2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 函数的单调性与最大(小)值 含解析

专题07函数的单调性与最大（小）值

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：求具体函数的单调区间

题型二：判断或证明函数的单调性

题题型三：比较函数值的大小

型题型四：求函数的最值

归题型五：解函数不等式

类题型六：求参数的取值范围

题型七：抽象函数单调性

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

【考点预测】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/(X)的定义域为/,区间。U/,如果Vxi，X2^D

当X1〈X2时，都有〈血2),那当X1<X2时，都有4X|)>/U2),

么就称函数/(X)在区间D上单调那么就称函数/(X)在区间。上

定义

递增，特别地，当函数/(X)在它的单调递减，特别地，当函数/(X)

定义域上单调递增时，我们就称在它的定义域上单调递减时，

它是增函数我们就称它是减函数

WX2)

丁遍及2)

图象描述O■^-x

自左向右看图象是下降的

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y=/(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做了=/U)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(l)VxE7,都有"(l)Vxez,都有

条件

(2)3xoGA使得f(xo)=M(2)31-0^7,使得/(xo)=M

结论M为最大值M为最小值

【常用结论】

1.有关单调性的常用结论

在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数一减函数=增

函数；减函数一增函数=减函数.

2.函数y=/(x)(Ax)>0或兀v)<0)在公共定义域内与y=一火的，的单调性相反.

/(X)

【方法技巧】

1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法：②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=/(g(x))的单调性应根据外层函数歹=&)和内层函数f=g(x)的单调性判断，遵循"同

增异减”的原则.

3.求函数最值的三种基本方法：

（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

出最值.

4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单

调区间内，然后利用单调性比较大小.

6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将尸'符号脱去，转化为关

于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.

7.利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等

式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

二、【题型归类】

【题型一】求具体函数的单调区间

【典例1】（多选）下列函数在（0，+8）上单调递增的是（）

A.、=6^一b*B.y=\x2~2x\

C.y=x+cosxD.^=\x2+x—2

【解析】；y=e',与y=-e）为R上的增函数，

...y=e'Je'为R上的增函数，故A正确；

由y=|N—2x|的图象知，故B不正确；

对于选项C,y'=1—sinx^O,

.♦.y=x+cosx在R上为增函数，故C正确；

十二十+“一？的定义域为（一8,—2]U[1,+°°）,故D不正确.

故选AC.

—3x1

【典例2】函数'的递减区间为.

1fll/fl]2x2-3x+I

【解析】作出，=2/—3x+l的图象如图，.力=匕1单调递减.要使递

减,只要x£

[典例3]函数歹=logi(2/-3x£L)的单调递减区间为()

2

(31

1—00,-

A.(1,+8)B.I4」

C.6+T羔+8]

【解析】由2x2—3x+l>0,

得函数的定义域为1一8'+8).

f-oo,1]

令，=2/—3x+1,工S12ju(1,+°°).

则y=logF，

2

,.丁=2/-3彳+1=2卜力2一5

...f=2x2-3x+l的单调递增区间为(1,+8).

又y=log«在(1,十8)上是减函数，

2

二函数y=log](2%2—3x74)的单调递减区间为(1,+°°).

2

【题型二】判断或证明函数的单调性

【典例1】试讨论函数")=3(。70)在(一1,1)上的单调性.

X-1

【解析】方法一设一1<X1<X2<1,

EHLi1+-

加1)一加2)=〃XL1J—alX2—1J

<7(X2—XI)

(XI—1)(X2-1),

由于一

所以X2—X|>0,Xj—l<0,X2—l<0,

故当a>0时，/8)—於2)>0,即兀⑴刁⑴)，函数危)在(一1,1)上单调递减;

当4<0时，,/(Xl)-AX2)<0,

即兀⑴勺(X2),函数火X)在(一1,1)上单调递增.

方法二r万=(")("(二|］:(、D

_q(x-1)一6a

(x—(x—I)2

当。>0时，/'(x)<0,函数｛x)在(一1,1)上单调递减;

当。<0时，/'(x)>0,函数於)在(一1,1)上单调递增.

