，

一审条件，二审问题，

量与量间找关系，理顺关系网。

另一种方法是：知道它有什么用？知道它又有什么用？

知道了它们就能怎么样一步一步想下去……

应用题，你莫犟，

来回读三趟，仔细想一想，算式就会现纸上。

分数除法歌

分数除法并不难，

除号改乘号，除数要变“倒”,

两件事情同时做，这样才能做得好。

乘法的初步认识

乘法算式要记住，

相同加数写前头，

乘号跟着加数走，

最后写的是个数，

几乘以几是读法，

表示几个几相加。分针长,时针短,分针带着时针转时针指几是几点。整点分针指十二,分针指六是半点。两字之间夹时针,超过几是几点半。数学儿歌一、小学数学概念顺口溜，死记不如巧背！要是给数学的学习总结一条秘籍，那一定是理解概念。所谓万变不离其宗，只要概念理解透彻，什么题目都能轻松应对。小编为大家总结了小学数学的必背概念，让孩子一边背，一边理解，快乐学数学。年月日一三五七八十腊(12月)，三十一天永不差;四六九冬(11月)三十整;二月特殊不可忘；平年二月二十八，闰年二月把一加。100以内的质数口诀2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，(十九、二三、二十九)31、37、41，(三一、三七、四十一)43、47、53，(四三、四七、五十三)59、61、67，(五九、六一、六十七)71、73、79，(七一、七三、七十九)83、89、97。(八三、八九、九十七)多位数读法歌读数要从高位起，哪位是几就读几，每级末尾若有零，不必读出记心里，其他数位连续零，只读一个就可以，万级末尾加读万，亿级末尾加读亿。多位数写法歌写数要从高位起，哪位是几就写几，哪一位上没单位，用0占位要牢记。多位数大小比较歌位数不同比大小，位数多的大，位数少的小。位数相同比在小，高位比起就知道。运算顺序歌打竹板，响连天，各位同学听我言，今天不把别的表，单把四则运算聊一聊，混合试题要计算，明确顺序是关键。同级运算最好办，从左到右依次算，两级运算都出现，先算乘除后加减。遇到括号怎么办，小括号里算在先，中括号里后边算，次序千万不能乱，每算一步都检查，又对又快喜心间。"除"的意义看到"除"，圈一圈，"除"字前面是除数，"除"字后面被除数，位置交换别忘了。商中间或末尾有0的除法我是0，本事大，除法运算显神通。不够商1我来补，有了空位我就坐。别人要想把我除，常胜将军总是我。认识钟表跑的最快是秒针，个儿高高，身材好;跑的最慢是时针，个儿短短，身材胖。不高不矮是分针，匀速跑步作用大。量角中心对顶点，0线对一边，一边读刻度，内外要分辨。计量单位间的换算大化小，用乘好。小化大，除不差。大月、小月的记忆七前单月大，八后双月大。我是1厘米1厘米,很淘气,仔细找,才见你，指甲盖1厘米,伸出手指比一比，长短和我差不多,大约就是一厘米。100个我是1米,我是米的小兄弟,物体长了别用我,要不一定累死你。大于号、小于号的用法大于号、小于号，开口朝着大数笑。二、小学的数学题，家长为什么教不好？导语：“你怎么这么笨啊，教了那么多次，怎么就是教不会呢？”经常，会有家长在家教孩子做数学题，老是教不会时，总有这样一种“恨铁不成钢”的想法。孩子学不好数学，你要做的不是责骂，而是应该首先反思自己的教学方法是否出了问题。现在很多孩子在面对抽象运算思考题和应用题方面，特别容易遇到瓶颈，该如何解决？为此，我们给家长们三个字：“退”，退到孩子可以接受的地方；“远”，帮助孩子打通知识脉络；“慢”，给足孩子思考时间。数学这门学科跟日常生活紧密相连，小学数学是孩子以后学习数理化以及更深的现代化科学技术的基础，大多数家长都可以辅导孩子的小学数学，但是如何让孩子从小学数学学习中获得数学学习的能力、建立数感、树立数学学习的信心？