河北省部分示范性高中2024届高三下学期一模数学试题含答案

河北省部分示范性高中2024届高三下学期一模数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，是全集的两个非空子集，若，则下列说法可能正确的是（）A． B． C． D．2．已知，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．3．若，为虚数单位，则（）A． B． C．1 D．4．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的分位数为，众数为，则（）A．， B．， C．， D．，5．已知，则（）A． B． C． D．6．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线与所成角为，则（）A．1 B． C．1或2 D．2或7．已知椭圆：的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（）A． B． C． D．8．已知实数，，且，为自然对数的底数，则（）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（）A．4为的一个周期B．C．由，可知D．函数的所有零点之和为010．已知函数（，）在区间上单调，且满足，则（）A．B．若，则的最小正周期为C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11．在数列中，对于任意的都有，且，则（）A．对于任意的，都有 B．对于任意的，不可能为常数列C．若，则为递增数列 D．若，则当时，第II卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量，，为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是________．13．等差数列的前项和为，，则________．14．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若线段上一点满足，，求的长度．16．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，．（1）若，分别为，的中点，证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）在平面直角坐标系中，双曲线：（，）的离心率为，实轴长为4．（1）求的方程；（2）如图，为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标．18．（17分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标值满足时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只进行值检测，其中甲地120只小白鼠的值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设．（1）求，；（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的只小白鼠中有102只产生抗体，试估计的可能值（以使得最大的的值作为的估计值）；（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的值进行分组检测，若每组只小白鼠混合血样的值在特定区间内，就认为这只小白鼠全部产生抗体，否则要对只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，只小白鼠混合血样的检测费用为元．试给出的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）．附：若，则，．参考数据：，，，．19．（17分）已知函数，．（1）若是的极值点，求的值；（2）判断的单调性；（3）已知有两个解，．（i）直接写出的取值范围（无需过程）；（ii）为正实数，若对于符合题意的任意，，当时，都有，求的取值范围．参考答案及解析一、选择题1．D2．B3．B4．D5．B6．D7．A8．D二、选择题9．ABD10．ABD11．ACD三、填空题12．13．7014．四、解答题15．解：（1）由及正弦定理可得，因为，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以．（2）由题设，，则，，，在中，，即，所以，即，所以，即，所以，解得，，在等腰三角形中，取的中点，连接，则，则．16．（1）证明：如图，取的中点，连接，交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，则．在中，不妨设，则，，连接．因为，所以，又平面平面，所以平面平面，且平面平面，平面，故平面．设的中点为，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，．设平面的法向量为，则即不妨取，则．易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．解：（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，故的方程为．（2）由，，，四点共圆可知，，又，即，故，即，所以，设，，，由题意可知，则直线：，直线：，因为点在直线上，所以，代入直线的方程，可知，故点的坐标为，所以，又，，所以，整理可得，当直线斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线：，代入的方程可得，所以，，又，所以，故，即，所以点的坐标为．18．解：（1）解法一：记甲地小白鼠样本的值平均数为，方差为，记乙地小白鼠样本的值平均数为，方差为，则，，，，所以，．解法二：记甲地小白鼠样本的值分别为，，…，，平均数为，方差为，记乙地小白鼠样本的值分别为，，…，，平均数为，方差为，因为，，，，所以．由，，可得，同理，于是．（2）解法一：因为，所以．从注射过疫苗的小白鼠中取出只，其中产生抗体的有只，则，（，1，2，…，）．当时，；当时，，即，则．由等价于，当且仅当，知当时，；当时，；当时，．故当或时，最大，所以的估计值为149或150．解法二：因为，所以．从注射过疫苗的小白鼠中取出只，其中产生抗体的有只，则，（，1，2，…，）．当时，；当时，，若，则．若，则化简得解得．综上，的估计值为149或150．（3）记只小白鼠的检测费用为元，当只小白鼠全部产生抗体时，，当只小白鼠不都产生抗体时，，则，．因此，因为，所以，故，当且仅当时取等号，故平均每只小白鼠的检测费用的最小值约为2.8元，的估计值为10．19．解：（1）因为，所以，因为是的极值点，所以，即，故．此时，则当时，，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，则是的极值点，满足题意．综上，．（2）由（1）知，当时，，故在上单调递增；当时，令，得，令0，得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）（i）由，得，即有两个解，．令，则，且在上有两个零点．当时，，所以在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，为使在上有两个零点，则，即，解得．当时，易知，因为，所以．又在上单调递增，所以在上有唯一零点；当时，令，则，再令，则，所以在上单调递增，所以，即，故在上