【典例2】判断函数次x)=x+4z>0)在(0,+8)上的单调性.

X

【解析】解法一：设0<Xl<X2,

则仆尸危

=X--I--X-2z(x\X2-a)\.

X\X2

当0<Xl<X2WW时，Q<X\X2<a,又Xl—X2<0,

所以/卜)一/2)>0,即./(Xl)>/(X2),

所以函数./(x)在(0,4］上是减函数；

当\ja<xi<X2时，x\X2>a,又xi—%2<0,

故/(Xl)一/2)<0,即仙)</(X2),

故函数y(x)在(U,+8)上是增函数.

综上可知，函数/(x)=x+"(a>0)在(0,寸。］上是减函数，在(近，+8)上是增函数.

X

解法二：求导可得/(x)=l—

令/(x)>0,则1-3>0,解得X>W或XV—4(舍).

£

令/%x)W0,则1—解得一QWxW：电.

x2-

Vx>0,；.0VxW必.

在(0,上是减函数；在(W,+8)上是增函数.

【典例3】判断并证明函数/(刈=以2+1(其中l<a<3)在［1,2］上的单调性.

X

【解析】函数凡¥)="2+1(1<4<3)在［1,2］上单调递增.

X

证明：设1WXV2W2,则

/(X2)—f(xi)=ax^+~"一ax\一--

X2XI

.0(%1+X2)----

=(X2~X|)LXlX2.］,

由1WXI<X2〈2,得X2—X1>O,2<X1+X2<4,

1<XIX2<4,-1<----一<.

X\X24

又因为l<a<3,所以2<a(xi+x2)<12,

得a(x\+%2)--->0,

X1X2

从而加2)—7(X1)>O,即7(X2)》(xi),

故当。£(1,3)时，段)在口,2］上单调递增.

【题型三】比较函数值的大小

【典例1］已知函数4X)为R上的偶函数，对任意的，刀2G(一8,0),均有(为一丫2)巩加一/2)］<0

成立，若a=/(ln/)，力=/(3?)，c=/(e3),则a,h,c的大小关系是()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【解析】••"对任意Xi,X2《(—8,0),

均有(XLX2)［/(X|)—/(X2)］<O成立，

••.此时函数在区间(一8,0)上单调递减，

•••兀0是偶函数,

...当xG(0,+8)时，/(x)单调递增，

1

又/(x)=*在x£(0,+8)上单调递增，

11

I<e3<33,

又0<ln/<1,

/.In/〈西<3§,

即a<c<Z>.故选B.

【典例2】设函数/(x)=l0glM在(一8,0)上单调递增，则/(。+1)与/(2)的大小关系是()

A.加+1)次2)B.加+1)</(2)

C./(a+l)=/(2)D.不能确定

【解析】由y=/(x)的图象及已知可得0<a<l,所以1<«+1<2,由于函数./(X)为偶函数，所以/(X)

在(0,+8)上单调递减，所以/(4+1)次2).故选A.

【典例3】已知函数/(X)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当X2>X|>1时,［/(X2)­/3)NX2

—xi)<0恒成立，设a=1—J,b=@,c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【解析】根据已知可得函数/(x)的图象关于直线X=1对称，且在(1,+8)上是减函数，因为a

=1一力且2辛3,所以b>a>c.故选D.

【题型四】求函数的最值

【典例1］函数的最大值为________

xz+5

【解析】令后工=，，则t22,

_±_

4,.•.尸t不"

t

设//(/)=/+:,

则人⑺在［2,+8)上为增函数，

A(/)min=力(2)=5,

12

・・・丁・三=气=0时取等号).

_5

2

即y的最大值为2.

—1

【典例2】函数的值域为

x2+l------------

【解析】由夕=u,可得

xz+1l-y

由f'0,知青20,解得一1忘产1,

故所求函数的值域为［-1,1).