下面跟大家分享家长如何辅导孩子学好小学数学。第一，对于小学数学的学习，家长首先应强调它训练思维的功能，其次才是讲数学的实用性。凡事需要追根溯源，从探寻数学的源头开始，就会让孩子觉得数学其实是一门十分有趣的学科。很多家长认为提高孩子数学成绩的最好途径就是让他们多做题，其实这是一个错误的想法。做题是为了训练思维，要掌握适当的量。大多数数学偏弱的孩子都有过题海战术的痛苦经历，如果只是机械地做题，孩子就会产生厌恶情绪，自然学不好数学。第二，家长要对小学数学一年级教材有所了解，现试从下述几个方面作些介绍：1.一年级数学第一学期的内容及要求：(1)1到10各数的认识、写法和加减法。包括：实物图，数10以内的数，1到5各数的认识和写法，5以内的加法和减法，0的认识和写法，加0、减0和得数是0的减法，6到10各数的认识和写法，10以内的加法和减法，连加、连减题。(2)11到20各数的读法和写法。包括：数11到20各数，十和几组成十几，11到20各数的读法和写法，钟面的认识（会看整点钟)。(3)20以内的进位加法和减法。包括：20以内的进位加法，加法和减法的简单应用题。(4)认识图形。长方形、正方形的初步认识。2.第二学期的内容及要求：(1)20以内的退位减法。(2)100以内数的读法和写法。包括：数100以内的数，认识个位、十位，100以内数的读法和写法，口算整十数加减整十数，整十数加一位数和相应的减法，元、角、分的认识和简单的计算。(3)100以内的加法和减法。包括：整十数加、减整十数，两位数加一位数，整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位），两位数减一位数（退位），两位数加两位数，两位数减两位数。(4)认识图形。长方体、正方体、圆柱、球的初步认识。第三，家长从生活中培养孩子的数学学习能力。这里不仅仅是指生活中数学的运用，而是要超越数学本身，让孩子多读课外书，不拘泥于某个学科，应广泛涉猎，尤其是科普书、名人传记等等，要让孩子从书中体会知识的无穷魅力，不断寻找学习的精神动力。第四，家长要注意培养孩子的“数感”。有的孩子在上到小学一年级后，还会把加法运算当做减法来做，多数有两种可能：一是孩子比较粗心大意，还有可能是孩子尚未理解加、减的意义，混淆概念造成失误。家长不要因此过多责骂孩子，最好借助身边的实物给孩子讲解加、减各代表什么。一般小学一年级学生通过一学期学习训练后，20以内的加减运算不必再靠手指，可凭心算得出答案。但不排除有5%～10%的孩子，由于数感较差，又缺少独立思考的习惯，导致心算能力难过关。遇到这种情况，家长不能失去信心，首先要跟孩子的数学老师沟通，希望老师在校期间能给予适当训练，并及时鼓励。同时，家长要有意识地培养孩子的数感。比如：带孩子买东西，让孩子帮忙算算该付多少钱，该找多少钱，让其感受数在生活中无处不在以及对生活的影响。第五、抽象的题目可用特殊例子来找规律小学数学相对来说难度不是很高，很多家长都会亲自指导孩子学数学。但还是有不少家长感慨不好教。“很多家长觉得孩子难教，是因为他们总是以成人的思维去指导孩子。”张翼文说。举道例题：已知被除数+商×除数=72，求被除数？家长一般会用推理的方式指导：因为被除数=商×除数，所以原式子=被除数+被除数=72，得出被除数=36。显然，这样的推导方式在成人看来很容易吸收和理解，但对低年级的孩子们来说很抽象。所以建议，家长教这类题目，要“退”到孩子比较好理解的思路，即从具体例子着手，让孩子们从中发现规律和奥妙。