【数学】第18章平行四边形解答题专题训练 2023-2024学年人教版八年级数学下册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023-2024学年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》解答题专题训练（附答案）1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，(1)试猜想AB与CD的位置关系，并证明你的结论；(2)试猜想AB与CD的数量关系，并证明你的结论．2．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线4．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．5．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8求．（1）FC的长

（2）EC的长．6．已知：如图，点O为▱ABCD对角线BD的中点，过点O的直线与AB,CD分别相交于点E,F．求证：(1)AE=CF；(2)S四边形7．如图，平行四边形ABCD中，∠D=60°，分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，(1)求证：CD=CE：(2)在平行四边形ABCD中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，求证：①OG=9．已知点E是▱ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD=BF．(1)求证：四边形ABDF为矩形；(2)若CD=ED=3，请直接写出BD的长．10．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．

(1)求证：PE=PD；(2)连接DE，试判断∠PED11．如图，在长方形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE，△ABE沿直线BE翻折后，点A恰好落在长方形ABCD的对称轴MN上的点A′处，连接A

(1)求证：△AA(2)延长EA′交BC于点F，若BC=5，12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且(1)求证：∠AEB=∠CFD；(2)若AB=6，∠AOB=60°，求矩形13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC、BD交于O，AC平分

(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB=35，BD=6，求OE14．如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，连接DE，BF．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB=3，BC=4，求BE的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接

(1)求证：AE=DF．(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t=_______时，△DEF为直角三角形．16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，(1)∠AGF=_______．(2)在线段AG上截取MG=BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．17．如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．(1)如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD=125∘(2)在（1）的基础上，连接DG，求证：C、D、G三点共线；(3)如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．18．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE；(1)求证：CE=CF；(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BCBC>AD，∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=819．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE(A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB=2，BE=31，请直接写出△APE20．如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形ABCD的外侧作了直线DP．(1)【动手操作】点C关于直线DP的对称点为E，连接CE，AE，其中AE交直线DP于点F．依题意在图①中补全图形；(2)【问题解决】在（1）的条件下，若∠PDC=30°，求∠DAF的度数；(3)【拓展延伸】如图②，若45°<∠PDC<90°，点C关于直线DP的对称点为E，连接CE，AE，其中AE交直线DP于点F．探究线段AB，AF，EF之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．（1）解：AB∥∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥（2）解：AB=CD，理由如下：∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．2．证明：∵D、E、F分别是△ABC三边中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=12∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，∴EH=12∴DF=EH．3．证明：在平行四边形ABCD中，OA=OC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵OE=OF，OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形．4．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，∴△ABD与△BCD都是等边三角形，∴∠BDE＝∠C＝60°，∵AE+CF＝2，∴CF＝2﹣AE，又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，∴DE＝CF，在△BDE和△BCF中，{DE=CF∴△BDE≌△BCF（SAS）；（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：由（1）可知△BDE≌△BCF，∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，∴△BEF是等边三角形，由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF．故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析．5．解：（1）根据折叠可得AD＝AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，∴AF＝10，∴BF＝AF∴FC＝4；（2）根据折叠可得ED＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴EC＝8﹣5＝3．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB∥CD∴∠ABO=∠CDO,∠BEO=∠DFO,∵点O为对角线AC的中点，∴OB=OD,∴△BOE≌∴BE=DF，∴AB−BE=CD−DF，即AE=CF．（2）由（1）可知：AB=CD,AB∥∴△ABD和△CDB等底等高，即S又∵△BOE≌∴S∴S四边形7．（1）解：由作图可知MN垂直平分线段BC，∴BO=OC，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABO=∠OCE，在△AOB和△EOC中，∠ABO=OCEOB=OC∴△AOB≌△EOCASA∴AB=EC，∴CD=CE，（2）解：添加AB=BC，由（1）可知AB=CE，AB∥CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵AB=BC，∠ABC=∠D=60°∴△ABC是等边三角形，∵AB=AC，∴平行四边形ABEC是菱形．8．证明：如图所示，连接AE∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AB∥CD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵CD=DE，∴AB=DE=BD，又∵AB∥∴四边形ABDE是平行四边形，∴平行四边形ABDE是菱形，②得证；∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=1∵OB=OD，∴S△ABO同理可得S△ABG∴S∴S四边形9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC，∴∠BAE=∠FDE,∠ABE=∠DFE，∵E为AD的中点，∴EA=ED，在△ABE和△DFE中，∠BAE=∠FDE∠ABE=∠DFE∴△ABE≌△DFEAAS∴AB=FD，又∵AB∥FD，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AD=BF，∴四边形ABFC是矩形．（2）解：由题意可知AB=CD=3，AD=2ED=6，∵四边形ABFC是矩形，∴∠ABD=90°，∴BD=A10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ACB=在△PBC和△PDC中，BC=CD∠ACB=∠ACD∴△PBC≌△PDC(SAS∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）∠PED=45°连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC=∵PE=PB，∴∠PBC=∴∠PDC=∵∠PEB+∴∠PDC+在四边形PECD中，∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°，又∵PE=PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED=45°