【典例3】函数=)的最大值为.

【解析】由1—/20,可得一IWXWL

可令x=cosa。£［0,兀］,

则歹=cos夕+sin9=Ssin［仿+4),6^［0,兀］,

所以一IWyW石,故原函数的最大值为市.

【题型五】解函数不等式

【典例1】已知函数/(x)=lnx+2L若/(》2—4)<2,则实数x的取值范围是.

【解析】因为函数./(x)=lnx+2式在定义域上单调递增，且/(l)=ln1+2=2,所以由./(/—4)<2

得先:2一4)勺⑴，所以0<F—4<1,解得一\，5令<—2或2Vx〈芯.

【典例2】已知函数/(x)=H—log2(x+2),若.加-2)>3,则。的取值范围是.

【解析】由/(X)=H-log2(x+2)知，

7(x)在定义域(一2,十8)上是减函数，

且大-1)=3,

由火a—2)>3,得./(a—2)》(一l),

.a-2<—1,

b—2>—2,

解得0<a<l.

【典例3】已知人x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递减，则不等式寅2%一

l)>/(x+1)的解集为.

【解析】依题意")是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递减，所以

filx-l)>Ax+1)0(2%—1)2<(x+1)2,

即4x2—4x+l<x2+2x+1,

即x2—2x=x(^—2)<0=>xG(0,2).

【题型六】求参数的取值范围

alx21,

【典例1】函数/(x)=L_。且满足对任意的实数X|WX2都有曲匕加3>0成

C2jx+2,X<1,XLX2

立，则实数。的取值范围是()

A.[4,8)B.(4,8)

C.(1,8]D.(1,8)

ax,x21,

【解析】函数/)='「4_0满足对任意的实数XIWX2都有曲匕幽>0,

IL2)x+2,x<lxi-X2

a',x21,

所以函数./CDM,L—EI是R上的增函数，

L2jx+2,x<l

a>\,

则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足力一丁仇

“24—4+2,

2

解得4Wa<8,

所以实数a的取值范围为[4,8).故选A.

【典例2】函数次》)=111(/—ar—3)在(1,+8)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(―0°,—2]B.(―°°,—2)

C.(一8,2]D.(一8,2)

【解析】函数./(x)=ln(x2—ax—3)为复合函数，令〃(》)=/—依一3,

y=lnu为增函数，

达1,

故只要〃(x)=x2一以一3在(1,+8)上单调递增即可，只要，2

〃⑴20,

解得aW—2.

故选A.

【典例3]若./(x)=cosx—sinx在[0,a]上是减函数，则。的最大值是()

AA.一兀BD-兀C.一3兀Dc.兀

424

【解析】=cosx—sinx=

兀兀

2'2J,即xG_

7(x)=—/sin刁单调递减,

3可

丁|是府)在原点附近的单调减区间,

结合条件得[0,a]S~4f4

【题型七】抽象函数单调性

【典例1】已知函数人x)对于任意x,HR,总有")+")=於+力，且当x>0时，")<0,川)

3

(1)求证：7(x)在R上是减函数；

(2)求小)在[-3,3]上的最大值和最小值.

【解析】(1)证法一：・••函数/(x)对于任意x,yWR总有

7(x)+_/(y)=/U+y),令X=了=0,得,/(0)=0,

再令”=—x,得/(—x)=—/(x).

在R上任取X1>X2,则Xl—X2>0,

曲)-f(X2)=/(Xl)+A-X2)=/。1-X2).

又•.\>0时，/(X)<0,

而XI—X2>0,.*.7(X1—X2)<0,即加1)守(》2).

因此危)在R上是减函数.

证法二：在R上任取Xl,X2且X|>X2,则X[—X2>0.

则7(X1)-f[X2)=Axi~X2+X2)一/2)

=f(Xl-X2)+/(%2)-/(X2)=/(X|~X2).

又,.,x>0时，/(X)<O,而X]—X2>0,

.*.y(xi—X2)<o,即)<式动,

.•J(x)在R上为减函数.