“因为12÷3=4，所以12+3×4=24；因为18÷2=9，所以18+2×9=36……”几个例子下来，孩子就会发现规律，原来“被除数+商×除数=和”，现在回过头再去解刚才那道例题就迎刃而解了。第六、应用题“去情境化”可以从实物入手在小学三年级，涉及“消元法”的应用题是一个重难点。很多家长抱怨说，孩子知道如何消元，但一旦把问题放到生活的情境里，就不知道该怎么办了。“如果孩子去情境化的能力比较弱，那不妨从实物开始着手。”不要怕麻烦，也许通过实物的例子来循循善诱地指导孩子做题很花时间，但是这样孩子理解起来更容易，以后遇到这类应用题就不怕了。三、数学家的故事（1）——祖冲之祖冲之(429～500)中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家。范阳遒（今河北涞水）人。祖冲之和圆周率关于祖冲之的成就，最有名的就是圆周率了。秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"。后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间。《隋书·律历志》中记载说，祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：密率：π=355/113，小数点后6位准确，约率：π=22/7，小数点后2位准确。在欧洲，1100多年后才算得355/113这一数值，被称为“安东尼兹率”。日本数学家三上义夫在1912年提出应称π=355/113为“祖率”。关于祖冲之是如何算得如此精密的结果，没有任何史料流传下来，这是非常遗憾的。不过根据当时的情况判断，祖冲之用的仍是刘徽的“割圆术”。果真如此的话，祖冲之需要计算出圆内接正12288边形和正24576边形的面积，要进行加、减、乘、除、开方等运算达130次以上，每次运算都要精确到9位数字，可以想象，在当时用罗列算筹来计算，是需要何等的精心与超人的毅力。宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。祖冲之和大明历祖冲之在天文历法方面的成就,大都包含在他所编制的大明历和为大明历所写的“驳议”中。祖冲之通过精密的观察测量，发现当时奉行的由前辈著名天文学家何承天所编制的元嘉历有不少错误，于是着手编制大明历（“大明”是宋孝武帝的年号），公元462年编成，时年只有33岁。这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。公元462年（宋大明六年），祖冲之把精心编成的《大明历》送给政府，请求公布实行。宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论。在讨论过程中，祖冲之遭到了以戴法兴为代表的守旧势力的反对。戴法兴是宋孝武帝的亲信大臣，很有权势。由于他带头反对新历，朝廷大小官员也随声附和，大家不赞成改变历法。祖冲之为了坚持自己的正确主张，理直气壮地同戴法兴展开了一场激烈的辩论。这一场关于新历法优劣的辩论，实际上反映了当时科学和反科学、进步和保守两种势力的尖锐斗争。戴法兴首先上书皇帝，从古书中抬出古圣先贤的招牌来压制祖冲之。他说，冬至时的太阳总在一定的位置上，这是古圣先贤测定的，是万世不能改变的。他说，祖冲之以为冬至点每年有稍微移动，是诬蔑了天，违背了圣人的经典。是一种大逆不道的行为。他又把当时通行的十九年七闰的历法，也说是古圣先贤所制定，永远不能更改。他甚至骂祖冲之是浅陋的凡夫俗子，没有资格谈改革历法。祖冲之对权贵势力的攻击丝毫没有惧色。他写了一篇有名的驳议。