11．（1）解：∵直线MN是长方形ABCD的对称轴，∴MN垂直平分AB，∴AA由翻折得AB=A∴AB=A∴△AA（2）解：∵△AA∴∠ABA由翻折得∠ABE=∠A′BE=在长方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，∴BE=2AE=4，∠A∴∠BFE=180°−∠AEB−∠EBF=60°，∴∠BFE=∠FEB=∠EBF=60°，∴BF=BE=4，∴FC=BC−BF=5−4=1．12．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，OA=OC∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（SAS），∴∠AEO=∠CFO，∴∠AEB=∠CFD；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC=∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=6×6313．（1）证明：∵AB∥∴∠CAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠CAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD，∴CD=AB，∵AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴OA=OC，BD⊥AC，OB=1∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴OE=1在Rt△AOB中，AB=35，∴OA=A∴OE=OA=6．14．（1）证明：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE//DF，在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF∠BEA=∠DFC∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，又BE//DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵S∴BE=3×4÷5=2.4，答：BE的长为2.4．15．（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=1又∵AE=1×t=t，∴AE=DF；（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵AB=5cm∴AC=2AB=10cm∴AD=AC−DC=10−2t若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10−2t，解得t=10即当t=103时，四边形（3）解：分情况讨论：①当∠EDF=90°时，∠A=90°−30°=60°则∠ADE=30°，∴AD=2AE，即10−2t=2t，∴t=5②当∠DEF=90°时，∠ADE=∠DEF=90°则∠AED=90°−60°=30°，∴AD=1即10−2t=1∴t=4；③当∠EFD=90°时，此种情况不存在；故当t=52或4时，故答案为：52或416．（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCFSAS∴∠BAE=∠CBF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BGE=90°，∴∠AGF=90°，故答案为：90°．（2）解：①根据题意补全图形如图所示：②证明：过点A作AH⊥AE，AH交GN延长线于点H，连接DH，∵∠AGF=90°，GN平分∠AGF，∴∠AGN=1∵AH⊥AE，∴∠GAH=90°，∴∠AHG=∠AGH=45°，∴AG=AH，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°,AB=AD，∵∠GAH=90°，∴∠BAG=∠DAH，∵AG=AH，∠BAG=∠DAH，AB=AD，∴△BAG≌△DAHSAS∴BG=DH,∠AHD=∠AGB=90°，∵BG=GM，∠AHG=45°，∴GM=DH,∠DHN=∠NGM=45°，∵∠DHN=∠NGM,∠DNH=∠MNG,GM=DH，∴△HND≌△GNMAAS∴MN=ND．17．（1）解：∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形∴∠D=∠BAD=∠EAG=∠C=∠B=∠AEF=90°则∠EHC+∠HEC=90°=∠HEC+∠BEA即∠EHC=∠BEA∵∠BAE+∠EAD=90°=∠GAD+∠EAD∴∠BEA=∠EAD∵∠∴∠EHC=∠BEA=180°−125°=55°则∠BAE=∠EAD=90°−55°=35°∴∠BAG=∠BAE+∠EAG=125°；（2）解：连接DG，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形∴AE=AG∴∠BAD−∠EAD=∠EAG−∠EAD则∠BAE=∠GAD∴△ABE≌△ADG∴∠ADG=∠B=90°∵∠ADG+∠D=90°+90°=180°∴C、D、G三点共线；（3）解：过点F作FH⊥BC的延长线，连接CF∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形∴∠AEF=∠B=90°∵∠BAE+∠BEA=90°=∠BEA+∠HEF∴∠BAE=∠HEF则△BAE≌△HEF∴BE=HF=∵正方形ABCD的边长为5∴CF=18．（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，∴△CBE≌∴CE=CF；（2）解：成立，理由如下：∵△CBE≌∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠BCD=∠ECF=90°．∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）解：如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=24．∵∠DCE=45°，由（2）结论可知，ED=BE+DG，∵BE=8，设DE=x，则DG=x−8，∴AD=AG−DG=24−x−8=32−x，在Rt△AED中，D∴x解得：x=20．∴DE=20．19．解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于H，AI

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∠CAH=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=∠PAE，∴∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE(SAS∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，同理可证△ACD是等边三角形，∴∠ACD=2∠ACH=60°，∴CH⊥AD，即CE⊥AD又∵AD∥BC，∴CE⊥BC．故答案为：BP=CE，CE⊥BC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：如图2，连接AC，

∴△ABC，△A