(2)：/(x)在R上是减函数，

.•.义x)在［-3,3］上也是减函数，

.•./(X)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为./(一3)与/(3).而./(3)=3/(1)=—2,,/(-3)=-/(3)

=2.

.•../(X)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为-2.

【典例2】段)的定义域为(0,+8),且对一切x>0,夕>0都有月=/(x)—/&),当x>l时，有

危)>0.

⑴求/(I)的值；

(2)判断/(x)的单调性并证明；

(3)若46)=1,解不等式/(x+5)二上］<2.

【解析】(l)/0)=fj=/(x)-/(x)=0,x>0.

(2)/(x)在(0,+8)上是增函数.

证明：设0VxVx2,则由.£)=/(x)—/e),得

火也)一次箝)=用,*>i,.,£)>0.

XI

.•次切一加1)>0,即/x)在(0,+8)上是增函数.

(3),•/6)=人6J=汽36)一火6),又火6)=1,

...义36)=2,原不等式化为：/(/+5%)</(36),

又..TCx)在(0,+8)上是增函数，

x+5>0,

A->0,解得0VxV4.

x

/+5xV36,

【典例3】已知函数人x)的定义域为(0,+8),当x>l时，犬x)>0,且对于任意的正数x,y都

有/(盯)=/(x)+/S・

(1)证明：函数兀0在定义域上是单调增函数；

(2)如果,［3］=—］且/(X)—1—2］22,求x的取值范围.

【解析】(1)证明：设0<Xi<X2.

则./(X2)—(X1)=1口"I一/(XI)=/[1j+AX1)-^X1)

因为盘>1,所以厨>0,

X]

所以y(x2)—/(xi)>o.

故/(X)在定义域上是单调增函数.

(2)当x=y=l时，/(1)=0.令歹=1,

X

得负1)=危0+0,所以U=

-Ax)-

1,得火3)=1.

于是心)一=/(x)+Ax-2)=Ax2-lr)^2,

而2=/(3)+/(3)=/(9),则有/(F-2x)W/(9).

N—2x29,

所以x满足.40,解得x》1+\/To.

x—2>0,

故实数X的取值范围是口+、伍，+8).

三、【培优训练】

【训练一】函数g(x)=ax+2(a>0),/(x)=x2—2x,对Vxid[—1,2],BxoG[—1,2],使g(xi)=/(xo)

成立，则a的取值范围是()

A.[lo,13」]B.[1,2)

c[°:DO+T

【解析】若对Vxy[-1,2],Bx0e[-l,2],

使g(xi)=/(xo)成立，

只需函数尸=贝)的值域为函数歹=/(x)的值域的子集即可.

函数2x=(x—1)2—1,xW[―1,2]的值域为[—1,3].

当a>0时，g(x)=ax+2单调递增，

可得其值域为[2—4,2+20，

要使［2一凡2+20£［—1,3］,

2一心一1,

需,2+2aW3,

a>0,

解得0<〃乏!，

2

综上，a的取值范围为［8II

故选C.

【训练二】已知函数y(x)=x2+lnx-ax在(0,1)上是增函数.

(1)求a的取值范围；

(2)在⑴的结论下,设g(x)=e2x+e-a|,%e［0,ln3］,求函数g(x)的最小值.

【解析】(1)/'(》)=2'+［一4；危)在(0,1)上是增函数，

.•.2x+22a在(0,1)上恒成立,

2x+—

即aS(xe(o,1)),

,.•2x+1223当且仅当x=超时，取等号,

所以。的取值范围为M&W2/}.

(2)设1=铲,则/?«)=产+〃一可(显然出口，3］),

当aWl时,力(f)=J+t-a在区间口,3］上是增函数，所以/?⑺的最小值为6(1)=2—4

t2—t+a,IWzWa,

当l<aW2也时,/?(/)=

p+r-a,a<tW3.