他根据古代的文献记载和当时观测太阳的记录，证明冬至点是有变动的。他指出：事实十分明白，怎么可以信古而疑今。他又详细地举出多年来亲自观测冬至前后各天正午日影长短的变化，精确地推算出冬至的日期和时刻，从此说明十九年七闰是很不精密的。他责问说：“旧的历法不精确，难道还应当永远用下去，永远不许改革？谁要说《大明历》不好，应当拿出确凿的证据来。如果有证据，我愿受过。”当时戴法兴指不出新历到底有哪些缺点，于是就争论到日行快慢、日影长短、月行快慢等等问题上去。祖冲之一项一项地据理力争，都驳倒了他。在祖冲之理直气壮的驳斥下，戴法兴没话可以答辩了，竟蛮不讲理地说：“新历法再好也不能用。”祖冲之并没有被戴法兴这种蛮横态度吓倒，却坚决地表示：“决不应该盲目迷信古人。既然发现了旧历法的缺点，又确定了新历法有许多优点，就应当改用新的。”在这场大辩论中，许多大臣被祖冲之精辟透彻的理论说服了，但是他们因为畏惧戴法兴的权势，不敢替祖冲之说话。最后有一个叫巢尚之的大臣出来对祖冲之表示支持。他说《大明历》是祖冲之多年研究的成果，根据《大明历》来推算元嘉十三年（436）、十四年（437）、二十八年（451）、大明三年（459）的四次月蚀都很准确，用旧历法推算的结果误差就很大，《大明历》既然由事实证明比较好，就应当采用。这样一来，戴法兴只有哑口无言。祖冲之取得了最后胜利。宋孝武帝决定在大明九年（465）改行新历。谁知大明八年孝武帝死了，接着统治集团内发生变乱，改历这件事就被搁置起来。一直到梁朝天监九年（510），新历才被正式采用，可是那时祖冲之已去世十年了。祖氏父子与球体体积祖冲之与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法求得了球体体积公式球体积=4/3πγ3。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。当时条件很差。他们在一间大屋的地上画了一个直径1丈的大圆。从内接正6边形开始计算，12边形，24边形，48边形的翻翻，一直算到96边形，计算的结果和刘徽的一样。接着，内接边数再逐次翻翻，边数每翻一次，要进行7次加减运算，2次乘方，2次开方，运算的数字都很大，很复杂，在当时的条件下，是十分困难的。祖冲之父子一直把边形算到24576边，得出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间，精确到了小数点后7位。其近似分数是355/113，被称为“密率”。德国数学家奥托在1573年重新得出这个近似分数。当时，欧洲人还不知道在一千多年之前祖冲之就己经算出来了。后来荷兰人安托尼兹也算出这个近似分数，于是欧洲人就把这个称为“密率”的近似分数叫着“安托尼兹率”。日本数学家认为应该恢复其本来面目，肯定祖冲之在圆周率方面研究的贡献，改称“祖率”才对。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为“祖暅原理”（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）。这一原理在西方被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列里（B．Cavalieri1598～1647）发现。四、数学家的故事（2）-数学鬼才佩雷尔曼即便是在“怪人”云集的数学家群体中，格里戈里·佩雷尔曼（GrigoriPerelman）也是一个特殊的怪人。2010年6月8日，世界上一批最优秀的数学家聚集在巴黎，给俄罗斯数学家佩雷尔曼颁发千禧数学奖，但是他却不在场。此前他还拒绝了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。1、他再次放弃了为他人可望不可即的荣誉，同时也放弃了一百万美元的奖金。假设你完全不知道地球的地理情况，你一次又一次派出远征的船队，这些船队接连发现新的大陆。直到已知大陆的数量增长到六块。可是你并不知道这是否就是地球上所有的大陆了。你继续派出船队，前前后后出征了几百次，但是他们没有再发现任何新的大陆。这时你提出一个猜想：地球上没有更多的大陆了。这个猜想看起来很合理，但是它仍需要论证。这时，佩雷尔曼出现了，他用完美的严密方式向你和全世界证明，地球上确实没有更多的大陆了。以上是俄罗斯数学家米哈伊尔·格罗莫夫（MikhailGromov）的一个比方。现实中的格里戈里·佩雷尔曼（GrigoriyPerelman）并不是一名地理学家，而是一名数学家。他在数学上所做出的工作的重要性完全不亚于上面的这个比方——他建造了一套漂亮的证明来确认“庞加莱猜想”的正确性。法国数学家昂利·庞加莱于1904年提出的庞加莱猜想是拓扑学最著名的未解决的问题。许多数学家试图证明这个问题，美国克莱数学学院悬赏一百万美元鼓励解决这个问题。佩雷尔曼的解题方案在于使用里奇流来改变理查德·哈密顿的几何化方法。与直接的拓扑学方案相比，这个方案似乎更可行。数学界经过反复检查，最终认为他的证明没错。2、小佩雷尔曼生活在一个母亲帮助下建立起来的想象世界中，除了数学，几乎没有其他东西。佩雷尔曼1966年出生于苏联的一个犹太人家庭，他的母亲是大学里的数学教师。这似乎为他数学天分的发展提供了一个有利条件，但苏联社会中广泛存在反犹太主义也为佩雷尔曼的成长与生活构造了残酷的环境。如何向孩子讲述生活的残酷，是常常会令家长头疼的问题。佩雷尔曼的母亲选择了一种特别的方式——她把自己头脑中的正确世界当作真实的世界告诉年幼的佩雷尔曼。所以，在佩雷尔曼的世界里，反犹太主义是不存在的。这样的世界至少持续到了他的大学阶段。在任何普通人看来都再明显不过的反犹太主义却在佩雷尔曼那里不成立，这与佩雷尔曼数学式的思维方式有很大关系。举一个例子来说，列宁格勒大学每年只招收两名犹太学生，这很容易被认为是种族歧视的典型表现。但是在佩雷尔曼入学那年，由于佩雷尔曼在国际数学奥林匹克竞赛上拿了奖牌，他被获准面试入学，那么与另外两名考进来的犹太学生一起，这一年列宁格勒大学就招收了三名犹太学生。如果说每年只招收两名犹太学生是反犹太主义存在的证明的话，那么也许在佩雷尔曼看来，这一年招收了三名学生就是这一命题的反例。社会生活中模糊的变数是佩雷尔曼所难以理解的，这一点在他年幼时就已经形成。他的数学俱乐部老师鲁克辛（SergeyRukshin）每周会有两个晚上与佩雷尔曼同路乘火车回家。冬天的时候，佩雷尔曼会戴着一顶苏联样式的皮帽子，帽子在耳朵的部位有两块皮子，用绳子系紧之后能够防止耳朵受冻。鲁克辛发现，即便在温暖的车厢里，佩雷尔曼也从不解开绳子。“他不仅是不会摘掉帽子，”鲁克辛在一本书中说，“他甚至不会解开帽子的耳朵，他说不然的话妈妈会杀了他，因为妈妈说了，不要解开绳子，不然就会感冒。”鲁克辛曾经批评佩雷尔曼读书不够多，他认为他的职责不单是教孩子们数学，还要包括文学和音乐。佩雷尔曼就问鲁克辛，为什么要读那些文学书。鲁克辛告诉他，因为这些书是“有趣的”，而佩雷尔曼的回答是，需要读的书应该都列在学校的必读书单上了。也是由于看到佩雷尔曼这样的个性，鲁克辛作为一名数学竞赛的教练，从来不用担心佩雷尔曼在数学训练中会存在“分心”的状况。佩雷尔曼确实从不分心。他的同班男孩们长大一些后开始与女孩子接吻，鲁克辛就常常去抓他们。但佩雷尔曼从不对女孩子感兴趣。