因为函数力⑺在区间［a,3］上是增函数，在区间［1,上也是增函数，又力⑺在［1,3］上是连续

函数，所以/?⑺在口，3］上为增函数，所以力⑺的最小值为力(1)=〃，

(2—a,a<1

Ag(X)min=j

(a,1<a<2V2

【训练三】已知函数/(x)=2020v+ln(^x2+l+x)-2020-v+1,则不等式J(2x-l)+/(2x)>2的

解集为.

【解析】由题意知,人一刈+於)=2,

.\/(2x-l)+X2x)>2可化为人2x-l)次-2x),

又由题意知函数./(x)在R上单调递增，

A2x—1>-2x9

...原不等式的解集为已，+°°1

【训练四】已知定义在区间(0,+8)上的函数{X)是增函数，{1)=0,{3)=1.

⑴解不等式0勺(9-1)<1;

⑵若於户加一2am+l对所有xG(0,3］,“可-'1，口恒成立，求实数加的取值范围.

—1>0L

【解析】(1)由得72<XV2或一2Vxv—\'2.

,1<¥2—1<3,

原不等式的解集为(一2,一啦)U(S,2).

(2)•.,函数")在(0,3］上是增函数,

；.危)在(0,3］上的最大值为贝3)=1,

・••不等式/(x)W加2—2〃加+1对所有x£(0,3］,1,1］恒成立转化为1W加2—2。加+1对所

有。任［—1,1］恒成立,即m2—2am^0对所有。上［—1,1］恒成立.

设g(a)=-2朋。+加2,ae[—1,1],

g(—l)20,’2"?+加220,

二需满足即

g(l)20，,-2TM+/M2^0,

解该不等式组，得用<一2或加22或加=0,

即实数"的取值范围为(-8,-2］U{0}U［2,+°°).

ev—e",x>0,4

【训练五】已知函数兀0=,若a=5°a,6=-log32,c=log30.9,则火a),46),

—x2,xWO,2

./(c)的大小关系为.

【解析】当x>0时，/(x)=e，一eX单调递增，且/(0)=0；

当xWO时，/(x)=-f单调递增，且,40)=0,

所以函数作)在区上单调递增.

因为a=50°i>l,0V6=log32/VI,c=log30.9<0,

所以。>b>c,所以,/(a)>/3)>/(c).

【训练六】已知函数2］(a>0,且aWl).

(1)求函数7U)的定义域；

(2)当“6(1,4)时，求函数人X)在[2,+8)上的最小值；

(3)若对任意x6[2,+8)恒有/(x)>0,试确定。的取值范围.

【解析】(1)由x+Z—2>0,得储―主+^>0,

XX

当。>1时，x2—2x+a>0恒成立，定义域为(0,+00),

当OVQVI时，定义域为｛x|OVxVl—或、>1+后二｝.

(2)设g(x)=x+~—2,

x

当aG(l,4),x£[2,+8)时，

2

，/、1a%。、八

g(x)=l[=?>0，

因此g(x)在[2,+8)上是增函数,

・7斯)在[2,+8)上是增函数，

则/(x)min=/(2)=1g：.

(3)对任意x£[2,+8),恒有/(x)>0.

即x+~-2>1对[2,+8)恒成立.

x

/.a>3x~x2.

令人(x)=3x—x2,x£[2,+°°).

由于〃(x)=—[2]+：在[2,+8)上是减函数,

••力(X)max=〃(2)=2.

故a>2时，恒有｛x)>0.

故a的取值范围为(2,+°°).

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=ln(x+2)B.y=~7x+1

RI1

C.y=\2yD.y=x+~

【解析】函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2,+8),所以在(0,+8)上一定单调递增.故

选A.

2.函数段)=^^在()

1—X

A.(―8,1)U(1,+8)上是增函数

B.(―°°,1)U(1,+8)上是减函数

C.(―8,1)和(1,+8)上是增函数

D.(―8,1)和(1,+8)上是减函数

【解析】函数Hx)的定义域为{x|xWl}.人外=上=—1一一1,根据函数y=-L的单调性及有

1—X1—XX

关性质，可知/(X)在(一8,1)和(1,+8)上是增函数.