佩雷尔曼生活在一个母亲帮助下建立起来的想象世界中，这个世界里规矩就是规矩，而且除了数学，几乎没有其他东西。鲁克辛是对儿童时期的佩雷尔曼影响最大的数学教练，佩雷尔曼也成了鲁克辛生命的一部分。他让佩雷尔曼在列宁格勒的生活安全、有序，就像佩雷尔曼想象中的世界一样，一直把他送进239号专业数学学校。列宁格勒的239号专业数学学校是数学家安德雷·柯尔莫格洛夫（AndreiKolmogorov）创办的一所学校，这里的数学教育与普通高中里的不同，它一方面教授现实研究当中的数学，一方面也根据不同学生的背景施教。它也是苏联高中里惟一教授古代历史课程的学校。学生在这里还会接触到音乐、诗歌、视觉艺术、古俄国建筑的知识。但这里并没有苏联学校里普遍开设的其他社会科学课。在老师和学校为他创造的微环境当中，佩雷尔曼与真实的世界始终保持隔绝，他自己的世界也就得到了保护和延续。与其他数学专长的年轻人坐在一起上课的时候，佩雷尔曼总是坐在后排。他一语不发，只有当发现某个人的解法或解释需要订正时才说话，而且总是一锤定音。也许很多时候，课堂上讲授的内容对佩雷尔曼毫无用处，但他也会静静地听着，他从来就是一个礼貌的人，因为规矩就是规矩。佩雷尔曼的另一条行事原则是，必须讲出完整的事实，不然的话，他便可能认为那是政治。在参加全苏联数学竞赛的时候，每个学生会被发给一道题目，谁解出来了便对老师举手示意，然后老师把他带到教室外面。他把解法讲给老师，如果正确，老师就会发给他下一道题，如果错误，就继续回去做这道题。最终的胜负是看谁在规定时间内解出的题目最多。有一次，佩雷尔曼解出了题目，老师把他叫到外面，他向老师解释一番之后，老师说了句“正确”便要转身回教室。可佩雷尔曼却把老师叫住，他说，这道题还有另外三种可能的结果！他坚持要把所有的可能性告诉老师，即便这样做对于数学竞赛来说等于是浪费时间。到了中学的最后一年时，佩雷尔曼已经在全苏联数学奥林匹克竞赛中赢得了一块金牌和一块银牌，并最终在1982年的国际数学奥林匹克竞赛中以42分的满分拿到了金牌。3、对“灵魂猜想”的证明，使得佩雷尔曼成为数学界年轻的明星。让所有人惊讶不已的是，他只用了四页纸。1991年，格罗莫夫帮助佩雷尔曼到美国东海岸参加了几何节。在此之前，佩雷尔曼在列宁格勒大学读了六年书，也是在此期间，他选择了朝向几何学的方向发展。几何节是个一年一度的数学会议，那一年在杜克大学召开。佩雷尔曼是几何节上七名报告人之一，他做了题为“曲率有下界的Alexandrov空间”的报告。这个题目的论文在一年后发表，成为他的代表作之一。在几何节期间，格罗莫夫向各个重要的人士介绍了佩雷尔曼，使得这次旅行让佩雷尔曼获得了到美国做博士后工作的机会。杰夫·齐杰（JefCheeger）是美国纽约大学库朗（Courant）数学研究所的数学家，他在这一届的几何节上也有报告。他注意到了佩雷尔曼。他在格罗莫夫的介绍之下与佩雷尔曼会面。一年之后，也就是1992年的秋天，佩雷尔曼来到库朗研究所，开始了他的博士后时光。即便是在“怪人”云集的数学家群体中，佩雷尔曼也是一个特殊的怪人。他似乎永远都穿同一件衣服，胡子拉碴，不剪指甲——他认为这样才是指甲的自然状态。他的食物只有面包和酸奶。美国的面包对他来说可能并不好吃，好在他找到了一家售卖正宗俄罗斯面包的商店，经常步行一段距离到那里买面包。所以，他没有什么地方需要开销，他把所有的津贴都留在银行里（这为他存了一笔钱，保证后来的一段时间里他能在俄罗斯温饱无忧）。佩雷尔曼一辈子都没有离开过他的母亲。在纽约做博士后期间，他的母亲随他来到美国，住在布鲁克林，照顾佩雷尔曼的日常生活。我们不知道佩雷尔曼在他的一生中有过多少个朋友，但可以肯定的是，数量非常少。在纽约大学期间，他难得地交到了一个朋友。佩雷尔曼的老师维克托·查加勒（ViktorZalgaler）非常肯定这一点。他的这位朋友就是田刚，现在的普林斯顿大学和北京大学数学教授。那个时候，佩雷尔曼经常与田刚交谈。不过在田刚的记忆中，他们的谈话都是关于数学本身的，没有涉及过其他事情。他认为佩雷尔曼也许会跟其他某个友善的人聊一聊其他话题，但并不是他。田刚知道佩雷尔曼会去布鲁克林桥附近买面包，但由于田刚本人并不在乎吃这种面包或是那种，所以他也并不清楚佩雷尔曼喜爱的面包究竟有何特别。1993年，佩雷尔曼解决了数学上一个长期存在的问题——“灵魂猜想”（SoulConjecture）。这是一个由齐杰和另一名数学家提出来的猜想。在二十年的时间里，已经有一些人写了长篇大论来分析这个问题，但仅仅只能做出部分的证明。佩雷尔曼则做了一个能够让所有人惊讶不已的完整证明——而且，他只用了四页纸！对“灵魂猜想”的证明，使得佩雷尔曼成为数学界的年轻明星。这一年，他才27岁。他在同一年的秋天搬去了美国西海岸的加州大学继续他的研究工作。但是，佩雷尔曼开始遭遇数学上的失败，这很可能是他人生中的第一次失败。他在Alexandrov空间的研究上卡壳了，停滞不前。1994年很可能是令他充满了挫败感的一年。后来，就没有人知道他究竟在究什么了，直到八年之后他突然在互联网上张贴出庞加莱猜想的证明。4、在1990年代解决了一系列著名问题后，他就消失了。现在他又浮出了水面。2002年11月12日，美国纽约州立大学数学家迈克尔·安德森（MichaelAnderson）突然收到了一封来自佩雷尔曼的电子邮件。此时佩雷尔曼已经回国多年。信中，佩雷尔曼只说了一句话：“我想请你留意我在ArXiv张贴的论文math。DG／0211159。”然后就是论文摘要部分的复制。安德森是十来名收到相同邮件的数学家之一，这些数学家都是多年来从不同侧面研究庞加莱猜想的人士。安德森在收到邮件的第二天凌晨5点38分又给其他一些数学家发了邮件（看起来他很可能彻夜阅读了佩雷尔曼的论文），希望他们能帮忙看看这篇论文的可靠性究竟有多大。“在我看来论文中的想法是全新的和原创的——典型的格里沙（佩雷尔曼的昵称）风格。”安德森在邮件中写道。他还说：“他在1990年代解决了一系列其他领域中著名的问题，然后就‘消失’了。现在看来他又浮出了水面。”ArXiv是美国康奈尔大学图书馆办的一个网站，供数理科学家张贴论文预印本。佩雷尔曼张贴的这篇论文是他证明庞加莱猜想的三篇文章的第一篇。第二篇和第三篇论文在2003年张贴。整个过程如同行云流水，然而，他的同行们需要用一两年的时间才能理解这三篇文章。2003年4月，佩雷尔曼来到美国麻省理工学院，开始他在美国大学中的巡回讲座。即便是他这样沉静、内向、低调的数学家，也按捺不住急切地与人分享的心情，每天都在研讨会上向不同的听众讲解他的证明。佩雷尔曼非常有耐心地一点点讲解，并乐于回答听众提出的每一个问题。当然，这种分享仅限于数学圈之内，他只想讲给那些有可能理解他的工作的人听。然而，《纽约时报》的记者捕捉到了这个信息，在报纸上发表了一篇报道，题目是“俄罗斯人宣称解决了一个著名的数学问题”。这篇报道很可能令佩雷尔曼不快。首先，他并没有“宣称”什么，他只是在与同行们讨论。更重要的是，报道当中提到，如果佩雷尔曼的证明经受住了同行两年的考察，那么他可能会获得一百万美元的奖金，也就是克雷研究所的千禧数学奖。这样的写法给人一种错误印象：佩雷尔曼似乎是冲着奖金来的。但实际上，佩雷尔曼早在克雷研究所设立百万美元大奖之前就已经投入证明庞加莱猜想的工作中了。5、他切断了与外界的所有联系。与此同时，外部世界则对他充满了好奇，无数的媒体开始围在他家周围。