故选C.

3.设aCR,函数外)在R上是增函数，则()

Jla2+a+2]>j[^B./a2+a+2)v(4)

A.

大/+。+2)与日D.y(a2+a+2)</'vJ

C.

【解析】•.%2+。+2=“+3+濯,

44

又小)在R上是增函数，.；/(a2+a+2)2/D.

故选C.

4.已知函数危)为R上的减函数，则满足Ilxl]之火1)的实数X的取值范围是()

A.(-1,1)B.(0,1)

c.(-1,o)u(o,1)D.(一8,-1)U(1,+°°)

]X\<\,〜>

【解析】由/(x)为R上的减函数且得l；l>L即所以一1VxVO或

件0,x=#0.

OVxVl.故选C.

5.已知函数./(X)是定义域为［0,+8)上的减函数，且人2)=—1,则满足7(2x—4)>—1的实数

x的取值范围是()

A.(3,+8)B.(―8,3)

C.[2,3)D.[0,3)

【解析】/(x)在定义域[0,+8)上是减函数，且/(2)=-1,

.\/(2%-4)>-1可化为人2x—4)次2),

2x—420,

解得2Wx<3.

2x-4<2,

故选C.

6.函数加:)=-x+［在一一2，一1上的最大值是()

x

.308

A.-B.---

23

C.-2D.2

【解析】函数/(x)=一的导数为/'(x)=—1—则，(x)<0,可得/(x)在—2，上单调

XX2

递减，即./(一2)为最大值，且为2—3=,

故选A.

7.函数歹=/(x)在［0,2］上单调递增，且函数Hx)的图象关于直线x=2对称，则下列结论成立

的是()

A./(i)</BW

B.

息息/U)

C.

7M<N)

D.

【解析】因为/(X)的图象关于直线x=2对称，所以./(x)=/(4—x),所以

又0<?1<厘<2,/(x)在［0,2］上单调递增，所以.

故选B.

_3（。-3）x+2,xWl,,

8.已知函数/（x）=-对任忌的XiWX2都有（XI—X2）［/（X2）-/（X［）］>O成"，

—4tz—Inx,x>l

则实数a的取值范围是（）

A.（一8,3］B.（一8,3）

C.（3,+°°）D.［1,3）

【解析】由（X［—X2）［/（X2）—/（X1）］>O，得（幻一X2>［/（X1）—/（X2）］<O，

所以函数Hx）在R上单调递减，

［a—3<0,

所以,

3（.a-3）+22—4a,

解得lWaV3.故选D.

【多选题】

9.若/）=-f+2ax与g（x）=——在区间［1,2］上都单调递减，则实数。的取值可以是（）

x+1

A.-1B.-C.1D.2

2

【解析】因为火x）=--+2办在［1,2］上单调递减，所以aWl,又因为g（x）=———在［1,2］上单调

x+1

递减，

所以a>0,所以0<aWl,故选BC.

lnx+2v,x>0,

10.已知函数/（x）=」_,xWO,则下列结论正确的是（）

.1—X

A.7（X）在R上为增函数

B.徊次2）

C.若/（x）在（a,a+1）上单调递增，则aW—l或aNO

D.当x@［-1,1］时，危）的值域为［1,2］

【解析】易知7U）在（-8,0］,（0,+8）上单调递增，A错误，B正确；

若/（X）在（a,a+1）上单调递增，则或a+lWO,即aW—1或a与0,故C正确；

当XG［—1,0］时，7U）G［1,2］,当xW（0,l］时，y（x）e（—8,2］,故时，义x）G（—8,

2］,故D不正确.

故选BC.