如果说这个世界上有任何人在评价佩雷尔曼的工作上具有权威，那么他应该是美国哥伦比亚大学数学教授理查德·汉密尔顿（RichardHamilton）。汉密尔顿在数学上最著名的贡献就是发现了Ricci流，而Ricci流正是让佩雷尔曼接近顶峰的助手。佩雷尔曼发表论文之前的许多年里，汉密尔顿自己以及围绕他形成的所谓“Ricci流共同体”也一直试图证明庞加莱猜想，但从未遂愿。这段时光里，汉密尔顿是否知道佩雷尔曼都是一个疑问。佩雷尔曼曾经去听过汉密尔顿的讲座，他实际上是对汉密尔顿心怀敬意的，他还在讲座之后向汉密尔顿请教过问题。那个时候的汉密尔顿显得亲切友善。然而，当佩雷尔曼这个“Ricci流共同体”之外的陌生人带着他的答案来到美国四处讲座的时候，汉密尔顿保持了沉默。作为一个最该出现的人，他并没有很快在讲座上出现。只有当佩雷尔曼的巡回讲座抵达哥伦比亚大学去的时候，汉密尔顿才终于出现在教室里。听完了佩雷尔曼的讲解，他简单地问了几个问题；在佩雷尔曼看来，这些问题毫无深度，也许他连他的论文都没有读完。2004年5月，佩雷尔曼回到了圣彼得堡，他与少年时代的数学老师鲁克辛一起散步，他告诉老师，他对数学界感到失望。2005年12月，在没有明确原因的情况下，佩雷尔曼辞去了莫斯科Steklov数学研究院的职务。由此，佩雷尔曼再一次从世界上“消失”了。佩雷尔曼切断了与外界的所有联系，他平时只与自己的母亲和老师鲁克辛交谈。与此同时，外部世界则对佩雷尔曼充满了好奇，自从俄罗斯的这位世界级数学明星诞生以来，俄罗斯无数的媒体开始围在他家周围。“只要我不是惹人注意的，我就有得选择。”佩雷尔曼有一次说道，“或者去做某种丑陋的事情，或者，如果我不做这种事，我就被像宠物一样对待。现在，我成了引人注意的人，我不能再做保持沉默的宠物。这就是我为什么要退出。”佩雷尔曼不仅仅是辞了工作，他实际上是退出了数学界。在所有的外人当中，《纽约客》的两名作者是幸运的，他们成了这个世界上仅有的与佩雷尔曼本人聊了数个小时的记者。2006年6月，他们飞往圣彼得堡。在此之前，他们向佩雷尔曼的电子邮箱里发了几封信，希望他能够安排见面。基本上毫无悬念地，他们没有收到任何回复。到达圣彼得堡后，他们乘出租车来到佩雷尔曼居住的公寓。他们没有敲门，而是在佩雷尔曼的信箱里放了一本书——约翰·纳什的文集，并留了张字条，告诉佩雷尔曼，他们转天下午会在附近操场的一条长椅上等他。第二天，两名作者在长椅上等了一下午，佩雷尔曼没有出现。于是，两人又在佩雷尔曼的信箱里留了一盒珍珠奶茶和另一张字条，列举了想要跟他讨论的问题。佩雷尔曼仍然没有回应。两人就又重复了一次。佩雷尔曼还是没有回应。于是两人以为佩雷尔曼并不在家。于是他们按了门铃，希望至少能与佩雷尔曼的母亲谈一谈。一名妇女开了门，把他们让进屋去。佩雷尔曼就在屋里。与佩雷尔曼打了招呼之后，两名作者才知道，他已经数月没有查过电子邮件，整整一周没有开过自家信箱了，所以他根本不知道眼前的两人是谁。第二天，佩雷尔曼与这两名不速之客在圣彼得堡的大街上逛了四个小时，然后又一起观看了五个小时的声乐比赛。他反复告诉他们，他已经不在数学界了，并且不认为自己是一名专业数学家了。他还对他们说：“我想交一些朋友，他们不必是数学家。”两名作者回到美国后在《纽约客》上发表了一篇长文。这篇文章中一半篇幅用来讲述佩雷尔曼的故事，另外一半则在讲哈佛大学数学家丘成桐以及两名中国数学家曹怀东和朱熹平。曹怀东和朱熹平是摩根和田刚之外的另一个验证佩雷尔曼证明的团队。他们在2006年发表了一篇三百多页的论文，给出庞加莱猜想的完整证明。丘成桐随后在中国大陆召开记者会，宣布了这一消息。曹怀东和朱熹平论文的摘