11.已知/（X）是定义在［0,+8）上的函数，根据下列条件，可以断定/（x）是增函数的是（）

A.对任意x20,都有加+1)次x)

B.对任意Xl,X2^[0,+°°）,且X1，X2,者B有y（Xl）Ny（X2）

C.对任意Xl，[0,+°°）,且XLX2〈o，都有/（Xl）—/（X2）VO

〃（R）-/（X2）

D.对任意XI,X2G[0,+8）,且X]#X2,都>0

X\-X2

【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项A,对任意x》0,都有/(x+1)》(x),不满足函

数单调性的定义，不符合题意：对于选项B,当./(X)为常数函数时，对任意不，也£[0，+8),

都有/(X1)=/(X2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C,对任意XI，%2£[0,+8),且X]一

X2<0»都有/(XI)一危2)<0,符合题意；对于选项D,对任意XI,》2引0，+°°)»设X1>X2，若

./(A-I)-/(X2)>0>必有火为)一儿刈)>0,则函数在[0,+8)上为增函数，符合题意.故选CD.

XI-X2

12.定义新运算㊉:当。2b时，a®b=a；当时，。㊉6=〃，则函数/)=(1㊉戏L(2㊉x),

%e[-2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

【解析】由题意知当一2WxWl时，/(x)=x-2,当1<XW2时，/(x)=/—2,又./(X)=X—2,/(X)

=/一2在相应的定义域内都为增函数，且加1)=一1，贝2)=6,所以./U)的最大值为6.

故选C.

【填空题】

13.函数/(x)=|x—2|x的单调递减区间是.

1y2-'

【解析】由于加)=|x—2|x=，「结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2].

答案：[1，2]

14.如果函数/(工)=公2+2]一3在区间(一8，4)上单调递增，则实数。的取值范围是.

【解析】当〃=0时，/(x)=2x—3在定义域R上是单调递增的，故在(一8，4)上单调递增；当

a#0时,二次函数/(x)的对称轴为x=-~,因为/(x)在(一8，4)上单调递增,所以a<0，且一

a

，解得一，Wa<0.

a4

-1，0

综上，买数〃的取值范围是4J.

—，0

答案：.4

15.已知丁=危）在定义域（一1，1）上是减函数，且八1一。）勺（24一1），则实数。的取值范围为

【解析】因为/（X）在定义域（一1，1）上是减函数，且/（1一。）</（24—1）>

—1<1-a<l,

2

所以—l<2a—1<1»解得Ova<1.

1-a>2a-1，

答案:°’1,

Cx-a）2，x<0，

16.设危)=L,若/（0）是/（x）的最小值，则实数a的取值范围为

x++aX>Q,

x

【解析】因为当xWO时，火x）=（x-。产,/（0）是儿丫）的最小值，所以a2O.当x>0时，./（x）=x+

-+a>2+a，当且仅当x=l时取.要满足40）是/（X）的最小值，需2+。2/（0）=屋，即

X

a2—a~2^0，解得一1<aW2，所以实数a的取值范围是0WaW2.

答案：[0,2]

【解答题】

17.求下列函数的值域.

X2—x+1'X<1'

dMx)=i,x>1;

(2)y=x—&

1

X2）+3》3；当>i时,OvL：l.因此函数/（x）的值域是（01

【解析】（1）当x<\时'X2—.x+1=x

44x

+°0).

1.

]I—-，OO

(2)y=x-[2——,所以函数y的值域为141

y-|-2

18.已知函数加）=工

x

（1）写出函数y（x）的定义域和值域;

(2)证明：函数y(x)在(0，+8)上为单调递减函数，并求人幻在XW［2，8］上的最大值和最小值.

【解析】(1)函数火X)的定义域为{x|xW0}.又Wx)=l+4，所以值域为{贝yWl}.

x

(2)由题意可设0<Xl<X2,则危1)一/2)=。+；］—1七.又0<Xl<X2,所

XiX2X\X2

以XlX2>0，X2"~X\>0，所以/(X|)—/(X2)>O，即/(X1)》(X2)'所以函数/(X)在(0、+8)上为单调递

减函数.在92，8］上，加)的最大值为火2)=2’最小值为曲1

19.函数/(X)=log